一类带记忆项的非线性弹性杆方程初边值问题

一类非线性波动方程的初边值问题【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。

【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计一、引言及主要结论本文讨论如下初边值问题：的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。

我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：定理假定(A 4)h是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。

在F 1上满足相容性条件.其中则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解若令(A 2)中的p=1且和(A 1 )中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得此外，若f 1 Lipschitz连续，则解是唯一的。

二、定理的证明设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明u k(t)能被整体延拓到[0，+∞)上.第一个估计将方程(5)中的w j换成u k(t)，并在(0，t)上积分，得到由假设(A 3 )，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计其中L 1 是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

第二个估计首先估计uk tt n(0)的L 2 范数，易得‖u k tt ‖≤L 2.其中L 2 是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的w j 换为u k tt 得到对上式左边第一项进行估计，可得在(0，t)上积分(9)式，，得到类似(8)的做法，，可以得到合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计其中，L 3是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

摘要材料技术的突破往往会加快人类社会的发展,材料科学就是一门研究材料的交叉学科.材料的物理性质和性能往往由它的微观结构决定,在特定条件下,伴随原子重排的物质,物质形态或结构发生改变的过程我们称为相变.相变模型根据界面厚度分为锐界面模型和相场模型,其中相场模型分为序参数守恒和序参数不守恒两种.本文将研究一个新的相场模型的Neumann初边值问题,该模型是用于描述弹性可形变固体材料中的固固相变,它是退化抛物型方程和线性弹性子系统耦合的方程组.这个模型是Alber教授和朱佩成教授在2006年提出的Alber-Zhu序参数不守恒模型[1].在本文中,我们建立了模型初边值问题的一系列近似解,利用局部解延拓法,证明了在一维情况下,该初始边值问题的粘性解是存在的.关键词：椭圆-抛物耦合方程组,退化抛物型方程,粘性解,Neumann边界条件,相场模型,固固相变.ABSTRACTMaterials technology breakthrough tends to speed up the development of human so-ciety,and materials science is an interdisciplinaryfield.The microstructure of a materi-al determines its physical properties and performance,under certain conditions,when the atoms of matter are rearranged,the shape and structure of matter will change.This process is called phase transition.According to the interface thickness,the phase transition model can be divided into sharp interface model and phasefield model.The phasefield model are divided into two kinds:order parameter is conserved and not conserved.We shall study an initial-boundary value problem of a new phasefield model,which is a degenerate parabolic equation coupled to a linear elasticity sub-system,used to describe the solid-solid phase transitions in elastically deformable solid materials.This model was proposed by Alber and Zhu in2006[1],and the order parameter in this model is not con-served.Wefirst establish a series of approximate solutions to the initial boundary value problem,and by passing the approximate solutions to the limit,then prove that the viscosity solutions to this initial boundary value problem exist,in a one dimensional case. Keywords:Elliptic-parabolic system,Degenerate parabolic equation,Viscosity solutions, Neumann boundary condition,Phase-field model,Solid-solid phase transitions.目录摘要VABSTRACT VI 目录VII第一章绪论11.1研究背景 (1)1.2研究现状 (2)1.3论文的结构及主要安排 (3)1.4论文中用到的重要不等式和定理 (3)第二章相场理论52.1相场模型简介 (5)2.2经典的相场模型 (7)2.3新的相场模型 (8)2.3.1Alber-Zhu序参数不守恒模型 (8)2.3.2Alber-Zhu序参数守恒模型 (9)第三章新相场模型粘性解的存在性113.1一维的模型 (11)3.2模型弱解定义 (11)3.2.1弱解的定义 (11)3.2.2主要定理 (13)3.3近似问题解的存在性 (13)3.3.1近似问题的构造 (14)3.3.2弱解的存在性 (14)3.3.3一致先验估计 (20)3.4粘性解的存在性 (24)第四章总结与展望28参考文献29作者在攻读硕士学位期间公开发表的论文33致谢34第一章绪论1.1研究背景材料技术的每一次重大突破,都会引起生产技术的革新,加快人类社会的发展.