一类二阶非线性振动方程的同伦摄动近似解

二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。

这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。

因此，我们需要求取它的数值解。

求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。

以下我们分别介绍这些方法。

1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。

它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。

常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。

通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。

2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。

它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。

通过求解方程组，可以得到方程的数值解。

有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。

3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。

例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。

神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。

这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。

总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。

具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。

我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。

一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法王斌【摘要】应用何氏频率-振幅公式对一类具有二次和三次项的非线性振子方程获得了一个周期解,该方法简单,通过直接计算和计算机数值模拟表明获得的非线性振子方程的周期解是有效的.【期刊名称】《兴义民族师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】3页(P118-120)【关键词】何氏频率-振幅公式;二次和三次项;非线性;数值模拟;周期解【作者】王斌【作者单位】兴义民族师范学院, 贵州兴义 562400【正文语种】中文【中图分类】O175.12近年来，随着非线性科学的发展，各种方法已被广泛地应用于处理非线性问题。

如变分方法（Variational Method）[1-4]，参数展开法（Parameter Expansion Method）[5，6], 同伦摄动法(Homotopy Perturbation Method）[7-10]，指数函数法（Exp-function Method）[11-12]，能量平衡法（Energy Balance Method），以及 L-P法(Lindstedt-Poincare)，谐波平衡法（Harmonic Balance），平均法（The Method of Averaging），多尺度法（Multiple Scales），渐进法（KBM）等。

用这些方法处理各种非线性问题，各有其特点，但通常都比较复杂。

在本文中，针对一类具有二次和三次项的非线性振子方程（1），通过应用何氏频率-振幅公式，给出了一种简单，直接，高精度的近似解法，并通过计算机数值模拟，验证了这种解法的有效性。

其中，b为常数，且0≤＜＜b，＜＜A若取 =0，则方程（1）演变为Duffing方程（2），在相关文献[19]中已有一些讨论和相应的结果。

根据何氏频率-振幅公式，我们使用两个试函数u1（t）=Acost和u2（t）=Acosωt，它们分别是下面两个振子方程的解：其中ω为振子方程（1）的频率.将u1（t）和u2（t）分别代入方程（1），整理得到如下残量由文献[20,21]得何氏频率-振幅公式其中t1和t2是局部点，通常取t1=T1/12，t2=T2/12，其中T1和T2分别是试函数u1（t）=Acost和u2（t）=A-cosωt的周期，即由（3）（4）（5）（6）得因此，可得系统(1)的近似周期解为了描述所得结果的精度，我们给出下面的例子，取=0，则方程（1）变为由（7）得它的近似频率为，而它的准确频率为.因此，当b=1,A=0.5时，它的精度可达到0.0260.在MATLAB7.8.0环境中进行计算机数值模拟（以下图示中：虚线表精确值，实线表近似值）。

非线性振动方程的同伦摄动法求解
近年来，同伦摄动法已经成为一种有效的求解非线性振动方程的方法。

它具有收敛性高、速度快、容易实现的特点，可用来求解简单或复杂的振
动系统的解析解。

同伦摄动法的基本思想是，将非线性振动方程转化为一组常微分方程（ODE），使用迭代方法求解这组ODE，得到解析解。

首先，引入特征量，将原问题转化为一组ODE；其次，构造适当的迭代公式，通过迭代算法计
算特征量；最后，以特征量为基础求得解析解。

设有n个节点的同伦摄动法，其基本思想是将n个节点的非线性振动
方程，通过引入n个特征量，组成n个ODE，构造n个迭代公式，通过迭
代求解，求得节点振动方程的解析解。

对于节点振动方程，特征量可以是振动幅度或加速度，构造n个ODE 时，都以特征量为基础，求得n个ODE的解析解，便是求得节点振动方程
的解析解。

另外，同伦摄动法可以用来求解非线性振动方程的一般解，如求解常
微分方程的路径积分和求解复杂的非线性振动方程的解。

这种方法可以有
效地降低计算复杂度，大大简化计算过程。

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。

因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。

在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。

何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。

该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。

基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。

再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。

但是同伦摄动法也有许多不足之处：（1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛；（2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。

