专题10.7 离散型随机变量及其分布列-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第6节离散型随机变量及其分布列最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝x i）＝p i，则表称为离散型随机变量X的概率分布列.（2）离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0（i＝1，2，…，n）；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[常用结论与微点提醒]分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.诊断自测1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）（1）离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.（）（2）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.（）（3）如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.（ ）解析 对于（1），离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故（1）不正确；对于（3），X 的取值不是0，1，故不是两点分布，所以（3）不正确.答案 （1）× （2）√ （3）×2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（ ） A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析 选项A ，B 表述的都是随机事件，选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0，1，2. 答案 C3.（选修2－3P49A4改编）设随机变量X 的分布列如下：则p 为（ ） A.16B.13C.14D.112解析 由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14. 答案 C4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.答案 C5.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X<4）＝0.3，那么n＝.解析由于随机变量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每个数的概率均为1 n.∴P（X<4）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝3n＝0.3，∴n＝10.答案10考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：（1）2X＋1的分布列；（2）|X－1|的分布列.解由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为从而由上表得两个分布列为（1）2X＋1的分布列（2）|X－1|的分布列为规律方法（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数.（2）若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.【训练1】 （2017·丽水月考）设随机变量X 的概率分布列如下表，则P （|X －2|＝1）＝（ ）A.712B.12C.512D.16解析 由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋14＋13＝14，∴P （|X －2|＝1）＝P （X＝1）＋P （X ＝3）＝16＋14＝512. 答案 C考点二 离散型随机变量的分布列【例2】 （2016·天津卷节选）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.解 （1）由已知，有P （A ）＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P （X ＝0）＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P （X ＝1）＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P （X ＝2）＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X的分布列为规律方法求离散型随机变量X的分布列的步骤：（1）找出随机变量X的所有可能取值x i（i＝1，2，3，…，n）；（2）求出各取值的概率P（X＝x i）＝p i；（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解（1）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为1件）＝120＋520＝310.（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P（X＝2）＝P（当天商品销售量为1件）＝520＝14；P（X＝3）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为2件）＋P（当天商品销售量为3件）＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为基础巩固题组一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ） A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P （X ＞7）＝P （X ＝8）＋P （X ＝9）＋P （X ＝10）＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P （X ＝0）等于（ ） A.0B.12C.13D.23解析 由已知得X 的所有可能取值为0，1，且P （X ＝1）＝2P （X ＝0），由P （X ＝1）＋P （X ＝0）＝1， 得P （X ＝0）＝13. 答案 C3.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为（ ）A.1B.32±336 C.32－336 D.32＋336解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336. 答案 C4.（2018·绍兴调研）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P （X ＝4）的值为（ ） A.1220B.2755C.27220D.2155解析 {X ＝4}表示从盒中取了2个旧球、1个新球，故P （X ＝4）＝C 23C 19C 312＝27220.答案 C 二、填空题5.袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P （X ≤6）＝ .解析 P （X ≤6）＝P （取到3只红球1只黑球）＋P （取到4只红球）＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335. 答案 13356.（2018·丽水测试）甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得－1分）；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X 的所有可能取值是 . 解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了.X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错. X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对.X＝3时，甲抢到3题均答对.答案－1，0，1，2，37.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为.解析η的所有可能值为0，1，2.P（η＝0）＝C11C11C12C12＝1 4，P（η＝1）＝C11C11×2C12C12＝12，P（η＝2）＝C11C11C12C12＝1 4.