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2015-2016学年度第二学期高二第二次质量检测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．已知全集{0,1,2}A =，则集合A 的真子集共有个． 2．命题2:,10p x R x ∀∈+>的否定是_____________.3．计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.4．函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为_____________．5．函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是． 6．若命题“R x ∈∃，使得01)1(2<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是． 7．若“,|||1|2x x a x ∃∈-++≤R ”是假命题，则a 的取值范围是．8．已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是． 9．已知函数f x 是定义在R 上的奇函数，10f ，200xf x f x x x ，则不等式20x f x 的解集是 . 10．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．若函数2()f x x bx c =++（b c R ∈、）在区间(0,1)内有两个零点，则2(1)b c c ++的取值范围是___________． 12．已知函数()2log ,0,3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．定义区间[]21,x x 长度为)(1212x x x x >-，已知函数())0,(1)(22≠∈-+=a R a x a x a a x f 的定义域与值域都是[]n m ,，则区间[]n m ,取最大长度时a 的值为___________.14．对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题：①1)(2+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被21)(2+=x x g 替代； ②x x f =)(可被x x g 411)(-=替代的一个“替代区间”为]23,41[；③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ；④)(sin )(),)(lg()(212D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间21D D ⋂ 上被)(x g 替代；其中真命题的有二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
徐州市2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学（理）试题的值为x 3. 复数,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数 为 ▲ ．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211 ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8. 利用数学归纳法证明“)(2131211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++”，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的项的个数为 ▲ 个（用含有k 的代数式表示）．9.4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答） 10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径 R = ▲ ．11.已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.若多项式975311010991010,)1()1()1(a a a a a x a x a x a a x+++++++++++=则= ▲ ．（用数字作答）13.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ．14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=.（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><（2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.17.（本题满分14分）从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，每场一人，分别按下列要求，各有多少种不同方法？（1）男、女同学各2名； （2）男、女同学分别至少有1名；（3）男、女同学分别至少有1名且男同学甲与女同学乙不能同时选出.18.（本题满分16分）已知nx m x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的二项式系数之和为256.（1）求n ；（2）若展开式中常数项为835，求m 的值； （3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的值.19.（本题满分16分）已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.（1）若P ，求12MF NF ⋅的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在公差不为0的无穷等差数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1nn f x a x a x a x =+++++．（1）求,1a 2a 的值（用,p q 表示）； （2）求{}n a 的通项公式；（3）当*N n ∈且2≥n 时，比较na n a )(1-与1)(-n a n a 的大小.高二数学理科试题参考答案1.5 2. 1或3 3. i -1 4. 1 5.8 6. 7. 1 8. 2k 9. 50410. S V 3 11.7 12. -512 13. 60 14. 2(0,)31n -15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分解之得,a =1……………………………7分（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或 …………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分16. 证明： （1<只要证22)2()22(a a a <-++， ---------------------2分只要证a a a 44222<-+， 只要证a a <-42，----------------4分 由于2a >，只要证224a a <-， -----------------------------------------6分<………7分（其它方法酌情给分） （2）（反证法）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，----8分则2m n a a d m n m n -==--------------------------------------10分 又253m p a a d m p m p m p---===---为有理数----------------------12分所以产生矛盾，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项. -------14分17. 解：1440)1(442425=A C C --------------------4分2880))(2(44444549=--A C C C --------------------8分504)3(4427=A C --------------------------11分23765042880=-----------------12分 答：略----------------------------------14分18. 