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第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题 6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰g g B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()(P r r r a e r σεεωε==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m=、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A /求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。
解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+=m A /(1) 波沿+x 方向传播(2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1⨯==λ （3）)cos(120)(0x wt H a a a H E z y x ππη--=⨯= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=⨯= 2/m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表达式为)106cos(80z t E a E y β-⨯=求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。
解：（1）s m cv r r p /105.118⨯===εμμε（2）)(6000Ω===πεεμμεμηrr ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -⨯-=⨯=πη m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =⨯= 2/m w6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。
在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。
求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度；（2）写出海水中的电场强度表达式；（3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离；（4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式；（5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。
第6章习题解答已知空气中存在电磁波的电场强度为 ()80cos 6π102πy E e E t z =⨯+r rV /m试问：此波是否为均匀平面波传播方向是什么求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H r。
解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。
电场强度瞬时式可以写成复矢量j 0e kzy E e E -=r r &。
该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z E e ⋅=r r ⇒z E e ⊥r r ，此波为均匀平面波。
传播方向为沿着z -方向。
由时间相位86π10t t ω=⨯ ⇒ 86π10ω=⨯ 波的频率Hz 1038⨯=f 波数2πk =波长2π 1 m k λ== 相速p 310 m/s v kω==⨯ 由于是均匀平面波，因此磁场为j 0w w1() e kz z x EH e E e Z Z -=-⨯=r r r v &&有一频率为600MHz 的均匀平面波在无界理想介质(r r 4,1εμ==)中沿x +方向传播。
已知电场只有y 分量，初相位为零，且010t t ==s 时，1x =m 处的电场强度值为800kV/m 。
试写出E v 和H v的瞬时表达式。
解：根据题意，角频率812π10ω=⨯，r r 0028πk cωεμεμεμ====，因此 80cos(12π108π)y E e E t x =⨯-r r由s 10=t ，m 1=x 处的电场强度值为kV /m 800，可以得到kV/m 8000=E8800cos(12π108π) kV/m y E e t x =⨯-r r根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为j8π800e kV/m x y E e -=r r&波阻抗为()0r w r 060π ΩZ μμμεεε===。
因此磁场强度复矢量为 j8πw 140() e kA/m 3πx x z H e E e Z -=⨯=r r r r &&因此，磁场的瞬时表达式为840cos(12π108π)3πz H e t x =⨯-r r在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 ()80sin 2π102πx E e E t z =⨯-r rV /m已知介质的r 1μ=，试求其r ε，并写出H r的表达式。
第6章习题答案6-1在r 1、 r 4、0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是 E(z,t) E m sin( t kz —)3若已知f 150 MHz ，波在任意点的平均功率流密度为 0.265卩w/m 2，试求:(1)该电磁波的波数 k ?相速V p ?波长 ？波阻抗 ？(2) t 0 , z 0 的电场 E(0,0) ?(3) 时间经过0.1 之后电场E(0,0)值在什么地方？(4) 时间在t 0时刻之前0.1 口 s ,电场E(0,0)值在什么地方？—2 f —解：(1) k ..——r 2 (rad/m)cv p c/. r 1.5 108(m/s)k 1(m)6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是—4 j 20 z — 4 j(520 z)八、，、［/E 10 e je x 10 ee y 伏 / 米试求：(1)电磁波的传播方向？(2) 电磁波的相速V p ?波长 ？频率f ? (3) 磁场强度H ?(4) 沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？=12060 (Q )(2)： Sa vE m0 60.265 10E m1.00 10 \0 r2 (V/m) E m sin 8.66 10 3z v p t 15 m(4)在O 点左边15 m 处E(0,0)3(V/m)(3)往右移解：(1)电磁波沿z方向传播。
(2)自由空间电磁波的相速v p c 3 108 m/s••• k — 20c 20 cf —10c 3 109Hz217j(20 z )z(3) H ^e z E265 10 7(e 2e x e j20 z e y )(A/m)*(4)S av ^Re(EH *)^-^e z2.65 10 11e z (W/m 2)2 26-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中， 不可能存在E E °e jkze z 的均匀平面电磁波。
证•/ E jkE °e jkz0，即不满足Maxwell 方程.不可能存在E E °e jkze z 的均匀平面电磁波。
