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美式看跌期权定价的二叉树方法中的几
个不等式
美式期权定价的二叉树方法既考虑的期权的价值，也考虑了未来的期
权价格的变化。
其中，一般包含两个基本不等式，如此可以找到更优的期
权定价解答；这两个不等式就是“中值不等式”（Median Inequality）和“最大不等式”（Maximum Inequality）。
首先，中值不等式（Median Inequality）源自于当价格发生变动时考
虑期权价值不会低于前一个时间段的价值。
它可以表述为：V(T) ≤ V(T-1)，其中V(T)为时间T的期权价格，V(T-1)为时间T-1的期权价格。
这种
情况也适用于期权看跌，声明为：K-V(T) ≤ K-V(T-1)。
其次，最大不等式（Maximum Inequality）源自于期权价格不会高于
某个有限的上限。
它可以表述为：V(T) ≥ K，其中V(T)为时间T的期权价格，K为期权价格上限。
此外，期权看跌也可以用此不等式来表述，声明为：K-V(T) ≥ K。
这两个基本不等式在美式期权定价二叉树法中起到至关重要的作用，
它们可以帮助我们确定期权价格的有限范围，避免可能出现的价格夸大或
下跌的情况。
同时，它们可以帮助我们从期权的历史表现中推导出比较准确的期权定价解。
美式封顶看涨期权的定价分析期权是现代金融风险管理的重要工具之一，确定的执行价格以及特殊的损益是期权最大的特点。
美式期权可以在期权到期日之前的任何时间行权，封顶确定了市场价格和执行价格之间的间距，看涨期权具有损失有限收益无限的特点。
自1973年Fischer Black 和Myron Scholes提出了著名的期权定价公式，Black-Scholes的研究框架成为期权定价研究的主流。
标准的美式封顶看涨期权定价是自由边界问题，本文从美式封顶看涨期权性质研究开始，继而建立自由边界模型和变分不等方程两种模型对美式封顶看涨期权的定价进行分析。
标签：美式封顶看涨期权；自由边界模型；变分不等方程模型一、期权理论概述1.期权概述期权根据买方对标的价格不同方向的判断分为看涨期权和看跌期权，看涨期权的买方有权利按照执行价格买入期权标的，买方认为期权标的的价格未来是会上涨的；看跌期权的买方有权利按照执行价格卖出期权标的，买方认为期权标的的价格未来会下跌。
对于期权的买方来讲，收益是不固定的，最大损失已经固定是全部的期权费用加上无风险利率收益，对于期权的卖方来讲，最大收益固定是全部的期权费用，损失空间却很大。
2.美式封顶看涨期权性质看涨期权的损失有限，最大的损失就是购买期权支付的费用，盈利则是无限的，损益如图所示。
当市场价格等于行权价格加上期权费用之和，看涨期权损益正好平衡，市场价格越高，看涨期权盈利越大，并且没有盈利上限，但是在现实生活中，期权标的是不可能无限上涨的，因此笔者认为期权中最重要的就是行权价格的选择，也就是行权价格和市场价格之间的间距确定，封顶期权很好的解决了这个问题。
封顶价格对看涨期权来说是定约价加上一个封顶间距，如果底层证券达到或高于看涨期权的封顶价格，封顶期权将自动履约。
设定一个封顶价格就相当于设定一个期权获利区域，根据美式封顶看涨期权的性质，期权标的的价格明显有两种损益，当市场价格大于零（现实中不存在标的价格小于零的情况），小于或等于行权价格时，看涨期权处于亏损状态，损失为期权费用，这时持有人应当继续持有期权，因此这个区域称为持有区域，当市场价格大于行权价格时，期权损益出现转折，市场价格小于行权价格和期权费用之和，期权仍旧处于亏损状态，但是亏损在逐渐缩小，此时期权的损益等于市场价格减去行权价格减去期权费用，这时期权仍旧不应当被执行，当市场价格大于行权价格与期权费用之和，看涨期权开始盈利，这时应当执行期权，不再被持有，因此期权处于终止持有区域，持有到终止持有的盈利过程在两个区域之间流转，因此一定存在一条最佳实施边界，并且这个边界与封顶上限L有密切联系。
