湖北省黄冈中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题

【全国名校】2014届湖北省黄冈中学等八校高三第一次联考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.方程的一个根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由求根公式可得,故选A.考点：1.方程求根公式；2.复数范围内方程的解2.集合，，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由可知，得，，所以,,故，选C.考点：集合的运算3.下列命题，正确的是（）A.命题:，使得的否定是：，均有.B.命题：若,则的否命题是：若，则.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：，则的逆否命题是真命题.【答案】B【解析】试题分析：命题:，使得的否定是：，均有，A不对；菱形的四边相等但不一定是正方形，C不对；当时，D不对，故选B.考点：1.全称命题和特称命题；2.四种命题的相互关系；3.命题的真假判断4.已知满足，则关于的说法，正确的是（）A.有最小值1B.有最小值C.有最大值D.有最小值【答案】B【解析】试题分析：如图所示，可行域为及内部，则表示点到可行域内的点的距离的平方，由图可知点O到直线AB的距离最小，到点C（2，3）的距离最大，故，，故选B.考点：简单的线性规划问题5.函数有极值点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由函数有极值点可知有异号零点，则，故，选D.考点：1.函数的极值；2.零点存在性6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是一底面为如俯视图的菱形，高为1的四棱锥，则，故选B.考点：1.三视图；2.几何体的体积7.△中，角成等差数列是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由可得，化简得，所以,或，则角成等差数列是成立的充分不必要条件，故选A.考点：1.三视图； 2.基本不等式；3.几何体的体积8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：）A. B. C.0.686 D.0.98【答案】A【解析】试题分析：已知每压缩1cm需0.49N的压缩力，所以由得，则把这根弹簧从压缩至，外力克服弹簧的弹力做功为，选A.考点：定积分在物理上的应用9.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且∥平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（）A.点的轨迹是一条线段B.与不可能平行C.与是异面直线D.【答案】B【解析】试题分析：由已知可取的中点,的中点,连结，易证平面∥平面，故可知点的轨迹是一条线段，与是异面直线，A、C对；当点与重合时与平行，B不对；在上取点F,连结，可证为与平面所成的角，当点F在MN的中点时最大，此时,则，D对，故选B.考点：1.直线与平面平行的性质与判断；2.直线和平面的夹角；3.空间两直线的位置关系10.若直线与曲线有四个公共点，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由是偶函数，考察的情形，，作图：时，直线与曲线有四个交点，满足题意；时，若直线与相切，由，得，△="0,"，直线绕（0,1）逆时针旋转，开始出现5个交点顺时针旋转，3个交点，符合题意.根据对称性，也满足题意.故为，选A.考点：1.函数的图像；2.函数的零点；3.数形结合法处理函数问题二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.平面向量满足，且，则向量的夹角为．【答案】【解析】试题分析：由，得，可得向量的夹角为.考点：1.向量的数量积；2.向量的夹角12.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是．【答案】【解析】试题分析：由，可得.考点：1.类比推理；2.锥体的体积13.将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为.【答案】【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位后得到的函数为：，图象关于点成中心对称，可得：，解得，故当时. 考点：1.三角函数的图像变换；2.三角函数图像的性质14.无穷数列中，是首项为10，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并且对于任意的，都有成立.若，则m的取值集合为____________.记数列的前项和为,则使得的的取值集合为____________.【答案】；【解析】试题分析：由知等比数列部分最少6项，即,由，得时，；,，=，时，即时，最大，,故，则考点：1.等比数列的定义；2.等比数列的前项和15.已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半径为.【答案】【解析】试题分析：由切线定理和割线定理可知：,所以可得,连结,由可得为直角三角形，故意.考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理16.在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2，则.【答案】【解析】试题分析：曲线可化为：，曲线可化为为：，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2可知圆心到直线的距离为2，即：，所以.考点：1.直线的参数方程；2.圆的极坐标方程；3.点到直线的距离公式三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调增区间为和.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由向量数量积坐标运算得，再由图象与直线的相邻两个交点之间的距离为得，从而求得；（Ⅱ）由得，再由余弦函数的单调性可得的单调增区间为和.试题解析：（Ⅰ）1分5分由题意，，6分（Ⅱ），时，故或时，单调递增9分即的单调增区间为和12分考点：1.向量的数量积；2.三角恒等变换；3.三角函数的单调性18.设等差数列的前项和为，满足：．递增的等比数列前项和为，满足：．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设数列对，均有成立，求．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)【解析】试题分析：(Ⅰ)先由等差数列的性质得出从而求出，再结合求出，从而得出；由，可构造方程，从而求出,由求出，故；(Ⅱ)当时，求得；当时由，，作差可得，故，从而可求. 试题解析：（Ⅰ）由题意得，则2分，方程的两根，得4分，代入求得，6分（Ⅱ）由，两式相减有，9分又，得考点：1.数列的通项公式的求法；2.数列的前项和19.如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面⊥平面.(Ⅰ)求证：为棱的中点；（Ⅱ）为何值时，二面角的平面角为.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)＝【解析】试题分析：(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA1，又点F是AC的中点，则DB =BB 1，即为的中点；或者先证,再证得. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系，然后求出两平面DA1C和ADA1的法向量分别为和，由二面角的平面角为可知，得据题意有：，从而＝.