大学物理静电场3

S
P
QRຫໍສະໝຸດ orr E
r dS
S
E
1 E∝ 2 r E =0
S
S
ε0
i
r<R
r>R
∑qi = 0
i
r < R E =0
r>R E= Q 4π ε0r 2
∑qi = Q
i
r 值有一越迁， r = R, E 值有一越迁，不连续
静电场
O
8
r
r 结论：均匀带电球面的电场， 结论：均匀带电球面的电场，在面内空间 E = 0
∗ 高斯面必须通过所求的点 ∗ 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 3. 计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 应用高斯定理求解. 4. 应用高斯定理求解.
静电场
14
r 球面外部空间的 E 相当于全部电荷都集
中在球心时所产生的电场（点电荷） 中在球心时所产生的电场（点电荷）
静电场
9
已知球体半径为R，带电量为q（ 例 已知球体半径为 ，带电量为 （电 荷体密度为ρ） 求 均匀带电球体的电场强度分布 球对称、 解 球对称、规定外法线方向为正 v v 2 球外 (r ≥ R) ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr = q ε0
计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 3. 计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 4. 应用高斯定理求解. 应用高斯定理求解.
静电场
6
何为对称分布的电场？ 何为对称分布的电场？ 电荷分布对称 电场分布具有对称性， 一般有： 电场分布具有对称性， 一般有：
球对称电场： 点电荷、均匀带电球面、均匀带电球体 球对称电场： 点电荷、均匀带电球面、 无限长带电直线、带电柱体、 无限长带电直线、带电柱体、带电柱面 柱对称电场： 柱对称电场： 平面对称电场： 无限大均匀带电平面 平面对称电场： 思考： 思考：一些有限大小的带电体电场分布也具有对称性 如：有限长均匀带电直线、有限长带电圆柱、 有限长均匀带电直线、有限长带电圆柱、 带电园环、等等。 带电园环、等等。 可否用高斯定理求解其电场的分布？ 可否用高斯定理求解其电场的分布？
静电场 5
四、高斯定理的应用
——求解具有某些对称分布的电场 求解具有某些对称分布的电场 解题步骤： 解题步骤： 对称性分析； 球对称、柱对称、面对称） 1. 对称性分析； 球对称、柱对称、面对称） （ 2. 根据对称性选择合适的高斯面； 根据对称性选择合适的高斯面；
∗ 高斯面必须是闭合曲面 ∗ 高斯面必须通过所求的点 ∗ 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
∑q
i=1
n
i内
思考： 思考：
依据： 依据：库伦定 律和电场叠加 原理
v 1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ ）
2）哪些电荷对闭合曲面s 的 Φ e 有贡献 ？ ） 封闭面、 封闭面 S ——封闭面、高斯面 ∑q ——高斯面内包围电荷的代数和 高斯面内包围电荷的代数和
i内
r 高斯面上各点电场强度 E ——高斯面上各点电场强度
S
ρ
S
v v v v v v = ∫侧 E ⋅ dS + ∫左底 E ⋅ dS + ∫右底 E ⋅ dS
v n
x
d
v n
ρSd E = ρd = 2ES = 外 2ε0 ε0
板内： 板内：2ES =
E = 内
ρS ⋅ 2x ε0 ρx
S d
Ex O x
ε0
静电场
13
总结 对称性分析； 球对称、柱对称、面对称） （ 1. 对称性分析； 球对称、柱对称、面对称） 根据对称性选择合适的高斯面； 2. 根据对称性选择合适的高斯面； ∗ 高斯面必须是闭合曲面
三、高斯定理
穿过任一闭合 内容：真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电 1. 内容：真空中的任何静电场中 穿过任一闭合曲面的电 通量,在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘 通量 在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘 以 1 ε 0.