解（1）二项式系数之和为2n =256，可得 8=n ； ---------4分 （2）设常数项为第r +1项，则r r r rr r r x m C x m x C T 288881--+=⎪⎭⎫⎝⎛=， -------5分故8－2r ＝0，即r ＝4， ---------------------------6分 则835448=m C ，解得21±=m .---------------------9分 62013140（3）易知m ＞0，设第r+1项系数最大. ----------------10分则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.,11881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m m r m m . -------13分 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m m m m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245m m ------15分所以m 只能等于2. ---------------16分(若由第6项和第7项系数相等得出m=2,则需要验证.不验证仅给3分. )19. 解: (1)22121,(2,0),(2,0),(1,0),(1,0):443x y A B F F l x +=--=椭圆方程为，P又2PA y x =+故所在直线方程为：),=4(4x M 与联立得N 同理可得----------------------2分12(5,33),(MF NF ∴=--=-121596MF NF ⋅=-=------------------------4分(2) 2222000000(,),1=3-434x y x P x y y +=则，即（1） 00022y PA y x x x =+≠+所在直线方程为：(),(-2)06=4(4,),2y x M x +与联立得-----------------------------------------------6分 002(4,).2y N x -同理可得-----------------------------------------------------8分 00120062(5,),(3,)22y y MF NF x x ∴=--=--+- 2020*********(1)1241515644x y MF NF x x ⨯-⋅=+=+=--------------------------10分 (3) 2122()MF NF b ⋅=定值，下证之--------------------------------------------11分22212221,(,0),(,0),(,0),(,0):x y a A a B a F c F c l x a b c +=--=证明：椭圆方程为，22222000000222(,),1=-x y x P x y y b a b a+=设则，即（1）00y PA y x a x a x a=+≠+所在直线方程为：(),(-)22200()=(,),a a y a a c x M c c x a++与联立得2200()(,).a a y a c N c x a --同理可得--------------14分2222001200()()(,),(,).a a a y a y a a c c MF c NF c c x a c x a+-∴=---=--+- 4224022122220()a a y ac MF NF c c x a-⋅=-+- 2224222()2()a c b b b c c+=-=定值--------------------------------16分20.解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，……………5分因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，……………7分若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾， 所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，……………9分 由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………10分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.其它解法酌情给分.）(3)111,(1).n n a a n n n n a n a n -+-==+由（2）可知，（）（）2121321212228,39,a a a a n a a a a =====∴<时，11-13(1).nn a a n nn n n nn a a -+≥>+>当时，,即（）（）下用数学归纳法证明.……………12分4333=81,4=64,8164,n =>1）当时，结论成立.13,(1)k k n k k k N k k +=≥∈>+2)设当时()时，结论成立，即有①. ……………13分1n k =+下面证明当时，结论也成立.由①得1211.(1)(2),,(1)21k kk k k k k k k k k ++>+>+>+++又因为即 221+1+11(1)(2)=()1,(2)2212(1)k k k k k kk k k k k k k k k k k k k +++++⋅>⋅=>++++++（）所以（） 21+1+2,1k k k k n k ++>=+即（）（）所以结论在时也成立.1-11)2)(3,).n n a a n n n n n N a a -≥∈>综合、，对任何结论成立，即（）（）……………16分。
2015—2016学年江苏省徐州市沛县中学高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=．2．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞)，其中a为实数，f′（x）为f（x)的导函数，若f′（1)=3，则a的值为．3．若函数f（x)=3sinx﹣4cosx，则f′（)=．4．曲线在点（0，f（0)）处的切线方程为．5．函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,则a+b的值为．6．已知f(x)=x2+3xf′(2)，则f′（2）=．7．在空间直角坐标系中,在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1,1，1）的距离相等,则点C的坐标为．8．如果函数y=f（x）的导函数y=f′(x）的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f′（x)在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x)在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时,函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是．9．已知，若则实数x=．10．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f(1）+f′（1）=．11．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为．12．已知f(x)=x3+x(x∈R）,若任意实数x使得f(a﹣x)+f（ax2﹣1）＜0成立,则a的取值范围是．13．在R上的可导函数f(x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的范围是．14．函数y=f（x）图象上不同两点A(x1，y1)，B（x2,y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A，B)=叫曲线y=f（x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2,则φ（A,B）＞；（2)存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3)设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B）≤2;（4)设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1)，B（x2,y2）,且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞,1）；以上正确命题的序号为（写出所有正确的）二、解答题（本大题共6个小题，共90分）15．