∴η的分布列为答案三、解答题8.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列.解（1）设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P（A）＝A23A34＝1 4，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为1 4.（2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20. P （X ＝0）＝14，P （X ＝5）＝2A 24＝16，P （X ＝10）＝1A 24＋A 22A 34＝16，P （X ＝15）＝C 12·A 22A 34＝16，P （X ＝20）＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的分布列为能力提升题组9.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P （|X |＝1）等于（ ） A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P （|X |＝1）＝a ＋c ＝23. 答案 D10.随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝an （n ＋1）（n ＝1，2，3，4），其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为（ ）A.23B.34C.45D.56解析 因为P （X ＝n ）＝a n （n ＋1）（n ＝1，2，3，4），所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.∴a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P （X ＝1）＋P （X ＝2）＝12×54＋16×54＝56. 答案 D11.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球、3个白色球、4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.（1）求取出的3个球中至少有1个红球的概率； （2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（3）设X 为取出的3个球中白色球的个数，求X 的分布列. 解 （1）P ＝1－C 37C 39＝712.（2）记“取出1个红色球、2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球、1个黑色球”为事件C ，则P （B ＋C ）＝P （B ）＋P （C ）＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.（3）X 可能的取值为0，1，2，3，X 服从超几何分布，所以P （X ＝k ）＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0，1，2，3.故P （X ＝0）＝C 36C 39＝521，P （X ＝1）＝C 13C 26C 39＝1528，P （X ＝2）＝C 23C 16C 39＝314，P （X ＝3）＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为12.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记X ＝|x －2|＋|y －x |. （1）求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； （2）求随机变量X 的分布列.解 （1）由题意知，x ，y 可能的取值为1，2，3， 则|x －2|≤1，|y －x |≤2，所以X ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，X ＝3. 因此，随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9（种），所以P （X ＝3）＝29.故随机变量X 的最大值为3，事件“X 取得最大值”的概率为29.（2）X 的所有取值为0，1，2，3.当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况.当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况.所以P（X＝0）＝19，P（X＝1）＝49，P（X＝2）＝29，P（X＝3）＝2 9.则随机变量X的分布列为。

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，x n，…，随机变量X取x i的概率为p i(i＝1,2，…，n，…)，记作P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…，n，…)．①①式也可以列成表，如表：x i x1x2…x n…P(X＝x i)p1p2…p n…表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)p i>0(i＝1,2，…，n，…)；(2)p1＋p2＋...＋p n＋ (1)4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(2)方差称DX＝E(X－EX)2＝错误!(x i－EX)2p i为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作σX ，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．5．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2DX (a ，b 为常数)．常用结论1．Ek ＝k ，Dk ＝0，其中k 为常数．2．E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2.3．DX ＝EX 2－(EX )2.4．若X 1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝EX 1·EX 2.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(√)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)2．已知随机变量X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则EY 的值为()A.73B ．4C ．－1D ．1答案A解析EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X 满足P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝0.4，P (X ＝4)＝0.2，则EX ＝________，DX ＝________.答案21.2解析EX ＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2，DX ＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2.4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其分布列分别为X 0123P0.40.30.20.1Y 012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案乙解析EX ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，EY ＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵EY <EX ，∴乙技术较好.题型一分布列的性质例1(1)(多选)已知随机变量X 的分布列如表(其中a 为常数)：X 01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A ．a ＝0.1B ．