华东师范大学学报(自然科学版)Journal of East China Normal University (Natural Science)第3期2019年5月No. 3May 2019文章编号：1000-5641(2019)03-0024-11连续型美式分期付款看跌期权岑苑君(顺德职业技术学院，广东佛山528333)摘要：本文讨论了连续型美式分期付款看跌期权.一方面，期权持有人拥有美式看跌期权的权 利：在到期日之前实施合同以敲定价格卖出股票；另一方面，期权持有人拥有分期付款期权的 权利：分期支付期权金以保证合同有效，也可以随时停止给付期权金以终止合同.因此，期权持 有人在交易期间可行使的权利有三种：继续持有，实施合同或终止合同.这种期权的定价模型 可表示为抛物型变分不等式，它同时是一个自由边界问题•该问题解的存在唯一性可利用惩罚 函数法和常规的偏微分方程方法进行求解证明.不同于标准美式看跌期权，不管有没有分红, 连续型美式分期付款看跌期权均有两条自由边界.本文将集中讨论该期权自由边界的性质，如 单调性、正则性以及自由边界的位置.关键词：分期付款期权；美式看跌期权；期权定价；自由边界中图分类号：F830.9; O175.26 文献标志码：A DOI: 10.3969力.issn.1000-5641.2019.03.004Valuation of American continuous-installment put optionsCEN Yuan-jun(Shunde Polytechnic, Foshan Guangdong 528333, China)Abstract: Installment options are designed for an investor who is willing to pay a little extra for the opportunity to terminate a contract and reduce losses caused by a void investment position. Because of this extra privilege, installment options are weakly path-dependent. American continuous-installment put options are discussed in this paper. In addition to the right to terminate the contract by stopping the payments at any time, the holder also has the right to exercise the option at any time until maturity ； this leads to three potential choices during the holding period ： cancel, exercise, or hold on. The mathematical pricing model of this option can be formulated as a parabolic variational inequality, which is a free boundary problem. The existence and uniqueness of the solution can be solved using the penalty method and regular PDE arguments. Different from the standard American put option, this option has two free boundaries irrespective of dividends. Attention is focused on properties of the free boundaries, such as monotonicity, smoothness, and location.Keywords: installment option; American put option; option pricing; free boundary 收稿日期：2018-04-10基金项目：国家自然科学基金(11771158)作者简介：岑苑君，女，硕士，副教授，研究方向为金融数学.E-mail ： yuanjuncen@ .第3期岑苑君：连续型美式分期付款看跌期权25 0引言期权持有人在购买期权时选择分期支付期权金，而不是一次性支付.分期付款期权持有人可以在任何时候停止支付期权金以终止合同，相反，他必须分期支付期权金以保证合同有效.持有人可以适时终止合同以减少因无效投资而导致的损失，并为此支付额外的费用.如果期权没有价值,持有人也就没有必要继续支付期权金了.美式分期付款期权的持有人还能在到期日之前实施期权.