基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。

克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。

本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。

并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。

每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。

关键词：同伦摄动法（HPM）；改进的同伦摄动法（MHPM）；再生核方法（RKM）；非线性Volterra积分—微分方程；非线性二阶常微分方程；初值问题哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractThe initial value problem of nonlinear equations can be used to solve many problems from modern subjects.It is the hot topic concerned by many experts and scholars,since it has an important practical significance.In the development process of solving the initial value problems of nonlinear equation,many numerical methods proposed by experts and scholars,such as Runge-Kutta method,Linear multi-step method,Variational iteration method,Newton method,Euler method,Homotopy perturbation method and so on.Homotopy perturbation method was first proposed by J.H.He in1998,this method combines the traditional perturbation method with homotopy technique,overcoming the shortcoming of perturbation theory,deforming a difficult problem into simple solving ing this method,the series solution can quickly converge to the true solution.A few several terms of the series solution can be used for approximation to the exact solution.Based on the above advantages,this method has been applied to various fields.Reproducing kernel method is an analytical technique,using the initial conditions of the equation to construct a linear operator,then we can solve the simple linear operator equation instead of the original complex one.However,there are disadvantages of the homotopy perturbation method:(1)For strongly nonlinear problems,this method only local converges;(2)Since the compression operator is difficult to verify,there is no strict convergence proof.Based on the above two points,the traditional homotopy perturbation method is modified,which means the interval is divided.This new method overcomes the shortcoming of traditional homotopy perturbation method,strict convergence proof is also given.The purpose of this paper is to apply the modified homotopy perturbation method to nonlinear second-order Volterra integro-differential equations,combining Reproducing kernel method to solve strongly nonlinear second-order ordinary differential equations with initial value problem.The convergence proof of the new method is given.Numerical results of every chapter show that the modified homotopy perturbation method is a fast and simple method.Keywords:homotopy perturbation method(HPM)，modified homotopy perturbation method(MHPM)，reproducing kernel method(RKM)，nonlinearsecond-order V olterra integro-differential equations，strongly nonlinearsecond-order ordinary differential equation，initial value problem哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题来源及背景 (1)1.2常微分方程初值问题的研究现状 (3)1.3本文主要研究内容 (3)第2章用改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程及其收敛性分析 (5)2.1同伦摄动法的介绍 (5)2.2改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程 (6)2.3方程的收敛性证明 (7)2.4具体的计算过程 (13)2.5一些结论 (13)2.5.1N的选取 (13)2.5.2‘step’的选取 (13)2.5.3 的选取 (13)2.6数值算例 (14)2.7本章小结 (16)第3章同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题 (17)3.1引言 (17)3.2预备知识 (17)3.2.1同伦摄动法分析 (17)3.2.2再生核方法分析 (17)3.2.3方程的解 (18)3.3方程的解及其收敛性分析 (19)3.3.1改进的同伦摄动法求解方程 (19)3.3.2用再生核方法求解方程 (20)3.4方程的收敛性证明 (21)3.5数值算例 (25)3.6本章小结 (29)结论 (30)参考文献 (31)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (36)致谢 (37)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1课题来源及背景在当今的社会生活中，很多问题都与非线性问题相关。