v v 1 Φ = ∫ E ⋅ dS = e
S
ε0
q2 A
P *
q2 B
+q
s
−q
q1
Φ1 =
∫
S1
v v q E ⋅ dS =
−q
ε0
S1 S2
Φ2 = 0
Φ3 =
ε0
S3
(3) 电荷恰好在封闭面上，研究这种情况没有物理意义。 电荷恰好在封闭面上，研究这种情况没有物理意义。 (4) 空间电荷的分布是任意的，高斯面的选取是任意的。 空间电荷的分布是任意的，高斯面的选取是任意的。 对任何高斯面，高斯定理都成立。 对任何高斯面，高斯定理都成立。
v E
v n
v E
v v Φe = ∫ E ⋅ dS
v n S v v v v v v = ∫侧 E ⋅ dS + ∫左底 E ⋅ dS + ∫右底 E ⋅ dS
= 0 + ES + ES = 2ES
Ex O x
v n
根据高斯定理有
2ES =
1
ε0
σS
σ E= 2ε0
静电场
12
已知无限大带电平板 无限大带电平板， 厚度为d 例 已知无限大带电平板，电荷体密度为ρ，厚度为 求: 电场场强分布 解 选取圆柱面为高斯面 v v 板外： 板外： Φe = ∫ E ⋅ dS
静电场
7
均匀带电球面，总电量为Q，半径为R， 例 均匀带电球面，总电量为 ，半径为 ， 求：电场强度分布 根据电荷分布的对称性， 解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面 选取合适的高斯面 闭合面) 闭合面 ∴取过场点、以O为球心的球面 过场点、 为球心的球面 计算高斯面的电通量（规定外法线方向为正） 规定外法线方向为正） r r 1 E ⋅ dS = ∫∫ EdS = E ∫∫ dS = E4πr2 = ∑qi ∫∫
静电场
1
推证： 2. 推证： 高斯定理的导出 库仑定律 电场强度叠加原理
r
+ q
S
q
v dS
(1) 点电荷位于球面中心 点电荷电场
Φe =
E=
q 4πε 0 r
q
2
S'
∫
S
v v E ⋅ dS =
∫
S
4πε 0 r 2
dS =
q 4πε 0 r 2
⋅ 4πr 2 =
ε0
(2) 点电荷在任意封闭曲面内
∑∫
S
v v Ei ⋅ dS
q1
v Ev
dS
Q∑
（外） i
∫
S
v v Ei ⋅ dS = 0
qi
ε0
∴ Φe =
（内） i
∑ ∫
S
v v 1 Ei ⋅ dS =
∑q
i
s
i内
3
静电场
高斯定理 Φe = ∫ S
v v 1 E ⋅ dS =
ε0
∑q
i=1
n
i内
=
1
ε0
∫
V
ρdV
真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量 在数 真空中的任何静电场中 穿过任一闭合曲面的电通量,在数 穿过任一闭合曲面的电通量 值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘以 1 ε0. 结论 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 ）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 所有内外电荷的总电场强度 2）高斯面为封闭曲面. ）高斯面为封闭曲面 3）高斯面的电场强度通量穿出为正，穿入为负. ）高斯面的电场强度通量穿出为正，穿入为负 穿出为正 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. ）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献 通量有贡献 5）静电场是有源场 ）静电场是有源场. 有源场
S
r + +R r' + +
球内( 球内 r < R ) 1 14 3 v v 2 ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr′ = q ' = πr′ ρ
S
v 1 q v0 ρ R3 v0 E= r = r 2 2 4πε0 r 3ε0 r
E
E=
结论： 结论：
ρ r 3ε0
ε0
ε0 3
O
R
电场分布曲线
r
r E 集中在球心的点电荷。 球心： 球内： 球外： 集中在球心的点电荷 球心： = 0,球内： ∝ r，球外：q集中在球心的点电荷。 球内 E
静电场
10
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷（ 例 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷（即电荷线密 求距直线为r 处的电场强度. 度）为λ，求距直线为 处的电场强度. 对称性分析： 解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
Φe =
∫
S'
v v E ⋅ dS =
∫
S
v v q = E ⋅ dS
ε0
2
静电场
(3) 点电荷在封闭曲面之外
∫
Φe =
S
v v E ⋅ dS = 0
q
(4) 由多个点电荷产生的电场
∫
S
v v E ⋅ dS =
S
∫
S
v v ∑ Ei ⋅ dS
i
s
q2
=
i (内）
∑∫
v v Ei ⋅ dS +
（外） i
静电场 4
讨论
(1) 将q2从A移到 ，P点电场强度是否变 移到B， 点电场强度是否变 移到 的电通量是否变化？ 化？穿过高斯面S的电通量是否变化？ 穿过高斯面 的电通量是否变化 (2) 在点电荷 q和-q的静电场中，做如下 在点电荷+ 的静电场中， 的三个闭合面S 的三个闭合面 1,S2,S3, 求通过各闭合面的 电通量