于是,该期权持有人在交易期间可行使的权利有三种：继续持有，实施合同或取消合同.该期权的定价问题是最优停时问题，同时等价于一个抛物型变分不等式.事实上，分期付款期权在一些市场上交易活跃(见文献［1］).此外，许多人寿保险合同和资本投资项目可被视为分期付款期权(见文献［2］).不同于文献［3］利用静态对冲方法进行期权定价，也不同于文献⑷和文献［5］使用拉普拉斯变换和数值方法分析自由边界，本文主要利用偏微分方程(PDE)方法进行问题推导、求解及分析.有分红的美式看跌期权以及欧式分期付款看跌期权都只有一条自由边界，而连续型美式分期付款看跌期权则有两条自由边界，这是因为期权持有人在交易期间可行使继续持有，实施合同或取消合同这三种权利.连续型美式分期付款看跌期权既具有美式期权的特征：在继续持有区域CR和实施区域ER之间存在着一条自由边界(或称最佳实施边界);又具有分期付款期权的特征：在继续持有区域CR和终止持有区域SR之间存在着另一条自由边界(或称最佳终止边界).由于连续型美式分期付款看跌期权的价格始终存在着上界，因此可以利用常规的惩罚函数法和PDE方法证明解的存在唯一性.此外，既不同于标准美式看跌期权，不管有没有分红，连续型美式分期付款看跌期权始终存在着一条最佳实施边界;也不同于欧式分期付款看跌期权，它的最佳终止边界并没有在有限时间内消失(见文献［6］).两条自由边界的性质都相当好,然而自由边界的有界性，即该问题对应的稳态问题的解的存在唯一性却因为参数r、q、L的大小情况而变得相当复杂，但本文通过分情况讨论以及转化为一元函数并利用连续函数的零点定理较好地解决了该问题.后文将集中讨论该期权自由边界的性质，如单调性、正则性以及自由边界的位置.1期权定价的数学模型连续型美式分期付款看跌期权的价格V(s,t)满足以下抛物型变分不等式‘V-(K-s)+>0,s>0,0<t<T,-d t V-L s V+l>0,s>0,0<t<T,r和］(1.1)-d t V-L s V+l\V-(K-s)+|=0,s>0,0<t<T,、V(s,T)=(K-s)+,s>0.其中：£S V=帝s2d ss V+(r-q)sd s V-rV;s为股票价格;t为时间；K是敲定价格；T是合约到期日；r>0是无风险利率；q>0是股票红利率；l>0是分期付款利率，a是波动率.根据Fichera定理，在边界s=0上不需要给边界条件.本模型推导过程与文献［7］附录相似，这里不再详述.当l=0时，模型(1.1)就是标准美式看跌期权，最多只有一条自由边界(见文献［8-11］).而当l>0时，无论股票是否分红，连续型美式分期付款看跌期权均具有两条自由边界.26华东师范大学学报(自然科学版)2019年接下来，通过变量代换将倒向退化问题(1.1)转化为正向非退化问题，令x=ln s—ln K,t=T—t,u(x,t)=V(s,t)/K,L=l/K.得u—(1—e x)+20,x E R,0W t<T,d T u—C x u+L20,x E R,0W t<T,(1.2)\d T u—C x u+l][u—(1—e x)+]=0,x E R,0W t<T,u(x,0)=(1—e x)+,x E R,其中？L x u=号d xx u+ (r—q—号)d x u—ru-利用文献［9］中的惩罚方法，可证明抛物型变分不等式(1.2)W pjOc解的存在唯一性.下面构造(1.2)的逼近问题.对任意固定的£>0,u e(x,T)满足3t u e—Lu+L+0£(程一n e(1—e x))=0,x E R,0<t<T,(1.3)u e(x,0)=n e(1—e x),x E R,其中，(t)为惩罚函数，满足0£(t)T0,t>0,£T0+,0/t)T—乂，t<0,£T0+,0£(0)=—C o=—2(l r—q|+r)+L W0,0£(t)W0,(t)20,0?(t)W0.f t,t2£,/,|t|W£,n e(t)E C0w n(t)W0,t W—£,1,n?(t)20,lim n e(t)=t+.E—0引理1.1对任意固定的£>0,问题(1.3)有唯一解％E C(Q t),且V R>0,%E WjWR)._定理1.2问题(1.2)有唯一解u E C(Q t),满足(1—e x)+W u W2,(1.4) V R>0,V d〉0,u E W?J(Q R\及(P o)).此外，u在Q R上一致收敛于u.其中：P o=(0,0);B s(P o)={(x,T)|x2+T2W d2}.由于证明过程是常规的，这里不再详叙.本文的主要工作在第2节，主要讨论该期权两条自由边界的性质：它们都是单调以及无穷次可微的；与此同时，确定它们的位置、起始点以及关于参数r,q,L的单调性.在第2节中，通过研究相应的稳态问题，得到自由边界的横向界限.第3期岑苑君：连续型美式分期付款看跌期权272自由边界的性质在上一节中，利用U e (x,T )来逼近u (x,T ),其中，U e (x,T )满足d r U £ - C x u £ + L + 0e (% - n e (1 - e x )) = 0, x G R , 0 < t < T,(2.1)u e (x, 0) = n e (1 — e x ), x G R .