或者利用几何法可求.试题解析：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C故直线面3分又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA 1，又点F是AC的中点，所以DB ＝EF ＝AA1＝BB1，即为的中点.6分(Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝2b，AB＝BC ＝，则D（0,0,b）,A1 (a,0,2b), C (0,a,0)所以，设面DA1C的法向量为则可取8分又可取平面AA1DB的法向量:据题意有：解得：＝12分过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A －A1D －C的平面角；9分设AA1＝2b，AB＝BC ＝；在直角三角形A1A G中，易知AB ＝BG.在DBG中，BH ＝＝，CHB中，tan∠CHB ＝＝，据题意有：＝tan600＝，解得：所以＝12分考点：1.平面和平面垂直的性质定理；2.直线和平面平行的判定和性质；3.用空间向量处理二面角20.如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.（Ⅰ）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影.已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由正弦定理可得，从而，故时看的视角(即)最大可先求出，然后由基本不等式求出及最值取到的条件得出.试题解析：（Ⅰ）在△中，,,由正弦定理得：则=4分（Ⅱ）设，，6分当且仅当即时，最大，从而最大, 由题意，，解得.考点：1.正弦定理的应用；2.三角恒等变换；3.基本不等式的应用21.已知是关于的方程的根，证明：（Ⅰ）;（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）构造函数，通过导函数可知函数在上是增函数，而，，故在上有唯一实根，即，然后利用函数的单调性，用反证法证明；（Ⅱ）先证，再由，可得．注意放缩法的技巧.试题解析：（Ⅰ）设，则显然，在上是增函数在上有唯一实根，即4分假设，则，矛盾，故8分（Ⅱ）（），13分方法二：由（Ⅰ）=考点：1.函数的零点；2.函数的单调性的应用；3.放缩法证明不等式22.已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；（Ⅲ）求证：.【答案】（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转化为证.试题解析：（Ⅰ）1分时，，在上单调递增。

2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣15．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列+a n=nf′（）+3（n∈N*）．{a n}满足a n+1（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C．2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣．故选：B．3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵2x+1＞1恒成立，∴函数的定义域是R，∵函数y=log3x在定义域上是增函数，∴y＞log31=0，则原函数的值域是（0，+∞）．故选：A．4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．5．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【解答】解：∵函数，∴f（2）==＜0，f（3）==＞0，∴f（2）f（3）＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选：B．6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：依题意可得b n=qb n，则数列{b n}为等比数列．+1又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．【解答】解：（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，∴（x+1）2dx+dx==，故选：B．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α=，∴α=，∴幂函数为，∴，∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是，其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．【解答】解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是（0，+∞）．【解答】解：由x+1＞0，得：f（x）定义域为（﹣1，+∞），又，∵x＞﹣1，∴x+1＞0且x+2＞0，由f′（x）=0得x=0，令f′（x）＞0得x＞0∴增区间为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理2sinA=，可得2a++3c=，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣），即（2a﹣3c）=，又因∵不共线，则2a﹣3c=0，，即2a==3c∴，，∴．故答案为：．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以A 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，由此类推：a n=a n﹣1+n，所以a n﹣a n﹣1=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得，所以，则，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴，∴．∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．【解答】（1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a 2=q，，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴．…（4分）（2）证明：b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）=+=n2+2n﹣1．…（8分）又∵在[1，+∞）上是单调递增的，∴T n≥T1=2，∴T n≥2．…（10分）18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．【解答】解：（1）∵∴∴（2分）（6分）（2）由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），所以A=（9分）∵∴所以（12分）19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8﹣）x≥25×8，整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等价于x＞25时，a≥+x+有解．由于+x≥2 =10，当且仅当=，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x，∴，则，故a n+1+a n=4n+3（1）若数列{a n}是等差数列，由a n+1+a n=4n+3得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n+3，解得：（2）由．