P (X ≤2)＝0.7C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3答案ABD解析因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a ＝1，解得a ＝0.1，故A 正确；由分布列知P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B 正确；P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C 错误；P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D 正确．(2)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X ()A.23B.34C.45D.56答案D解析因为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，即a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)若随机变量X 的分布列为X －101Pa13c则P (|X |＝1)等于()A.12B.13C.23D.16答案C解析由随机变量X 的分布列得P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝1－13＝23.(2)设随机变量X 满足P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则k ＝________；P (X ≥2)＝________.答案8737解析由已知得随机变量X 的分布列为X 123Pk 2k 4k 8∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87.∴随机变量X 的分布列为X 123P472717∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝27＋17＝37.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率0.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X 表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X 的均值和方差分别是()A ．EX ＝1.5，DX ＝0.36B ．EX ＝1.4，DX ＝0.36C ．EX ＝1.5，DX ＝0.34D ．EX ＝1.4，DX ＝0.34答案D解析设事件A 表示甲在规定的时间内到达，B 表示乙在规定的时间内到达，P (A )＝0.5，P (B )＝0.9，A ，B 相互独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P (X ＝1)＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.5×0.9＝0.45，∴EX ＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，DX ＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X 的分布列如表：X －1012Pabc13若EX ＝34，P (X ≥1)＝712，则DX 等于()A.1516B.98C.1916D.54答案C解析由题意，得a ＋b ＋c ＋13＝1，所以a ＋b ＋c ＝23.①因为EX ＝(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×13＝34，所以－a ＋c ＝112.②由P (X ≥1)＝c ＋13＝712，得c ＝14，代入①②解得a ＝16，b ＝14.所以DX1×16＋×14＋×14＋×13＝1916.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．典例(1)设随机变量X 的分布列如下(其中0<p <1)，DX 表示X 的方差，则当p 从0增大到1时()X 012P1－p212p 2A ．DX 增大B ．DX 减小C ．DX 先减后增D ．DX 先增后减答案D解析由分布列可得EX ＝0×1－p 2＋1×12＋2×p2＝12＋p ，则DXp －p －＝－p2＋p ＋14＝－＋12，因为0<p <1，所以DX 先增后减．(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X ＝0，a ,2，根据以往销售经验可得0<a <2，随机变量X 的分布列为X 0a 2P12b16下列结论正确的是()A ．b ＝13B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．(DX )min ＝12D ．当(DX )min 最小时，EX ＝13答案ABC解析由题意12＋b ＋16＝1，∴b ＝13，故选项A 正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C 35＝516，故选项B 正确；随机变量X 的均值EX ＝0×12＋a ×13＋2×16＝13(a ＋1)，可知方差DX ＝0－13(a ＋1)2×12＋a －13(a ＋1)2×13＋2－13(a ＋1)2×16＝154×(12a 2－12a ＋30)＝154×12＋27，当a ＝12时，(DX )min ＝12，故选项C 正确；当(DX )min ＝12时，EX ＝13×＝12，故选项D 错误．命题点2均值(数学期望)与方差的性质应用例3设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，a ∈R ，EX ，DX 分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P (0<X <3.5)＝23B ．E (3X ＋2)＝7C ．DX ＝2D ．D (3X ＋1)＝6答案C解析因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝a 2＋a 3＋a6＝1，解得a ＝1.P (0<X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12＋13＝56，故A 不正确；因为EX ＝1×12＋2×13＋5×16＝2，所以E (3X ＋2)＝3EX ＋2＝3×2＋2＝8，故B 不正确；由DX ＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2，故C 正确；因为DX ＝2，所以D (3X ＋1)＝9DX ＝18，故D 不正确．思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求Eξ，Dξ．跟踪训练2(1)(多选)已知随机变量X 的分布列为X －101P13m3m下列结论正确的有()A ．m ＝16B ．EX ＝16C ．E (2X －1)＝13D ．DX ＝2936答案ABD解析由分布列的性质得13＋4m ＝1，解得m ＝16，故A 正确；EX ＝－1×13＋0×16＋1×12＝16，故B 正确；E (2X －1)＝2EX －1＝－23，故C 不正确；DX ＝13×1＋16×＋12×＝2936，故D 正确．(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则Dξ＝________.答案1516解析由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，P (ξ＝5)＝14×14＝116，P (ξ＝4)＝14×＝316，P (ξ＝3)×14＝316，P (ξ＝2)＝916，则Eξ＝5×116＋4×316＋3×316＋2×916＝114，Dξ×116＋×316＋×316＋×916＝1516.题型三均值与方差中的决策问题例4(2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A ，B 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 旅游景点的问卷100份，关于B 旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：非常满意满意一般不满意A 景点5030515B 景点353078假设用频率估计概率，且游客对A ，B 两个旅游景点的满意度评价相互独立．(1)从所有(人数足够多)在A 旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B 旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A ，B 哪个旅游景点？