6-1.解：E矢量为y 方向，电磁波沿-z 方向传播，)2106cos(7.37)2(8222z t z E y πππ+⨯⨯-=∂∂)2106cos(7.37)106(82822z t tE y πππ+⨯⨯⨯-=∂∂又π2=k ,μεω22=k ,8106⨯=πω 2222222228222)106()2(tE t E k t E z E y y y y ∂∂=∂∂=∂∂⋅⨯=∂∂∴μεωππ )2106cos(7.378z t E y ππ+⨯=∴符合均匀平面波的一维波动方程，所以它属于均匀平面波。
6-2.解：;10328Hz f ⨯==πω π2=k ；m k 12==πλ；s m kv P /1038⨯==ω；m uE H 1.0/77.3/===εη 波沿-z 轴传播；由右手螺旋法则，H 在x 方向上振动。
6-3. 解： (1)Hz vf 881092.461.0103⨯=⨯==λ (2)91003.2/1⨯==f T s (3)3.1061.022===πλπk (4)12.2377/800/===ηE HA/m 方向为y aˆ 6-4.解：由E 和 H的关系可知：y m x m a az t H aaz t H H ˆ)sin(ˆ)sin(-+--=ωωy m x m a az t E aaz t E ˆ)sin(/ˆ)sin(/00-⋅+-⋅-=ωηωη H E S⨯=z m m z m m a az t E az t E aaz t E az t E ˆ)sin(/)sin(ˆ)sin(/)sin(00-⋅⋅-+-⋅⋅-=ωηωωηω z m a az t E ⋅-=022/)(sin 2ηω6-5 解：Hz U f 98000105.212.0103⨯=⨯==λ5001.050111===H E η 又rrrru u u επεεη120001==πε120500=rru（1）在均匀媒质中有：11v v P = rr u Cf ελ=1 2981108105.2103-⨯⨯⨯⨯==∴λεf C u r r （2）由式（1）、（2）得 99.1=r u 13.1=r ε6-6 解：m V a a aE z y x 310)ˆ2ˆˆ4(⨯+-=1）333310)ˆ78ˆ24ˆ33(3186********ˆˆˆ⨯++-=-⨯-⨯=⨯z y x z y x a a aaaaH E322231078243310)ˆ78ˆ24ˆ33(ˆ⨯++⨯++-=z y x a a aaz y x a a a ˆ89.0ˆ27.0ˆ37.0++= 2）3ˆˆˆ(42)10jkr x y z E aa a e -=-+⨯ˆˆˆ(6183)jkr x y z H aa a e -=+-*311ˆˆˆRe[](332478)1022av x y z S E H aa a =⨯=-++⨯3）HE ur r ==επη1201 5.2=∴r ε6-7解： 1）不失一般性，可假设两圆极化波左旋：)ˆˆ(101y x jkz a j ae E E +=-右旋：)ˆˆ(202y x jkz a j ae E E -=-合成波：21E E E+==y jkz x jkz a e j E E a e E E ˆ)(ˆ)(20102010---++ =y jkz jx jkzae e E E aeE E ˆ)(ˆ)(220102010---++πy x E E+=y x E E ≠ 2πϕϕ-=-y xx E 与y E 振幅不等，相位相差2π为一个椭圆极化波故椭圆极化波可分解为一个左旋圆极化波和一个右旋圆极化波。
第6章习题答案6-1在r 1、 r 4、0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是E(z,t) E m sin( t kz —)3若已知f 150 MHz ，波在任意点的平均功率流密度为0.265卩w/m 2，试求:(1) 该电磁波的波数 k ?相速V p ?波长？波阻抗 ？(2)t 0, z 0的电场 E(0,0)?(3) 时间经过0.1 之后电场E(0,0)值在什么地方？(4) 时间在t 0时刻之前0.1 口 s ,电场E(0,0)值在什么地方？—2 f —解：(1) k .——.r 2 (rad/m) cv p c/. r 1.5 108(m/s)k 1(m)(4)在O 点左边15 m 处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是—4 j 20 z— 4 j(520 z)八、，、［/ E 10 e je x 10 ee y 伏 / 米试求：(1)电磁波的传播方向？(2) 电磁波的相速V p ?波长 ？频率f ? (3) 磁场强度H ?(4) 沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？=12060 (Q )(2)： S a vE m0 60.265 10E m 1.00 10■. 0 r2(V/m)E(0,0)(3)往右移E m sin 8.66 103z v p t 15 m3(V/m )解：(1)电磁波沿z方向传播。
(2)自由空间电磁波的相速v p c 3 108 m/s••• k —20c20 c f —10c3 109Hz217j(20 z )z(3) H ^e z E 26510 7(e 2 e x e j20 z e y )(A/m)*(4)S av ^Re(EH *)^-^e z2.65 10 11e z (W/m 2)226-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在 磁波。
证•/ EjkE °e jkz 0，即不满足Maxwell 方程不可能存在E E °e jkz e z 的均匀平面电磁波。
6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为 1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国 家标准，人暴露在微波下的限制量为10 _2W/m 2不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8小时连续照射，不超过 3.8X 10 2W/m 2。
）解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密 度为1322.65 10 3W/m 2377耗媒质的 r1 , r 2.256-6若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度 v 运动，同时一个均匀平面波也沿v 的方向传播。
试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。
2 2T 20 0.1(m) E E °e jkz e z 的均匀平面电S av可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。
6-5在自由空间中，有一波长为 12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时,其波长变为 8cm ,且此时E31.41V/m , H0.125A/m 。
求平面波的频率以及无损解：因为2(12/8)9/4又因为—120H120 H0.4443所以」r(3)解：设v 沿z 轴方向，均匀平面波电场为 E ，则磁场为1 He , E电荷受到的电场力为F e q E其中q 为点电荷电量，受到的磁场力为F m = q v B q o v e , HE qv..0 °E聖Ec故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm v F e C6-7 一个频率为f 3GHz , e y 方向极化的均匀平面波在 r2.5，损耗角正切值为10「2的非磁性媒质中，沿正 e x 方向传播。