金相学和显微结构原理的建立,加快了新材料的研究和开发.由于各种新材料的快速出现,需要一门学科来对其进行系统的研究,材料科学应运而生.材料科学就是一门研究材料的交叉学科,它不仅与工程技术紧密联系,而且与材料学,物理学,化学,生物,计算机,数学模型等学科相关联.材料科学主要目的是发明和设计新的材料,并对新材料的性质和结构进行研究,用来改进或者提升材料的性能.新材料已经陆续在国家经济,军用国防以及社会生活等方面得到广泛应用.在2011年,美国提出材料基因组计划,目的是加快新材料的研发速度,并且降低研发成本[51].在2012年,中国也提出开展材料基因组计划.由此可以预见,未来新材料的发明和应用在经济发展占有重要地位.随着全球气候变化,我们在开发新材料的时候,更加需要去考虑新材料的可持续发展性和新材料研发使用会对全球气候造成哪些影响.微观结构一词来源于需要用显微镜来观察物质的内部结构,其观察范围尺度从肉眼可分辨突破到只有电子或者光学显微镜才能分辨.微观结构存在于很多物体中,从有机到无机,从晶体到非晶体,材料的很多物理性质和性能都是由它的微观结构决定的,同一种原子的不同排列,会影响其形成的物质的性能.比如金刚石和石墨,它们都是由碳原子构成的,但是它们的原子排列完全不同(可参考图1),它们物理性质和性能也完全不同[48].因此,材料微观结构对研究材料的物理性质和性能非常重要.图1金刚石和石墨微观结构原子排列图.一般情况下,一个有固定化学分子的物质,它的形态(固液气)和性能是稳定的,原子的排列也是固定的.因此我们可以通过观察物质的分子原子的排列,可以推测物质的性能.在一定的温度,压力或者其他必要条件下,物质微观结构的改变,会引起物质形态或者性能会发生改变,这种在特定条件下或着在临界值下发生的变化,我们称之为相变.物质的形态,称为相位.任何相变都会伴随原子的重新排列.材料中的相变是材料中的一个相转化为另一个相,这个过程往往伴随物质新的性能出现.固固相变是物理冶金的一个核心话题,几乎所有的工业合金都是经过锻造后的热处理改善其性能,热处理改变了合金的微观结构,要么是变形后恢复再结晶,要么是相变.物质的相变根据其原子(离子)是否扩散分为两种,一种是非扩散相变;另一种是扩散相变[29].非扩散相变又叫结构相变,相变过程中原子(离子)不扩散,或者相变过程虽然存在原子(离子)扩散,但不在相变中占主导作用,比如马氏体相变就是非扩散相变.扩散相变则是依靠原子(离子)的扩散运动占主导的,比如脱溶反应就是扩散相变[37].也有兼容扩散和不扩散的相变,如贝氏体相变.根据模型界面的厚度,相变模型可分为锐界面模型和相场模型.锐界面模型的模型参量在界面处是不连续变化的,即在界面两侧锐变,其界面厚度为零,可以看作从相一直接到相二.相场模型的相场变量在界面处是连续变化的,界面具有一定厚度,可以看作相一到相二的一个变化过程.因为在锐界面模型的研究过程中,界面条件的预测和界面位置的追踪难以做到,在高维情况下更加困难,所以与锐界面模型相比,即使相场模型的研究历史较短,相场模型的应用范围也较为广泛.相场模型有两个非常著名的模型Allen-Cahn模型[8]和Cahn-Hilliard模型[20],近年来,Alber教授和朱佩成教授,在Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型的基础上,在第三个方程中加了一个梯度项,构建了由构型力驱动的新相场模型:Alber-Zhu序参数不守恒模型[1]和Alber-Zhu序参数守恒模型[2].其中Alber-Zhu序参数不守恒模型在一维Neumann初边值条件下解的存在性,就是本文所研究的内容.1.2研究现状本文中主要研究一维情况下,Alber-Zhu序参数不守恒模型Neumann初边值条件的粘性解存在.粘性解的概念是由Crandall和Lions在1983年提出的,用于求解Hamilton-Jacobi方程的解得唯一性问题[35].在此基础上,许多学者对粘性解都进行了研究.例如:Crandall,Evans,Lions[16],Crandall,Ishii,Lions[17],Chen,Giga,Goto[12],Ishii[31],Jensen[32].最近几年关于粘性解的研究,可以看[7,10,23,44]等等.除此之外,相场模型也有很多研究结果.比如Alber和Zhu构造出由构形力来驱动的相场模型,两种模型分别在2006年[1]和2007年[2]被提出,Zhu[47]和Sheng,Zhu[42]研究了相场模型的粘性解,还有很多关于相场模型的其他数学方面的结果[1,2,5,6,30,40].与Zhu[47]相比,由于本文研究的模型的边界条件是Neumann型的,所以在边界上粘性解的定义有很大的不同,也更加复杂.此外,由于Neumann边界条件的限制,我们不能直接用Zhu[47]中的极大值原理去证明序参数S在L∞(Q te)上是一致有界的.因此,本文中退化非线性方程的先验估计是困难和复杂的.1.3论文的结构及主要安排本文主要研究一个新的固固相变的模型,在Neumann边界条件下的解的存在性问题.这个模型主要是描述形状记忆合金相变以及钢的转化过程等,模型中包括弹性形变和固固相变,这里的相变是无扩散的由构型力驱动的.具体章节内容分布如下:第一章:介绍模型的研究背景和研究现状,以及在研究中用到的重要不等式和定理.第二章:对相场模型理论和经典相场模型进行简单介绍,并介绍两个新的相场模型:Alber-Zhu序参数守恒模型和Alber-Zhu序参数不守恒模型.第三章:证明新相场模型在一维情况下解的存在性,定义了弱解,并做了与证明相关的先验估计.第四章:对本文的研究进行总结和展望.1.4论文中用到的重要不等式和定理1.Cauchy不等式如果a,b∈R,那么ab≤a22+b22.2.Young不等式如果a>0,b>0,p>1,q>1,1p +1q=1,那么有ab≤a pp+b qq.3.带有ε的Young不等式设a>0,b>0,ε>0,p>1,q>1且1p +1q=1,那么ab≤εa pp+ε−q/p b pq≤εa p+ε−q/p b p.特别的,当p=q=2时,它变为ab≤εa2+b24ε.4.H¨o lder不等式如果u∈L p(Ω),ν∈L q(Ω),并且1≤p,q≤∞,1p +1q=1.那么有∫︁Ω|uν|dx≤‖u‖L p(Ω)‖ν‖L q(Ω).5.积分形式的Gronwall不等式设y(t)在[0,T]上是一个非负可求和的函数,对于任意的t,有下面不等式成立y(t)≤C1∫︁ty(s)ds+C2,其中C1,C2>0.那么有y(t)≤C2(1+C1te C1t),(a.e.0≤t≤T).6.Aubin-Lions引理若B0,B,B1是Banach空间,B0,B1是自反的,且满足B0 B⊂B1.