人教版高中数学选修(2-2)-1.4《生活中的优化问题举例》教学教案

学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林§1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

1．4 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= ,042)(2=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业。

生活中的优化问题举例【教材分析】本节课是人教版高中数学选修2-2第一章第四节“生活中的优化问题举例”第一课时，主要内容是用导数求生活中面积、体积的最值问题。

生活中的优化问题是在导数的概念、运算，用导数求极值、最值等内容的基础上教学的，它既是对导数知识的复习巩固，也是导数知识在实际生活中的应用。

本节课以生活实例为题材，培养学生的阅读能力和建模意识。

学习过程中的认知冲突，不同思维的碰撞，易激发学生思维的积极性，有助于创新能力的培养。

【学情分析】学生刚学完导数的概念、运算、用导数求极值、最值等知识，为用导数解决实际生活中的问题创造了条件。

高二年级的学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，并有相应的认知基础，乐于探索、敢于探究。

但逻辑思维能力还属于经验型，运算能力不强，数学建模方法的运用还不够熟练，有待进一步加强训练。

【教学目标】知识与技能：掌握利用函数思想、导数方法求有关面积、体积的最值问题。

过程与方法：以日常生活、生产实践中典型的问题为载体，探讨利用函数思想、导数方法求面积和体积问题的应用。

情感态度与价值观：学生分享将实际问题转化为数学问题的学习乐趣，感受数学与生活的密切联系。

【教学重点】从实际问题中抽象出函数模型，用导数方法求解函数最值问题的程序化步骤。

【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型，对最值、最值与极值概念的区别与联系的理解。

授课人：永安一中罗薇授课时间：12月1日授课地点：永安市十二中教学环节教学活动设计意图学情预设小试牛刀，知识复习问题一1.求函数导数的常用方法有哪些？（1）定义法（2）公式法（3）运算法则问题一的引入目的在于帮助学生简单回顾一些常用函数的学生对于问题二如何求解应用题，学生可能存在较多遗（4）复合函数法2.请写出以下函数的导数公式()f x c =（c 为常数） '()f x = *()()af x x a Q =∈ '()f x =()sin f x x = '()f x = ()cos f x x = '()f x = ()xf x a = '()f x = ()x f x e = '()f x = ()log a f x x = '()f x =()ln f x x = '()f x =问题二应用题的解题步骤是什么？ 审题—建模—求解—还原实际导数公式以及如何利用导数工具求解函数单调区间、最值。

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、前言优化问题是数学中的重点和难点之一，也是工程应用中的实际问题。

本课程主要讲解生活中的优化问题，通过具体的例子，让学生了解优化问题的基本方法和应用范围。

二、教学目标1.能够分析生活的实际问题，抽象出其中的优化问题。

2.掌握用微积分方法解决优化问题的基本技能。

3.了解优化问题在工程应用中的实际意义。

三、教学内容1.生活中的优化问题1.1 费用最小问题举例：一家人要出去旅游，如何在满足旅游时间和预算的情况下，选择最优路线？1.2 体积最大问题举例：有一块给定面积的矩形纸片，如何剪裁使得剩余部分的体积最大？1.3 面积最小问题举例：一张给定面积的铁皮，如何剪裁才能使成本最小？2. 用微积分方法解决优化问题2.1 寻找极值2.2 使用导数判断最值3. 工程应用3.1 优化问题在自动化控制中的应用举例：如何通过PID控制算法，在发电机组切换系统中实现能耗最小的自动控制？3.2 优化问题在工程设计中的应用举例：如何利用优化技术，在给定材料和工艺下，设计出最合适的汽车车身结构？四、教学方法1.引导式教学法通过提问、引导问题等方式，启发学生自主思考和探究，激发学生学习兴趣，培养自主学习的能力。

2.案例式教学法通过具体实例，帮助学生理解和掌握优化问题解决的基本方法和应用。

3.互动式教学法通过大讨论、小组讨论、同桌讨论等方式，促进学生之间的交流和互动，增强学生的学习效果。

五、教学步骤1.导入环节通过举例子等方式，引导学生了解生活中的优化问题，概述优化问题的解决方法。

2.知识讲解讲解微积分中最值问题的求解方法，包括极值的定义，最值问题的转化以及最值的判断方法等。

3.案例分析通过生活中的优化问题案例进行讲解，包括费用最小问题、体积最大问题、面积最小问题等。

4.工程应用讲解优化问题在工程应用的实际意义，以及在自动化控制和工程设计中的应用。

5.总结复习对本课程内容进行总结和复习，并提醒学生学习中需要注意的问题。

1．4 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= ,042)(2=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业。