美式封顶看涨期权的变分不等方程模型一､引言期权是风险管理的核心工具,在金融和投资领域, 期权市场变得越来越重要和普及｡大量的欧式或者美式期权, 如支付红利的股票看涨期权, 商品或期货看涨期权, 支付红利或不支付红利的股票看涨期权, 商品或期货看跌期权等, 每天在交易所都有大量的交易｡因此, 很明显期权的定价问题在理论和实践上都有重要的意义｡1973年Fischer Black 和Myron Scholes提出了著名的期权定价公式,解决了欧式期权的定价问题｡1997年由于这个公式以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献,M.Scholes和R.Merton获得诺贝尔经济学奖(F.Black已故)｡很多学者在Black-Schols模型的基础上对金融衍生物的定价进行了一系列的研究｡已经证明, 美式看涨或看跌期权的定价模型是一个抛物型自由边界问题,其中的自由边界是美式期权将被提前执行的最佳实施边界｡由于自由边界的存在, 我们找不到美式期权定价模型解的显式表达公式｡在这一点上, 美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题｡为了克服这一困难, 人们通常使用适当的近似方法来给美式期权进行定价｡作为金融工具的创新,美式期权还有不少新的提法｡本文拟对红利的美式封顶看涨期权进行研究｡基于Black-Schols模型推导出该新型期权的定价模型并对该模型给出一种数值算法,由于我们这里的模型是一个抛物型的变分不等方程来,因此必须假定rq｡文中我们分别利用显式及隐式两种有限差分格式给出模型的数值解法,并且给出了该数值解法的收敛性条件｡二､美式封顶看涨期权的定价模型美式封顶看涨期权在原来看涨期权合约的基础上,增加以下条款:当原生资产价格达到合约规定的上限L(L>K,K是期权的敲定价格)时,发行人有权按价格L-K回购｡这项条款的设置,其目的是明显的｡期权发行人就是为了控制由于出售美式看涨期权所面临的风险｡对具有上限条款的美式看涨期权,它的收益函数为:收益=(min(St,L)-K)+｡本文所要研究的问题就是对于这样一张期权合约(假设到期日为t=T),它在有效期内的价值V(S,t)｡首先我们给出模型的基本假设:(1)原生资产价格演化遵循几何Brown运动dSt=μStdt+σStdWt｡这St里是原生资产在t时刻的价格;μ是期望汇报率(常数);σ是波动率(常数);dWt是标准Brown运动,满足E(dWt)=0和Var(dWt)=dt;(2)无风险利率r是常数;(3)原生资产连续支付股息(红利),红利率q是常数,并且qr;(4)不支付交易费和税收;(5)不存在无风险套利机会｡三､美式封顶看涨期权定价模型的数值计算美式封顶看涨期权的定价是一个抛物型的变分不等方程问题,我们一般不可能把期权的价格用一个显式表达式来表示,因此数值方法对于美式封顶看涨期权就显得尤为重要｡这里我们用有限差分方法,是基于将变分不等方程(2.1)-(2.3)的离散化｡下面我们介绍两种差分格式:由于这个算法不需要解代数方程组,因此它是一个显式差分格式(倒向),当然,这个算法是非线性的｡(二)隐式差分格式为了用隐式差分格式求解美式封顶看涨期权的定价问题,首先我们需要加一条边界(本来需要两条边界,而我们这里已经有一条边界了,所以只需另外加一条),并在边界上给定边界条件｡。
美式障碍期权定价的数值方法
吴文青;吴雄华
【期刊名称】《同济大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(029)008
【摘要】给出了基于B-S方程的向下触销型美式看涨期权的具体数值算法.算法采用两点中心隐式差分格式,由于问题的初值条件含强间断或弱间断,故采用了相应的奇性消除技术,利用较少的网点就取得了较准确的结果.另外还分析了障碍对期权价格及最佳实施价格的影响.