得a n+2+a n+1=4n+7两式相减，得a n+2﹣a n=4故数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2+a1=7，a1=2，得a2=5，所以①当n为奇数是，a n=2n，an+1=2n+3.=；②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=；（3）由（2）知，，①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n+5﹣a1．由．令，∴f（n）max=f（1）=﹣21，∴．解得．②当n为偶数时，a n=2n+3﹣a1，a n +1=2n+a1．由．令，∴g（n）max=g（2）=﹣21，∴解得a1∈R综上，a1的取值范围是．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．【解答】解：（I），g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得（II）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），由题知，即解得a=6，b=﹣1…（6分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），=∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（7分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0∴x0∈（3，4），故n=3 …（9分）（III）当b=a﹣2时，F（x）=alnx﹣[x2+（a﹣2）x]，=，由题知F'（x）=0在（0，+∞）上有两个不同根x1，x2，则a＜0且a≠﹣2，此时F'（x）=0的两根为﹣，1，…（10分）由题知|﹣﹣1|＞1，则+a+1＞1，a2+4a＞0又∵a＜0，∴a＜﹣4，此时﹣＞1则F（x）与F'（x）随x的变化情况如下表：（﹣∴|F（x1）﹣F（x2）|=F（x）极大值﹣F（x）极小值=F（﹣）﹣F（1）=aln（﹣）+a2﹣1，…（11分）设，则，，∵a＜﹣4，∴＞﹣，∴＞0，∴Φ'（a）在（﹣∞，﹣4）上是增函数，Φ'（a）＜Φ'（﹣4）=ln2﹣1＜0从而Φ（a）在（﹣∞，﹣4）上是减函数，∴Φ（a）＞Φ（﹣4）=3﹣4ln2∴|F （x 1）﹣F （x ）|＞3﹣4ln2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，{}10B x mx =-=，若B B A = ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为（ ）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ． 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,0,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6.已知函数21, 0()1,0x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，则方程2(1)(2)f x f x -=的解集是（ ）A ．{|1}x x ≤-B ．{1-C ．{|1x x ≤-或1x =-+D ．{|1x x <-或1x =- 7.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()()63f f ππ=且()f x 在区间(,)63ππ上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A ．23 B ．53C ．143 D ． 3838.数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．1509.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλ=++，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心10.已知函数)(x f y =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，则关于x的函数xx f x g 1)()(+=的零点的个数为（ ）14.已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为),(00y x M ，记函数)(x f 的导函数为)(x f '，)(x f '的导函数为)(x f ''，则有0)(0=''x f ．若函数233)(x x x f -=，则可求得)20134025()20134024()20132()20131(f f f f ++⋅⋅⋅++_________. 15．已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知函数229)2lg()(xx x x f --=的定义域为A ，（1）求A ；（2）若{}01222≥-+-=k x x x B ，且A B ⋂≠∅，求实数k 的取值范围. 17.（本小题满分12分）已知(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且0ω>， 设()f x m n =⋅，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．（2）求证：当411≠b 时，数列{}n n a b -为等比数列； （3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围.21.（本题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠） （1）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F xg x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形， 且斜边中点在y 轴上？请说明理由.。

湖北省黄冈市重点中学2013年—2014年上学期期末考试高三年级数学试题（文）时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z的共轭复数为z，()2f z i z i+=+（i为虚数单位），则)23(if+等于（）A．3i-B．3i+C．33i+D．32i-2．已知等比数列{na}的前n项和为nS,且317S a=，则数列{}na的公比q的值为（）A．2 B．3 C．2或-3 D．2或33.函数()f x=2|log|12||x xx--的图像为 ( )4.阅读如图所示的程序框图,若输入919a=,则输出的kA．9B．10C．11D．125. 函数axxxf+=ln)(存在与直线02=-yx则实数a的取值范围是（）A. ]2,(-∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ),0(+∞6.已知||2||0a b=≠，且关于x的函3211()||32f x x a x a bx=++⋅在R上有极值，则向量,a b的夹角范围是（）A．[0,)6πB．(,]6ππ C．(,]3ππ D．A B侧视图俯视图7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：①()sin cos f x x x =+；②())sin cos f x x x =+；③()sin f x x =；④()f x x =其中“互为生成”函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（ ）A ．5 B ．53C ．2D ．39．在三棱锥A —BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB的面积分别为2、A —BCD 的外接球的体积为 （ ）AB．C．D．10.如下图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则=2013a （ ） A .501 B.502 C .503 D .50411. 某几何体的三视图如图所示,则 这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．203C ．263D ．8 12.记实数n x x x ,,21中的最大数为{}n x x x 21,max ，最小值为{}n x x x 21,m in 。