一类二阶非线性微分方程的振动性与渐近性
戴毅;周兰
【期刊名称】《湖南人文科技学院学报》
【年(卷),期】2006(000)006
【摘要】主要研究了二阶非线性微分方程
(a(t)(x'(t))σ)'+p(x(t))x'(t)+q(t)f(x(g(t)))=0, t≥t0的振动性与渐进性,其中σ为一个偶数与奇数的正商,得到了方程振动与渐进的充分条件,所得结果推广了文献中的相应结论.
【总页数】3页(P14-15,33)
【作者】戴毅;周兰
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性 [J], 崔文艳;李同荣
2.一类二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性 [J], 张全信
3.一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 [J], 罗卫华;杜雪堂
4.一类二阶非线性泛函微分方程解的渐近性及振动性 [J], 邓立虎
5.一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 [J], 白玉真
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一类非线性摄动问题解的渐近性态及其精度分析范小笑;唐荣荣【摘要】在适当的条件下,应用摄动理论与渐近展开方法,讨论一类较广泛的非线性摄动问题y''+f(y'；t；ε)=0,y(t0)=A(ε),y'(t0)=B(ε).证明了其解的存在性并得出了解的渐近表达式,再将结果应用于原物理模型,得出的结论与相应参考文献中的结果是一致的.通过对渐近解进行精确度分析,说明采用的渐近展开法为解决相关类型的摄动问题提供了一种较为有效的方法.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2012(034)002【总页数】6页(P10-15)【关键词】摄动问题;渐近展开式;精确解【作者】范小笑;唐荣荣【作者单位】湖州师范学院理学院,浙江湖州313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州313000【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言非线性摄动问题在自然科学甚至社会科学的众多领域中都存在着大量丞待解决的模型.利用现代数学的各种方法探索非线性问题解的存在性，寻求解的高精度近似表达式，一直以来都是数学和应用数学工作者极为关注的研究课题.近几十年来，国内外许多数学工作者致力于该方向的研究，应用摄动展开法、多尺度法、平均化法、匹配渐近展开法、重正规法、WKB方法等解决了大量的非线性问题［1～10］.值得注意的是以各个领域中的模型为背景的非线性问题研究，由于借鉴了模型所涉及领域的研究方法和相关结论，因此较有效地推进了摄动理论的发展，修正了原有的研究方法，扩大了研究结果的应用领域.以模型为背景，Holmes M H［1］、Bobkova A S［2］等对多维摄动系统的研究获得了进展，莫嘉琪［6］、唐荣荣［7～9］、韩祥临［10］等对一些类型的非线性摄动问题的可解性条件以及解的渐近性态进行了较深入的探索.非线性摄动问题没有统一的求解模式和解的结构，当方程的结构或条件发生变更时，解的存在性、求解模式和解的结构往往都会有较大的变化.文献［4］中，在利用压差阻力、浮力，用落球法精确测定重力加速度时，给出了一类二阶非线性方程：其中文献［5］在考虑粘滞阻力的前提下，探讨了在空气中用落球法测定重力加速度问题，得出球体在空气中自由下落的方程为：其中，k2 ＝6πηR，p，q＞0，g＊，k1 同文献［4］.以上参数的物理意义详见文献［4］、［5］.考虑到当球体的半径大于0.01m时，0＜≪1，因此上述两个模型均可归类于非线性摄动方程：其中，0＜ε≪1，p，q为正常数.由于在空气中进行受力分析时经常需要考虑压差阻力与粘滞阻力，因此在物理模型中，经常需要求解与上述类型相关的方程.以下首先运用摄动理论讨论一类较文献［4］、［5］更广泛的非线性摄动初值问题，探讨其解的存在性以及解的渐近表达式.然后将结果应用于文献［4］、［5］中方程的求解并进行精度分析.1 解的存在性和形式解考虑如下一类非线性摄动初值问题：且满足初值条件：其中，0＜ε≪1.A（ε），B（ε）满足：A（ε）＝A0＋εA1＋ε2A2＋…B（ε）＝B0＋εB1＋ε2 B2＋…其中，A0，B0，A1，B1，A2，B2 为常数.且假设：［H1］ f（y′；t；ε）有界，并且关于y′满足利普希茨条件；［H2］f（y′；t；ε）关于y′，t，ε任意阶可导，且任意阶导数都是域R×［a，b］×［0，ε0］上的连续函数，其中ε0是一个适当小的正常数.以下考虑其解的存在性以及表达形式.设问题（1）～（3）式具有如下形式的渐近解：由A（ε），B（ε）的表达式，有：y（t0）＝A（ε）＝A0＋εA1＋ε2 A2＋…y′（t0）＝B（ε）＝B0＋εB1＋ε2 B2＋…把（4）式代入（1）式，得到：由条件［H2］，将函数f （y0′＋εy1′＋O（ε2）；t；ε）在ε＝0点Taylor展开，可得：f （y′0 ＋εy1′＋O（ε2）；t；ε）＝把（6）式代入（5）式，得到：比较（7）式中的ε同次幂系数，得到：和注意到方程（8）式可化为：且在假设条件［H1］～［H2］下，f（z0；t；0）在域R×［a，b］上连续且有界，并且关于z0满足利普希茨条件，则根据文献［11］可知，∃δ＞0，且δ≤b－a，方程（12）式在｜t－t0｜≤δ上存在唯一解，于是问题（8）、（9）式在｜t－t0｜≤δ上存在唯一解.我们不妨假设方程（8）、（9）式的解为y0，从而可知这时fy′′（y0′；t；0）为t的确定函数.因此，方程（10）为二阶非齐次线性微分方程.