m为何实数时，复数z=(2+i)m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）是：（1）虚数;（2）若z＜0,求m．16．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间；（2)若对x∈[﹣1，2］，不等式f（x）＜c2恒成立,求c的取值范围．17．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f(x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e］万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元）及此时的月生成量值(万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）18．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC、CD上,满足B1Q⊥D1P，且PQ=．（1）试确定P、Q两点的位置．（2)求B1Q与平面APQ所成角的正弦值．19．设函数f（x)=alnx﹣bx2（x＞0）；(1）若函数f（x）在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f(x）≥m+x对所有的都成立,求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣(﹣1）k2alnx（k∈N,a∈R且a＞0）．（1）求f(x)的极值;（2)若k=2016，关x的方程f（x)=2ax有唯一解，求a的值．(3）k=2015时，证明:对一切x＞0都有f(x）﹣x2＞2a（﹣）成立．2015-2016学年江苏省徐州市沛县中学高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=1﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：====1﹣3i，故答案为：1﹣3i．2．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞)，其中a为实数,f′(x）为f（x）的导函数,若f′（1）=3，则a的值为3．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵f′（x)=a（1+lnx），f′（1）=3,∴a（1+ln1)=3，解得a=3，故答案为：3．3．若函数f（x)=3sinx﹣4cosx，则f′(）=4．【考点】导数的运算．【分析】根据求导法则,先求导，再代入值计算．【解答】解:∵f′(x）=3cosx+4sinx，∴f′(）=3cos+4sin=4．故答案为：4．4．曲线在点（0，f（0)）处的切线方程为x﹣y+2=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把x=0代入曲线方程求出相应的y的值确定出切点坐标,然后根据求导法则求出曲线方程的导函数,把x=0代入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．【解答】解:把x=0代入曲线方程得：f（0）=2,所以切点坐标为（0,2），求导得：f′（x）==，把x=0代入导函数得:f′(0）=1，所以切线方程的斜率k=1，则切线方程为:y﹣2=x﹣0,即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=05．函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,则a+b的值为﹣7．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f(x)求导,然后由题设在x=1时有极值10可得，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可．【解答】解:对函数f（x)求导得f′（x）=3x2+2ax+b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或,验证知，当a=﹣3,b=3时，在x=1无极值，故a+b的值﹣7．故答案为：﹣76．已知f（x)=x2+3xf′（2），则f′（2)=﹣2．【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′(2）可求．【解答】解：由f(x)=x2+3xf′（2）,得:f′(x）=2x+3f′（2）,所以,f′(2）=2×2+3f′（2）,所以,f′（2）=﹣2．故答案为：﹣2．7．在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等,则点C的坐标为（0，0,1）．【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等,由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．【解答】解：设C(0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0,1）．8．如果函数y=f(x)的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断:①函数y=f′(x）在区间（﹣3,﹣）内单调递增；②函数y=f′（x)在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4,5)内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x)有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′(x)有极大值；则上述判断中正确的是①②③⑤．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】直接由导函数的图象分析①②⑤；再由导函数的符号得到原函数的单调区间，从而判断③④的正误．【解答】解:由函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x)在区间（﹣3，﹣）内单调递增，故①正确；函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减，故②正确；由上可知，当x=﹣时，函数y=f′（x)有极大值，故⑤正确;当x∈（﹣∞，﹣2)∪（2，4）时,f′（x）＜0，当x∈（﹣2，2）∪(4，+∞）时,f′（x）＞0，∴函数y=f(x）在区间（4，5）内单调递增，故③正确;函数y=f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，当x=2时，函数y=f （x）有极大值，故④错误;∴正确的判断是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．9．已知，若则实数x=4．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解:∵，，∴=6﹣2﹣x=0，解得x=4．∴实数x的值为4．故答案为：4．10．已知函数y=f（x）的图象在M（1,f(1)）处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【考点】导数的运算．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1）,再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1)的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f(1)+f′（1）=3故答案为：311．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为（1，1，1）．【考点】空间直角坐标系．【分析】设PD=a（a＞0）,确定，的坐标，利用数量积公式,即可确定E的坐标．