根据先验估计可得：V £ > 0, u e G C 2+w /2(C t ),这意味着d x u e , d xx U £和d T u e 都是有界的.引理 2.1 问题(1.2)的解u G W p 2'1(Q R \B a (P o )) n C (Q t ),满足d x u (x, t ) < 0, (x ,t ) G Q y ,(2.2)d T u (x, t ) 2 0, (x, t ) G Q y . (2.3)证 明 方程(2.1)两边同时对x 求导，令v = d x u e ,得Q t v - L x v + (-)v =(・)n [ (1 - e x )(-e x ) < 0, x G R , 0 <t <T,(2.4) v (x, 0) = (1 — e x )(-e x ) < 0, x G R .根据下解的极大值原理可得：d x u £ = v < 0.当£ t 0时，式(2.2)成立.V J > 0,定义u e (x, t ) = u e (x, t + J ).由方程(2.1)知 u e (x, t )满足Q t u e - L x u e + L + ^e (u e - n e (1 - e x )) = 0, x G R , 0 < t < T, u e (x, 0) = u e (x, J ) 2 n e (1 — e x ) = u e (x, 0), x G R .根据比较原理可得：u 2 u £.从而有du 2 0.当£ t 0时，式(2.3)成立.引理 2.2 问题(1.2)的解u G W/i (Q R \艮(P o )) n C (Q y ),满足d x u — d x (1 —e x ) 2 0. (2.5)这意味着u - (1 - e x )关于变量x 单调递增.证 明 只需证明d x u e + e x 2 0成立即可.设v = d x u e ,由式(2.4)可得d (v +e x )2d xx (v +e x ) -(r - q -=0； 0^(1-e x )(-e x )+ q e x + 0()e x 2 q e x 2 0.且当t = 0时，v + e x =处(1 - e x )(-e x ) + e x 2 0成立.由极小值原理可得：%% +e x 2 0.引理 2.3 当 t > 0 时，问题(1.2)的解 u G W ?，i (Q R \B 6 (P o )) n C (Q y ),满足u (0, t ) > 0. (2.6)证 明(反证法)假设结论不成立，则存在T 0 > 0使得u (0,T o ) = 0. 一方面，由 d u 2 0, d x u < 0 及 u 2 (1 - e x )+ 2 0,有u (x, T ) = 0, x 2 0, 0 W T W T o .28华东师范大学学报(自然科学版)2019年另一方面，由d x u—篦(1—e x)20和u2(1—e x)+21—e x,有u(x,T)=1—e x,x W0,0W T W T o.因此，u(x,T)=(1—e x)+,x E R,0W T W T o,这与(1—e x)+E W p,二矛盾.下面研究连续型美式分期付款看跌期权自由边界的性质.定义SR={(x,T)|u(x,T)=0}(终止持有区域)；CR={(x,T)|u(x,T)>(1—e x)+}(继续持有区域)；ER={(x,T)|u(x,T)=1—e x}(实施区域).其中，SR U ER={(x,t)|u(x,T)=(1—e x)+}.显然，SR C{(x,t)|x20,0W t W T},ER C{(x,t)|x W0,0W t W T}.由引理2.3,可得{(x,T)|x=0,T>0}C CR.因此，在竖直线段{0}x(0,T]的左右两侧各有一条自由边界.此外，根据式(2.2)和式(2.5), u关于变量x单调递减，而u—(1—e x)则关于变量x单调递增.于是，两条自由边界分别定义如下：x e(t)=sup{x|x W0,u(x,t)=1—e x},0<t W T;x s(t)=inf{x|x20,u(x,t)=0},0<t W T.定理2.4自由边界x e(T)E C[0,T]n C x(0,T],且严格单调递减.其起点为x e(0)min0,ln r+L[q J(2.7)证明证明过程分为以下四步.第一步：证明x e(T)关于T单调递减.由式(2.3)知d u20,则u(x,T o)3t[u—(1—e x)]20.假设x o=x e(T o),根据x e(T)=sup{x|x W0,u(x,t)=1—e x}的定义，有=1—e x,x W x o,>1—e x,x o<x W0.结合式(2.8),可知u(x,T)>1—e x,x o<x W0,T>T o,即当T>T o时，x e(T)W x o,因此x e(T)关于T单调递减.(2.8)第3期岑苑君：连续型美式分期付款看跌期权29由于x e(T)在(0,T]上单调递减，不妨定义x e(0)=lim x6(t).T T O+第二步：证明x6(t)G C[0,T],且x e(0)=min{0,ln.