关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版

高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式。

不等式的基本性质。

不等式的证明。

不等式的解法。

含绝对值的不等式。

考试要求：1.理解不等式的性质及其证明。

2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。

3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

4.掌握简单不等式的解法。

5.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

二、不等式知识要点1.不等式的基本概念1) 不等（等）号的定义：a-b>⟺a>b；a-b=⟺a=b；a-b<⟺a<b。

2) 不等式的分类：绝对不等式，条件不等式，矛盾不等式。

3) 同向不等式与异向不等式。

4) 同解不等式与不等式的同解变形。

2.不等式的基本性质1) a>XXX<a（对称性）。

2) a>b，b>c⟹a>c（传递性）。

3) a>b⟹a+c>b+c（加法单调性）。

4) a>b，c>d⟹a+c>b+d（同向不等式相加）。

5) a>b，cb-d（异向不等式相减）。

6) a>b，c>0⟹ac>bc；a<b，c<0⟹ac<bc（乘法单调性）。

7) a>b>0，c>d>0⟹ac>bd（同向不等式相乘）。

8) a>b>0，0bc（异向不等式相除）。

9) a>b，ab>0⟹a/b>b/a。

10) a>b，ab<0⟹a/b<b/a。

11) a>b>0，n>1⟹a^n>b^n（平方法则）。

12) a>b>0，n>1⟹a^(1/n)>b^(1/n)（开方法则）。

3.几个重要不等式1) 若a∈R，则|a|≥0，a^2≥0.2) 若a、b∈R+，则a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。

在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。

正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。

不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。

2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。

3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。

高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。

2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。

-传递性：若a>b,b>c，则a>c。

-对称性：若a>b，则b<a。

-加法性：若a>b，则a+c>b+c。

3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。

2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。

-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。

3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。

2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。

-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。

3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。

2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。

-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。

3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。

《不等式》知识点一、不等式及其解法：1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）⇒“大于取两边，小于取中间”如：解不等式（1）0322≤-+x x ； （2）0122≤++-x x解：（1）原不等式等价于 0)1)(3(≤-+x x ， 方程0)1)(3(=-+x x 的根为3-，1故解集为}{}13≤≤-x x .（2）原不等式等价于0122≥--x x ， 方程0122=--x x 的根为21+，21-， 故解集为}{}2121+≥-≤x x x 或. 2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的x 系数为都为正）⇒穿根（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）如：解不等式（1）0)1)(1(≤-+x x x ； （2）0)1)(2(≥-+x x ； （3）0)1(2<-x解：（1）解集为{}101≤≤-<x x x 或； （2）解集为{312>≤≤-x x x 或； （3）解集为]1,2[--3．分式不等式：移项⇒通分.如：解不等式12≤x . 解：移项后012≤-x ，通分后02≤-x x ，化标准式为02≥-xx ，故解集为{}20≥<x x x 或 4．绝对值不等式：a x <)0(>a 的解集为{}a x a x <<-； a x >)0(>a 的解集为{}a x a x x -<>或 二、1．重要不等式：),(222Rb a ab b a ∈≥+,当且仅当b a =时，等号成立 变形：222b a ab +≤ 应用：22b a +为定值时，求ab 的最大值. 2．基本不等式：)0,0(2>>+≤b a b a ab 当且仅当b a =时，等号成立 变形一：ab b a 2≥+ 应用：ab 为定值时，求b a +的最小值.变形二：2)2(b a ab +≤ 应用：b a +为定值时，求ab 的最大值. 注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.三、线性规划问题1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.3.目标函数常见类型：（1）求线性目标函数By Ax z +=的最值时，先令0=z ，画出直线l ：0=+By Ax ，①若0>B ，则l 向上平移，z 变大，向下平移，z 变小；②若0<B ，则l 向上平移，z 变小，向下平移，z 变大（2）“斜率型”目标函数ax b y z --=，z 表示可行域内动点),(y x 与定点),(b a 连线的斜率. （3）“距离型”目标函数22222))()(()()(b y a x b y a x z -+-=-+-=，z 表示可行域内动点),(y x 到定点),(b a的距离的平方.。

