八年级数学下册第五章特殊平行四边形5.2菱形第2课时菱形的判定作业 ppt课件 浙教版

点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，

O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,

.
典例2 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱形 的周长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 为菱形，，.，点 为 的中点， ． ．
另解∵四边形 是菱形， ， ，又∵点 是 的中点， 是 的中位线， ， .
选择题、解答题
考点2：菱形的判定，通常会和菱形的性质一起考查.
选择题、解答题
考点3：菱形的性质与判定与图形变换结合，考查难度较大，较综合.
填空题、解答题
考点1 菱形的性质
典例7 [衢州中考] 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连结 ， ．求证： ．
证明：∵四边形 是菱形， ， .在 与 中， ， ．
考点2 菱形的判定
典例8 [2022·嘉兴中考] 小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ．求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明： ， ， 垂直平分 ． ， ，四边形 是菱形．
B
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
[解析] 根据作图方法可得 ，因此四边形 一定是菱形.
典例6 如图， <m></m> 的对角线 <m></m> ， <m></m> 相交于点 <m></m> ，点 <m</m> ， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，若要使四边形 <m></m> 成为菱形，则 <m></m> 应满足的条件是_________（写出一种即可）．

总结
知2－讲
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边 形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四 边形是菱形 .
知2－练
1 如图，在△ABC中，AB=AC，画出点A关于BC的 对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是 菱形. 解：略．
（来自教材）
知2－练
2 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥ BD于点H，交BC延长线于点F，交DC于点G. 求证：DC与EF互相平分.
（来自《典中点》）
知2－练
10 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边
向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，
F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点
H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG;
④FH＝
1 4
BD.
其中正确的结论是( C )
∴DE＝DF，∴DE＝DF＝BE＝BF.
∴四边形DEBF是菱形．
（来自教材）
知2－讲
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中 点．试说明：四边形EFGH是菱形．
导引：由于点E，F，G，H分别是AD，BD，
BC，AC的中点，可知EH，HG，
GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH是菱形．
（来自《点拨》）
知2－讲
解：∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝

四条边相等的四边形是菱形.
B
O
A
C
D
∴△AOB≌△COB，∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
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菱形的判定
归纳：菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，
B
O
A
C
∴平行四边形ABCD是菱形.
D
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(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE,
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
∴△AFE≌△DBE.
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
∴AF=BD，∴AF=DC．
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
由(1)知AF∥BC，AF=DC，
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菱形的判定
归纳：判定一个四边形是菱形的方法与思路是: 有四条边相等 菱形
四边形 对角线互相垂直平分 菱形 对角线互相垂直 菱形
平行四边形 一组邻边相等 菱形
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菱形的判定
练一练：下列条件中，能判定四边形是菱形的是( D ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分
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菱形的判定
归纳：菱形的判定定理： 四条边相等的四边形是菱形 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵ AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形.
B
A
C

面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。

菱形的判定
复习思考
1 看图说定义
平行四边形
矩形
菱形
2 把矩形和菱形的性质填入下表：
图形 项目 边和角 对角线
对称性
A
D
D
矩形
O
菱形 A O C
B
C
B
对边平行且相等，对角相等
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直
既是中心对称图形，也是轴对称图形 对称轴为经过两组 对称轴为两条对角 对边中点的直线. 线所在的直线.
3 矩形的判定方法有哪些？
四边形
三个角是直角
+
对角线互相平分且相等
矩
平行四边形
一个角是直角
形
+
对角线相等
学
习
新
课
怎样判定一个四边形是菱形呢？ 动脑筋①
如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱 形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等 的四边形是菱形吗？
图2-52
下面我们来证明这个结论. 如图2-53，在四边形ABCD中， A∵BA=DB=CB=CC，D=ADBA=.DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB=AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
由此得到菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
例6 已知：如图2-54，在四边形ABCD中， 线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2. 求证：四边形ABCD是菱形.
图2-54
证明 ∵线段BD垂直平分AC ，
∴ BA=BC，DA=DC， 在OA△A=OOBC和. △COD中， ∵ ∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC. ∴ △OAB≌△OCD.

E
C
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来
计算菱形ABCD的面积呢?
合作探究
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出
A
菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC






O
B


＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
C
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
D
典例精析
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD．
A
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
12
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
（3）两条对角线长度乘积的一半．
随堂练习
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，
当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ C ）
A．32
B．24
C．16
D．18
D
E
A
周长＝4DC＝16
DC＝2OE＝4
C
O
B
随堂练习
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形
H
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB， △BOC，
△COD， △AOD的中位线，
∴
A




EF＝ AB，FG＝ BC，GH＝ CD，EH＝ AD，




∴EF＝FG＝GH＝EH，

故选：C．
）
菱形的判定
如图，、、、分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形
ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．一组对边平行而另一组对边不平行
【详解】
解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，
D
1
2
做法：分别以A、C为圆心,以大于 AC
的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B ,
D，依次连接A、B、C、D四点.
A
C
[思考]得到的这个四边形是菱形吗？
B
探索与证明
四条边都相等的四边形是菱形
A
Ｄ
B
Ｃ
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD
∴AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
判定1：四条边都相等的四边形是菱形
探索与证明
对角线互相垂直的的平行四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：▱ABCD是菱形.
B
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
A．3个
B．4个
C．1个
D．2个
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；

∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
B
O
A
C
D
思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？
AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
又∵四边形ABCD是菱形，
A
3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，且AB＝5,BO=4，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
D
1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
4cm 解：∵花坛ABCD是菱形， 则：（1）BO=____________; 即AC⊥BD.
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).
底×高或者对角线乘积的一半
1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8
菱形的性质 (2)AC=_____________.
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝ ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长.
底×高或者对角线乘积的一半
又∵四边形ABCD是菱形，
1.四边相等 又∵四边形ABCD是菱形，
则：（1）BO=____________;
D
3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，且AB＝5,BO=4，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
（2）AB的长为 ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
∴AO⊥BD，
A
O
C
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能得到一个什么特殊的平行四边形？

科学课件：/kejian/kexue/
化学课件：/kejian/huaxue/
地理课件：/kejian/dili/
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PPT图表：/tubiao/
PPT教程： /powerpoint/
证明:∵四边形 A B C D 是平行四边形,
∴A D=B C,A D∥B C.
∵ D E= B F,∴ A E= C F.
∵ A E∥ C F,∴四边形 A E C F是平行四边形.
∵ A C ⊥EF,∴平行四边形 A E C F是菱形.
第一章
第2课时 菱形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
个人简历：/jianli/
教案下载：/jiaoan/
PPT课件：/kejian/
数学课件：/kejian/shuxue/
美术课件：/kejian/me ishu/
物理课件：/kejian/wul i/
历史课件：/kejian/lishi/
1.如图,在▱ A B C D 中,对角线 A C , B D 交于点O,添加下列一个条件,能使平行四边形 A B
C D 成为菱形的是( C )
A . A O= B O
B.A C=A D
C . A B = B C D .O D = A C
PPT下载：/xiazai/
资料下载：/ziliao/
试卷下载：/shiti/
手抄报：/shouchaobao/
语文课件：/kejian/yuw en/
英语课件：/kejian/ying yu/
第一章
第2课时 菱形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
2.如图, A D 是△ A B C 的角平分线, D E∥ A C , A F=E D .求证:四边形 A E D F是菱形.