【总页数】6页(P970-975)
【作者】吴文青;吴雄华
【作者单位】同济大学应用数学系,;同济大学应用数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.分数布朗运动的美式障碍期权定价 [J], 温鲜;霍海峰;邓国和
2.连续支付红利的美式障碍期权定价的数值方法 [J], 马黎政;金朝嵩
3.欧式障碍期权定价的数值方法 [J], 邢晓芳;王前
4.基于美式障碍期权定价的非线性变分不等式问题 [J], 孙玉东; 王秀芬
5.带跳随机波动率模型的美式期权及美式障碍期权定价 [J], 薛广明;林福宁
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
美式期权的几种蒙特卡罗仿真定价方法比较
郑承利
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2006(18)10
【摘要】在Longstaff和Schwartz(LS,2001)提出的基于多项式函数逼近的美式期权仿真定价基础上,给出美式期权重要性抽样仿真方法----顺推法及其具体算法,同时给出重要性与分层抽样相结合的算法。
该方法可以适用于类似于美式期权具有可提前执行特征以及路径依赖特征等金融衍生工具仿真定价,具有一般性。
数字示例比较结果表明,相对于LS方法,重要性抽样和分层重要性抽样都具有较好的方差缩减效果,尤其分层重要性抽样方法。
【总页数】4页(P2929-2931)
【关键词】美式期权;蒙特卡罗仿真;方差缩减;重要性抽样;分层抽样
【作者】郑承利
【作者单位】北京大学光华管理学院/深圳研究生院
【正文语种】中文
【中图分类】F830.91;O242.1
【相关文献】
1.美式期权定价的拟蒙特卡罗模拟及其方差减小技术 [J], 曹小龙;胡云姣
2.住房养老反向抵押贷款的美式期权特征与蒙特卡罗模拟定价 [J], 马俊海
3.住房养老反向抵押贷款的美式期权特征与蒙特卡罗模拟定价 [J], 马俊海;
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5.美式看涨期权蒙特卡洛模拟定价和二叉树定价方法的比较 [J], 刁博珏;周亮因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
美式封顶看涨期权的变分不等方程模型丁正中,邢海宁(浙江工商大学,浙江杭州310018)摘 要:期权及其定价理论是目前金融工程的前沿问题。
美式看涨期权的出售者具有无限制的义务,承担着巨大的风险,而美式封顶看涨期权可以使出售者承担有限责任,降低了风险。
本文在假定无风险利率r 不大于连续红利q 时,基于Black-Scholes 模型推导出有红利的美式封顶看涨期权定价模型-变分不等方程模型,并且用有限差分格式给出了模型的数值解法。
关键词:期权定价;美式封顶看涨期权;变分不等方程;有限差分中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1000-2154(2006)10-0062-04收稿日期:2006-07-20作者简介:丁正中(1946-),男,上海市人,浙江工商大学教授;邢海宁(1980-),男,山东烟台人,浙江工商大学统计与数学学院硕士研究生。
一、引言期权是风险管理的核心工具,在金融和投资领域,期权市场变得越来越重要和普及。
大量的欧式或者美式期权,如支付红利的股票看涨期权,商品或期货看涨期权,支付红利或不支付红利的股票看涨期权,商品或期货看跌期权等,每天在交易所都有大量的交易。
因此,很明显期权的定价问题在理论和实践上都有重要的意义。
1973年Fischer Black 和Myron Scholes 提出了著名的期权定价公式,解决了欧式期权的定价问题。
1997年由于这个公式以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献,M.Scholes 和R.Merton 获得诺贝尔经济学奖(F.Black 已故)。
很多学者在Black-Schols 模型的基础上对金融衍生物的定价进行了一系列的研究。
已经证明,美式看涨或看跌期权的定价模型是一个抛物型自由边界问题,其中的自由边界是美式期权将被提前执行的最佳实施边界。
由于自由边界的存在,我们找不到美式期权定价模型解的显式表达公式。
