第6章 二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)
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第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理-南京
ct
er d ud
e r
(1
er d ud
)cd er
[ pcu (1 p)cd ]er
13
Dicussion: Risk-neutral probability
▪ 风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风 险中性的。
▪ 若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时 以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必 然等于B。
(dcu ucd ) /[(u d )er ]
8
▪ 由此得到的组合 NS B称为合成期权（synthetic option），
由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为
ct NS B
cu cd (u d )S
S
dcu (u
d
ucd )er
cu cd
dcuer ud
ucd er
▪ 若sT＝su
vu [(cu cd ) /(su sd )]su cu Ber
若sT＝Sd
vd [(cu cd ) /(su sd )]sd cd Ber
14
▪ 投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由 二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险 的证券。 ➢ 组合的贴现率只能是无风险利率
j0
j0
25
recall： binomial distribution
▪ 由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n→∞， 可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中 心极限定理）。
18
▪ 由1阶段模型可知，在风险中性条件下
cu [ pcuu (1 p)cud ]erh , cd [ pcud (1 p)cdd ]erh
ct [ pcu (1 p)cd ]erh [ p2cuu 2 p(1 p)cud (1 p)2 cdd ]e2rh
第2章投资学基础(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)
w12
2 1
(1
w1 ) 2
2 2
2w1 (1
w1 ) 1
2 12
p
w1212
(1
1
w1)1 2 12
19:46:11
Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University
(1
w1 )
2
当w1
2 1 2
时，
p
( w1 )
(1
w1 )
2
w11
19:46:11
Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University
9
命题：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其
i 1
i 1
n
n
nn
2 p
wT
w
wiwjij
wi2
2 i
wi w j ij
i, j1
i1
i1 ji, j1
11 ... 1n
其中，w
=(w1,
w2
,
...,
wn
)T
,
r
=(r1
,
r2
,
...,
rn
)T
,
1n
nn
19
注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满 足，故只要求一阶条件
L w
w
1r
21
期权定价的二叉树模型介绍
险利率。
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
第8章VaR模型(金融工程与风险管理南京大学,林辉)
衰减因子
2(2/ ) (1/
[
) ]1/ 2
(3 / )
为重尾参数， 2为重尾， 2为瘦尾
13
14
15
RiskMetric-正态分布
▪ 标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的
rt tt ,t ~ iidN (0,1)
E
(rt
)
0,Var
(rt
)
t2Var
(
t
)
2 t
2 t
2 t 1
EWMA (1 )
x i1 t i
i 1
17
xˆt (1 )
x i1 t i
i 1
2 t
(1 )
i1(rti r )2
i 1
(1 )
r i1 2 t i
i 1
(1
)(rt
2 1
rt
2 2
2
rt
2 3
,
...)
(1
)rt 21
(1
) (rt 22
rt
2 3
,
...)
Yg,h (Z )
A
B(exp(gZ ) g
1) exp( hZ 2
2
)
A
BX
g,h (z)
lim
g 0
Yg
,0
(Z
)
A
BZ
~
N ( A,
B2)
g 1, h 0 Y1,0 (z) A B[exp(Z ) 1]
Y1,0 (z) A 1 exp(Z ) ln(Y1,0 (z) A 1) Z
2
350
300
250
200
150
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
2. 债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
期权定价二叉树模型
qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
二叉树模型
Cu = Max(0,100(1.25) - 100) = Max(0,125 - 100) = 25
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
二叉树模型
Binomial Trees
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
对冲比率
看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样， 负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：
h 0 13.46 0.299 125 80
因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。 成本为 $29,900 (299 x $100) + $5,030 (1,000 x $5.03) ＝ $34,930
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C
p2Cu2
2p(1
p)Cud
(1
p)
C 2 d2
(1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Байду номын сангаас
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
二叉树模型
Binomial Trees
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
对冲比率
看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样， 负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：
h 0 13.46 0.299 125 80
因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。 成本为 $29,900 (299 x $100) + $5,030 (1,000 x $5.03) ＝ $34,930
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C
p2Cu2
2p(1
p)Cud
(1
p)
C 2 d2
(1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Байду номын сангаас
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
第7章 金融市场风险计量模型：VaR(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)
1 c
k VaR
Pr( k ),
k 1, 2,...