类似地，根据文献［11］，由条件［H2］知方程（10）、（11）式存在唯一解，记方程（10）、（11）式的解为y1.令y1′＝z ，则方程（10）式可化解为：由常数变易法可得方程（13）式的通解为：这里C1由（9）式确定.注意到条件［H2］，由（14）式得：其中p（t）＝－fy′′（y0′；t；0），Q（t）＝fε′（y0′；t；0）.这里C2 由（11）式确定.将（13）式代入（4）式，可以知道满足假设条件［H1］、［H2］时的方程（1）式有以下形式的解：其中C1、C2是由（9）和（11）式确定的常数.综上所述，在满足假设条件［H1］、［H2］的情况下，原问题的解被唯一确定，且由（8）～（15）式问题（1）～（3）式解的渐近表达式（16）式被给出.2 应用为了说明以上所得渐近解（16）式的精确度，以下将利用上述结论（16）式对文献［4］、［5］中的模型求出相应的渐近解，然后进行精确度分析.2.1 球体在空气中下落问题的渐近解当原问题中f（y′；t；ε）＝εy′＋py2－q时，即为文献［4］、［5］中的球体在空气中自由落体的非线性问题：易知问题（17）、（18）式有形如（4）式的解，且由（8）～（11）式可知，问题（17）式的退化方程为：考虑到文献［4］、［5］模型中p、q的取值范围，由（12）知，方程（19）式有如下唯一确定的解：由当t＝0时＝0，解得：C1＝1.从而由（21）易得：当t＝0时，y＝0.解得：从而：对于方程（20）而言，代入方程（16）式，当t＝0，＝0，y＝0时，可得：于是（22）、（23）式得问题（17）、（18）式的渐近解为：2.2 球体在空气中下落方程的精确解以及渐近解的精度估计在方程（17）式中，设y′＝v，将方程转化为：v′＋εv＋pv2＝q.可得：由当t＝0时，＝0.解得：从而两边积分，得：当t＝0时，y＝0.解得：从而其中由Taylor级数展开得到：此外由（27）、（28）式得：将（26）～（29）式代入（25）式得到问题（17）、（18）式的精确解：比较问题（17）、（18）式的渐近解（24）式与精确解（30）式，由前两项完全相同，可知两者误差的量级仅为O（ε2）.因此可知，在适当条件下可简捷地利用摄动展开法得到相关非线性问题的渐近解，当ε充分小时，可以达到足够高的精度.3 结论由上述讨论，得到：结论1 在满足假设条件［H1］、［H2］的情况下，原问题（1）～（3）的解唯一存在，且其解的渐近表达式为：其中p（t）＝－fy′′（y0′；t；0），Q（t）＝fε′（y0′；t；0），0＜ε≪ 1 .当方程（1）式中f（y′；t；ε）＝εy′＋py2－q时，问题（1）～（3）即为文献［4］、［5］中的球体在空气中自由落体的非线性问题（17）、（18）式：结论2 文献［4］、［5］中的球体自由落体模型（17）、（18）式的渐近解与精确解的一阶表达式完全相同，两者误差至多为O（ε2）：其中p，q＞0，0＜ε≪1.综上可知：摄动展开法是求解一些非线性摄动方程的一种有效方法，在适当条件下，可使渐近解的精确度达到足够的高度.因此，摄动展开法可以解决大量的物理模型的求解问题.由以上探讨可知，在条件［H1］、［H2］下，继续上述解法可求得原问题解的更高阶渐近展开式，使其渐近解具有更高的精度.参考文献：［1］Holmes M H.扰动法导论［M］.北京：世界图书出版公司，2003.［2］Bobkova A S.The Behavior of Solutions of Multidimensional Singularly Perturbed Systems with one Fast Variable［J］.Ordinary Diff Eqs，2005，41（1）：22～32.［3］Nayfeh A H .Problems in Perturbation［M］.New York：Johu，1985. ［4］俞晓明，崔益和，陈飞，等.考虑空气阻力、浮力用落球法精确测定重力加速度的研究［J］.物理与工程，2010，20（5）：26～28.［5］周薇.流体的粘滞阻力对物体运动的影响［J］.技术物理教学，2009，17（2）：27～28.［6］MO Jia－qi，LIU Shu－de.Asymptotic Behavior of Solutions for Reaction Diffusion Equations with Two Parameters［J］.Mathematic Application，2009，22（1）：42～47.［7］Tang Rong－rong.The Asymptotic Behavior of Solution for a Class of Strongly Nonlinear Non－autonomous Equation［J］.Ann of Diff Eqs，2006，22（4）：569～572.［8］Tang Rong－rong.The Shock Behavior for the Nonlinear Singularly Perturbed Two－points Boundary Value Problems［J］.Advances in Mathematics，2005，34（5）：497～502.［9］Tang Rong－rong.Asymptotic Solution for a Class of Weakly Nonlinear Singularly Perturbed Reaction Diffusion Problem［J］.J Shanghai Univ，2009，13（1）：12～15.［10］HAN Xiang－lin.The Asymptotic Behavior for a Nonlinear Singularly Perturbed System［J］.Chin Quart J of Math，2007，22（2）：175～178. ［11］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006.。