说明理由．解(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C ，由表中数据可知，游客在A 景点给出“非常满意”评价的概率为50100＝12，游客在B 景点给出“非常满意”评价的概率为3580＝716，则P (C )＋C 1212＝191512.(2)设一位游客对A 景点的满意度评分为X ，一位游客对B 景点的满意度评分为Y ，由数表中数据得X 的分布列为X 4321P12310120320Y 的分布列为Y 4321P71638780110则EX ＝4×12＋3×310＋2×120＋1×320＝3.15，DX ＝0.852×12＋(－0.15)2×310＋(－1.15)2×120＋(－2.15)2×320＝1.1275，EY ＝4×716＋3×38＋2×780＋1×110＝3.15，DY ＝0.852×716＋(－0.15)2×38＋(－1.15)2×780＋(－2.15)2×110＝0.9025，显然EX ＝EY ，DX >DY ，所以选择B 景点．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)由题意得，X 的所有可能取值为0,20,100，P (X ＝0)＝1－0.8＝0.2，P (X ＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P (X ＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X 的分布列为X 020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A 类问题时，由(1)可得EX ＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B 类问题时，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0,80,100，P (Y ＝0)＝1－0.6＝0.4，P (Y ＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P (Y ＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y 的分布列为Y 080100P0.40.120.48EY ＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即EY >EX ，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B 类问题．课时精练一、单项选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35a110则X 的均值EX 等于()A.32B ．2 C.52D ．3答案A解析由题意得35＋a ＋110＝1，解得a ＝310，故EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X /亿元－12概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y /亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A ．甲产业收益的期望大，风险高B ．甲产业收益的期望小，风险小C ．乙产业收益的期望大，风险小D ．乙产业收益的期望小，风险高答案A解析由题意可得EX ＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，DX ＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；EY ＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，DY ＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故EX >EY ，DX >DY ，即甲产业收益的期望大，风险高．3．(2023·南宁模拟)已知随机变量X 的分布列为X －101P121316且Y ＝aX ＋3，EY ＝73，则a 为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3，∴73＝a 3，解得a ＝2.4．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为45，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为14，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.9310B.374C.394D.21120答案B解析记李明这3道题的得分为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,5,10,15，P (X ＝0)×34＝3100，P (X ＝5)＝C 12×45×15×34＋×14＝14，P (X ＝10)＝C 12×45×15×14＋×34＝1425，P (X ＝15)×14＝425，所以EX ＝0×3100＋5×14＋10×1425＋15×425＝374.5．(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck 2＋k ，k ＝1,2,3，其中c 是常数，则D (9ξ－3)的值为()A ．10B ．117C ．38D ．35答案C解析∵P (ξ＝k )＝ck 2＋k，k ＝1,2,3，∴c 2＋c 6＋c12＝1，解得c ＝43，∴Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139，∴Dξ×23＋×29＋×19＝3881，∴D (9ξ－3)＝92Dξ＝81Dξ＝38.6．(2024·桂林模拟)设0<a <1.随机变量X 的分布列为X 0a 1P131313当a 在(0,1)上增大时，则()A ．E (X 不变B ．E (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大答案D解析EX ＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，∴当a 在(0,1)上增大时，EX 增大，DX ×13＋×13＋×13＝127[(a ＋1)2＋(2a －1)2＋(2－a )2]＝29(a 2－a ＋1)＋16，∴当a 在(0,1)上增大时，DX 先减小后增大．二、多项选择题7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且EY ＝34，若X 的分布列如表：X 1234P14mn112则下列正确的是()A ．EX ＝12B ．EX ＝94C ．m ＝13D ．n ＝13答案BCD解析根据分布列可知m ＋n ＝1－14－112＝23，①因为Y ＝12X ＋7，所以EY ＝12EX ＋7＝34，解得EX ＝94，又由分布列可得EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，整理得2m ＋3n ＝53，②联立①②解得m ＝13，n ＝13.8．某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有()A ．设事件A ：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P (A )＝67B ．设事件A ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B ：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P (B |A )＝217C ．用X 表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E (X )＝127D ．用Y 表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D (Y )＝2449答案ABD解析所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)，故P (A )＝3035＝67，故A 正确；P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝434＝217，故B 正确；X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以EX ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；由C 知，DX ＝435×＋1835×＋1235×＋135×＝2449，因为Y ＝3－X ，所以DY ＝DX ＝2449，故D 正确．