此处 表示紧嵌入,定义W={f|f∈L p0(0,t e;B0),d fdt∈L p1(0,t e;B1)}.其中t e是给定的常数,并且1≤p0,p1≤∞.(i)如果p0<∞,那么W紧嵌入到L p0(0,t e;B).(ii)如果p0=+∞且p1>1,那么W紧嵌入到C([0,t e];B).第二章相场理论模型在材料科学中起着重要作用,它们提供了材料结构和性能之间的联系.固固相变是调整材料的微观结构和性能的重要手段,为了充分利用这个工具,我们要付出很大努力去研究相变模型.在材料科学的研究中,一般用锐界面模型或相场模型去研究材料的微观结构.锐界面模型是一个经典的模型,但它需要追踪动态界面的演化,所以使用范围较为有限.因此在过去几十年,人们发明了另外一种方法,那就是相场模型.相场模型克服了锐界面模型在界面处难以追踪的缺点,它并不需要追踪界面的位置,即使相场模型发展时间很短,但是它是研究各种材料的微观结构变化的重要工具.相场模型的许多公式,都取决于带序参数和扩散场的自由能函数,然后通过统计物理学来得到模型的方程.本章会依次介绍相场模型的简要背景,两个经典的相场模型和两个新的相场模型.2.1相场模型简介相场法是在Ginzburg-Landau相变理论的基础上建立起来的一种比较现代的方法,该方法通过微分方程来体现扩散,有序化势和热力学驱动的综合作用,从而获取研究体系在时间和空间上的瞬时状态[21].相场法与经典相变理论不同之处是其采用序参数对研究体系在时间和空间上的瞬时状态进行描述[15].在相场法理论基础上,建立用来解决界面问题的数学模型―相场模型,与传统的锐界面模型相比,相场模型假设两相之间的扩散界面是有厚度的(可以参看图2).图2左：锐界面模型右：相场模型.相比锐界面模型,相场模型的优点在于更加容易进行数值计算,在相场模型的研究中,通过相场变量的值区分相区,这样可以同时追踪不同的界面状态,引入序参数作为相场变量,不同相位的变化是连续的.序参数是在热力学中对相变模型的研究引出的概念,是相变临界点的物理量.许多相变都是从一种有序到另一种有序的变化,引入适当的物理量可以来描述相变的有序程度,对于不同的相变,序参数是不同的.在本文中,我们用S(x,t)表示序参数,简写成S,它表示在不同时间,不同位置下序参数的值.可以用S=0或S=1来表示不同的相,如果用S=0表示相一,那么S=1表示相二,反之亦然.S在0,1之间的值,代表物质处于两个相区的界面处.当界面的厚度趋于零时,就变成熟知的锐界面模型.图3S的物理含义示意图.Ginzburg-Landau方程是Vitaly Lazarevich Ginzburg和Lev Davidovich Landau朗道二级相变理论基础上建立的描述超导现象的非线性偏微分方程.Landau在1937年提出的二级相变理论,是针对连续相变而建立的.连续相变是系统化学势能的关于序参数的一次导数在相变临界点连续变化的一类相变[39].Landau认为连续相变有两个特征:物质有序化程度的改变以及随之相伴的物质对称性的改变.通常在发生相变时的临界温度以下的相有以下特点:对称性低有序度高,并把此时的序参数认为是非零的.在临界温度以上的点有以下特定：对称性高有序度低,并把此时的序参数认为是零.Landau假设体系的自由能(f)在相变点附近是关于温度(T),序参数(S)和压强(P)的解析函数,并把该函数展开成关于序参数(S)的幂级数[27].f(P,T,S)=f0+αS+AS2+CS3+BS4+···,这里的系数α,A,B,C等为P与T的函数.因为Landau理论只研究平稳的相变变化,所以它的临界指数会与实验结果之间存在误差[52].但是Landau理论的图像简单清晰,可以解释多种相变,因此依然具有很大的价值.Ginzburg-Landau理论在Landau相变理论的自由能函数中引入一个与界面能相联系的微分导数项,该理论是为了处理一级相变中母相与新相的相界面而建立的;当序参数在空间中发生变化时,研究体系的自由能不仅与序参数的大小有关,也与序参数的梯度有关,自由能密度表示为[14]f(S,∆S,T)=f h(S,T)+α|∇S|2,这里α>0,f h为朗道理论的自由能密度.当不存在外场时,体系的总自由能可表示为F=∫︁Ωf(S(x),∇S(x))d3x,这里x表示空间位置,具体的推导过程可参考文献[14].2.2经典的相场模型本节主要介绍两个被广泛使用的相场模型:Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型.在介绍模型前,先定义一些符号,在本文中假设Ω∈R3是一个开区间,并且边界∂Ω是光滑的.定义Q t=(0,t)×Ω.S3表示3×3矩阵的集合.未知函数u∈R3, T∈S3,S∈R分别表示位移,柯西张量和序参数.b是体积力,D弹性张量,ε(∇x u)是应变张量.(t,x)∈Q t,c,ν是正数.Allen-Cahn模型如下−div x T(t,x)=b(t,x),(2.2.1)T(t,x)=D (︀ε(∇xu)−¯εS)︀(t,x),(2.2.2)S t(t,x)=−c (︀ψS−ν∆x S)︀(t,x).(2.2.3)Cahn-Hilliard模型如下−div x T(t,x)=b(t,x),(2.2.4)T(t,x)=D (︀ε(∇xu)−¯εS)︀(t,x),(2.2.5)S t(t,x)=div x(∇x(ψS−ν∆x S))(t,x).(2.2.6)在相变理论,物质在时间和空间上瞬时状态可由序参数进行描述.在相场模型中,序参数分为守恒与非守恒两种.序参数守恒和不守恒采用不同的演化方程.Cahn-Hilliard模型和Allen-Cahn模型,分别对应序参数守恒和序参数不守恒的情况,这两个模型都描述的是中尺度的微观结构现象,都被广泛用于描述原子扩散主导相变的相分离[48].2.3新的相场模型本节主要介绍两个新的相场模型:Alber-Zhu序参数不守恒模型和Alber-Zhu序参数守恒模型.这两个模型是Alber教授和朱佩成教授,在Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型的基础上,在第三个方程中加了一个梯度项,构建的由构型力驱动的新相场模型.本节符号沿用上节定义.2.3.1Alber-Zhu序参数不守恒模型Alber-Zhu序参数不守恒模型如下−div x T(t,x)=b(t,x),(2.3.1)T(t,x)=D (︀ε(∇xu)−¯εS)︀(t,x),(2.3.2)S t(t,x)=−c (︀ψS−ν∆x S)︀|∇x S|(t,x),(2.3.3)模型初值和Neumann边界条件如下u(t,x)=0,(t,x)∈[0,t]×∂Ω,(2.3.4)∂∂nS(t,x)=0,(t,x)∈[0,t]×∂Ω,(2.3.5)S(0,x)=S0(x),x∈Ω.(2.3.6)在这个模型中,n代表单位外法向量,体积力b:[0,∞)×Ω→R3,弹性张量D:S3→S3是线性,对称,正定的.应变张量ε(∇x u)定义如下ε(∇x u)=12(∇x u+(∇x u)T),(2.3.7)这里∇x u和(∇x u)T分别表示u的一阶导数3×3矩阵和矩阵的转置.