上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算 VaR的基本依据。
7.4 VaR计算的基本原理
不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初 （比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后 其资产 的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值， 而是以市场价值计算来计算风险)
时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变 的假设。
Theoretical Quantile-Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 6
4 3
4
Normal Quantile
2
Normal Quantile
-.3 -.2 -.1 .0 .1 R_10 .2 .3 .4 .5
v v0 (1 r )
1
由正态分布的性质则有
zc ( r ) /
则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为
AVaR1 v0 v v0 ( zc )
1 *
下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足
ri ~ i.i.dN ( , )
相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置
信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
RVaR E (v) v v0 v r =v - v
*
T
( E (v ) v )
T
T
v0 (1 ) v0 (1 r )
缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失 的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的 1/100天中）的实际损失会是多少。
期权定价的二叉树模型介绍PPT课件( 24页)
但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。
•
17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
在计算Pu和Pd时，应使用各自持有价值或执行价值中较大的一个。
Pu=4.96
对应执行价格为： Pu=0
Pd=23.4
Pd=24
P=12.94
21
6.5 股价指数期权、外币期权
【例6-8】 有一项美式的英镑看跌期权，期限为6个月，即期 汇率为$1.51/₤，期权的执行价格为$1.50/ ₤，英镑兑美元 的波动性或易变性为12%。美国的无风险利率为10%，英 国的无风险利率为11%。建立一个以2个月为1期的外币二 叉树期权模型。
17
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q )n jmsa ju d n x j ( k ,0 )]
j o j! (n j)!
n
p e rT[
n ! qj(1 q )n jmka sx ju dn (j,0 )]
无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!
•
5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。
•
6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
6-2金融工程 二叉树定价
S0 V0=?
S 0u VTu S 0d VTd
续（1）
构造无风险组合Φ：买入D
份股票，同时 卖空 1 份衍生品，Φ= D S - V
DS0u – VTu DS0d – VTd
Φ0 ΦT确定，
S0uD – VTu = S0dD – VTd ，
u T d T
V -V D= S0 u - S 0 d
若u<erT，则在期初卖空股票S，得到S0，存入 银行，到期S0erT，然后到市场上买入股票平仓， 到期获益为正。 若d>erT，则在期初借钱买入股票，到期股价即 使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款， 到期获益为正。
重做例1
S0=20 V0=? S0u = 22 Vu = 1 S0d = 18 Vd = 0
p=0.6523
Delta值
在两步二叉树模型中，每一步都可以计算 出看涨期权的delta： 在第一个时间步中，
Δ0=(2.0257-0)/(22-18)=0.506； 对于向上变动的股价(S=22) Δ1u=(3.2-0)/(24.2-19.8)=0.727； 对于向下变动的股价(S=18), Δ1d =0。
若S2=24.2，则买入的股票值17.59, 借款支付为 13.97*1.03=14.39，故组合价值=期权值3.2。 若S2=19.8，则买入的股票值14.39，借款支付为14.39，故组 合价值=期权值0.
多时段二叉树定价模型
两步二叉树时，期权的价格为 V0 = e-2rT[p2Vuu + 2p(1-p) Vud +(1-p)2Vdd] N等分有效期[0,T]，S在每一段上遵循单时 段-双状态模型。记
金融工程二叉树模型介绍PPT课件
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
2.0257 18
C
19.8
E
0.0
0.0
16.2
节点B的价值
F 0.0
= e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) =
2.0257
节点A的价值
= e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 +
0.3477×0)
1111..118
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D1111..119
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
1111..220
构造一个无风险证券组合
考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头
22D – 1
18D
证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25
1111.5
证券组合的价值
无风险证券组合是:
0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头
证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50
证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
1111.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
金融工程(6.14)第六章(一)
2
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
12
二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
12
二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
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e d e ss 1.08 100 60 p u d ud s s 180 － 60dr Nhomakorabear
0.4
ct [ pc (1 p)c ]e
u d
r
25.18( 美元)
11
Dicussion: Risk-neutral probability
1. p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is
2
A Simple Binomial Model
A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18
Stock Price = $22 Stock price = $20 Stock Price = $18
cT=cu=max(0, Su-112)=68
sT=sd=ds=60
cT=cd=max(0, Sd-112)=0
10
N (c c )/( s s )
u d u d
(68 0)/(180 60) 0.57( ) 股 B (Ns c )/e
d d r
(0.57 60 0)/1.08 31.48( ) 元
4
Setting Up a Riskless Portfolio
Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option
22 D – 1 18D
Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25
e d here, p ud
rh
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上 述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也 正是阶段平分的优点。
19
c max(0, s X ) max(0, u S X )
uu uu 2
cud c du max(0, s ud X ) c
v [(c c ) /( s s )]s c Be
u u d u d u u
r
若sT＝Sd
v [(c c ) /( s s )]s c Be
d u d u d d d
r
14
投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由 二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险 的证券。 组合的贴现率只能是无风险利率 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏 好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。 只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的 定价。 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合 来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性 的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就 不必考虑风险问题。
3
A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock price = $20 Option Price=?