(1 )求波的振幅衰减一半时，传播的距离； (2 )求媒质的波阻抗，波的相速和波长；(3)设在x 0处的E 50sin6 10 t e y ,写出H (x,t)的表示式。
310 2，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。
其衰减常数为10 2 2 3 109 . 2.52寸12.5v/ f 0.0632(m)6.32(cm)6曲严99.33 108解：(1) tan 10 2 2 3 108 °.497因为e '1/2，所以|ln21.40m(2 )对低损耗媒质, ,/120 / 25 238.4 Q相速v813 10 1.90 108 m/s波长2（2）发泡聚苯乙烯的穿透深度2 3 10822.45 1090.3 10 4、1.03可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
6-9已知海水的 4S/m ， r 81, 「 1 ,在其中分别传播f 100 MHz 或 f 10kHz 的平面电磁波时，试求：？ ？V p ??解：当 f 1 100MHz 时，一 8.88当 f 2 10kHz 时，——8.8 104故f 2 10kHz 时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式而f 1 100MHz 时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。
（1）当 f 1 100MHz 时H (x,t) 50e 0.5x sin(6 109t x -)e z0.21e 0.5x sin(6 109t 99.3x -)e z (A/m)2.45GHz 频率的微波加热食品， 在该频率上，牛排的等效 6-8微波炉利用磁控管输出的 复介电常数~r 40（1 0.3j ）。
求： （1）微波传入牛排的穿透深度 ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几? （2 ）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数 4）。
说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。
121.03(1 j0.3 10解: (1) 20.0208m 20.8mmEE。
z/ 8/20.8e e68%31.28 10 (m)0.149(m)(2)当 f 2110kHz 时因为 E E 0e lE 0e所以经过一个波长衰减20lg 旦 20lg(e 2 )54.57(dB)E 06-11为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波 长，即即d 2式中 是穿透深度。
试计算（1） 收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。
（2） 电源变压器铁屏蔽罩的厚度。
（3） 若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？ （铝： 3.72 107S/m , r 1 , r 1 ；铁：107S/m , r 1 , r 104 , f =465kHzo ）120.397(Nep/m) 0.397(rad/m)0 397p25-1.58 10 (m/s)215.8(m)6-10证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减54.54dB。
证：在良导体中,，故p1)2 1 0.149 108(m/s) 37.5(Nep/m) 42.0(rad/m)122465 103 4 2 10 7 3.72 忖 了6。
10 饷)0.76(mm)铁屏蔽罩厚度为6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。
面积的N 股纱包线的高频电阻只有单股线的 证：设N 股纱包中每小股线的半径为 r ，单股线的半径为 R ，贝U R 2 Nr 2，即R . N r 单股线的高频电阻为N 股纱包线的高频电阻为 R N ——I ——2 rNR N R吊1R-IrNrN6-13已知群速与相速的关系是V g V p式中是相移常数，证明下式也成立V gV pR 1其中为电导率,为趋肤深度。
解:(1) 铝屏蔽罩厚度为(2) (3)d 2\ 2 50 410 7 104 107 1.41 103(m) 1.41(mm)23742465 10 4 10101071.47 10 5(m)14.7( m)2250 410 7 3.72 10750Hz 的电源变压器需屏蔽层厚73mm ，7.33 210 (m)73(mm)用铝屏蔽需屏蔽层厚14.7 m ，故可以选用作屏蔽材料。
太厚, 不能用。
用铁屏蔽中周变压器证明，相同截dV p d dV pd2证：由得d1 2 d(—)22d2dV pdVp•- V g V p(4)dV Pd6-14判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1) E jE 1*z e x jE 1e jkze y(2) H H 1e jkx e y H ?e jkx e z (H 1 H 20)(3) EE °e % jE °e jkz e y(4)E e jkz (E °e xAE °e j e y )(A 为常数，0,)(5) H (E m e jky e 妆 j E m e jky e z )(6) E(z,t) E m sin( t kz)e x E m cos( t kz)e y (7)E(z,t) E m sin( t kz)e x E m cos( t kz )e y 44解：(1)— z 方向，直线极化。
(2) + x 方向，直线极化。
(3) + z 方向，右旋圆极化。
(4) + z 方向，椭圆极化。
(6) + z 方向，左旋圆极化。
(7) + z 方向，直线极化。
6-15证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。
证: 设沿z 方向传播的直线极化波的电场矢量方向与 e x 方向夹角为 ，贝V E = E 1 (cos e x sin e y )e j ze je j e j e j j z-EMe xe y )e j22j-(e ' e x je ' e y )e '(e 'e x je ' e y )e '2 2—E右圆+ E 左圆6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。
证：设沿z 方向传播的圆极化波为E (z,t) E m cos( t kz )e x E m cos( t kz)e y2 2 2 2E m cos t kzE m cos t kz2ezE mz6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：(1) 如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？ (2)如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化?(3) 如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解:( 1)设巳E o (e x j e y )e j 1e jkzE 2 E o (e x j e y )e j 2e jkz贝U E 巳 E 2E o (e x j e y )(e j1 e j2)e jkz故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。