¯ε∈S3是一个给定的矩阵,称为错配应变.自由能ψ(ε,S)的定义如下ψ(ε,S)=12(︀D(ε−¯εS))︀·(ε−¯εS)+ˆψ(S),(2.3.8)这里ˆψ∈C 2(R ,[0,∞))是双势阱函数,这个函数在S =0和S =1取得两个极小值,并且在这两个极小值中间有一个极大值(可以参看图4).图4两个极小值一个极大值的双势阱函数示意图.在本论文中,我们选择的双势阱函数的形式是ˆψ=S 2(S −1)2.两个矩阵的标量积用A ·B =∑︀a i jb i j 来表示.那么ψ对S 的偏导数如下ψS =−T ·¯ε+ˆψ′(S ),其中初值由S 0:Ω→R 给定.为了构建相场模型,选择的总自由能ψ*是ψ*(ε,S ,∇S )=ψ(ε,S )+ν2|∇S |2,(2.3.9)选择的流函数是q (u t ,T ,∇S ,S t )=T ·u t +νS t ∇S .(2.3.10)通过直接计算,可以发现,如果方程(2.3.1)–(2.3.3)成立,那么Clausius-Duhem 不等式成立d dtψ*−div x q −b ·u t ≤0.(2.3.11)因此我们断言,该模型满足热力学第二定律.Alber-Zhu 序参数不守恒模型是一个椭圆-抛物耦合方程组.前两个方程与线性弹性方程组的差别只有¯εS ,第三个方程是二阶非均匀抛物型退化方程,如果没有梯度项|∇x S |,那这个方程就是Allen-Cahn 方程.因为∫︀ΩS (t ,x )dx 随t 的变化而变化,所以序参数是不守恒的.2.3.2Alber-Zhu 序参数守恒模型Alber-Zhu 序参数守恒模型如下−div x T (t ,x )=b (t ,x ),(2.3.12)T (t ,x )=D (︀ε(∇x u )−¯εS )︀(t ,x ),(2.3.13)S t (t ,x )=div x (∇x (ψS −ν∆x S ))|∇x S |(t ,x ),(2.3.14)初边值条件为u (t ,x )=0,(t ,x )∈[0,t ]×∂Ω,(2.3.15)∂∂nS (t ,x )=0,(t ,x )∈[0,t ]×∂Ω,(2.3.16)∂∂n(ψS (ε,S )−ν∆x S )|∇x S |(t ,x )=0,(t ,x )∈[0,t ]×∂Ω,(2.3.17)S (0,x )=S 0(x ),x ∈Ω.(2.3.18)方程(2.3.14)与Cahn-Hilliard 方程相比,多了一个梯度项|∇x S |,引入符号J =∇x (ψS −ν∆x S )|∇x S (t ,x )|,则这个演化方程能写成守恒形式:S t =div x J .Alber-Zhu 序参数守恒模型是一个椭圆-抛物耦合方程组.前两个方程与线性弹性方程组的差别只有¯εS ,第三个方程关于S 是四阶的,非一致抛物的,关于项νdiv x (|∇x S |△x S )是退化的,如果没有梯度项,这个方程就是Cahn-Hilliard 模型.因为∫︀ΩS (t ,x )dx 不随t 的变化而变化,所以序参数是守恒的.第三章新相场模型粘性解的存在性本章主要研究Alber-Zhu序参数不守恒模型在一维情况下粘性解的存在性问题.我们推导了一系列的先验估计,利用局部解延拓法,证明了其在Neumann边界条件下粘性解存在.3.1一维的模型首先,我们给出一些符号的说明.假设所有函数都只依赖于变量x1和t,并且,为了简化我们用x来代替x1.我们定义Q te=(0,t e)×Ω,其中t e是一个正常数,集合Ω=(a,d)是一个有界开区间,满足a<d.这里我们仍然假设物质点可以向三个方向运动,因此可得函数u(t,x)∈R3,T(t,x)∈S3,S∈R.此外,我们用T1(t,x)来表示矩阵T(t,x)的第一列,并且定义ε(u x)=12((u x,0,0)+(u x,0,0)T)∈S3,那么模型的一维情况就可以表示成如下形式:−T1x=b,(3.1.1)T=D(ε(u x)−¯εS),(3.1.2)S t=c(T·¯ε−ˆψ′(S)+νS xx)|S x|,(3.1.3)其中模型定义在区域Q te上,并且满足如下初边值条件u(t,x)=0,(t,x)∈(0,t e)×∂Ω,(3.1.4)S x(t,x)=0,(t,x)∈(0,t e)×∂Ω,(3.1.5)S(0,x)=S0(x),x∈Ω.(3.1.6)下面,我们将给出该初边值问题的弱解定义和主要结论.3.2模型弱解定义3.2.1弱解的定义为了定义研究问题(3.1.1)–(3.1.6)的弱解,我们首先引入一个Hamiltonian函数.定义3.1我们定义依赖于未知函数T的Hamiltonian函数H T为H T(t,x,p,q,r)=c(T(t,x)·¯ε−ˆψ′(p)+νr)|q|,(3.2.1)其中(t,x)∈Q te,p,q,r∈R,所以(t,x,p,q,r)∈R5.我们也定义了如下边界算子,B(t,a,q)=−q,B(t,d,q)=q,(3.2.2)当x=a,d时.这里我们不难发现,如果T是定义在(t,x)上的连续函数,并且ˆψ′关于S连续,那么函数H T在(t,x,p,q,r)上是连续的.定义3.2我们称函数(u,T,S)是问题(3.1.1)–(3.1.6)的弱解,并且满足u∈L∞(0,t e;H10(Ω)),(3.2.3)T∈L∞(0,t e;L2(Ω)),(3.2.4)S∈L∞(Q te )∩C(¯Q te),(3.2.5)如果(I)对任意的t∈[0,t e],方程(3.1.1),(3.1.2)及其边界条件(3.1.4)在弱意义下满足. (II)称S∈C(¯Q te)是方程(3.1.3)的粘性解,如果S满足条件(i)和(ii):(i)S是方程(3.1.3)的下粘性解.即对任意的测试函数φ(t,x)属于C1,2(¯Q te),如果S−φ在(t,x)取局部极大值,则φt(t,x)≤H T(t,x,S(t,x),φx(t,x),φxx(t,x)),(3.2.6)并且当(t,x)∈[0,t e]×∂Ω时,有B(t,x,φx)∧(φt(t,x)−H T(t,x,S,φx,φxx))≤0,且有S(0,x)≤S0(x),这里a∧b=min{a,b}并且a∨b=max{a,b}.(ii)S是方程(3.1.3)的上粘性解.即对任意的测试函数φ(t,x)属于C1,2(¯Q te),如果S−φ在(t,x)取局部极小值,则φt(t,x)≥H T(t,x,S(t,x),φx(t,x),φxx(t,x)),(3.2.7)并且当(t,x)∈[0,t e]×∂Ω时,有B(t,x,φx)∨(φt(t,x)−H T(t,x,S,φx,φxx))≥0,且满足S(0,x)≥S0(x).定义3.2中,包含了两类不同概念的弱解.对于模型前两个方程(3.1.1)–(3.1.2),我们用了通常的弱解概念来定义,即利用测试函数和分部积分的方法定义.对于第三个方程(3.1.3),我们用了粘性解的概念定义.粘性解是由Crandall和Lions两位教授在1983年首先提出的,具体可以参照文献[35].这种混合的弱解定义方式最早是由朱佩成教授在[47]中引入的,用来解决该模型在高维情况下弱解的定义问题.