高三数学不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在高三数学学习中，掌握不等式的相关知识点对于理解和解决问题至关重要。

本文将对高三数学中的不等式知识点进行总结。

1. 不等式的基本性质不等式的基本性质包括：- 加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c。

- 减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c。

- 乘法性质：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 除法性质：如果a > b，c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，c < 0，那么a/c < b/c。

2. 不等式的解集表示法解不等式时常常需要表示出解集，常见的表示方法有：- 图形表示法：将不等式的解集在数轴上用图形表示出来，例如用方向箭头表示不等式的解集。

- 区间表示法：使用区间表示法表示解集，例如(a, b)表示开区间，[a, b]表示闭区间，(a, b]表示半开半闭区间，等等。

- 集合表示法：使用集合的符号表示解集，例如{x | a < x < b}表示大于a小于b的x的集合。

3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

解一元一次不等式的方法与解方程类似，不同的是在解的过程中需要注意保持不等式的方向性。

- 加减法解不等式：通过加减同一个数使得不等式简化，确定不等式的方向。

- 乘除法解不等式：通过乘除同一个正数或负数使得不等式简化，确定不等式的方向。

4. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

解一元二次不等式的关键是确定二次函数的图像与x轴的位置关系。

- 求解不等式组：将二次不等式转化为不等式组的形式，通过观察二次函数的变化趋势求解。

- 图像法求解：绘制二次函数的图像，根据图像与x轴的位置关系得出解集。

高中数学不等式专题教师版一、高考动向考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1〕理解不等式的性质及其证明．（2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3〕掌握解析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4〕掌握简单不等式的解法．（5〕理解不等式│ a│- │ b│≤│ a+b│≤│ a│ +│ b│?二、不等式知识要点1.不等式的根本看法〔 1〕不等〔等〕号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0a b.〔 2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3〕同向不等式与异向不等式 .（4〕同解不等式与不等式的同解变形 .2. 不等式的根本性质（1〕a b b a〔对称性〕〔 2〕a b, b c a c 〔传达性〕〔 3〕a b a c b c 〔加法单调性〕〔 4〕a b, c d a c b d 〔同向不等式相加〕〔 5〕 ab, c da cb d 〔异向不等式相减〕〔 6〕 a. b,c0 ac bc（ 7〕 a b, c 0 ac bc 〔乘法单调性〕〔 8〕 ab 0,c d0 acbd 〔同向不等式相乘〕(9) a b 0,0cda b 〔异向不等式相除〕cd(10) a b, ab 01 1〔倒数关系〕ab〔 11〕 a ba nb n ( n Z , 且n1) 〔平方法那么〕〔 12〕 ab 0nanb(nZ ,且n 1) 〔开方法那么〕3. 几个重要不等式〔 1〕 假设 a R,那么 | a | 0,a 2〔2〕假设、R , 那么 22或 22〔当仅当 a=b 时取等号〕a ba b2ab(ab 2 | ab | 2ab)〔 3〕若是 a , b 都是正数，那么aba b. 〔当仅当 a=b 时取等号〕2极值定理：假设 x, y R , xyS, xy P, 那么：1 若是 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；○○2若是 S 是定值 , 那么当 x =y 时， P 的值最大 .利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 .(4) 假设 a 、 b 、c R ,那么a bc3abc 〔当仅当 a=b=c 时取等号〕3(5) 假设 ab 0, 那么ba 2 〔当仅当 a=b 时取等号〕ab〔 7〕 假设a 、bR,那么 || a | | b || | a b | | a | | b |4. 几个着名不等式〔1〕平均不等式：若是 a , b 都是正数，那么2a b a 2 b 2〔当仅当1 ab2 2 .1 aba=b 时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调停平均〔a、b 为正数〕：特别地， ab (ab ) 2 a 2b 2〔当 a = b 时， ( ab ) 2 a 2 b 2ab 〕2222幂平均不等式： a 12a 22...a n 21(a 1 a 2 ... a n ) 2n注：比方： (acbd ) 2 ( a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) .常用不等式的放缩法：①1111 1 11n n 1n(n 1)pn 2pn( n 1) n 1n ( n2)② n 1 n1 p 1 p1nn 1(n 1)nn2 nnn11〔 2〕柯西不等式：假设 a 1 ,a 2 , a 3 , , a n R,b 1 ,b 2 ,b 3 , b n R;那么a 2 a 2)(b bb 2 b 2 )〔 a b a b a 3 b 3 a n b )2 (a 2 a 2 2 21 12 2n1 2 3n1 2 3 n当且仅当 a 1 a 2 a 3 an 时取等号b 1 b 2 b 3 b n〔 3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数 f(x), 关于定义域中任意两点x 1, x 2 ( x 1 x 2 ), 有那么称 f(x)为凸〔或凹〕函数 .5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、解析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法〔 1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例① 一元一次不等式 ax >b 解的谈论；②一元二次不等式 ax 2 +bx +c >0( a ≠ 0) 解的谈论 .（ 2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么 （ 3〕无理不等式：转变成有理不等式求解 （ 4〕 . 指数不等式：转变成代数不等式 （ 5〕对数不等式：转变成代数不等式（ 6〕含绝对值不等式○1应用分类谈论思想去绝对值；○2 应用数形思想；○3应用化归思想等价转变注：常用不等式的解法举例〔 x 为正数〕：① x(1 x) 21 2x(1 x)(1 x) 1(2) 3 422327② yx(1x 2 )y 2 2 x 2 (1 x 2 )(1 x 2 ) 1(2)34y2 32 2 3279近似于 ysin x cos 2x sin x(1 sin 2x) ，③ | x 1 | | x | | 1 | ( x 与 1同号，故取等 ) 2xx x三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式abab (a 0，b 0， 当且仅当 a ＝ b 时等号成立〕 是一个重要2的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