湖北黄冈中学2009届高三年级期末考试数学试题（理科）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数sin 2y x =的一个增区间是 （ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则n m等于 （ ）A ．2-；B ．2C ．21- D ．213．已知(3,1),(2,1)AB =-=u u u r n ，且7AC ⋅=u u u r n ，则BC ⋅=u u u r n （ ）A ．2-B ．0C ．2-或2D ． 24．设1tan10,1tan10a b +==-oo ，则有 （） A ．222a b a b +<< B ．222a b b a +<<C ．222a b a b +<<D ．222a b b a +<<5．已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 取值范围是 （ ）A ．11(0,)aB ．12(0,)aC ．21(0,)aD ．22(0,)a 6．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是 （ ）A ．20,45,80b A C ===o oB ．30,28,60a c B ===oC ．14,16,45a c A ===oD ．12,15,120a c A ===o7．若向量,,a b c 两两的夹角相等，且满足1,2,4===a b c ，则=a +b+c （ ）A ．7B ．7CD ．78．已知两不共线向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．()()+⊥-a b a b B ．a 与b 的夹角等于αβ-C ．2++->a b a bD ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知()g x 是定义在R 上的二次函数，2,1(),1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若[]()f g x 的值域是[)0,+∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][),11,-∞-+∞UB ．(][),10,-∞-+∞UC ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 10．关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x x x x +-<+-的解集为 （ ）A．(3,--U B．()(22ππ--UPCBA C．(- D ．(3,3)-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11x >的解集为____________．12．函数11()sin()cos 633f x x x π=-+图象的相邻的两个对称中心的距离是__________． 13．等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于___________． 14．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆 上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是__________．15．若对任意的[]0,1x ∈1kx ≤-总成立，则实数k 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知R A B ∈,，且22sin 2cos 22cos 22y A B A B =+-+．（1）若A B C ,,为ABC ∆的三内角，当y 取得最小值时，求C ；（2）当2A B π+=时，将函数22sin 2cos 22cos 22y A B A B =+-+的图象按向量p平移后得到函数2cos2y A =的图象，求出所有满足条件的向量p ．数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且*121()N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．18．（本小题满分12分）（1）设x 是正实数，求证：233(1)(1)(1)8x x x x +++≥；（2）若R x ∈，不等式233(1)(1)(1)8x x x x +++≥是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．19．（本小题满分12分）定义n x x x ,,,21Λ的“倒平均数”为)(*21N ∈++n x x x n nΛ，已知数列n a n 前}{项的“倒平均数”为.421+n （1）记)(1*N ∈+=n n a c n n ，试比较n c 与1n c +的大小； （2）是否存在实数λ，使得当x λ≤时，*2014)(N ∈≤+-+-=n n a x x x f n 对任意恒成立？若存在,求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数(),()f x g x ，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（1）若(0)10f =，(0)20g =，试解释它们的实际意义；（2）设()104x f x =+，()20g x =，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？21．（本小题满分14分）已知定义在[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立．（1）函数()21x g x =-在区间[]0,1上是否同时适合①②③？并说明理由；（2）假设存在[]0,1a ∈，使得[]()0,1f a ∈且[]()f f a a =，求证：()f a a =．参考答案1—5 BCDAB 6—10 CDBCB11．(,0)-∞ 12．3π 13．13 14．92- 15．2,2⎛-∞ ⎝⎦16．（1）221(sin 2(cos 2)12y A B =+-+由题，sin 22,1cos 22A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6A π=或3π，6B π=或56π， 又A B π+<， 故2C π=或23π． （2）当2A B π+=时，22,cos2cos2A B B A π+==-，按向量p 平移后得到函数2cos2y A =的图象，故(,3)()6Z k k ππ=+-∈p ． 17．（1）当2n ≥时，11(21)(21)n n n n a a S S +--=+-+，即有13n n a a += 又21121213a S a =+=+=，{}n a ∴是公比为3的等比数列，且11a =，故13n n a -=．