首先证明式(2.7).假设x o=min{0,ln甲}.下证x6(t)W x°.由问题(1.2)可得d T(1-e x)-L x(1-e x)+L20,(x,t)G ER.即-孚(一e x)-(r-q-孚)(-e x)+r(1-e x)+L=r-q e x+L20,则ER C{(x,T)|x W ln甲,0W t W T}.又因为ER C{(x,t)|x W0,0W t W T},因此, x e(T)W min{0,ln Tq*.如果x e(0)<x o,则存在J>0,使得%u—L x u+L=0,x o—J<x<x o,0<t W T.u(x,0)=1—e x,x o—J<x<x o.特别地,d x u(x,0)=-e x,d xx u(x,0)=-e x.在t=0处应用方程0丁u-L x u+L=0,可得2O t u(x,0)=2a2(-e x)+r(1-e x)-L,q e x-r-L<0,x o-J<x<x o,这与0T u20矛盾，因此，x e(0)=min{0,In^+号.接下来，证明x e(T)G C[0,T].(反证法)假设x e(T)G C[0,T]不成立,则存在T o>0,使得lim x e(T)=x i<x2=lim x e(T).T—t+T T T-因此u=1—e x,d x u=—e x,d xx u=—e x,(x,t)G{(x,t)|x i<x<x2,t=T o}.在T=T o处应用方程O t u-L x u+L=0,可得%u(x,T o)=j a2(-e x)+(r-q-才)(一e x)-r(1-e x)-L=q e x—r—L<0,x i<x<x?,这与0T u20矛盾.因此,x e(T)G C[0,T].第三步：证明x e(T)在[0,T]上严格单调递减.否则，存在区域(x o,0)x(T1,T2),使得O t u-L x u+L=0,(x,T)G(x o,0)x(t i,T2),(2.9)u(x o,T)=1-e x,t G(t i,T2).30华东师范大学学报(自然科学版)2019 年即也即则w = d u 满足u (x o ,T ) = 1 — e x 0, d x u (x o ,T ) = —e x 0, t i <t < T 2,d u (x o ,T ) = 0, d xT u (x o ,T ) = 0, T i <T < T 2 .J d w — L x W = 0, (x,T ) E (x o , 0) X (T 1,T 2),()(2.10)I w (x o ,T ) = 0, T E (T 1,T 2).根据Hopf 最值定理，若w 在边界｛(x,T ) | x = x o ,T i < T < T 2｝上达到非正最小值，意味着 V t E (t i ,T 2), d x w (x o ,T ) > 0或者在(x o , 0) X (T 1,T 2)内，W 三0.这显然都是不可能的，因此, x e (T )严格单调递减.第四步 由于d T u W 0,而0是下障碍，利用Friedman 在文献[12]中的方法，不难证 明x e (T ) E C i (0,T ].利用靴带原理可进一步证明x e (T ) E C -(0,T ].定理2.5自由边界x s (t ) E C [0,T ] n C ^(0,T ],且严格单调递增，其起点为x s (0) =0. 证明过程与定理2.4类似，不再详述.定理2.6自由边界关于参数r , L , q 的单调性为：x e (T )分别关于r 、L 单调递戒关 于q 单调递增•而x s (T )则分别关于r 、L 单调递增，关于q 单调递减.证 明 假设u (i = 1, 2)是问题(1.2)的两个解，对应的无风险利率分别为r i 和r 2, 且r i < r 2.记号L x ；r i 表示问题(1.2)中定义的L x ,其中r = r ^, i = 1, 2.由式(1.4)和式(2.2)知，u i — d x u i 2 0, (x, t ) E Q t ,因此d T u 1 — L x ;r 2 u 1 + L d T u 1-----2 d xx u 1—q —d x u i + r 2u i + L d T u 1-----2 d xx u 1—q —d x u i + r i u i + L—(r 2 — r i )d x u i + (r 2 — rju i=d T u 1 ― L x ;r i u 1 + L + (r 2 ― r 1)(u 1 ― d x u 1)2 0.特别地，当 u i > (1 — e x )+ 时，0t u i — L x ;r i u i + L = 0,且 ％u i — L x ;r 2 u i + L 2 0.而当 u 2 > (1 — e x )+ 时，0t u 2 — L x ；r 2u 2 + L = 0.结合 u i 2 (1 — e x )+, (x,T ) E Q t 和 u i (x, 0) = (1 — e x )+, x E R ,根据比较原理可 得u i 2 u 2.