【解答】解：设PD=a（a＞0），则A（2，0，0)，B(2,2，0），P（0，0,a)，E（1，1，）,∴=（0，0，a），=(﹣1，1，)，∵cos＜，＞=,∴=a•,∴a=2．∴E的坐标为（1，1，1）．故答案为：（1,1,1）12．已知f（x）=x3+x(x∈R）,若任意实数x使得f(a﹣x)+f（ax2﹣1）＜0成立，则a的取值范围是(﹣∞,）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】容易判断f(x）在R上为增函数，从而根据条件得出a﹣x＜1﹣ax2恒成立，整理成ax2﹣x+a﹣1＜0恒成立，从而得出,这样解出a的范围即可．【解答】解:f（x)在R上为增函数,且是奇函数；∴由f（a﹣x）+f（ax2﹣1)＜0得，f（a﹣x）＜f（1﹣ax2）;∴a﹣x＜1﹣ax2对任意实数x都成立；即ax2﹣x+a﹣1＜0恒成立；∴；解得；∴a的取值范围是（﹣∞,）．故答案为：．13．在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1)时取得极大值，当x∈(1，2）时取得极小值，则的范围是（，1）．【考点】利用导数研究函数的极值；简单线性规划．【分析】求出导函数，由当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值求出f′（0），f′(1），f′（2）,判断出它们的符号，得到所求的范围即可．【解答】解:f′（x)=x2+ax+2b，由函数当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1,2）时取得极小值得：f′（0)=2b＞0;f′（1）=1+a+2b＜0；f′（2）=4+2a+2b＞0;所以∈（，1）故答案为（，1)14．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1）,B（x2，y2)处的切线的斜率分别是k A,k B,规定φ(A，B)=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题:（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1,2，则φ（A，B）＞;(2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ（A，B）≤2；（4)设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1）,B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A,B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞,1）；以上正确命题的序号为(2)（3）(写出所有正确的）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、(3);举例说明（2）正确;求出曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2)之间的“弯曲度”,然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4)错误．【解答】解:对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5,则,φ（A,B）=，（1）错误；对于（2）,常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于(3），设A（x1,y1），B(x2,y2），y′=2x,则k A﹣k B=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B)==，（3）正确；对于（4),由y=e x，得y′=e x，φ（A,B）==．t•φ（A,B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立,∴（4）错误．故答案为：（2）(3)．二、解答题（本大题共6个小题，共90分）15．m为何实数时，复数z=(2+i）m2﹣3（i+1)m﹣2（1﹣i）是:（1）虚数；（2）若z＜0,求m．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】(1)复数z=（2+i)m2﹣3(i+1）m﹣2(1﹣i)=（2m2﹣3m﹣2)+（m2﹣3m+2）i，意义z为虚数，虚部m2﹣3m+2≠0，解得即可．(2)由于z＜0，可得z为实数，且，解出即可得出．【解答】解：（1）复数z=（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i)=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，∵z为虚数,则m2﹣3m+2≠0，解得m≠1且m≠2．（2）∵z＜0，∴z为实数，且,解得m=1．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间;（2）若对x∈［﹣1，2］，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1)求出f′（x）,因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′（x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；(2）根据(1）函数的单调性，由于x∈［﹣1,2］恒成立求出函数的最大值值为f（2）,代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f’（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）,函数f（x）的单调区间如下表:x1 (1,+∞）(﹣∞，﹣）﹣(﹣，1）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣)和（1，+∞）,递减区间是（﹣，1）．（2）,当x=﹣时，f(x）=+c为极大值，而f（2）=2+c,所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈［﹣1,2］恒成立,须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．17．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在［1，2e］万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元)及此时的月生成量值(万件)．(注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．【解答】解:（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2(e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为［1，2e]，且列表如下：x （1，e） e （e，2e］f’（x) +0 ﹣f（x）增极大值f（e) 减由上表得:f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e］上的最大值为f（e）．且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1,2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e(万件）．18．如图所示,在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC、CD上,满足B1Q⊥D1P，且PQ=．(1）试确定P、Q两点的位置．（2)求B1Q与平面APQ所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】(1）以、、为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设CP=a（0≤a≤),利用•=0，得出关于a的方程并求解即可．（2）分别求出、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角可求cos＜，＞,即可得解．