（2）由（1），1231,3,9a a a ===，又312313215,210T b b b b b b =++=∴+==， 依题112233,,a b a b a b +++成等比数列，有131164(1)(9)(1)(19)b b b b =++=+-，解得13b =或15，因{}n b 的各项均为正数，13,2b d ∴==，故23(1)2n T n n n n n =+-=+．18．（1）证明：x是正数，由重要不等式知，2312,1x x x x +≥+≥+≥故233(1)(1)(1)28x x x x x +++≥⋅=（当1x =时等号成立）．（2）若R x ∈，不等式233(1)(1)(1)8x x x x +++≥仍然成立．证明：由（1）知，当0x >时，不等式成立；当0x ≤时，380x ≤， 而2322222213(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()024x x x x x x x x x x ⎡⎤+++=++-+=++-+≥⎢⎥⎣⎦ 此时不等式仍然成立．19．（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则依题有124n n S n =+ 2(24)24n S n n n n ∴=+=+，故116(1)42(2)n n n S n a S S n n -==⎧=⎨-=+≥⎩ 故数列的通项为42n a n =+．故422411n n c n n +==-++，易知，1n n c c +<． （2）假设存在实数λ，使得当x λ≤时，2()401n a f x x x n =-+-≤+对任意N n *∈恒成立， 则*214N ∈+≤+-n n a x x n 对任意都成立， 20．（1）(0)10f =表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；(0)20g =表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.（2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当1()104()20y f x x x g y ⎧≥=+⎪⎨⎪≥=⎩成立．故120)104y ≥+，则4600,15)0y ≥∴≥4≥故16,2024y x ≥≥≥即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元的宣传费用．21．（1）显然()21x g x =-，在[0，1]满足①()0g x ≥；满足②(1)1g =；对于③，若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则[]121212121212()()()2121212221x x x x x x x x g x x g x g x ++⎡⎤+-+=----+=--+⎣⎦ 21(21)(21)0x x =--≥ ．故()g x 适合①②③．（2）由③知，任给[]0,1m n ∈、时，当m n >时，()()()f m f n f m n -=-由于(]01,0,1n m m n ≤<≤∴-∈，()()()0f m f n f m n -=-≥所以()()f m f n ≥若()a f a <，则()[()]f a f f a a ≤= 前后矛盾若()a f a >，则()[()]f a f f a a ≥= 前后矛盾 故()a f a =得证．。

湖北省黄冈市2014届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）新人教A 版一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知集合}1|||lg ||R {<∈=x x A ，}082|Z {2<--∈=x x x B ，则=B A （ ）A. )4,101()101,2( -- B.)4,0()0,2( - C. }3,2,1,1{- D. }3,2,1,0,1{-2.复数1z 、2z 在复平面内分别对应点A 、B ，i z 431+=，将点A 绕原点O 逆时针旋转90得到点B ，则=2z （ ）A. i 43-B.i 34--C. i 34+-D. i 43--3.将右图算法语句（其中常数e 是自然对数的底数）当输入x 为3时，输出y 的值为（ ）A. 1B.5.1C. 125.0D. 859141.04.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点， AOB ∆的面积为3，则双曲线的离心率=e （ ）A.21B.27C. 2D. 35.福彩3D 是由3个0～9的自然数组成投注号码的彩票，耀摇奖时使用3台摇奖器，各自独立、等可能的随机摇出一个彩球，组成一个3位数，构成中奖号码，下图是近期的中奖号码（如197,244,460等），那么在下期摇奖时个位上出现3的可能性为（ ）6.命题R ,:∈∃βαp ，使βαβαsin cos )cos(+=+；命题:q 直线01=++y x 与圆2)1(22=-+y x 相切.则下列命题中真命题为（ ）A. q p ∧B.)(q p ⌝∧C. )()(q p ⌝∧⌝D. q p ∧⌝)(7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0,0,)1()(62x x x x x x f ，则当0>x 时，)]([x f 的展开式中常数项为（ ）A. 20-B.20C. 15-D. 15 【答案】D 【解析】8.函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示，若10=•BC AB ，则=ω（ ）A.3π B.8π C. 6π D. 12π9.“0≤a ”是“函数|)1213(|)(3--+=x a x a x x f 在区间),0(+∞上单调递增”的（ ） A. 充分必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件10.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足4||||=-PB PA ，10||=-PB PA ，||||PB PC PB PA PC PA •=•，且)0)(||||(>++=λλAP APAC ACBA BI ，则||BA BA BI •的值为（ ）A. 2B.4C. 3D. 5考点：本题考查三角形的内心性质，平面向量的数量积，向量的投影.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. （一）必做题（11-14） 11.若⎰=3211dx x S ，⎰=π022cos dx xS ，则1S 、2S 的大小关系为 .12.在电视节目《爸爸去哪儿》中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有 种.13.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若44≥S ，287≤S ，则10a 的最大值为 .d a d 64215210+≤≤+∴，∴d d642152+≤+，解得2≤d ， 1626410=⨯+≤∴a .考点：本题考查等差数列的通项公式.14.定义在R 上的偶函数，)(x f 满足R ∈∀x ，都有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上有三个零点，则a 的取值范围是 .（二）选做题（请在夏明两题中任选一题作答，若两题都做，则按第15题计分）. 15.如图，在半径为7的圆O 中，弦AB 、CD 相交于P ，2==PB PA ，4=CP ，则圆心O 到弦CD 的距离为 .16.