高三不等式必背知识点总结高中数学学科中，不等式是一个重要的内容，也是学习中的重点和难点之一。

在高三阶段，不等式的掌握和运用变得更加关键，它是解析几何、数列等各种数学内容的基础。

下面将对高三不等式的必背知识点进行总结与归纳。

一、基本的不等式关系在不等式学科中，最基础、最重要的关系就是大小关系。

通常使用的符号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

大于号和小于号用于表示严格的大小关系，大于等于号和小于等于号则包含了等于的情况。

二、绝对值不等式绝对值不等式是高三阶段需要掌握的一个重要知识点。

对于任意的实数a，绝对值不等式可以分为三种情况：1. 当a > 0时，|x| > a的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)；2. 当a = 0时，|x| > a的解集为全体实数集R；3. 当a < 0时，|x| > a的解集为空集。

绝对值不等式的求解需要根据以上三种情况进行分类讨论。

三、一元一次不等式一元一次不等式是最基础的一类不等式之一，在高三阶段需要非常熟练地掌握。

一元一次不等式的求解大致可以分为以下几个步骤：1. 将不等式两边的式子整理为一个多项式，注意保持不等式的方向不变；2. 描述不等式的解集，可以通过解析法或图像法等方式确定解集的范围。

四、二次不等式二次不等式在高三学习中也是一个重点，它的解集常常与多项式的图像、方程的根等有关。

1. 解二次不等式需要先将二次不等式整理为标准形式，即要使得二次项系数大于0。

2. 利用二次不等式的图像特点，以及平方的非负性质，确定解集的范围。

五、分式不等式分式不等式是高三学习中较为复杂的一类不等式，求解分式不等式的一般步骤如下：1. 找到分式不等式的定义域，即分母不能为0的条件；2. 利用分式的性质化简不等式，使其变为分子和分母均不为0的形式；3. 对分子和分母分别进行讨论，找出使得不等式成立的范围。

六、不等式的基本性质在高三学习中，还需要深入了解不等式的一些基本性质，这些性质在解决不等式问题时起到了重要的指导作用。

高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。

在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。

本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。

一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。

2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。

二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。

1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。

三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。

高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。

不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。

在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。

本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。

一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。

2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。

3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。

4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。

这个性质可以用于推导和证明不等式。

二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。

2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。

3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。

常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。

三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。

通过代数的方法解题，可以得到解的范围。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。

解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。

3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。

解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。

4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。