【解答】(本题满分为10分）解:（1）以、、为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设CP=a（0≤a≤），则CQ=，P（2，2﹣a，0），Q（2﹣，2，0），B1（2,0，2)，D1（0，2,2），=（﹣，2，﹣2），=（2，﹣a，﹣2），∵B1Q⊥D1P，∴•=0,∴﹣﹣2a+4=0,解得a=1，…∴PC=1，CQ=1,即P、Q分别为BC，CD中点．…（2)∵由（1)可得：=(﹣1，2，﹣2），=（0，0，﹣2）为面APQ的一个法向量,∴cos＜，＞=，∴设B1Q与平面APQ所成角为θ，则sinθ=cos＜，＞=…19．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；（1)若函数f（x）在x=1处与直线相切①求实数a，b的值;②求函数上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立,求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）①先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题,先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x)≥m+x对所有的都成立,转化为alnx≥m+x对所有的恒成立问题,再令h（a）=alnx﹣x，则h（a)为一次函数，问题又转化为m≤h（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．【解答】解：（1）①∵函数f（x)在x=1处与直线相切∴,解得②当时，令f’（x）＞0得;令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴上单调递增，在[1,e］上单调递减，∴（2）当b=0时，f（x)=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，则alnx≥m+x，即m≤alnx﹣x对所有的都成立．令h（a)=alnx﹣x,则h(a）为一次函数，m≤h(a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴上单调递增∴h（a）min=h（0)=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2］都成立，∵1＜x≤e2,∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）min=﹣e2．20．已知函数f（x）=x2﹣（﹣1)k2alnx(k∈N，a∈R且a＞0）．（1）求f（x)的极值；（2）若k=2016，关x的方程f(x）=2ax有唯一解，求a的值．（3)k=2015时,证明:对一切x＞0都有f(x)﹣x2＞2a（﹣）成立．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过k为偶数与奇数,求解函数的极值即可．（2)k=2016,化简关于x的方程f（x)=2ax，构造函数g（x)=x2﹣2alnx﹣2ax，求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，求解即可；(3）当k=2015时,问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈(0,+∞）），由导数可求φ（x）=xlnx（x ∈（0,+∞)）的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，由此可得结论．【解答】解：(1)函数f（x)=x2﹣（﹣1）k2alnx(k∈N，a∈R且a＞0）．可得f′（x）=2x﹣（﹣1）k2a•,当k为奇数时,f′（x)=2x+＞0，∴f（x)在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．当k为偶数时，f′（x）=2x﹣==，∴f（x）在（0，）上单调递减，(，+∞）上单调递增，∴f（x）有极小值，f（x）极小值=f（）=a﹣2aln=a﹣alna，(2)∵k=2016,则f（x）=x2﹣2alnx,令g(x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′(x）=2x﹣﹣2a==（x2﹣ax﹣a），令g′（x）=0，∴x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x0=,当x∈（0，x0)时,g′（x)＜0，∴g(x）在(0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时,g′（x)＞0，∴g（x）在（x0，+∞）上单调递增，又g（x）=0有唯一解，∴,即，②﹣①得：2alnx0+ax0﹣a=0⇒2lnx0+x0﹣1=0⇒x0=1，∴12﹣a﹣a=0，∴a=；（3）证明：当k=2015时，问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞）)的最小值是﹣，当且仅当x=时取到, 设m（x）=﹣，（x∈(0,+∞)），则m′（x）=，∴m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0,+∞），都有lnx＞﹣成立．故命题成立．2016年10月17日。
白云中学2015—2016学年第二学期期中测试高二理科数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．函数),1)(1()(-+=x x x f 则=')2(f （ ）A. 3B. 2C. 4D. 0 2．已知函数,2)(2+-=x x x f 则⎰=10)(dx x f （ ）A.613B. 11C. 2D. 33．已知a 为实数，若，则=a （ ）A ．1B D 4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理5．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ）Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++Ｃ．23119y x x =-+Ｄ．23119y xx =--+6．命题p ：∃x ∈R ，使得3x ＞x ；命题q ：若函数y=f （x ﹣1）为偶函数，则函数y=f （x ）关于直线x=1对称，则（ ）A ．p ∨q 真B ．p∧q 真C ．￢p 真D ．￢q 假7．在复平面内，复数2(1)1iz i =++对应的点在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．如图，阴影部分的面积是（ ）Ａ．Ｂ．-Ｃ．323Ｄ．3539．函数2()sin f x x =的导数是（ ）Ａ．2sin x Ｂ．22sin x Ｃ．2cos x Ｄ．sin 2x10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值11．下列函数在点0x =处没有切线的是（ ）Ａ．23cos y x x =+ Ｂ．sin y xx =· Ｃ．12y x x=+Ｄ．1cos y x=12．已知抛物线C 的方程为x 2=y ，过点A （0，﹣1）和点B （t ，3）的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分 ，共20分）13．函数23)(x x x f +=单调递减区间是14．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 15．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++________________________________________________高二理科数学试卷答题卡二、填空题（每小题5分 ，共20分）13.___________, 14.____________,15.____________,16.______________________________.三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．18.（本小题满分12分）求函数5224+-=x x y 在区间[-2，2]上的最大值与最小值19．（本小题满分10分）求曲线2xy 过点P（1，-1）的切线方程。