假设CR i 和CR 2分别为u i ,u 2的继续持有区域，则CR i D CR ?.因此,x e (T )关于r 单调递减，而x s (T )关于r 单调递增.x e (T )和x s (T )关于参数q 和L 的单调性，可利用类似的方法证明，不再详述.3稳态问题为了确定自由边界的有界性，接下来将研究问题(1.2)相应的稳态问题(3.1).—L x W + L 2 0, x e R ,< W — (1 — e x ) + 2 0,x E R ,(3.1)[—L x W + [W — (1 — e x )+] =0, x E R.第3期岑苑君：连续型美式分期付款看跌期权31定理3.1变分不等式(3.1)有W p ；loc 唯一解W (x )1 - e x ,L 7(^ [«i e a 2(x -x 2)- a e a i (x -x 2)]- L 0,x < x i ,x i W x W x 2,x > x 2.其中：a i 2 1 > 0 > «2是特征方程(3.3)的两个实根2 2a 2 2 / a \a + (r — q — y J a — r = 0；x i 和x 2满足『(Oa —b 用-睜),e x 2 z o 是方程/(z )=0在z G (0, 1)中的唯一解，这里e x i e x iz o/ (z )--------------；Ui (1 -&2)z a 2 - «2(1 - a i )z ai ] - 1 -—r (a i — &2) L 」 r证 明 首先，求解自由边界问题{W (x ); x i ,x 2}—L x W + L 2 0,x i < x < x 2,W (x i ) = 1 — e x i , W '(x i ) = —e x iW (x 2)= 0, W '(x 2)= 0,其中，x i 和x 2是自由边界点.然后，定义W (x ) = 1 — e x ,当 x G (—x , x i )时；W (x ) = 0,当 x G (x 2, +x )时.将问题(3.6)的解W (x )延拓到R 上.接下来，证明W (x )是问题(3.1)的唯一解.显然，W (x )可表示为W (x ) = C i e a i x + C 2e a 2x — —, x i W x W x%r 其中，C i 和C 2未知.由问题(3.6)和式(3.8)知W (x 2) = C i e a i x 2 + C 2e a 2x 2 - L = 0,rW '(x 2) = C i a i e a i x 2 + C 2a 2e a 2x 2 = 0,(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)因此C i -a 2 L e -a i x 2r (a i - a 2)a i L e -a 2x 2r (a i - «2)将C i 和C 2代入式(3.8),并按照式(3.7)的方式来延拓W ,则式(3.2)成立.此外，有W '(x ) = ,La i a 2、[e a 2(x -x 2)- e a i (x -x 2)], x i W x W x 2, r (a i - a 2 )(3.9)32华东师范大学学报(自然科学版)2019 年于是L r W (x i )[曲2」2)— a 2e a i (x i -x 2)1 — e x i ,La i °2 [e a 2(x i —x 2)— e «1(x i -x 2)r (a i —他)L e x i 将式(3.10)与式(3.11)作差，得-―L _-[制(1 — «2)e a 2(x i -x 2)— «2(1 — a i )e a i (x i -x 2)] — L = 1. r (a i — &2) L 」 r (3.10)(3.11)(3.12)设z o = e x i -x 2.若/(z )在(0,1)内有根，则式(3.12)成立.接着，证明/(z ) =0在(0,1)内有唯一解•对/(z )求一阶导数，得Ltt i Q 2r f f (z ) = ~— : ) [(1 — a 2)z ^2 ] — (1 — a i )z tt i * < 0,z E (0,1).显然,f (1) = ----------) [a i (1 — ^2)— «2(1 — a i)] — 1 — — = —1 < 0,r (a i —他)L 」 r且J —m 十f (z )lim——L ------- |'a i (1 — a 2)z a 2 — a 2(1 — a i )z a i ] — 1 — L = +g .z —o + r (a i —他)L 」 r 因此，方程f (z ) = 0在(0,1)中有唯一解z o .将z o = e x i -x 2代入式(3.11),则式(3.1)成立.最后，证明问题(3.1)的W ；2i loc 唯一解确为式(3.2).事实上，很容易证明解的唯一性.结合式(3.7)及(3.6)的边界值即可得W (x ) E W ；,loc 因此，只需要证明W (x )满足问题(3.1).