在直角坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数，0,0>>b a ）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为23)3cos(=+πθρ，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则=a .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）等比数列}{n a 的前n 项和n S ，已知73=S ，31+a ，23a ，43+a 成等差数列.（1）求数列}{n a 的公比q 和通项n a ；（2）若}{n a 是递增数列，令128log 12+=n n a b ，求||||||21n b b b +⋅⋅⋅++.18.（本题满分12分）设向量)cos 2),42sin(2(x x a π+-=，)cos sin 3,1(x x b -=，R ∈x ，函数b a x f •=)(.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，62=b ，A B 2=，35)8(=+πA f ，求a 的值.19.（本题满分12分）某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩（单位：分），用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2） 成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；（3）从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.20.（本题满分12分）设关于x 不等式)R (|2|∈<-a a x 的解集为A ，且A ∈23，A ∉-21. （1）R ∈∀x ,a a x x +≥-+-2|3||1|恒成立，且N ∈a ，求a 的值；（2）若1=+b a ，求ab b ||||31+的最小值并指出取得最小值时a 的值.21.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，设点)0,(n D ，)0,(m E ，M 为抛物线C 上的动点（异于顶点），连结ME 并延长交抛物线C 于点N ，连结MD 、ND 并分别延长交抛物线C 于点P 、Q ，连结PQ ，设MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k .（1）若11=k ，2=m ，64||=MN ，求p ；（2）是否存在与p 无关的常数λ，是的12k k λ=恒成立，若存在，请将λ用m 、n 表示出来；若不存在请说明理由.同理，点222222,pn pnQy y⎛⎫-⎪⎝⎭……………………8分,,M E N三点共线22.（本题满分14分）已知函数)1ln(||)(+--=x a x x x f .（1）当0=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当1-=a 时，若),0[+∞∈∀x ，2)1()(x k x f +≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）证明)N (2)12ln(1221∑=*∈<+--ni n n i .当0k >时，12112()2111kx x k g x kx x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-+=++。

2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2或﹣3D．﹣2或﹣3 2．（5分）设全集U=R，A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则图中阴影部分所表示的集合（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”4．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若=3，=﹣，则向量在方向的投影为（）A．B．C．D．15．（5分）已知等比数列{a n}的首项a1=2014，公比为q=，记b n=a1a2a3…a n，则b n达到最大值时，n的值为（）A．10B．11C．12D．不存在6．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（2，1，1），（2，2，2）．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的侧视图和俯视图分别为（）A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②7．（5分）已知在△ABC中，边a、b、c的对角为A、B、C，A=30°，b=6，C∈[60°，120°]，则此三角形中边a的取值使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的值域为R 的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）近期由于雨雪天气，路况不好，某人驾车遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）=7﹣3t+（t为时间单位s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位；m）是（）A．1+25ln5B．4+25ln5C．8+25ln D．4+50ln2 9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．e＞C．e＞D．1＜e＜10．（5分）已知函数f（x）=+，若x，y满足f（x+1）﹣f（y）＞0，则x2+y2﹣2x+1的取值范围（）A．（1，10）B．[2，10]C．（，）D．[，+∞]二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为．12．（5分）设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a1|+…+|a7|+|a8|=．13．（5分）已知实数x，y，z满足2x+y+3z=32，则的最小值为．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…．若a=1，则x1+x2+x3=；若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n=．三、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分5分）15．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）16．已知直线l的参数方程是，圆C的极坐标方程为．由直线l上的点向圆C引切线，则切线长的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（2cosωx，2），=（2cos（ωx+），0）（ω＞0），函数f（x）=•的图象与直线y=﹣2+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有6个零点，求b的最小值．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=4，E、F为线段AB、CD上的点，且EF∥BC，设AE=x，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2所示）．（Ⅰ）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥体积记为f（x），求f（x）的最大值及取最大值时E的位置；（Ⅱ）在（1）的条件下，试在线段EF上的确定一点G使得CG⊥BD，并求直线GD与平面BCD所成的角θ的正弦值．