2015-2016学年高二（下）期中数学试卷（含答案）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．如果直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，则b=( )A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣22．直线x﹣2y+2=0和直线3x﹣y+7=0的夹角是( )A．30° B．60° C．45° D．135°3．设椭圆的焦点为F1、F2，直线L过点F1，且与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为( )A．9 B．16 C．20 D．254．已知A（1，3）、B（4，﹣1）两点，则AB的距离=( )A．5 B．6 C．7 D．45．已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣3）两点，则线段AB的中点坐标是( )A．（3，0） B．（2，3） C．（3，3） D．（1，0）二、填空题（每题5分，共40分）6．直线x﹣y﹣1=0的斜率是__________；倾斜角为__________；在y轴上的截距是__________．7．已知直线经过点A（1，2）、B（3，4），则斜率K=__________；倾斜角α=__________．8．如果直线ax﹣2y+1=0和2x﹣ay+3=0平行，则a=__________．9．已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=__________．10．过点A（2，1）且与直线2x+y﹣10=0垂直的直线l的方程是__________．11．椭圆+=1的焦点坐标是__________，长轴长=__________，短轴长=__________，焦距=__________，顶点坐标是__________，离心率e=__________，准线方程是__________．12．以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆，方程为__________．三、简答题（每题6分，共36分）13．求平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离．14．圆心在点C（1，3），并且和直线3x﹣4y﹣11=0相切的圆．15．求斜率为3，且和圆x2+y2=4相切的直线方程．16．求经过圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1外的一点P（2，3）向圆所引的切线方程．17．在椭圆中，a=5，b=4，焦点在x轴上，求椭圆方程．18．椭圆焦距为8，离心率e=0.8，求该椭圆的标准方程．一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．如果直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，则b=( )A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣2【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，代入直线y=x+b即可得出结论．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+（y﹣1）2=9，则圆心坐标为（﹣2，1），∵直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，∴1=﹣2+b，∴b=3，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标是关键．2．直线x﹣2y+2=0和直线3x﹣y+7=0的夹角是( )A．30° B．60° C．45° D．135°【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据题意算出两条直线的斜率值，再利用两条直线的夹角公式加以计算，可得夹角的正切值为1，从而得到夹角的大小．【解答】解：∵直线x﹣2y+2=0的斜率k1=，直线3x﹣y+7=0的斜率k2=3，∴设两条直线的夹角为θ，由tanθ=||=1∵0°＜θ＜90°，∴θ=45°即两条直线的夹角等于45°故选：C．【点评】本题给出两条定直线，求它们的夹角大小．考查了直线的位置关系和两条直线的夹角公式等知识，属于基础题．3．设椭圆的焦点为F1、F2，直线L过点F1，且与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为( )A．9 B．16 C．20 D．25【考点】椭圆的简单性质．【专题】整体思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：∵椭圆，则a=5．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=4〓5=20．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知A（1，3）、B（4，﹣1）两点，则AB的距离=( )A．5 B．6 C．7 D．4【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据两点间的距离公式可直接解答．【解答】解：∵两点A（1，3）、B（4，﹣1），∴A、B两点间的距离是：=5．故选：A．【点评】本题考查了两点间的距离．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间的距离公式．5．已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣3）两点，则线段AB的中点坐标是( )A．（3，0） B．（2，3） C．（3，3） D．（1，0）【考点】中点坐标公式．【专题】直线与圆．【分析】根据已知中A，B点的坐标，代入中点坐标公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣2，3）、B（4，﹣3），∴线段AB的中点坐标是（，）=（1，0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是中点坐标公式，难度不大，属于基础题．二、填空题（每题5分，共40分）6．直线x﹣y﹣1=0的斜率是1；倾斜角为45°；在y轴上的截距是﹣1．【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】化直线方程的一般式为斜截式，由此求得直线的斜率，倾斜角以及直线在y轴上的截距．【解答】解：由x﹣y﹣1=0，得y=x﹣1．∴直线x﹣y﹣1=0的斜率是1，倾斜角为45°，在y轴上的截距为﹣1．故答案为：1；45°；﹣1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了化直线的一般方程为斜截式方程，是基础题．7．已知直线经过点A（1，2）、B（3，4），则斜率K=1；倾斜角α=．【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用直线的斜率公式代入数值计算即得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得倾斜角．【解答】解：∵直线经过点A（1，2）、B（3，4），∴k==1，∵0≤α＜π，∴α=．故答案为：1；．【点评】本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题，考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．8．如果直线ax﹣2y+1=0和2x﹣ay+3=0平行，则a=〒2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】直线直线判断的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=0，则两直线方程为﹣2y+1=0，2x+3=0．此时两直线不平行，若a≠0，若两直线平行，则≠，由得a2=4，则a=〒2，满足条件．故答案为：〒2【点评】本题主要考查直线平行的应用，根据系数之间的关系是解决本题的关键．9．已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=0或1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．