二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性的开题报告
一、研究背景
现实生活中存在着许多二阶非线性摄动微分方程的振动与渐近性问题，如弹簧振子、电路中的振荡等等。

这些问题的解析研究可以深刻揭示自然现象的规律与机理，
为实际应用提供指导。

二、研究目的
本文旨在研究二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性。

通过建立适当的数学模型，研究方程解的振动特性和渐近行为，并给出一些具体的例子，以便更好地理解
这些问题。

三、研究方法
本文将采用以下方法研究二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性：
1.建立适当的数学模型，对方程进行分类和分析。

2.采用数学分析技巧，如变换、差分方程等方法，对方程进行求解、分析和研究。

3.经过数值模拟和图形分析，揭示方程的振动特性和渐近行为。

4.通过实例分析，验证理论分析的正确性和可信度。

四、研究内容
本文的主要研究内容包括以下几个方面：
1.二阶非线性微分方程的分类及其性质
研究不同类型的方程的解的振动特性和渐近行为，提供基础理论。

2.简谐激励下的振动特性
研究简谐激励下的二阶非线性微分方程的解的振动特性，并给出具体例子。

3.非简谐激励下的振动特性
研究非简谐激励下的二阶非线性微分方程的解的振动特性，并给出具体例子。

4.渐近行为的研究
研究二阶非线性微分方程的解的渐近行为，包括解的稳定性、解的周期性、解的渐近周期性等。

五、研究意义
本文的研究成果可以深刻揭示二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性问题，为实际应用提供理论支持。

