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一维弦振动方程的求解
一维弦的振动方程可以表示为以下形式：
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
$$
其中，$y(x,t)$ 表示弦的位移，$v$ 表示弦上的波速。
为了求解这个方程，我们可以采用分离变量的方法。
假设 $y(x,t)$ 可以拆分为两个独立变量的乘积形式，即 $y(x,t) = X(x)T(t)$。
将这个表达式代入原方程中，得到：
$$
\frac{T''(t)}{v^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda
$$
其中，$\lambda$ 是一个常数。
对于时间部分 $T(t)$，我们可以得到一个简单的二阶常微分方程：
$$
T''(t) = -v^2 \lambda T(t)
$$
该方程的解可以写为：
$$
T(t) = A \sin(\omega t + \phi)
$$
其中，$A$、$\omega$、$\phi$ 分别是积分常数，$\omega = v\sqrt{\lambda}$ 是角频率。
这表示弦上的振动是以角频率 $\omega$ 进行简谐振动的。
对于空间部分 $X(x)$，我们可以得到一个简单的二阶常微分方程：
$$
X''(x) = -\lambda X(x)
$$
这是一个具有边界条件的常微分方程，边界条件将根据具体问题给定。
一维弦振动方程的求解可通过以上方法进行，具体的求解过程需要根据边界条件来确定。
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。
这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。
本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。
证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。
下面证明y(t)>0。
假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。
特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。
证毕。
3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。
若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。
在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性振动渐近解法概述李鹤hli@非线性振动不像线性振动那样有统一的求解方法。
一般来说，要对非线性系统求精确解几乎是不可能的。
迄今为止，仅有少数的非线性振动问题可以得到精确的解析解。
为了尽可能深入了解系统的非线性性质，发展了各种渐近的解析方法。
本课程主要讨论如下形式的典型振动方程：()t x x f xp x ,,20 ε=+方程右端的函数f 可以是位移x 、速度x 的非线性项，由于ε是小参数，因此这种非线性项相比线性项要小，这种系统称为拟线性系统，也称弱非线性系统。
当f 不显含时间t ，()x x f x p x ,20ε=+称为自治系统。
反之，称为非自治系统。
当0=ε时，系统运动是频率为0p 的周期性运动：()ϕ+=t p a x 0cos当0≠ε时，可以理解为对系统周期运动()ϕ+=t p a x 0cos 的一种扰动，把解按小参数的幂次展开，寻求满足一定误差要求的渐近解，这类方法统称为摄动法，也称为小参数法。
这类方法最早由法国数学家庞加莱(Poincare)研究行星运动时提出来的。
泊松(Poisson)也用来研究单摆的大摆动问题。
本课程主要介绍如下方法：1. 传统小参数法，正规摄动、奇异摄动2. 常数变易法和平均法3. 渐近法4. 多尺度法5. 等效线性化法6. 谐波平衡法本课程依次介绍以上方法，先讨论自治系统，并结合非线性振动中一些著名的方法，如杜芬方程，范德波方程进行求解。
然后，将以上方法推广到非自治系统中去。
传统小参数法——正规摄动李鹤hli@对于如下典型的自治系统振动方程：()x x f xp x ,20ε=+其中ε是小参数。
当0=ε时，变成无阻尼单自由度自由振动问题，系统的固有频率是0p 。
当0≠ε时，方程的解可以写成()t x x ,ε=将其在0=ε附近展开成泰勒级数，()()()()"+′′+′+==2,0!21,0,0,εεεt x t x t x t x x设()()()",,0!21,,0,,0210x t x x t x x t x =′′=′=则()()()"+++=t x t x t x x 2210εε这样就得到了自治系统振动方程的级数形式的解。