【解答】解：∵直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，∴（3a+2）（5a﹣2）+（1﹣4a）（a+4）=0，化简可得a2﹣a=0，解得a=0或a=1故答案为：0或1【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．10．过点A（2，1）且与直线2x+y﹣10=0垂直的直线l的方程是x﹣2y=0．．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由垂直可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线2x+y﹣10=0的斜率为﹣2，由垂直可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），化为一般式可得x﹣2y=0故答案为：x﹣2y=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．11．椭圆+=1的焦点坐标是（〒3，0），长轴长=10，短轴长=8，焦距=6，顶点坐标是（〒5，0）；（0，〒4），离心率e=，准线方程是x=．21世纪教育网版权所有【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆+=1可得：a=5，b=4，c==3，即可得出．【解答】解：椭圆+=1可得：a=5，b=4，c==3，于是可得：焦点坐标是（〒3，0），长轴长=2a=10，短轴长=2b=8，焦距=2c=6，顶点坐标是（〒5，0），（0，〒4）离心率e==，准线方程是x=即x=．故答案分别为：（〒3，0）；10；8；6；（〒5，0）；（0，〒4）；；x=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆，方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心坐标和半径，代入圆的标准方程，可得答案．【解答】解：以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=9，故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=9【点评】本题考查的知识点是圆的标准方程，难度不大，属于基础题．三、简答题（每题6分，共36分）13．求平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】由已知中直线方程，代入平行线距离公式，可得答案．【解答】解：平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离d满足：d==2【点评】本题考查的知识点是平行线间距离公式，难度不大，属于基础题．14．圆心在点C（1，3），并且和直线3x﹣4y﹣11=0相切的圆．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线3x﹣4y﹣11=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆心（1，3）到直线3x﹣4y﹣11=0的距离d==4，∴所求圆的半径r=4，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=16．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题的关键．15．求斜率为3，且和圆x2+y2=4相切的直线方程．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设所求的直线的方程为y=3x+b，根据圆心（0，0）到直线的距离等于半径求得k 的值，可得所求的直线方程．【解答】解：设所求的直线的方程为y=3x+b，即3x﹣y+k=0，则由圆心（0，0）到直线的距离等于半径可得=2，求得k=〒2，故所求的直线方程为3x﹣y〒2=0．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．16．求经过圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1外的一点P（2，3）向圆所引的切线方程．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意；当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，由P的坐标和k表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3=0，∴圆心到切线的距离d==r=1，解得：k=，此时切线方程为3x﹣4y+6=0，综上，切线方程为x=2或3x﹣4y+6=0．【点评】此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型．本题易漏掉特殊情况导致错误17．在椭圆中，a=5，b=4，焦点在x轴上，求椭圆方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆方程中，由a=5，b=4，焦点在x轴，能够求出椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆方程中，a=5，b=4，焦点在x轴，∴椭圆方程为．【点评】本题考查椭圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．18．椭圆焦距为8，离心率e=0.8，求该椭圆的标准方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求出椭圆的半焦距，结合离心率求出a，则b可求，椭圆的标准方程可求．【解答】解：由题意知，2c=8，c=4，又，得a=5．∴b2=a2﹣c2=25﹣16=9．则椭圆的标准方程为或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．。
2015—2016学年度第二学期期中考试高二数学试题(理科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸的相应位置上1．复数i z +-=1（i 是虚数单位）的虚部为___▲___． 答案:1解析:考查复数的概念解析：反证法中假设的内容应是原命题的否定 2. 若122828-=x x C C，则x 的值为___▲___．答案：13．用反证法证明“已知y x >，证明：33y x >”假设的内容应是___▲___．答案：33y x≤解析：（选修2—3课本第24页习题1。
3第1题)由82-=x x 或2882=-+xx得8=x 或12=x4．两张卡片的正、反两面分别写有2,1；4,3，将这两张卡片排成一排,可以构成___▲___个不同的两位数． 答案：8 解析:81214=CC5．用数学归纳法证明)2,(12131211≥∈<-++++*n N n n n且 ，第一步要证的不等式是___▲___．答案：231211<++解析：选修2—2课本第89页例2改编6．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为错误!.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部公的体积恒为___▲___． 答案：错误!解析:如图，易证△OAB ≌△OCD ，则两个正方形重叠部分的面积为S ＝错误!×错误!＝错误!，类比到正方体，两个重叠部分的体积V ＝错误!×错误!×错误!＝错误!。
7。
在(x 2＋错误!）5展开式中，常数项为___▲___．答案：5 解析：5,4,3,2,1,0,251051==-+rxC T rrr ,当4=r 时，55=T8.观察下列各式:112233441,3,5,7,a b ab a b a b +=+=+=+=…，则1111a b +=__▲__．答案：2n —19．设a ，b 是两个实数，给出下列条件:①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2;④a 2＋b 2〉2；⑤ab >1。
