基本不等式知识点总结
向量不等式：
【注意】： a b r r 、
同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u
r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u
r u r u r ； a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)
代数不等式：
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.
绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤
双向不等式：a b a b a b -±+≤≤
（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）
放缩不等式：
①00a b a m >>>>，，则b m b b m
a m a a m
-+<<-+. 【说明】：
b b m a a m
+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b
c R +
∈，
b d a
c <，则b b
d d
a a c c
+<<+； ③n N +∈
<
< ④,1n N n +∈>，211111
11n n n n n
-
<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x
e x +≥()x R ∈.
函数()(0)b
f x ax a b x
=+>、图象及性质
(1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图：
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞
；单调递减区间：(0,
，[0). 基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：,a b R ∈⇒22
2a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．
【变形】：①222()22
a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22
2()22a b a b ab ++==）
【注意】：
(,)2a b a b R ++∈，2
()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：
两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
*.若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）; 若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
*.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：
3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时
除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b
a -≥22
八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2
)2
(b a ab +≤； ③2)2(
222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(
2≥
+； ⑧ 若0≠ab ，则2
22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。
最值定理
（积定和最小）
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值
（和定积最大）
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值21
4
s .
【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2
2
+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.
