高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案 新人教A版选修45

辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 基本不等式教案 新人教B 版选修4-51基本不等式辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 基本不等式教案 新人教B 版选修4-5 来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请教学过程设计 教材处理师生活动三、 习题1。

求证：2)b a (2b a 22-+≥+2.已知a ，b ，c 是实数，a+b+c=1，求证：31c b a 222≥++3。

已知a,b,c 是不全相等的正数，求证：（1)（a+b ）(b+c ）（c+a ）〉8abc （2）a+b+c 〉ac cb ab ++4.设a ，b ，c 及x,y ，z 都是正数，求证：)zx yz xy (2z ca b y b c a x a c b 222++≥+++++5。

设a,b,c 是互不相等的正数，求证：)c b a (abc c a b c b a c b a 222222444++>++>++6。

设a ,b ，c 是正数求证：9abc )c b a )(c b a (222≥++++7.用铁丝网围成面积为36002m 的矩形场地，问至少要用多少米的铁丝网？辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2 基本不等式教案新人教B版选修4-5板书设计：教学日记：2辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2 基本不等式教案新人教B版选修4-5教学目标1。

一、教学目标1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．二、课时安排1课时三、教学重点理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．四、教学难点理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．五、教学过程（一）导入新课若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是________.【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a－|b|<3.【答案】(－3,3)（二）讲授新课教材整理1两实数的大小比较a>b⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔<0.教材整理2不等式的基本性质（三）重难点精讲题型一、比较大小例1设A ＝x 3＋3，B ＝3x 2＋x ，且x >3，试比较A 与B 的大小．【精彩点拨】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系．【自主解答】 A －B ＝x 3＋3－3x 2－x＝x 2(x －3)－(x －3)＝(x －3)(x ＋1)(x －1)．∵x >3，∴(x －3)(x ＋1)(x －1)>0，∴x 3＋3>3x 2＋x .故A >B .规律总结：1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)――→转化考查差的符号(难以确定)――→转化考查积的符号――→转化考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．[再练一题]1．若例1中改为“A ＝y 2＋1x 2＋1，B ＝y x ，其中x ＞y ＞0”，试比较A 与B 的大小． 【解】 因为A 2－B 2＝y 2＋1x 2＋1－y 2x 2＝x 2(y 2＋1)－y 2(x 2＋1)x 2(x 2＋1)＝x 2－y 2x 2(x 2＋1)＝(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1)， 且x ＞y ＞0，所以x －y ＞0，x ＋y ＞0，x 2＞0，x 2＋1＞1，所以(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1)＞0.所以A 2＞B 2，又A ＞0，B ＞0，故有A ＞B . 题型二、利用不等式的性质求范围例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围． 【精彩点拨】 由－π2≤α＜β≤π2可确定α2，β2的范围，进而确定α＋β2，α－β2的范围． 【自主解答】 ∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4， ∴－π2＜α＋β2＜π2. 又－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4， ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α＜β，∴α－β2＜0， ∴－π2≤α－β2＜0， 即α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，α－β2∈⎣⎡⎭⎫－π2，0. 规律总结：1．本例中由α2，β2的范围求其差α－β2的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．[再练一题]2．已知－6<a <8,2<b <3，分别求a －b ，a b的取值范围. 【解】 ∵－6<a <8,2<b <3.∴－3<－b <－2，∴－9<a －b <6，则a －b 的取值范围是(－9,6)．又13<1b <12， (1)当0≤a <8时，0≤a b<4； (2)当－6<a <0时，－3<a b<0. 由(1)(2)得－3<a b<4. 因此a b的取值范围是(－3,4)． 题型三、利用性质证明简单不等式例3已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b . 【精彩点拨】 构造分母关系→构造分子关系→证明不等式又c >a >b >0，∴0<c －a <c －b ，∴1c －a >1c －b>0. 又∵a >b >0，∴a c －a >b c －b. 规律总结：1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a >b ，则－a <－b ；二是不等式的加法性质：c >a >b >0，又－a <－b ，则0<c －a <c －b ；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．[再练一题]3．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，求证：ac a ＋c ＞bd b ＋d. 【证明】 ∵a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，∴1b ＞1a＞0， ① 1d ＞1c＞0， ②①＋②得1b ＋1d ＞1a ＋1c＞0， 即b ＋d bd ＞a ＋c ac ＞0，∴ac a ＋c ＞bd b ＋d . 题型四、不等式的基本性质例4判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若a c 2>b c 2，则a >b ； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b； (4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .【精彩点拨】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．【自主解答】 (1)错误．当c ＝0时不成立．(2)正确．∵c 2≠0且c 2>0，在a c 2>b c 2两边同乘以c 2， ∴a >b .(3)错误．a >b ⇒1a <1b成立的条件是ab >0. (4)错误．a >b ，c >d ⇒ac >bd ，当a ，b ，c ，d 为正数时成立．1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．[再练一题]4．判断下列命题的真假．(1)若a <b <0，则1a >1b ；(2)若|a |>b ，则a 2>b 2；(3)若a >b >c ，则a |c |>b |c |.【解】 (1)∵a <b <0，∴ab >0，∴1ab >0，∴a ·1ab <b ·1ab ，∴1b ＜1a ，∴(1)是真命题．(2)∵|a |>b ，取a ＝1，b ＝－3，但a 2<b 2，∴(2)是假命题． (3)取a >b ，c ＝0，有a |c |＝b |c |＝0，∴(3)是假命题．（四）归纳小结（五）随堂检测1．设a ∈R ，则下面式子正确的是( )A ．3a >2ªB ．a 2<2aC.1a <aD.3－2a >1－2a【答案】 D2．已知m ，n ∈R ，则1m ＞1n 成立的一个充要条件是( )A ．m ＞0＞nC ．m ＜n ＜0D.mn (m －n )＜0【解析】 ∵1m ＞1n ⇔1m －1n ＞0⇔n －m mn ＞0⇔mn (n －m )＞0⇔mn (m －n )＜0.【答案】 D3．已知a ，b ，c 均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( ) ①a ＜b ＜0⇒a 2＜b 2；②a b ＜c ⇒a ＜bc ；③ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；④a ＜b ＜0⇒b a ＜1.A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①不正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴(－a )2＞(－b )2，即a 2＞b 2.②不正确．∵a b ＜c ，若b ＜0，则a ＞bc .③正确．∵ac 2＞bc 2，∴c ≠0，∴a ＞b .④正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴1＞b a ＞0.【答案】 C六、板书设计七、作业布置同步练习：1.1.1不等式的性质八、教学反思。

辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案 新人教B 版选修4-5不等式的解法辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案 新人教B 版选修您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可教学过程设计 教材处理师生活动（2）014x 4x 2>++（3）06x 3x -2<-+变式2：（1）解不等式：42x x 02<--<（2)解不等式:为常数其中m ,01m x x )1m (22<-++。

(3)3x 23x 2+<+-（4）)1a ,0a (a a 33x 2x12x 3x22≠>>+-+-（5）)1a 0(),22x (log )65x x (log a 2a <<-<+-（6）若不等式,3x 206bx ax 2<<>--的解是求不等式的解03b ax x 2<+++集）>()g x）()g x、-2x、x+3：2-+x教学过程设计教材处理师生活动三、题型三：含绝对值不等式的解法例3：（1）1->+2x12x≤（2）53-例:4.(1）解不等式: 5x>-1+x-2（2)解不等式：4-x<+1-x2变式4: 解下列不等式（1）42x---x>3+3+ (2)65xx≤+（3）.解不等式5<-x3≤2（4）.已知不等式{}1-<+的解集为，求a的ax<<xx123值（5）.对于实数x，不等式2+恒成立,求实数m的≥x+m7范围辽宁省本溪满族自治县高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.3 绝对值不等式的解法教案新人教B版选修4-5教学目标1。