在这一点上,美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题。
为了克服这一困难,人们通常使用适当的近似方法来给美式期权进行定价。
作为金融工具的创新,美式期权还有不少新的提法。
本文拟对红利的美式封顶看涨期权进行研究。
基于Black-Schols 模型推导出该新型期权的定价模型并对该模型给出一种数值算法,由于我们这里的模型是一个抛物型的变分不等方程来,因此必须假定r q 。
文中我们分别利用显式及隐式两种有限差分格式给出模型的数值解法,并且给出了该数值解法的收敛性条件。
二、美式封顶看涨期权的定价模型美式封顶看涨期权在原来看涨期权合约的基础上,增加以下条款:当原生资产价格达到合约规定的上限L(L>K,K 是期权的敲定价格)时,发行人有权按价格L-K 回购。
这项条款的设置,其目的是明显的。
期权发行人就是为了控制由于出售美式看涨期权所面临的风险。
对具有上限条款的美式看涨期权,它的收益函数为:收益=(min(S t ,L)-K)+。
本文所要研究的问题就是对于这样一张期权合约(假设到期日为t=T),它在有效期内的价值V(S,t)。
首先我们给出模型的基本假设:(1)原生资产价格演化遵循几何Brown 运动dS t= S t dt+ S t dW t 。
这S t 里是原生资产在t 时刻的价格; 是期望汇报率(常数); 是波动率(常数);dW t 是标准Brown 运动,满足E(dW t )=0和Var(dW t )=第10期总第180期商 业 经 济 与 管 理No 10Vol 1802006年10月BUSINESS ECONOMICS A ND ADMIN ISTRATIONOct.2006dt;(2)无风险利率r是常数;(3)原生资产连续支付股息(红利),红利率q是常数,并且q r;(4)不支付交易费和税收;(5)不存在无风险套利机会。
对于终止期为t=T的美式封顶看涨期权,显然,当原生资产的价格S t很小的时候,期权不应该执行,这时期权处于继续持有区域(我们记为 1)。
在这个区域内,期权的价格V(S,t)应该满足V(S,t) >(min(S t,L)-K)+;而当S t很大的时候,期权应该马上执行(或者早已经执行),这个时候期权处于终止持有区域(我们记为 2),在这个区域内期权的价格V(S,t)满足V(S,t)=(min(S t,L)-K)+.在这两个区域中间有一条最佳实施边界:S=S(t).我们可以认为 1={(S,t)|0 S S(t),0 t T},2={(S,t)|S(t) S L,0 t T}以及K<S (t) L(0 t T)(1)在 1中,利用-对冲原理以及Ito^公式,可以推得:(S,t)! 1时,期权价格V=V(S,t)适合Black-Scholes方程LV=!V!t+2S22!2V!S2+(r-q)S!V!S-rV=0 ( 1)并且 V(S,t)>(S(t)-K)+(2)在最佳实施边界终止持有区域 2上:V(S,t),t)=S(t)-KLV=L(S-K)=rK-qS<0(因为K<S,r q)(3)在t=T上:V(S,t)=(min(S T,L)-K)+=(S -K)+(4)在S=L上:V(L,t)=L-K(0 t T)所以,美式封顶看涨期权的定价模型就是在区域 :{0 S L,0 t T}上,寻求函数V(S,t)! C1 ,其中 = 1∀ 2∀,使得:min{-LV,V-(S-L)+}=0 ( ) (2.1) V(L,t)=L-K (0 t T) (2.2) V(S,T)=(S-K)+ (0 S L) (2.3)三、美式封顶看涨期权定价模型的数值计算美式封顶看涨期权的定价是一个抛物型的变分不等方程问题,我们一般不可能把期权的价格用一个显式表达式来表示,因此数值方法对于美式封顶看涨期权就显得尤为重要。
这里我们用有限差分方法,是基于将变分不等方程(2.1)-(2.3)的离散化。