三、填空题9．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pab12若随机变量ξ的均值Eξ＝12，则D (2ξ＋1)＝________.答案11解析由表中数据得E (ξ)＝－2a ＋0×b ＋2×12＝12，解得a ＝14，又a ＋b ＋12＝1，所以b ＝14，所以Dξ2×14＋×14＋×12＝114，所以D (2ξ＋1)＝22Dξ＝11.10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量X X <300300≤X <700700≤X <900X ≥900工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y 的均值为________．答案3解析由题意可知P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y 的分布列为Y 02610P0.30.40.20.1所以EY ＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y 的均值为3.11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p (0<p <1)，发球次数为X ，若X 的均值EX >1.75，则p 的取值范围为________．答案0<p <12解析由题意知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，所以EX ＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p 12．(2024·稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X ，则X 的均值为________．答案2315解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为35，则X 的可能取值为1,2，则P 1(X ＝1)＝C 15C 11C 26＝13，P 1(X ＝2)＝C 25C 26＝23，若从甲盒中随机取到的为白球且概率为25，则X 的可能取值为0,1,2，则P 2(X ＝0)＝C 22C 26＝115，P 2(X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P 2(X ＝2)＝C 24C 26＝25，综上，P (X ＝0)＝25×P 2(X ＝0)＝275，P (X ＝1)＝35×P 1(X ＝1)＋25×P 2(X ＝1)＝3175，P (X ＝2)＝35×P 1(X ＝2)＋25×P 2(X ＝2)＝1425，故EX ＝0×275＋1×3175＋2×1425＝2315.四、解答题13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率；(2)X 的均值与方差．解(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45.(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X 表示所选3人中女生的人数，所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以X 的分布列为X 012P153515所以EX ＝0×15＋1×35＋2×15＝1.DX ＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.14．(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解(1)设员工所获得的奖励金额为X ，①P (X ＝1000)＝C 13C 24＝12，∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12.②X 所有可能的取值为400,1000，C 242∴X 的分布列为X 4001000P1212∴员工所获得的奖励金额的均值为EX ＝400×12＋1000×12＝700(元)．(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800,800,800,200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X 1，X 1可取400,1000,1600，P (X 1＝400)＝C 22C 24＝16，P (X 1＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，P (X 1＝1600)＝C 22C 24＝16，∴EX 1＝400×16＋1000×23＋1600×16＝1000，DX 1＝(400－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1600－1000)2×16＝120000；对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X 2，X 2可取800,1000,1200，P (X 2＝800)＝C 22C 24＝16，P (X 2＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，C 246∴EX 2＝800×16＋1000×23＋1200×16＝1000，DX 2＝16×(800－1000)2＋23×(1000－1000)2＋16×(1200－1000)2＝400003，由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.15．(多选)(2023·武汉模拟)已知随机变量X 的取值为不大于n (n ∈N +)的非负整数，它的分布列为X 0123…n Pp 0p 1p 2p 3…p n定义由X 生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，g (x )为函数f (x )的导函数，EX 为随机变量X 的均值．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为f 1(x )，则()A ．EX ＝g (2)B ．f 1(2)＝152C ．EX ＝g (1)D ．f 1(2)＝2254答案CD解析因为f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，则g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x 1＋3p 3x 2＋…＋ip i x i －1＋…＋np n x n －1，EX ＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ，当x ＝1时，EX ＝g (1)，故A 错误，C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为X 2345678P116216316416316216116f 1(x )＝116x 2＋216x 3＋316x 4＋416x 5＋316x 6＋216x 7＋116x 8，f 1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254，故B 错误，D 正确．16．(多选)(2023·山东省实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如表，其中xy ≠0，下列说法正确的是()ξ012P x y32y3A．x＋y＝1B．Eξ＝5y3C．Dξ有最大值D．Dξ随y的增大而减小答案ABC解析由题意可知x＋y3＋2y3＝1，即x＋y＝1，故A正确；Eξ＝0×x＋1×y3＋2×2y3＝5y3，故B正确；Dξ＝＝(1－y＝－259y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，易得0<y<1，而函数f(y)＝－259y2＋3y的图象开口向下，对称轴为y＝2750，所以f(y)故f(y)在y＝2750处取得最大值，所以Dξ随着y的增大先增大后减小，当y＝2750时取得最大值，故C正确，D错误．。

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。