1.4 生活中的优化问题举例[学习目标]1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接]设两正数之和为常数c ，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)?答 设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为f (x )＝x (c －x )＝cx －x 2(0＜x ＜c )，f ′(x )＝c －2x . 令f ′(x )＝0，即c －2x ＝0，得x ＝c2.故当x ＝c2时，f (x )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＝c 24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.若设这两个正数分别为a ，b ，则有a ＋b 24≥ab (a ＞0，b ＞0)，即a ＋b 2≥ab(a ，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时等号成立． [预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 解 设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数(k ≠0)，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v小时，所以，航行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v.q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时，q 取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20 cm ，y －252cm ，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案． 跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2， 由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π，从而h ＝V πR 2＝Vπ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3V 2π2＝ 34V π＝2 3V2π，即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省． 要点三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 2＝0得v ＝ab.但v ∈(0，c ]． ①若ab≤c ，则当v ＝ ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当ab≤c 时，行驶速度v ＝ a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c . 规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2，利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)L ′＝－14q ＋21令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.所以产量为84时，利润L 最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B ．203C ．－1D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34VD ．23V答案 C解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0)．∴S ′＝3x2(x 3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x2cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD ．14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 答案 40解析 由题设知y ′＝x 2－39x －40， 令y ′＞0，解得x ＞40，或x ＜－1，故函数y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x ＝40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x 2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.323 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2答案 D解析 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a .于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k 2＋a 30a －a 2.(0<a <30)令y ′＝a 2k ＋4ak －60k30a －a 22＝0得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x ＝a (kx 2＋200x)．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋200x (0＜x ＜100)． 令f ′(x )＝a x 3－20 000100x 2＝0，得x ＝10320. 当0<x <10320时，f ′(x )<0；当10320<x <100时，f ′(x )>0.∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．三、探究与创新13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－4r3＝43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r.由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2(r3－20c－2)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.。

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、课程背景生活中的方方面面都涉及到了优化问题，优化问题是数学中的一个重要分支。

通过本课程，让学生了解什么是优化问题，为什么要进行优化，生活中的哪些问题需要优化，并掌握如何运用数学方法解决生活中的优化问题。

二、教学目标1.理解什么是优化问题，为什么要进行优化；2.掌握数学方法解决生活中的优化问题；3.通过实践案例，将所学知识运用到实际生活中，提高学生问题解决能力和实践能力。

三、教学内容1. 优化问题的概念通过教师讲解、PPT演示和样例解析等方式，讲授优化问题的概念，引导学生深入了解什么是优化问题，为什么要进行优化。

2. 生活中的优化问题通过教师提供案例和引导，让学生发现生活中存在哪些需要优化的问题，如购物、交通、饮食、健康、环境等方面，让学生了解到优化问题的广泛应用。

3. 优化问题的数学方法通过教师演示、实践操作等方式，引导学生掌握代数方法、几何方法、微积分方法解决生活中的优化问题，并重点强调常见的最值问题，如求函数的最大值、最小值等。

4. 实践案例分析通过学生小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，让学生运用所学知识，分析解决实际生活中的优化问题，以提高学生问题解决能力和实践能力。

四、教学方法1. 授课法引导学生掌握基础知识，并指导完成相关练习。

2. 实践法通过案例分析等实际操作，加深学生对优化问题的了解，提高问题解决能力和实践能力。

3. 合作学习法通过小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，激发学生的合作精神，培养团队意识。

五、教学资源1. 教案、PPT教师编写的教案和PPT，包括基础知识介绍、案例分析等。

2. 实践案例教师提供丰富的实践案例，让学生练习并掌握所学知识。

3. 练习册教师编写的练习册，包括基础习题和拓展习题，方便学生巩固知识点，提高解题能力。

六、教学评估1. 个人评估通过课堂练习、课后作业等形式对个人进行评估，了解学生对课堂知识掌握情况。

§1.4生活中的优化问题举例〔2课时〕教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大〔小〕值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校所示的竖向X 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，那么版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。

求导数，得'2512()2S x x =-。

令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去〕。

于是宽为128128816x ==。

当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

新人教版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师教案（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例（税长江）一、教学目标 1．核心素养通过生活中的优化问题举例的学习，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，培养数学模的意识． 2．学习目标能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等优化问题，并体会导数在解决实际问题的应用。

（1）1.4.1.1感受教材中的优化案例（2）1.4.1.2提炼运用数学建模，解决生活中的优化问题的方法过程（3）1.4.1.3实际运用，提升能力 3．学习重点：利用导数解决实际生活中简单的最优化问题。

4．学习难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P34－P36，思考：建立函数模型的基本步骤是什么？任务2收集资料，运用数学模型解决实际问题有哪些典型的案例？ 2．预习自测t2（1）某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)＝100，则在时刻t＝10 min时的降雨强度为（） 1A．5mm/min 1B．4mm/min1C．2mm/min D．1mm/min 答案：A 解析：略12．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（） A．13万件B．11万件 C．9万件 D．7万件答案：C 解析：略3．某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)?x2(箱子底面边长为（） A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 解析：略（二）课堂设计 1．知识回顾（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递增函数；若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递减函数．（2）求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y?f(x)在区间(a,b)内的极值；②将函数y?f(x)各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。