下面将分三步证明. '第一步：证明 W 2 (1 — e x )+, x E R .由式(3.7)及式(3.9),易见 W z (x ) W 0.结合 W (x 2)=0,则有 W (x ) 2 0 和 x i < 0.由问题(3.6),可得—L x (W ' + e x ) = —L x e x = q e x 2 0,W '(x ) + e x = —e x + e x = 0,W '(x ) + e x = 0 + e x > 0,x i < x < x 2 ,x = x i ,x = x 2.应用最值定理，可得 W '(x ) + e x 2 0,即 W '(x ) 2 —e x .又 W (x i ) = 1 — e x i ,则 W 2 1 — e x .所 以，有 W 2 (1 — e x ) + , x E R 且 x 2 > 0.第二步：根据自由边界问题(3.6), —L x W + L = 0, x i <x<x 2成立.第三步：证明—L x W + L 2 0, x E R .很明显，当x 2 x 2时，—L x W + L = —L x 0 + L = L > 0.而当x W x i 时，则有—L x W + L = —L x (1 — e x ) + L = r + L — q e x.第3期岑苑君：连续型美式分期付款看跌期权33当 q = 0 时，显然有-L x W + L = r + L > 0, x W x i .当q > 0时，只需证明e x i <甲,其中e x i =-老％(z 『-zj ). 根据/(z )的定义及/(z o ) = 0,可推导出e x i = + )仏2 2挙-a i z ^2).r r (a i - a 2)又因为 a i 2 1 > 0 > O 2,则 7(的仁2) (a zzj — a i z ^2) < 0,所以(3.13)e x i r + L < ----r若r 2 q> 0,则e x i < 宁 W 甲,情况相当简单. 若q>r> 0,情况复杂许多.由式(3.13),得e x i + -----(a i z o i — a i z o i + a 2z o i — a i z o 2)r + Lr这意味着e x i La i + r (a ：— a 2)(鹉2 一 ")L z ^i <r +L r o La i a 2e x i + 存 r (:;二2)(常-z ")r + Lr r即2r + L < ----r 则e x i +匸 <a 2r + Lr 于是有e x i <a 2a 2 - 1r + L r-甲 W 甲.事实上，只要证明当q > r > 0时,接着证明，当q > r > 0时，有务«2 2 土成立即可. 2显然，当q > r > 0时，士 < 0.而«2是方程(3.3)的负实根.设2a 2 2g (a ) = a +(r -q -孚)a - r.易见g (走)> 0,于是«2 2亡.定理3.2自由边界的有界性：存在x i < 0和x 2 > 0,使得x i W x e (T ) W min {0, ln r + L }, 0 W x s (t ) W x 2,其中x i 和x 2如定理3.1中定义.证 明 回顾定理2.4证明中的第二步，已得到x e (T ) W min{0, ln 甲}.根据x s (t )的 定义和 SR C {x 2 0},可得 x s (t ) 2 0.34华东师范大学学报（自然科学版）2019 年由于0T W (x ) = 0, W (x )可看作初值为自身的抛物障碍问题(1.2)的解，即% W — L x W + L 2 0, (x, t ) g Q y ,W - (1 - e x ) + 2 0,(x ,t ) G Q y ,[3t W -L x W + L][W - (1 - e x )+] =0, (x,T ) G Q y ,⑶⑷W (x )|t =o = W (x ),x G R .由于W (x )|t =o 2 (1 - e x )+ = u (x, 0),根据变分不等式关于初值的比较原理可得W (x ) 2 u (x, T ), 0 W T < T.因此W - (1 - e x ) + 2 u - (1 - e x ) + 2 0.设CR w 和CR …分别对应W 、u 的继续持有区域,则CR w D CR u .于是x i W x e (t ), x s (t ) W x 2.根据第2节自由边界的性质和第3节稳态问题的分析，分别得到两种情况下自由边界的 位置、起点及单调性，如图1、图2所示.图 1 q = 0 或 r + L > q > 0Fig. 1 q = 0 or r + L > q > 0图 2 r + L < q Fig. 2 r + L < q[参考文献][1 ] BEN-AMEUR H, BRETON M, FRANCOIS P. 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