同时，研究方法也可以为其他非线性微分方程的研究提供参考。

同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用谭璐芸【摘要】文章主要研究了同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用问题。

简要介绍了同伦摄动法，该法的基本思想是通过行波变换并结合同伦摄动理论，把求解某些非线性偏微分方程的问题转化为求解常微分方程的初值问题，最后得出近似解。

文中求解了非线性平流方程和Fisher方程。

结果表明，这种方法简单而有效，显示同伦摄动法具有一些显著特点，例如可以任意选取初始猜测解、不依赖非线性方程中的小参数等等，同时可以简化复杂的求解过程，它的二阶近似解就相当精确。

同伦摄动方法是一种很普遍的解决非线性问题的方法。

%This paper mainly studied the homotopy perturbation method in solving the application problems of nonlinear partial differential equations. This paper first briefly introduces the homotopy perturbation method, the basic idea of the method is to transform the nonlinear partial differential equations into ordinary differential equations by combining the traveling wave transformation with the homotopy perturbation theory, and the approximate solution will be obtained. In this paper,we solve the nonlinear advection equation and the Fisher equation.The results show that this method is simple and effective,Also shows the homotopy perturbation method has some significant features, such as an arbitrary choice of initial guess solutions , the independence of the small parameters in nonlinear equations, etc., and at the same time, this method can also simplify the complex solving process, Its second-order approximate solution is quiteaccurate, the homotopy perturbation method is a very common method for solving nonlinear problems.【期刊名称】《江西理工大学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】3页(P102-104)【关键词】同伦摄动法;非线性偏微分方程;近似解【作者】谭璐芸【作者单位】铁岭师范高等专科学校，辽宁铁岭 112000【正文语种】中文【中图分类】O175.29非线性现象广泛出现在流体力学、固体物理、等离子体物理学等科学领域，描述它们基本规律的方程许多为非线性偏微分方程[1-3]，对于非线性方程的求解[4-6]没有统一而普适的方法，如何求解非线性方程成为一个重要的研究课题.然而，大多数情况下，大量的非线性偏微分方程无法求得其精确的解析解，因此，探讨各种求非线性偏微分方程近似解析解的有效方法具有非常重要的理论和实际意义.近几十年间人们提出了许多求非线性偏微分方程的近似解的方法，例如，直线法[7]、有限谱方法[8]、差分法[9-10]等.同伦摄动法[11-13]是近年来提出的一种新方法，其本质是把非线性问题转化成无穷多个线性问题来处理，运用同伦摄动法能得到非线性偏微分方程和积分方程的近似解，使求解过程的复杂程度大为简化，大量的例子显示这种方法简单而有效.本文借用同伦摄动法求解了非线性平流方程和Fisher方程的近似解.假设给定了下面的非线性微分方程：及其边界条件：其中A，B分别为方程微分算子和边界条件算子，f（r）为已知解析函数,Γ为区域Ω的边界.建立同伦映射：其中p为一个嵌入参数,u0为满足方程（1）初始条件的近似值.由式(3)分析得：随着p从0到1的变化，v（r，p）从u0（r）变化到u（r）.