因为方程(3.1.3)的主部ν∆S|∇S|在多维情况下不能表示成散度形式,因此利用分部积分的技巧来定义弱解的方式行不通,所以我们就用粘性解的概念取代普通弱解的定义.但是,在粘性解中起到关键作用的极大值原理不能运用于整个系统中,所以对于方程(3.1.1)–(3.1.2),我们仍然用一般弱解的概念.在这篇文章中,我们利用这种混合弱解的概念来定义该模型在一维情况下的弱解.3.2.2主要定理定理3.1假设对任意的正常数t e,b和b t∈C([0,t e];L2(Ω)),并且S0∈H1(Ω),则在定义3.2的意义下,方程(3.1.1)–(3.1.6)存在弱解(u,T,S),并且解满足:u∈L∞(0,t e;H2(Ω)),(3.2.8)T∈L∞(0,t e;H1(Ω)),(3.2.9)).(3.2.10)S∈L∞(0,t e;H1(Ω))∩C(¯Q te3.3近似问题解的存在性我们知道原问题中(3.1.1)是一个退化的非一致抛物方程,所以难以直接从原方程组入手来解决问题.为了证明问题(3.1.1)–(3.1.6)弱解的存在性,在本小节中,我们首先构造了一个近似的初边值问题,并且将证明这个近似问题弱解存在.3.3.1近似问题的构造假设0<κ≤1是一个给定的常数,并且定义|S x|κ如下:|S x|κ=√︀|S x|2+κ2.(3.3.1)于是得到一个非退化的近似问题−T1x=b,(3.3.2)T=D(ε(u x)−¯εS),(3.3.3)S t=c(−ˆψ′(S)+νS xx)|S x|κ+cT·¯ε(|S x|κ−κ),(3.3.4)初边值条件如下u(t,x)=0,(t,x)∈(0,t e)×∂Ω,(3.3.5)S x(t,x)=0,(t,x)∈(0,t e)×∂Ω,(3.3.6)S(0,x)=S0(x),x∈Ω.(3.3.7)从方程(3.3.4)中容易发现,其主部系数恒大于0,因此它是一个非退化的二阶抛物方程.此外,当κ→0时,方程(3.3.4)逼近于原方程(3.1.3).接下来,我们将证明这个近似的初边值问题弱解存在.3.3.2弱解的存在性定理3.2假设b和b t∈L2(Q te),并且S0∈H1(Ω),那么方程(3.3.2)–(3.3.7)存在弱解(u,T,S),满足S t∈L4/3(Q te),并且有‖u‖L∞(0,te;H2(Ω))+‖T‖L∞(0,t e;H1(Ω))≤C,(3.3.8)‖S‖L∞(0,te ;H1(Ω))≤C,(3.3.9)‖S‖L2(0,te ;H2(Ω))≤C.(3.3.10)虽然方程组(3.3.2)–(3.3.7)是非退化的,但它仍然是一个耦合的系统,我们无法利用已有的结论和定理来证明其解的存在性.因此,在证明的过程中,我们首先需要对方程组解耦.定理3.2的证明基于局部解延拓法,步骤如下:首先,用一个给定的函数ˆS取代第二个方程的S,并且进行磨光,因此我们得到解耦的系统:−ˆT1x=b,(3.3.11)ˆT=D(ε(ux)−¯ε̃︀ˆS),(3.3.12)S t=c(−ˆψ′(S)+νS xx)|S x|κ+cˆT·¯ε(|S x|κ−κ),(3.3.13)这里̃︀ˆS=(χη*ˆS)=∫︁Q t eχη(t−τ,x−y)ˆS(y)d(τ,y),(3.3.14)其中χη∈C∞(R,[0,∞))是标准的磨光算子.我们很容易发现方程(3.3.11)和方程(3.3.12)是一个线性椭圆方程组,所以如果b是光滑的,那么(3.3.11),(3.3.12), (3.3.5)就存在唯一经典解(u,T),此外根据椭圆方程的标准正则性理论,对所有0≤t≤t e可得‖u(t)‖H2(Ω)+‖T(t)‖H1(Ω)≤C‖b(t)‖+C‖S(t)‖H1(Ω).(3.3.15)然后,我们将这个解T带入方程(3.3.13),便可以得到问题(3.3.13),(3.3.6),(3.3.7)的经典解.之后,再推导当t足够小时,与ˆS无关的一致先验估计,并且运用标准的近似过程,我们就能得到问题(3.3.2)–(3.3.7)的局部弱解.最后,借助t的一致先验估计,不难把得到的局部解延拓到整体.这就是定理3.2的几个关键的步骤.详细地证明过程我们列在这节的最后.定理3.3假设b和b t∈C(¯Q te),初值S0∈C2+α(¯Ω)并且满足S0|∂Ω=S0,x|∂Ω=S0,xx|∂Ω= 0.则对任意的给定值κ>0,以及任意给定的函数ˆS,问题(3.3.11)–(3.3.13),(3.3.5)–(3.3.7)存在一个唯一的经典解S∈C1+α/2,2+α(¯Q te),(3.3.16)并且有S tx∈L2(Q te).(3.3.17)证明方程(3.3.11)–(3.3.13)是解耦的.因为在(3.3.11)中̃︀ˆS是一个给定的光滑函数,并且b也是光滑的,所以(3.3.11)–(3.3.12)构成一个线性椭圆方程组,且该方程组有唯一的经典解(ˆu,ˆT).将ˆT带人方程(3.3.13),我们便得到一个解耦的抛物型方程.因此,我们只需要证明方程(3.3.13)在给定的初边值条件下存在经典解.根据文献[34]第564页中一个抛物方程解的定理,我们得到对于问题(3.3.13),(3.3.6),(3.3.7)存在唯一经典解S ∈C 1+α/2,2+α(¯Qt e ),定理3.3的证明由此完成.接下来,我们假设S 是由定理3.3给出的解,并且存在一个常数M ,使得对几乎处处的t ∈[0,t e ],有‖ˆS(t )‖H 1(Ω)≤M .(3.3.18)引理3.1假设S 0∈H 1(Ω),b,b t ∈L 2(Q t e )并且t 0是一个足够小的数.则存在依赖于t 0的常数C t 0(<M ),使得对任意的ˆS∈L ∞(0,t 0;H 1(Ω)),以及对任意的t ∈[0,t 0],有‖S ‖L ∞(0,t 0;H 1(Ω))≤C t 0,(3.3.19)‖S ‖L 2(0,t 0;H 2(Ω))≤C t 0,(3.3.20)‖u ‖L ∞(0,t 0;H 2(Ω))+‖T ‖L ∞(0,t 0;H 1(Ω))≤C t 0.(3.3.21)证明我们定义一个自由能函数F [S ]=ˆψ(S )+12ν|S x |2.从方程(3.3.13)和边界条件(3.3.6)出发,我们有ddt ∫︁ΩF [S ]dx =∫︁Ωˆψ′(S )S t +νS x S xt dx =∫︁Ω(ˆψ′(S )−νS xx )S t dx =∫︁Ωc (ˆψ′(S )−νS xx )((−ˆψ′(S )+νS xx )|S x |κ+ˆT ·¯ε(|S x |κ−κ))dx≤−c ∫︁Ω|ˆψ′(S )−νS xx |2|S x |κdx +c ∫︁Ω|ˆψ′(S )−νS xx ||ˆT ·¯ε||S x |κdx ,(3.3.22)因此ddt ∫︁ΩF [S ]dx +c ∫︁Ω|ˆψ′(S )−νS xx |2|S x |κdx ≤c ∫︁Ω(|ˆψ′(S )−νS xx ||S x |12κ)|ˆT ||S x |12κdx ≤c 2∫︁Ω|ˆψ′(S )−νS xx |2|S x |κdx +C ∫︁Ω|S x |κ|ˆT |2dx .