21．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=a（x+1）ln（x+1）图象上的点（e2﹣1，f（e2﹣1））处的切线与直线x+3y+1=0垂直（e=2.71828）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=2f（x﹣1）与y=x3﹣mx（m＞1）的图象在区间[，e]上交点的个数；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+e m）en＜（1+e n）em．2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2或﹣3D．﹣2或﹣3【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选：C．2．（5分）设全集U=R，A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则图中阴影部分所表示的集合（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵A={x||x+1|＜1}={x|﹣2＜x＜0}，B={x|（）x﹣2≥0}={x|x≤﹣1}，∴∁U B={x|x＞﹣1}，即A∩（∁U B）={x|﹣1＜x＜0}，故选：D．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．4．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若=3，=﹣，则向量在方向的投影为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵向量，是夹角为的单位向量，∴=1，==﹣．==3，∴====．∴向量在方向的投影为===．故选：A．5．（5分）已知等比数列{a n}的首项a1=2014，公比为q=，记b n=a1a2a3…a n，则b n达到最大值时，n的值为（）A．10B．11C．12D．不存在【解答】解：由等比数列的通项公式，得a n=a1•q n﹣1＜212﹣n∴b n=a1•a2•a3…a n＜211•210•29•28•…•212﹣n=∵2＞1∴达到最大值时，b n达到最大值结合二次函数图象的对称轴，可得当n=11时，b n达到最大值．故选：B．6．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（2，1，1），（2，2，2）．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的侧视图和俯视图分别为（）A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得四面体的侧视图和俯视图分别为③②故选：C．7．（5分）已知在△ABC中，边a、b、c的对角为A、B、C，A=30°，b=6，C∈[60°，120°]，则此三角形中边a的取值使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的值域为R 的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知在△ABC中，边a、b、c的对角为A、B、C，A=30°，b=6，C∈[60°，120°]，则B∈[30°，90°]，由正弦定理，得到a==∈[3，6]，使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的值域为R的a的范围为，解得a≥4，所以由几何概型，此三角形中边a的取值使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的值域为R的概率为；故选：D．8．（5分）近期由于雨雪天气，路况不好，某人驾车遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）=7﹣3t+（t为时间单位s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位；m）是（）A．1+25ln5B．4+25ln5C．8+25ln D．4+50ln2【解答】解：令，则t=4．汽车刹车的距离，故选：B．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．e＞C．e＞D．1＜e＜【解答】解：设点F2（c，0），由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，由对称性可得，MF1=F1F2=2c，则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a，则有e=＞．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=+，若x，y满足f（x+1）﹣f（y）＞0，则x2+y2﹣2x+1的取值范围（）A．（1，10）B．[2，10]C．（，）D．[，+∞]【解答】解：由，得，即﹣1≤x≤1，故函数的定义域为[﹣1，1]，f（﹣x）=+=f（x），则函数f（x）是偶函数，当0≤x≤1时，函数的导数f′（x）=×（）=•＜0，即此时函数单调递减，则f（x+1）﹣f（y）＞0等价为f（x+1）＞f（y），即f（|x+1|）＞f（|y|），即，即，作出不等式组对应的平面区域如图：x2+y2﹣2x+1=（x﹣1）2+y2的几何意义是区域内的点到点Q（1，0）的距离的平方，由图象可知，OQ的距离最小为1，AQ或BQ的距离最大，此时最大值为（﹣2﹣1）2+12=10，故x2+y2﹣2x+1的取值范围是（1，10），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为1﹣i．【解答】解：复平面内与复数z====1+i所对应的点（1，1）关于实轴对称的点为A（1，﹣1），则A对应的复数为1﹣i．故答案为：1﹣i．12．（5分）设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a1|+…+|a7|+|a8|=255．【解答】解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，又x=0时，|a0|=1，所以|a1|+…+|a7|+|a8|=255，故答案为：255．13．（5分）已知实数x，y，z满足2x+y+3z=32，则的最小值为．【解答】解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（22+12+32）[（x﹣1）2+（y+2）2+z2]≥（2x﹣2+y+2+3z）2=322，∴≥，即的最小值是，故答案为：．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…．若a=1，则x1+x2+x3=14；若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n=6（3n﹣1）．【解答】解：∵①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|∈[0，1]；②f（3x）=3f（x）．∴当≤x＜1时，则1≤3x＜3，由f（x）=f（3x）可知：f（x）∈[0，]．同理，当x∈（0，）时，0≤f（x）＜1，当x∈[3，6]时，由∈[1，2]，可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由∈（2，3），可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．当a=1时，x1=2，x2+x3=12，∴x1+x2+x3=14当a∈（1，3）时．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．