单位代码： 005
分类号： o1
西安创新学院本科毕业论文设计
题目：全概率公式和贝叶斯公式
专业名称：数学与应用数学
学生姓名：行一舟
学生学号： 0703044138
指导教师：程值军
毕业时间：二0一一年六月
全概率公式和贝叶斯公式
摘要:对全概率公式和贝叶斯公式,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法,和一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效的途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简.而贝叶斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式.
关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组
The Full Probability Formula and Bayes Formula Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained.
Key words：Full probability formula; Bayes formula; Complete event group;
目录
引言 (4)
1.全概率公式和贝叶斯公式 (4)
1.1 全概率公式 (4)
1.2 贝叶斯公式 (5)
1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用 (5)
2全概率公式和贝叶斯公式的推广 (11)
结束语 (13)
参考文献 (14)
致谢词 (15)
引言
应用全概率公式和贝叶斯公式是生活中和学习中经常运用到的两个公式，而在计算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组,但在日常教学中发现许多同学在利用这两个公式计算某个事件的概率时,往往找不准相关的事件组,因而所求答案出现失误.本文针对这个问题展开讨论,通过对全概率公式和贝叶斯公式相关问题的分析,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法，并发现贝叶斯公式和全概率公式在生活和应用中的推广.
1.全概率公式和贝叶斯公式
定义1.1 设S 为样本空间 , 设1A ,2A ，n A 为S 的一个划分组,若它满足(1)i j =A A ∅, i ,j =1,2,…,n ,i ≠j ;
(2)12···n A A A ∪∪
∪=S . 则称1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.
1.1 全概率公式
全概率公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,P (i A )＞0(i =1,2…),则对于任意事件B ,有
[1]
1()()(|)n i i i P B P A P B A ==∑.
全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A (i =1,2…),并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P BA (i =1,2…)有关,且等于其总和
11()()(|)n n i i i
i i P BA P A P B A ===∑∑.
全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P BA ,或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2…).通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件
B 发生的可能性的乘积之和.
1.2 贝叶斯公式
贝叶斯公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,且()i P A ＞0(i =1,2,…),则对任何概率非零的事件B ,有
1
()(|)()(|)
(|)()()(|)i i i i i n j
j j P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑.
在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.
1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用
从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件组.
如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和,这些事件就是所求的一个完备事件组.至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发生的概率,应采用贝叶斯公式求之.
如果事件B 能且只能在原因1A ,2A ,…n A 下发生,且1A ,2A ,…n A 是两两互不相容,那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率()i P A 以及在原因i A 发生下事件B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2,…)都是已知的,或都可求出,则:
(1) 可使用全概率公式计算事件B 的概率.
(2) 如果已知事件B 发生,要计算导致结果B 发生的原因i A 的可能性大小,即事件i A 的条件概率(|)i P A B 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把i A (i =1,2…)看成是导致事件B 发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果