Stock Price = $18 Option Price = $0
12
Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过 程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并 不影响对期权的定价结果。 投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u， d这三个客观因子。
dd dd
here, st S
2
max(0, udS X ) max(0, S X ) max(0, s X ) max(0, d S X )
当前时刻t，期权的价值为
ct [ p c 2 p (1 p)c (1 p )c ]e
2 uu ud 2 dd
ps u (1 p) s d er d er d r ys u (1 )d e S ud ud Option’s expected relative return is
yc [ pc (1 p)c ]/ c0 e ys
u d
r
So，p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. For the above reason, We call p “risk neutral probability”.
e r d here，p ud
例子
假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112 美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％ （连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种 可能：180美元或者60美元，求期权的价值？
sT=su=us＝180
st ct？
q 1-q
21
6.4 n阶段二叉树定价模型
将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶 段，每个阶段的长度为h
T t h n n
标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全
有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化 过程。 数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项 分布收敛于正态分布 思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。
cu [ pcuu (1 p)cud ]e rh , c d [ pcud (1 p)c dd ]e rh
ct [ pc (1 p )c ]e
u d 2 uu
rh ud 2 dd 2 rh
[ p c 2 p (1 p )c (1 p ) c ]e
22
标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期， 股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n 期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次， 到期日T股价ST为
sT Su d
j
n j
, j 0,1,..., n
由概率论可知，sT服从二项分布（binomial distribution) ，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股 票价格sT的概率为
2 rh
[ p 2 max(0, u 2 S X ) 2 p(1 p) max(0, S X ) (1 p ) max(0, d S X )]e
2 2 r
20
定价思路：倒推定价法
1. 首先得到2期节点的股票价格，从而得到 该期的期权价格。 2. 采用风险中性定价，通过贴现得到1期节 点的股票价格和期权价格。 3. 由1期的股票价格得到期权价格，得到当 前期权的价格。 4. 风险中性定价下，每一期的风险中性概率 都是相同的。
D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权= D股股 票-无风险证券
5
6.2 单期二叉树期权定价模型
考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间 只有1期，τ=T-t 假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机 变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价 格为sT，且满足
sT s uS S , u 1, P ( sT s ) q
金融工程与风险管理
第6章 二叉树模型与美式期权
Copyright©Linhui, Department of Finance, Nanjing University
1
6.1 概述
二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
15
6.3 两阶段二叉树定价模型
由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变 量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多 段处理，首先介绍两阶段模型。
两阶段模型（Two-step binomial tree)
若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个
阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2 种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第 2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个， 并且令h为每个阶段的时间长度
T t h 2 2
16
两阶段模型示意图
u u
suu,cuu sud,cud
su,cu
d u
st ct
d
sd,cd
其中，u＝1/d
d
sdd,cdd
17
两阶段模型
第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d， 则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。 期权到期日价值的所有可能值为
c u (1 de r ) c d (ue r 1) e r d u r (u e r ) d r ce c e ud ud ud e r d u r e r d d r c e (1 )c e [ pc u (1 p )c d ]e r ud ud
u d
8
r
由此得到的组合 NS B称为合成期权（synthetic option）， 由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为
ct NS B c c dc uc c c dc e uc e S r (u d ) S (u d )e ud