(3.3.23)对于估计(3.3.23)的最后一项,我们利用Young 不等式和方程(3.3.15)可得∫︁Ω|S x |κ|ˆT |2dx ≤C ∫︁Ω(|S x |2+1)dx +C ∫︁Ω|ˆT|4dx≤C∫︁Ω|S x|2dx+C‖ˆT‖4H1(Ω)+C≤C∫︁ΩF[S](t)dx+C‖ˆS‖4H1(Ω)+C.(3.3.24)将(3.3.24)带入(3.3.23),然后再对t进行分部积分得∫︁ΩF[S](t)dx+c∫︁Q t|ˆψ′(S)−νS xx|2|S x|κdxdt≤∫︁ΩF[S](0)dx+C∫︁Q tF[S](t)dxdt+C∫︁t‖ˆS‖4H1(Ω)dt+C≤∫︁ΩF[S](0)dx+C∫︁Q tF[S](t)dxdt+M4t+C.(3.3.25)因为S0∈H1(Ω),所以得|∫︁ΩF[S](0)dx|≤C.(3.3.26)然后我们应用Gronwall不等式,并且选择充分小的t=t0,得∫︁ΩF[S](t)dx=∫︁Ω(ˆψ(S)+12ν|S x|2)dx≤C t,(3.3.27)因此‖S‖L∞(0,t0;H1(Ω))≤C t,(3.3.28)并且有∫︁Q t0|ˆψ′(S)−νS xx|2|S x|κdxdt≤C t.(3.3.29)由于|p|κ≥κ,所以∫︁Q t0κ|ˆψ′(S)−νS xx|2dxdt≤C t.(3.3.30)我们由不等式(a+b)2≤2(a2+b2)和估计(3.3.28)可得C∫︁Q t0|S xx|2dxdt≤C∫︁Q t|ˆψ′(S)−νS xx|2dxdt+∫︁Q t|ˆψ′(S)|2dxdt≤C t.(3.3.31)最后为了证明(3.3.21),我们注意到条件b,b t∈L2(Q te),因此对任意的t∈[0,t e]都有‖b(t)‖≤C,加上估计(3.3.15),(3.3.28)可得‖u(t)‖H2(Ω)+‖T(t)‖H1(Ω)≤C‖b(t)‖+C‖S(t)‖H1(Ω)≤C t0,(3.3.32)对任意的0≤t≤t0都成立.引理证毕.引理3.2假设引理3.1中所有的条件都满足.则存在一个依赖于小常数t0的数C t,使得对任意的ˆS∈L∞(0,t0;H1(Ω)),以及对任意的t∈[0,t0],有∫︁t0 0∫︁Ω|S t|43dxdt≤C t.(3.3.33)这个引理的证明与3.3.3的引理3.3的证明相似,我们这里省去证明.我们现在开始证明定理3.2,除了应用引理3.1和引理3.2,还要用到前面提到的Aubin-Lions引理.定理3.2的证明我们首先需要构建一组关于(3.3.2)–(3.3.7)的近似解序列.如果在(3.3.12)中用已知函数S n−1代替ˆS,我们能得到(3.3.11)和(3.3.12)的解(u n−1,T n−1).然后将已知解T n−1带入到(3.3.13),便得一个新的迭代解S n,S n t=c(T n−1·¯ε−ˆψ′(S n)+νS n xx)|S n x|κ−cκ(T n−1·¯ε).(3.3.34)在(3.3.14)中,我们让η=1/n,并且选择一函数列(b n,S n0)∈C(¯Q te)×C2+α(¯Ω),使得当n→∞时‖b n−b‖L2(Qt e)+‖S n0−S0‖H1(Ω)→0,(3.3.35)通过引理3.1和引理3.2,我们知道,如果t0充分小,那么存在一个不依赖n的常数C t,使得对任意的t∈[0,t0]都有‖S n‖L∞(0,t;H1(Ω))+‖u n‖L∞(0,t0;H2(Ω))+‖T n‖L∞(0,t0;H1(Ω))≤C t0,(3.3.36)‖S n‖L2(0,t;H2(Ω))+‖S n t‖L4/3(Q t0)≤C t0.(3.3.37)应用紧性定理,可得T n T,weakly in L∞(0,t0;H1(Ω)),(3.3.38)u n u,weakly in L∞(0,t0;H2(Ω)),(3.3.39)S n t S t,weakly in L4/3(Q t),(3.3.40) S n S,weakly in L∞(0,t0;H1(Ω))∩L2(0,t0;H2(Ω)).(3.3.41)此外,调用Aubin-Lions引理,这里我们选择B0=H2(Ω),B=C1+α(¯Ω),B1=L4/3(Ω)(3.3.42)并且0<α<12,p0=2,p1=43.(3.3.43)由此说明,存在一个子序列,我们仍然用S n表示,使得当n→∞时,‖S n−S‖L2(0,t0;C1+α(¯Ω))→0.(3.3.44)为了证明定理3.1,我们需要推导以下结论:̃︁S n→S,strongly in L2(Q t),(3.3.45)T n−1·¯ε|S n x|κ T·¯ε|S x|κ,weakly in L1(Q t),(3.3.46)S n xx|S n x|κ S xx|S n x|κ,weakly in L1(Q t),(3.3.47)ˆψ′(S n)|S nx |κ→ˆψ(S)|S x|κ,strongly in L1(Q t).(3.3.48)对于(3.3.45),我们应用(3.3.44)和(3.3.14)的卷积算子,当n→∞,η=1/n→0时‖̃︁S n−S‖L2(Q t0)≤‖̃︁S n−̃︀S‖L2(Q t)+‖̃︀S−S‖L2(Q t)≤‖S n−S‖L2(Qt0)+‖̃︀S−S‖L2(Q t)→0.(3.3.49)由(3.3.1)中|S x|κ的定义,可得||S nx |κ−|S x|κ|=|S nx|2−|S x|2√︀|S n x|2+κ+√︀|S x|2+κ≤|S nx−S x|,(3.3.50)这意味着‖|S nx |κ−|S x|κ‖L2(Qt0)→0.(3.3.51)(3.3.51)分别结合(3.3.38)和(3.3.41)可得到(3.3.46)和(3.3.47).此外由(3.3.48)可得‖ˆψ′(S n)−ˆψ′(S)‖L2(Qt0)≤‖ˆψ′′(ξ)(S n−S)‖L2(Qt0)≤C‖S n−S‖L2(Qt0)→0,(3.3.52)这里ξ位于S n和S之间,且因为S n,S的估计,ˆψ′′(ξ)在Q t上关于n一致有界.因此可由(3.3.51),(3.3.52)得到(3.3.48).最后,我们将在3.3.3推导关于t的一致先验估计,于是便可将t0延拓到任意的t e.因此我们说(u,T,S)是(3.3.2)–(3.3.7)的弱解.定理证毕.。

