(完整word版)全概率公式与贝叶斯公式解题归纳.doc

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳来源：文都教育在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果” ，还是“由果索因” ，因为全概率公式是计算由若干“原因” 引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率 .它们的定义如下：全概率公式：设 B1 , B2 , , B n为样本空间的一个划分，如果P( B i)0,i1,2,L , n ，则对任一事件A有nP( A)P(B i )P( A | B i ) .i 1贝叶斯公式：设 B1 ,B2 , ,B n是样本空间的一个划分，则P(B i | A) n P(B i )P( A | B i ), i 1,2, , n. P( B j ) P( A | B j )j 1例 1 从数字 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为X，再从 1，， X 中任取一个数，记为Y，则 P(Y 2) .解由离散型随机变量的概率分布有：P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) 1 4.由题意，得P(Y 2X 1) 0,P(Y 2X 2) 12,P(Y 2 X 3) 1 3, P(Y 2 X 4) 1 4 ,则根据全概率公式得到P(Y 2) P( X 1)P(Y 2 X 1) P( X 2)P(Y 2 X2) P( X 3)P(Y 2 X3) P( X 4)P(Y 2 X4)1 1 1 1 134(03).2 4 48例 2 12 件产品中有 4 件次品， 在先取 1 件的情况下， 任取 2 件产品皆为正品， 求先取1 件为次品的概率 .解 令 A={先取的 1 件为次品 }，则 A, A 为完备事件组，P( A)1 ,P( A)23 , 令 B={后3取的 2 件皆为正品 }，则 P( B A)C 8228, P(B A) C 7221,C 11255C 11255由贝叶斯公式得P( AB)P( A)P(B A)1 28 23 55 .P(A B)P( A)P(B A) P(A)P(B A)1 282 21 5P(B)3 553 55若随机试验可以看成分两个阶段进行， 且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知， 那么：（ 1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； （ 2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的， 要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率， 一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.。

例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。

已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。

例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。

求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。

例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。

公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。

为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。

若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。

求该产品
（1）为销路一般的概率。

（2）为畅销品的概率。

（3）畅销或销路一般的概率。

全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1. 完备事件组(或样本空间Ω的划分)n 个事件满足：12B ,B ,,B nB B ,,1,2,,i j i j n=Φ= (1) 两两互不相容.(2) 和事件为必然事件.1Bnkk ==Ω∑ΩB 2B 1B n…2. 全概率公式则对任一事件A ，有1()P(B )(/B )n k k k P A P A ==∑设为完备事件组，且12B ,B ,,B n P(B )0,1,2,,k k n>= ①取合适的完备事件组，从导致该事件发生的各种条件、原因着手;②各B k 的概率及有关条件概率易于计算.类比集合分类计数思想，可得到一种计算复杂事件概率的方法.运用公式的关键全概率公式与贝叶斯公式证明：由完备事件组的性质可知1B B ,,1,2,,Bi j nkk i j n==Φ==Ω∑ 11B B ,(B )(B )nnk k i j k k A A A A A A ===Ω===Φ∑∑11()(B )(B )nnk k k k P A P A P A ====∑∑1(B )(/B )nk k k P P A ==∑（由乘法公式）()i P B A =1()()()(),1,2,,ii nkkk P B P A B PB P A i n B ==∑3. 贝叶斯公式设为完备事件组，则12B ,B ,,B n 利用条件概率公式与全概率公式可得到贝叶斯公式.P(A)>0,P(B )0,1,2,,k k n>= 其中：全概率公式与贝叶斯公式()()i P AB P A 已知结果A ，分析导致出现此结果的第i 个原因B i 发生的概率.例1. 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他患有此疾病的概率是多少？解：A”检查结果为阳性”B1“被检查者患有此病”，B2“被检查者没患此病”显然，B1，B2为完备事件组.可知在查为阳性的情况下，确实患病的概率并不是很大！由题意知，005.0)(1=B P ，995.0)(2=B P 1()0.95P A B =，2()0.01.P A B =由贝叶斯公式可得112110.()()()(0050.95()0.323.0.0050.950.90)95.01iii P P B P A B P B A B B A P =⨯==≈⨯+⨯∑例2 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，随机地查看4只，若无残次品，则买下，否则不买．试求（1）顾客买下的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.解：A”顾客买下”, Bi”买下的这箱中有i只残次品”,i=0,1,2.显然，B0，B1，B2为完备事件组.,8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ;1.0)(2=B P ,1)(0=B A P ,54C C )(4204191==B A P .1912C C )(4204182==B A P 2412()0.810.10.10.94519()()i i i P P A A B P B ===⨯+⨯⨯≈∑＋（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式000()()()0.8()0.850.94P A B P B P P B A A =≈≈①全概率公式：从产生结果A的所有可能原因、条件出发，分析在各特定原因、条件Bk 下结果出现的可能性P(A/Bk)，并由此得到结果A发生的可能性P(A) .②贝叶斯公式：当观察到一个结果A后，去分析导致该结果的各种原因、条件Bk 的可能性P(Bk/A)．③贝叶斯方法在经济管理、投资决策、医学、人工智能等许多方面有着重要的应用价值.4. 贝叶斯方法包含的重要思想练习1) 市场上出售的灯泡来自甲乙两厂.甲乙两厂的市场份额分别为70%，30%，灯泡的合格率分别是90%，85%.求从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率.2) 有位朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的可能性分别是：0.3，0.2，0.1，0.4。