第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。

高中数学备课教案不等式与绝对值不等式【数学备课教案】不等式与绝对值不等式一、教学目标1. 理解不等式与绝对值不等式的概念及符号表示方法；2. 掌握解不等式与绝对值不等式的基本方法；3. 能够分析与解决实际问题中涉及不等式与绝对值不等式的情况；4. 培养学生的逻辑思维能力与问题解决能力。

二、教学重点与难点1. 不等式的解的概念及表示方法；2. 不等式的基本性质与运算规则；3. 解不等式的过程与方法；4. 应用不等式解决实际问题；5. 绝对值不等式的概念及求解方法。

三、教学内容与过程（一）不等式的基本概念与符号不等式是描述数值间大小关系的数学语句。

例如：a > b, c ≤ d等均为不等式。

（二）不等式的性质与运算规则1. 不等式的加减运算性质：若a > b，c > 0，则a + c > b + c；2. 不等式的乘除运算性质：若a > b，c > 0，则a·c > b·c；3. 不等式的转化规则：若a > b，则-a < -b；4. 不等式的合并规则：若a > b，c > d，则a + c > b + d。

（三）不等式的解法1. 解含有未知数x的一元一次不等式：通过移项、化简、分情况讨论等方法，求出x的取值范围。

2. 解含有未知数x的一元二次不等式：将二次不等式转化为一次不等式，再通过一元一次不等式的解法求解。

3. 解含有未知数x的一元绝对值不等式：a) 若|x - a| ≥ b，等价于 x - a ≤ -b 或 x - a ≥ b，再通过一元一次不等式的解法求解。

b) 若|x - a| < b，等价于 -b < x - a < b，再通过不等式的合并规则简化，得到x的取值范围。

（四）绝对值不等式的解法绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式，求解方法如下：1. 若|f(x)| > a，则 f(x) > a 或 f(x) < -a；2. 若|f(x)| < a，则 -a < f(x) < a。

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课堂探究1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值 【例1】已知x ＞0，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方．解：∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号成立．∴y ≤239.∴y 的最大值为239.反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】设a ，b ，c ＞0，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明． 证明：∵a ，b ，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．反思 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→ 将它代入E ＝k sin θr2―→ 得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→ 用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， ∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． ∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．反思 处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．。

1.1.2基本不等式知识梳理1.基本不等式ab如果___________，那么ab2,当且仅当___________时，等号成立.___________称为a,b的算术平均，___________称为a,b的几何平均.基本不等式可以表述为：两个正数的___________不小于它们的___________.2基本不等式的几何意义直角三角形斜边上的___________不小于斜边上的___________.3重要不等式如果a,b∈___________，那么a2+b2≥2ab，当且仅当___________时，等号成立.4重要的不等式链（1）ab≤(a2b)2≤(ab)22≤a2+b2（a,b∈R）;2ab（2）设0<a≤b，则a≤aba b≤___________≤a2b22≤b.5应用基本不等式求函数最值已知x,y都为正数，则（1）若x+y=s（和为定值），则当___________时，积xy取得最大值___________；（2）若xy=p（积为定值），则当___________时，和x+y取得最小值___________.知识导学a b1.对于公式a2+b2≥2ab及定理ab的应用要注意：2ab（1）a2+b2≥2ab与ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要2求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点，例如：（-1）2+（-4）2≥2×(-1)×(-4)成立，而(1)(4)(1)(4)不成立.2(2)这两个公式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……取‘=’号”这句话：①当a=b时取等号，其意义是a=b a b ab;2ab②仅当a=b时取等号,其意义是ab a=b.2ab综合起来，其意义是：a=b 是ab成立的充要条件.22.利用算术平均与几何平均的定理求某些函数的最值时应注意两点： (1)函数式中，各项必须都是正数，例如对于函数式 x+1 x ，当 x<0时，x+ 1 x≥2 不成立.因此， x+ 1 x的最小值不是 2.事实上,当 x<0时,-x>0,1>0, x111∴-(x+)=(-x)+1(-x)≥2.∴x+≤-2.x x1∴x+有最大值-2,x=-1时取最大值-2.x(2)函数式中，含变量的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.利用基本不等式的条件可以概括为：一正，二定，三相等.三者缺一不可.疑难突破1认识基本不等式中的数a,b在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”.例如在试题“已知2x+y=1,x,y∈R+，求xy的最大值.”中“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x+y=1”，而“x+y”不是定值.因而要求xy的最大值应视作求即12(2x)·y的最大值. xy=12(2x)·y≤12×（2xy2）2=18.定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提.再如：在“设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3，求ax+by的最大值.”中要求的“ax+by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.ax+by≤a2x b y a bx y2222222222=2.但是这种解法不正确，这四个数分两组在使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取a“=”的条件是bx,y,这与a2+b2=1与x2+y2=3矛盾.因此正确的解法应是三角换元法：令a=cosα,b=sinα,x=3cosβ,y=3sinβ,∴ax+by=cosα·3cosβ+sinα·3sinβ= 3(cosαcosβ+sinαsinβ)=3cos(α-β)≤3.∴ax+by的最大值是3.2求最值问题要选择合适的重要不等式在本节中，有几个重要的不等式链，这就要求必须选择合适的重要不等式及其变形式去解题，如上面例子中：112x y1xy= ×2x·y≤( )= .2228a b用的是不等式链中的ab≤()2.2但是，xy=12×2x·y≤12×(2x y)2214,也可以.2这两种解法比较，可发现，求得的最值不一样，这说明不同的重要不等式的变形式，求得的值或范围是不同的，所以我们在选择重要不等式的变形式时，要使“放缩尺度”恰当，不能“跨越式”地使用不等式链.3。