相应地，H（v，p）从L（v）-L（u0）变到A（v）-f（r），且L（v）-L（u0）和A（v）-f（r）叫做同胚,这个过程称为形变.根据同伦摄动法,在方程（3）中可以把嵌入参数p∈[0，1]作为“小参数”来处理，应用摄动理论，方程（3）的解v可以表示成如下形式：令p=1,得到方程（1）的近似解可以写成：摄动法和同伦法的结合称为同伦摄动法.2.1 一类非线性平流方程的近似行波解非线性平流方程在大气学、海洋学和描述环境等众多领域有着广泛的应用.考虑如下一类非线性平流方程[14]的初值问题：令ξ=kx+ωt，并且作行波变换，则方程（5）得到如下常微分方程，且具有初始条件.构造同伦满足：设方程（6）解的形式：则有：将式（7）、式（8）代入式（6），并令p的相同次幂的系数为零，即p0，p1，p2，…的系数为0，根据式（9），可得到如下一系列线性常微分方程且都带有初始条件：满足式（10）的初始猜测解可选取u0（ξ）=cosξ将u0代入方程（11），则方程（11）化为：解得：将u0，u1代入方程（12），则方程（12）化为：解得：则方程（5）的二阶近似解为：2.2 一类Fisher方程的近似解Fisher方程被广泛应用于核反应理论、等离子体物理、流体力学、和人口增长模型等问题中的非线性现象.考虑如下一类Fisher方程[15]的初值问题：构造同伦满足：设方程（14）解的形式：则有：将式（15）、式（16）、式（17）、代入方程（14）中，并令p的相同次幂的系数为零，即p0，p1，p2，…的系数为 0，根据式（18），可得到下面一系列具有初始条件的线性偏微分方程：根据方程（19）可选取初始猜测解u0＝1－e-（x＋t），将其代入到方程（20），得：将u0，u1其代入到方程（21）得：则方程（13）的二阶近似解为：本文借用同伦摄动方法把求解某些非线性偏微分方程的问题，转化为求解线性偏微分方程的初值问题，并且得到了这些方程的二阶近似解，为非线性问题的求解开辟了一个全新的途径.必须指出的是,由于非线性偏微分方程求解的固有困难和解法理论的缺乏，目前还没有一种普适的求解非线性偏微分方程的方法，尽管同伦摄动法成功解决了许多工程上的非线性问题，但某些地方还需要进一步改进和完善如初始猜测解的选取方法问题、近似解的误差分析问题等.因此，非线性偏微分方程解法的理论研究，仍将是今后重要的研究课题之一.【相关文献】[1]姚占林.两类非线性偏微分方程的近似解[D].广州：华南理工大学，2011.[2]杨志强.一类非线性偏微分方程的解法与应用[D].阜新：辽宁工程技术大学，2011.[3]陈亮.修正的同伦摄动法及其对非线性偏微分方程的应用[D].广州：广州大学，2010.[4]刘明姬.同伦方法求解非线性微分方程边值问题[D].长春：吉林大学，2009.[5]斯琴.同伦摄动法在非线性方程求解中的应用[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2008.[6]阮周生，孙海.同伦摄动法在一类线性积微分方程初值问题中的应用[J].东华理工大学学报:自然科学版,2010,33(3):297-300.[7]彭亚绵，闵涛，张世梅，等.Burgers程的MOL数值解法[J].西安理工大学学报，2004，20(3)：276-279.[8]詹杰民，李毓湘 .一维 Burgers方程和KdV方程的广义有限谱方法[J].应用数学和力学，2006，27(12)：1431-1438.[9]龚玉飞，许传炬.一类非线性Schrodinger方程的守恒差分法与Fourier谱方法[J].数学研究，2006，39(4)：360-369.[10]吴阔华，范丽君.一类中立型微分差分方程解的渐近性[J].江西理工大学学报，2010，31(5):60-63.[11]He J H.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities[J].Applied Mathematics and Computation, 2004,151(1):287-292.[12]He J parison of homotopy perturbation method and homotopy analysis method[J].Applied Mathematics and Computation,2004,156(2):527-539.[13]He J H.Application of homotopy perturbation method to nonlinear waveequations[J].Chaos,Solitons&Fractals,2005,26 (3):695-700.[14]季仲贞，王斌，曾庆存.大气海洋环境数值模拟中的若干计算问题[J].气候与环境研究，1999（4）：135-151.[15]包树蕊.若干非线性发展方程普遍性差分格式的构造与分析[D].北京：华北电力大学，2009.。