【概率课件】2.4-2.6

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分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 F(x)
y f ( x)
x
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p.d.f. f ( x )的性质 f ( x) 这两个性质检验一个函数能否作 为连续性随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数
2
按二项分布
k
0 1 2 3 4
例 设有同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备. (1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? (2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
d
应用场合 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第 k 位进行四舍五入，则产生的误差可以看作 1 k 1 k 服从 U 10 , 10 2 2
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例 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率. 解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间 [0.005, 0.005] 上的任一值，则
0 P( X a) lim
f ( x ) d x x0 a x
a
0
P( X a) 0
命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零
强调 概率为1 (零) 的事件未必发生 (不发生)
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对于连续型随机变量X
P ( a X b) P ( a X b)
P ( a X b)

在 f ( x ) 的连续点处， f ( x) F ( x) f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内 取值的概率
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积分
F ( x) f (t ) dt
x
x
F ( x0 x) F ( x0 ) F ( x0 ) lim x0 x P( x0 X x0 x) f ( x0 ) lim x0 x
Poisson定理说明：若X ~ B( n, p), 则当 n 较大， p 较小，而 np 适中，则可以用近似公式
Cnk p k (1 p ) nk e
k
k! k 0,1,2,
在实际计算中，当 n 20, p 0.05时，可用上 述公式近似计算；而当n 100, np 10时, 精度 更好 按Possion 公式 n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0.1 p=0.05 p=0.025 p=0.01 0.349 0.305 0.194 0.057 0.011 0.358 0.377 0.189 0.060 0.013 0.369 0.372 0.186 0.060 0.014 0.366 0.370 0.185 0.061 0.015 0.368 0.368 0.184 0.061 0.015
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例 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X ~ P(), 每个虫卵发育成幼虫的概率为 p。设各个虫卵 是否能发育成幼虫是相互独立的。求一只昆虫 所生的虫卵发育成的幼虫数 Y 的概率分布。 解 昆虫 X 个虫卵 Y 个幼虫 已知 P( X k ) e


k
k! m m k m P(Y m X k ) Ck p (1 p) ,
0.013459
5
设30台设备中发生故障的台数为 Y ~ B ( 30,0.01) 设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai ) P(Y 2)
k 2 k 0 . 3 e 0.3 k!
0.0369 i 1,2,3 三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时 维修为事件 A1 A2 A3 3 P A1 A2 A3 1 P( Ai )
c , x 1000 2 f ( x) x 0, 其他 (1) 求常数 c
( c 为常数)
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管， 每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使 用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
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解 (1)


f ( x)d x 1000
f ( x)
P ( a X b)
f ( x )d x F (b) F (a )
a
b
a
b
x
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P( X b) P( X b) F (b) P( X a) P( X a) 1 F (a)
f ( x)
a
x
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例 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为

c = 1000 (2) 设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于 1500小时 P( A) P(0 X 1500) 1500 1000 1 1000 2 d x x 3 设在使用的最初1500小时三只晶体管中 1 损坏的只数为 Y ~ B 3, 3 2 4 1 1 2 P(Y 1) C3 3 3 9
X ~ U [0.005, 0.005]
100, f ( x) 0,
x 0.005 其他
0.004
所以 P( X 0.004)
0.004
100dx 0.8
24
(2) 指数分布 若 X 的密度函数为
e , x 0 f ( x) 其他 0,
x
> 0 为常数
则称 X 服从 参数为的指数分布
记作 X ~ E ( )
x0 0, X 的分布函数为 F ( x) x 1 e , x0
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f ( x)
0
F( x)
x
1
0
x
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对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) a e d x
1 (1 0.0369) 0.1067 0.013459 故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！
3
6
i 1
在Poisson 定理中，
e

k
k!

0
k
e
k 0

k!
e

k!
k 0 2 3


k
e 1 2! 3! e e 1 由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 — Poisson 分布
4
令 90 0.01 0.9
(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为 k 90 0.9 0.9 P( X 3) e k! k 4 k k 0 . 9 0 . 9 e 0.9 e 0.9 k! k 91 k! k 4 k 0.9 0.9 e k! k 4
x a, a x b, xb
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f ( x)
a
F( x)
b
x
a
b
x
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(c, d ) (a, b)
d c 1 P (c X d ) dx c ba ba 即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.
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令 c d x 1 2 x
常见的连续性随机变量的分布 (1) 均匀分布 若 X 的密度函数为 f ( x) ，则称 X 服从区间 ( a , b)上的均匀分布 记作 X ~ U (a, b)
1 , a xb 其中 f ( x) b a 0, 其他 0, x a X 的分布函数为 F ( x) , b a 1
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台 设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
3
P( X N )
k N 1
C
90
k 90
(0.01) (0.99)
k
N k
k 0 . 9 0.9 P ( X N ) e 则 k! k N 1 k k 0 . 9 0 . 9 e 0.9 e 0.9 k! k 91 k! k N 1 k 0.9 0.9 0.01 e k! k N 1 查附表2得 N = 4 90
x
b
F (b) F (a ) e e 应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 指数分布常作为各种 动物的寿命 “寿命”分布的近似
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a
b
例 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布, 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 解 (1) FT (t ) P(T t ) 0, t0 1 P(T t ), t 0
f ( x0 ) x P( x0 X x0 x)
密度 长度 线段质量
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注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值 x 0 事实上 ( X a) (a x X a) a 0 P( X a) P(a x X a) f ( x)d x a x
m k m
11
e
k m


k
k m
§2.5 连续型随机变量
连续型随机变量的概念 定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得