下面我们介绍两种差分格式:(一)显式差分格式对给定在区域 :{0 S L,0 t T}上求解定解问题(2.1)-(2.3):作变换x=lnSK和v(x,t)=1K V(S,t),从而定解问题可以转化为:m in{-l0v,v-(e x-1)+}=0 (x lnLK,0 t T) (3.1)v(x,T)=(e x-1)+ (x ln LK) (3.2)其中l0v=!v!t+22!2v!2x+(r-q-22)!v!x-rv在带状区域{x lnLK,0 t T}上,构成网格: Q={(n t,lnLK-j x)|0 n N,0 j},其中t=TN,x>0,在每一个网格点上,定义函数v n j= v(lnLK-j x,n t),∀j=∀(lnLK-j x)=(eln LK-j x -1)+,取(!v!t)n+1,j+1=v n+1,j+1j+1-vnj+1t (!v!x)n+1,j+1=v n+1j-vn+1j-12x(!2v!2x)n+1,j+1=v n+1j-2vn+1j+1+vn+1j+2x2将它们代入变分不等方程(3.1)-(3.2),得到在(lnLK-(j+1)x,(n+1)t)格点上的方程;m in(-v n+1j+1-vnj+1t-22v n+1j-2vn+1j+1+vn+1j+2x2-(r-q-22)v n+1j-vn+1j-12x+rv n+1j+1,v n j+1-∀j+1=0 (3.3) V N j=∀j (3.4)因为m in(A,B)=0!min(#A,B)=0 (#>0)(3.5) min(C-A,C-B)=0!C=max(A,B)故在方程(3.5)中,取#=t,得到min(v n j+1-(1-∃+r t)v n+1j+1-av n+1j+2-c v n+1j,v n j+1-∀j+1=0这里∃=2tx2,a=∃2+t2x(r-q-22),c=∃-a从而有v n j+1=max((1-∃+r t)v n+1j+1+av n+1j+2+c v n+1j,∀j+1) (0 n N-1,0 j)(3.6)具体算法如下:(1)根据∀(x)=(e x-1)+定义∀j,由(3.4)给出v n j当n=N时的值。
63第10期丁正中,邢海宁:美式封顶看涨期权的变分不等方程模型(2)由表达式(3.6),通过反向归纳过程,逐步求出v n j(0 n N-1),特别当n=0时,得到美式封顶看涨期权的期权金。
由于这个算法不需要解代数方程组,因此它是一个显式差分格式(倒向),当然,这个算法是非线性的。
(二)隐式差分格式为了用隐式差分格式求解美式封顶看涨期权的定价问题,首先我们需要加一条边界(本来需要两条边界,而我们这里已经有一条边界了,所以只需另外加一条),并在边界上给定边界条件。
由于美式封顶看涨期权,当S#0时,V(S,t)= 0,所以x#-∃时V#0,故当N0充分大时,在边界{x=-N0+ln LK,0 t T}上,假设v(-N0+lnLK,t)=0从而在{(-N0+ln LKx ln LK,0 t T)}上,v(x,t)适合变分不等方程-!v!t-22!2v!2x-(r-q-22)!v!x+rv0 (3.7)v(e x-1)+ (3.8)[-!v!t-22!2v!2x-(r-q-22)!v!x+r v][v-(ex-1)+]=0 (3.9)在平面区域{x=-N0+ln LK,0 t T}上形成网格(-N0+ln LK+j x,n t),其中0 j N1,0 nN2,x=N0N1,t=TN2。
定义网格函数:v n j=v(-N0+ln LK+j x,n t) ∀j=∀(-N0+ln LK+j x)=e-N0+lnLK+j x-1)+对定解问题(3.7)-(3.9)离散化(!v!t)n,j=v n+1j-v n jt (!v!x)n,j=v n j+1-v n j-12x(!2v!2x)n,j=v n j+1-2v n j+v n j-1x2nj-cv n j-1v n+1j(3.10)(3.11)nj-cv n j-1-v n+1j][v n j-∀j]=0 (3.12)(3.13)1 (3.14)e-N0+lnLK+j x-1)+ (3.15)其中 a=∃2+∃2 2(r-q-22)x c=∃-ab=1+∃+r t ∃=2tx2把(3.10)-(3.15)写成矩阵形式AV n%n (3.16)V n& (3.17)(AV n-%n)j(V n-&)j=0 (3.18)其中V n=v n N1-1%%%v n1%n=%n N1-1%%%%n1&=∀N1-1%%%&1A=b -c 0-a b c-a b -c% % %% % %% % %-a b -c0 -a b考虑边界条件,这里%n N1-1=v n N1-1+av n N1%n1=v n+11+cv n0=v n+11%n j=v n+1j(2 j N1-2)具体算法如下:(1)根据∀(x)=(e x-1)+定义∀j,由(3.15)给出v N2j=∀j(0 j N1)。