+x2n=4×（3+32+...+3n）=4×=6×（3n ∴当a∈（1，3）时，x1+x2+ (x2)﹣1﹣1）．故答案为：14，6×（3n﹣1）三、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分5分）15．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．【解答】解：连接OC，BE，如下图所示，∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l，∴AD∥OC，故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°，∴AE=AB=4．故答案为：4．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）16．已知直线l的参数方程是，圆C的极坐标方程为．由直线l上的点向圆C引切线，则切线长的最小值为2．【解答】解：圆c的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），转化成普通方程为：整理成标准方程为：所以：圆心坐标为：，半径为1．直线l的参数方程是（t为参数），转化成直角坐标方程为：y=x+要使切线长最小，只有圆心C到直线l上的点P的距离最小．而CP的最小值为点C到直线l的距离，即d=，故切线长的最小值为：故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（2cosωx，2），=（2cos（ωx+），0）（ω＞0），函数f（x）=•的图象与直线y=﹣2+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有6个零点，求b的最小值．【解答】解：（I）由于向量=（2cosωx，2），=（2cos（ωx+），0）（ω＞0），f（x）==4cosωxcos（ωx+）=4cosωx（cosωx﹣sinωx）=2•﹣sin2ωx，即有，由题意得T=π，所以ω=1，所以，由，解得，又x∈[0，2π]，则所求单调增区间为[，]和[，]；（II）由题意得，令g（x）=0得或，k∈Z，每个周期恰有2个零点，要恰有6个零点，则b不小于6个零点的横坐标即可，即．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）ξ0123P所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）20．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=4，E、F为线段AB、CD上的点，且EF∥BC，设AE=x，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2所示）．（Ⅰ）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥体积记为f（x），求f（x）的最大值及取最大值时E的位置；（Ⅱ）在（1）的条件下，试在线段EF上的确定一点G使得CG⊥BD，并求直线GD与平面BCD所成的角θ的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，所以AE⊥面BCF，…（2分）以B、C、D、F为顶点的三棱锥底面为△BCF，高为AE，所以，…（4分）当x=2时，，此时对应的点E为AB的中点．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）中知EA、EF、EB两两互相垂直，以E为原点，以EB为x轴、EF 为y轴、EA为z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），设G（0，y o，0）由CG⊥BD得，解得y o=2．…（8分）所以，设平面BCD的法向量为，由，可取=（1，0，1），所以sinθ=|cos＜，＞=即为所求．…（12分）21．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，a2=8，b=c所以=4，故椭圆的方程为；（II）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0）显然直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由直线代入椭圆方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．因为x0==﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即解得，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是．22．（14分）已知函数f（x）=a（x+1）ln（x+1）图象上的点（e2﹣1，f（e2﹣1））处的切线与直线x+3y+1=0垂直（e=2.71828）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=2f（x﹣1）与y=x3﹣mx（m＞1）的图象在区间[，e]上交点的个数；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+e m）en＜（1+e n）em．【解答】解：（1）f′（x）=aln（x+1）+a（x+1）=a[1+ln（x+1）]，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由于f（x）在点（e2﹣1，f（e2﹣1））处的切线与直线x+3y+1=0垂直，所以f′（e2﹣1）=a（lne2+1）=3，解得a=1，∴f（x）=（x+1）ln（x+1），f′（x）=ln（x+1）+1．…（2分）令f′（x）=0，解得x=，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得x＜，故f（x）的单调递减区间为[﹣1，]，单调递增区间为（，+∞）…（4分）（Ⅱ）函数y=2f（x﹣1）与y=x3﹣mx（m＞1）的图象在区间[，e]上交点的个数，⇔方程2xlnx=x3﹣mx在区间[，e]上有两个不同的实数解⇔方程m=x2﹣2lnx在区间[，e]上有两个不同的实数解．⇔函数y=m与g（x）=x2﹣2lnx图象在区间[，e]上有两个不同的交点．﹣…（6分）g′（x）=2x﹣=，（x＞0），由g′（x）=0得，x=1；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，故g（x）在[，1]上是减函数，在[1，e]是增函数；在区间[，e]上g（x）的最小值为g（1）=1，∵g（）=，∴g（x）的最大值为g（e）=e2﹣2，其大致图象如右图：…（8分）由图象可知，当m的取值范围是（1，2+]时，函数y=2f（x﹣1）与y=x3﹣mx的图象在区间[，e]上有两个不同的交点；当m ＞2+时，函数y=2f （x ﹣1）与y=x 3﹣mx 的图象在区间[，e ]上有1个交点 …（9分） （Ⅲ）令u=e m ，v=e n ， ∵m ＞n ＞0，∴u ＞v ＞0，要证（1+e m ）en ＜（1+e n ）em ．，只需证vln （1+u ）＜uln （1+v ）， 这等价于， 令h （x ）=，h′（x ）==，令k （x ）=x ﹣（1+x ）ln （1+x ），（x ＞0）， ∵x ＞0，x +1＞1，∴k′（x ）=1﹣ln （x +1）﹣1=﹣ln （x +1）＜0， 故k （x ）在（0，+∞）单调递减， ∴k （x ）＜k （0）=0， 故h′（x ）＜0，故h （x ）=，是减函数，∵u ＞v ＞0， ∴h （u ）＜h （v ）， 即，就是成立．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。