一类带扰动的弹性梁方程正解的存在唯一性鞠梦兰;王文霞;郝彩云【摘要】应用算子的不动点定理研究一类带扰动的弹性梁方程,获得了此类弹性梁方程边值问题正解的存在唯一性,并讨论了解对参数的连续依赖性.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(036)006【总页数】5页(P5-9)【关键词】弹性梁方程;正解;扰动;存在性唯一性;不动点定理【作者】鞠梦兰;王文霞;郝彩云【作者单位】太原师范学院数学系,山西晋中030600;太原师范学院数学系,山西晋中030600;太原师范学院数学系,山西晋中030600【正文语种】中文【中图分类】O177.91考虑如下带扰动的弹性梁方程边值问题其中：λ∈（0，+∞）为参数；g为扰动项，g∈C（[0，1]，R+）；f∈C（[0，1]×R+，R+），R+=[0，+∞）.称u（t）为问题（1）的正解，若u（t）＞0，0＜t＜1，且满足方程（1）及其边界条件.由于弹性梁方程的实际背景及其广泛的应用性，近年来对四阶边值问题的研究非常活跃，同时取得了大量的成果.对于梁方程正解的存在性问题，主要研究方法有上下解法[1]、压缩映射原理与单调迭代法[2]、Guo-Krasnosel′skii锥拉伸压缩不动点定理[3]、不动点指数法[4]、Leggett-Williams不动点定理[5]和Krein-Rutman定理[6].而关于带扰动的边值问题的研究尚不多见.文献[7]通过考察算子方程x=Ax+λBx，讨论了一类带扰动的两端简单支撑的弹性梁方程正解的存在性.文献[8]利用广义凹算子的不动点定理讨论了一类带扰动的三阶两点边值问题正解的存在性，但并未对解的相关性质进行讨论.从现有文献来看，关于正解存在唯一性的研究较少.本研究利用算子的不动点定理得到了方程（1）正解的存在唯一性，并讨论了解对参数的连续依赖性.设E为一个实Banach空间，θ为E中的零元素.定义1[9]非空闭凸集P⊂E，称为E中的一个锥，若它满足进一步，若存在常数N＞0，使得∀x、y∈E，若θ≤x≤y，有‖x‖≤N‖y‖，则称P为正规锥，N称为P的正规常数.由锥P可以在E中诱导半序如下：对x、y∈E，x≤y当且仅当y-x∈P.若x≤y且x≠y，则记为x＜y.定义2[10]设P是E中的锥，D⊂E，算子T：D→E称为递增的，若∀x、y∈D，当x≤y时，有Tx≤Ty.定义3[10]称x*为算子T的不动点，若Tx*=x*.给定e＞θ，即e≥θ，且e≠θ，记={x∈E：存在与x有关的μ=μ（x），Pe={x∈E：存在与x有关的μ1（x）、μ2（x），易知Pe⊂P.定义4[11]称算子T：P→P为广义α-凹算子，若T满足（1）T（Pe）⊂Pe；（2）∀x∈Pe，∀r∈（0，1），存在α∈（0，1），使得T（rx）≥rαTx.引理1[10，12-13] 设 P是 E中的正规锥，算子 T：P→P为递增的广义α-凹算子，则有（1）T在Pe中存在唯一不动点x*；（2）∀u0∈Pe，令un=Tun-1，n=1，2，…，则引理2[14]设P是E中的正规锥，x0∈Pe.算子T：为递增的，且∀x∈Pe，∀r∈（0，1），T（rx）≥rTx成立，则有（1）存在λ*＞0，使得∀λ∈[0，λ*），算子方程x= x0+λTx在Pe中有唯一解xλ，且∀u0∈Pe，令un=x0+ λTun-1，n=1，2，…，则（2）当λ∈[λ*，+∞）时，算子方程x=x0+λTx在Pe中没有解；（3）xλ关于λ是递增的，λ∈[0，λ*）；（4）对λ∈[0，λ*），xλ关于λ是连续的，且（5）当x≥x0时，Tx∈，且T是全连续的，则设E=C[0，1]，u∈C[0，1]的范数定义为‖u‖=.令P={u∈C[0，1]：u（t）≥0，t∈[0，1]}，则P为E的正规锥，正规常数为N=1.记引理3[15]设y∈C[0，1]，则边值问题有唯一的解其中引理4 任取t0∈（0，1]，则有证明先证明G（t，s）≤t2，t、s∈（0，1].当0≤t≤s≤1时，易见G（t，s）≤t2；当0≤s≤ t≤1时，有G（t，s）再证明t2G（t0，s）≤G（t，s），即要证≥t2.分以下6种情况进行讨论.（1）0＜t≤t0≤s≤1；（2）0＜t≤s≤t0≤1；（3）0＜t0≤t≤s≤1；（4）0＜s≤t≤t0≤1；（5）0＜t0≤s≤t≤1；（6）0＜s≤t0≤t≤1.其中情况（1）～（4）的证明方法同文献[15]一致，只需将j（s）换成这里的t0即可.下面只需证明情况（5）和情况（6）.（5）当0＜t0≤s≤t≤1时，有（6）当0＜s≤t0≤t≤1时，有本研究对方程（1）做如下假设.（H1）固定t∈[0，1]，f（t，u）关于u∈[0，+∞）是递增的；取，t∈[0，1]，如式（2）定义，Pe如式（3）定义.定理1 设（H1）与（H2）成立，g（t）＞0，t∈[0，1]，则∀λ∈（0，+∞），方程（1）在Pe中存在唯一正解uλ（t），且解uλ（t）满足（1）∀u0∈Pe，令（2）对λ∈（0，+∞），uλ关于λ是递增的，且uλ≥x0；（3）对每个λ∈（0，+∞），uλ关于λ是连续的；（4）其中证明（1）由引理3知方程（1）的解满足积分方程其中：G（t，s）如式（4）定义，x0（t）如式（5）定义.对任意u∈P，定义T 和Tλ由G（t，s）≥0，g（t）＞0，t、s∈[0，1]，可得x0∈P.再由f（t，u）≥0，有（Tu）（t）≥0，t∈[0，1].于是T：P→P，且由（H1）可知T是单调递增的，从而Tλ：P→P，且Tλ也是递增的.下证Tλ是广义α-凹算子.先证明Tλ：Pe→Pe.一方面，∀u∈Pe，有另一方面，由（H2），∀t∈（0，1），以及∀u∈Pe与r∈（0，1），有从而Tλ是一个广义α-凹算子，由引理1知Tλ在Pe中存在唯一正解uλ（t），且结论（1）成立.（2）任取λ1、λ2∈（0，+∞），且λ1≤λ2，则由由Tλ1的全连续性易知{xn}和{zn}分别一致收敛于x*和z*，且它们分别是Tλ1的最小不动点和最大不动点，从而有下证Tλ1在[x0，uλ2]上有唯一不动点.令则有由式（8）～式（11）有即断言ε=1.若不然，当n≥1时，有0＜εn≤ε≤1，由Tλ1的α-凹性有由式（10）有εn+1≥εαn，进而ε≥εα，这就产生了矛盾，故ε=1.由式（9）和式（11）有于是有x*=z*=uλ1是Tλ1在[x0，uλ2]中的唯一不动点，即uλ1≤uλ2.（3）∀λ0∈（0，+∞），为证明取序列{λn}，使得由结论（2）有从而{uλn}在P中是有界的，即存在常数M＞0，使得‖uλn‖≤M，n=1，2，….另外，由可知在P中为等度连续的子集，再由Arzela-Ascoli定理，可知在P中为相对紧集，故存在子序列，一致收敛于u*∈P.由式（12）知u*∈[uλ1，uλ0]，即u*∈Pe.注意到，两边同时取极限有u*= x0+λ0Tu*=Tλ0u*.因Tλ0在Pe中有唯一不动点，故u*= uλ0，即λ→λ0-时，有‖uλ-uλ0‖→0.同理可证，∀λ0∈（0，+∞），当λ→λ0+时，有‖uλuλ0‖→0，即结论（3）成立.（4）显然由结论（3）有，下证.由uλ=x0+λTuλ≥λTx0，可得‖uλ‖≥λ‖Tx0‖，即类似于定理1的证明可得定理2.定理2 设（H1）与（H2）成立，f（t，0）＞0，t∈[0，1]，则∀λ∈（0，+∞），方程（1）有唯一正解uλ（t）∈Pe，且解uλ（t）满足（1）∀u0∈Pe，令则有（2）对λ∈（0，+∞），uλ关于λ是递增的，且uλ≥x0；（3）对任意λ∈（0，+∞），uλ关于λ是连续的；（4）其中x0（t）如式（5）定义.定理3 设（H1）与（H3）成立，g（t）＞0，t∈[0，1]，则存在λ*＞0，使得∀λ∈（0，λ*），方程（1）有唯一正解uλ（t）∈Pe，对于λ∈[λ*，+∞），方程（1）无正解.解uλ（t）满足（1）∀u0∈Pe，令则un（t）一致收敛于uλ（t）；（2）uλ关于λ是递增的，λ∈（0，λ*）；（3）uλ关于λ是连续的，λ∈（0，λ*）；（4）其中x0（t）如式（5）定义.证明由引理3知方程（1）的解满足其中：G（t，s）如式（4）定义，x0（t）如式（5）定义.∀u∈P，算子T为从而易知uλ为方程（1）的解等价于uλ为算子方程x= x0+λT的解.