1.1.2 基本不等式课堂探究认识基本不等式中的数a ，b剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知2x ＋y ＝1，x ，y ＞0，求xy 的最大值”中，“两个数”不是“x ”与“y ”，而是已知条件中的“2x ”与“y ”，这是因为定值是“2x ＋y ＝1”，而“x ＋y ”不是定值，因而要求xy 的最大值应视作求12(2x )·y 的最大值，即 xy ＝12(2x )·y ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立． 在基本不等式中，准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提．再如：在“设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，求ax ＋by 的最大值”中要求的“ax ＋by ”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值． ax ＋by ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＝a 2＋b 2＋x 2＋y 22＝2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ，b ＝y ，这与a 2＋b 2＝1和x 2＋y 2＝3矛盾． 因此正确的解法应是三角换元法：令a ＝cos α，b ＝sin α，x ＝3cos β，y ＝3sin β，∴ax ＋by ＝cos α·3cos β＋sin α·3sin β ＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3cos(α－β)≤3，当且仅当cos(α－β)＝1，即α＝β时，等号成立．∴ax ＋by 的最大值是 3.题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手． 证明：∵a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a. 同理：1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥ 2bc a ·2ac b ·2ab c＝8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 反思 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.题型二 利用基本不等式求函数最值【例2】已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值． 分析：由x ＜54，可知4x －5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值． 解：∵x ＜54，∴5－4x ＞0. ∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时上式等号成立． ∴当x ＝1时，y 的最大值为1.反思 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.题型三 基本不等式的实际应用【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2013年某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2013年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2013年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．解：(1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．反思 解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论．。

1.2.1 绝对值三角不等式课堂探究1．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的．题型一 绝对值三角不等式的性质【例1】若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①⎪⎪⎪⎪⎪⎪x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ④|x |lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1. 其中，能够成立的有______．解析：∵0＜n n ＋1＜1，∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴①②可能不成立；当x ＝－6时，可知③不成立；由|x |lg n n ＋1＜0,5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1＞0，可知④成立． 答案：④反思 一个不等式成立与否，取决于影响不等号的因素，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都会对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，对于一个不等式是否成立也就比较好判断了.题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋bx 2＜2. 故原不等式成立．反思 分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.题型三 绝对值三角不等式的综合应用 【例3】已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数．证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在[－1,1]上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13， ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键．。