同定理1类似，可知x0（t）∈P，T：P→P为增算子.下证x0（t）∈Pe.即x0（t）∈Pe.下面证明T：Pe→.∀u∈Pe，由T的定义知Tu（t）≥0，且由（H3）知，∀t∈（0，1），∀u∈Pe及r∈（0，1），有于是由引理2知定理结论成立.在边值问题（1）中，令f（t，u）= ，g（t）=et.可以验证f满足定理1的条件，且g（t）＞0，t∈[0，1]，则∀λ∈（0，+∞），该边值问题在Pe中存在唯一的正解uλ（t），其中e（t）=t2，t∈[0，1]，且uλ（t）满足定理1的结论（1）～（4）.【相关文献】[1] BAI Z B.The upper and lower solution method for some fourth-order boundary value problems[J].Nonlinear Analysis，2007，67：1704-1709.[2]PEI M H，SUNG K C.Monotone iterative technique and symmetric positive solutions fora fourth-order boundary value problem[J].Mathematical and Computer Modeling，2010，51：1260-1267.[3]WANG Q，GUO Y P，JI Y D.Positive solutions for fourth-order nonlinear differential equation with intergral boundary conditions[J].Discrete Dynamics in Nature and Society，2013，ID 684962，10 pages.[4] 陆海霞，孙经先.一类四阶非线性微分方程两点边值问题的正解[J].数学的实践与认识，2014，44（8）：229-235. LU H X，SUN J X.Positive solution of two-point boundary value problems for fourth-order nonlinear differential equation[J].Mathematics in Practice and Theory，2014，44（8）：229-235（in Chinese）.[5] YANG Y R.Triple positive solutions of a class of fourth-order two-point boundary value problems[J].Applied Mathematics Letters，2010，23：366-370.[6] MA R Y，XU L.Existence of positive solutions of a nonlinear fourthorder boundary value problem[J].Applied Mathematics Letters，2010，23：537-543.[7] WANG W X，LIU X L.Positive solutions of operator equations and nonlinear beam equations with a perturbed loading force[J].Wseas Transactions on Mathematics，2012，11（3）：252-261.[8]杨晨，翟成波.带扰动和参数的三阶边值正解的存在唯一性[J].应用泛函分析学报，2013，15（3）：272-275. YANG C，ZHAI C B.Existence-uniqueness of positive solutions for perturbed third-order boundary values with a parameter[J].Acta Analysis FunctionalisApplicata，2013，15（3）：272-275（in Chinese）.[9]郭大均.非线性泛函分析[M].第二版.济南：山东科学技术出版社，2001. GUO D J.Nonlinear Functional Analysis[M].2nd ed.Jinan：Shandong Science and Technology Press，2001（in Chinese）.[10]王文霞，梁展东.一类非线性算子的不动点定理及其应用[J].数学学报，2005，48（4）：789-800. WANG W X，LIANG Z D.Fixed point theorems for a class of nonlinear operators and their applications[J].Acta Mathematica Sinica，2005，48（4）：789-800（in Chinese）. [11]ZHAI C B，ANDERSON D R.A sum operator equation and applications tononlinearelasticbeamequationsandLane-Emden-Fowlerequations[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，375（2）：388-400.[12]ZHAO Z Q，DU X S.Fixed points of generalized e-concave（generalized e-convex）operators and their applications[J].Math Anal Appl，2007，334：1426-1438.[13]ZHAI C B，YANG C，GUO C M.Positive solutions of operator equations on ordered Banach spaces applications[J].Comput Math Appl，2008，56：3150-3156.[14]WANG W X，LIU X L，SHI P P.Nonlinear sum operator equations with a parameterand application to second-order three-point BVPs[J]. Abstract and Applied Analysis，2014，ID259016，9pages.[15]鞠梦兰，王文霞，郝彩云.一类四阶两点边值问题正解的存在性[J].成都大学学报：自然科学版，2016，35（1）：37-40. JU M L，WANG W X，HAO C Y.Existence of positive solution to fourth-order two-point boundary value problem[J].Journal of Chengdu University：Natural Science，2016，35（1）：37-40（in Chinese）.。