2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学〔理〕试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.复数i z -=2 (是虚数单位)，那么=z ▲ ． 2． ▲ ．3. 复数,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”： ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数 为▲．6．观察以下式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜测：<++++2222016131211 ▲ ． 7. ▲ ．8. 利用数学归纳法证明“)(2131211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++〞，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的项的个数为▲ 个〔用含有的代数式表示〕．9.4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本考前须知与各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题〔第1题～第14题〕、解答题〔第15题～第20题〕．本卷总分值160分，考试时间为120分钟．考试完毕后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、##号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷与答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．有▲种不同的站法．〔用数字作答〕10.ABC △的周长为l ，面积为S ，那么ABC △的切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，四面体ABCD 的外表积为S ，体积为V ，那么四面体ABCD 的切球的半径R ▲．11.复数z 满足243=--i z ，那么z 的最大值为▲ . 12.假设多项式975311010991010,)1()1()1(a a a a a x a x a x a a x+++++++++++=则=▲．〔用数字作答〕13.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，那么B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为▲． 14.函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，那么函数()n f x 的值域为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.〔此题总分值14分〕复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=.〔1〕假设复数z 为纯虚数，数a 的值；〔2〕假设复数z 在复平面的对应点在第四象限，数a 的取值围.16.〔此题总分值14分〕〔1〕证明：当2a ><； 〔2〕证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.17.〔此题总分值14分〕从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，每场一人，分别按以下要求，各有多少种不同方法？ 〔1〕男、女同学各2名； 〔2〕男、女同学分别至少有1名；〔3〕男、女同学分别至少有1名且男同学甲与女同学乙不能同时选出.18.〔此题总分值16分〕nx m x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的二项式系数之和为256.〔1〕求；〔2〕假设展开式中常数项为835，求的值； 〔3〕假设展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求的值.19.〔此题总分值16分〕椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.〔1〕假设，求12MF NF ⋅的值；〔2〕假设00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;〔3〕能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b +=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.20.〔此题总分值16分〕 设函数21()1+f x px qx=+〔其中220p q +≠〕，且存在公差不为0的无穷等差数列{}n a ，使得函数在其定义域还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．〔1〕求,1a 2a 的值〔用,p q 表示〕； 〔2〕求{}n a 的通项公式；〔3〕当*N n ∈且2≥n 时，比拟n an a )(1-与1)(-n a n a 的大小.高二数学理科试题参考答案1. 2. 1或3 3. 4. 1 5.8 6. 7. 1 8. 2k9. 504 10. S V 3 11.7 12. -512 13. 60 14. 2(0,)31n -15. 解：〔1〕由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分解之得,a =1……………………………7分〔2〕由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或…………… 12分所以实数a 的取值围是 -1<a <1 …………14分16. 证明：〔1〕要证222a a a ++-<，只要证22)2()22(a a a <-++， ---------------------2分只要证a a a 44222<-+， 只要证a a <-42，----------------4分由于2a >，只要证224a a <-， -----------------------------------------6分222a a a +-<7分〔其它方法酌情给分〕 〔2〕〔反证法〕假设3,5是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，----8分那么23m n a a d m n --==-------------------------------------10分 又253m p a a d m p m p m p---===---为有理数----------------------12分所以产生矛盾，假设不成立，即3,5不可能是同一个等差数列中的三项. -------14分17. 解：--------------------4分62013140--------------------8分--------------------------11分 ----------------12分答：略----------------------------------14分18. 解〔1〕二项式系数之和为2n=256，可得；---------4分 〔2〕设常数项为第r +1项，那么r r r rr r r x m C x m x C T 288881--+=⎪⎭⎫⎝⎛=， -------5分故8－2r ＝0，即r ＝4， ---------------------------6分 那么835448=m C ，解得21±=m .---------------------9分〔3〕易知m ＞0，设第r+1项系数最大.----------------10分那么⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.,11881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m m r m m . -------13分 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m m m m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245m m ------15分所以只能等于2. ---------------16分(假设由第6项和第7项系数相等得出m=2,那么需要验证.不验证仅给3分. )19. 解: (1)22121,(2,0),(2,0),(1,0),(1,0):443x y A B F F l x +=--=椭圆方程为，P又2PA y x =+故所在直线方程为：),=4(4x M 与联立得N 同理可得----------------------2分12(5,33),(MF NF ∴=--=-121596MF NF ⋅=-=------------------------4分(2)2222000000(,),1=3-434x y x P x y y +=则，即（1）0022y PA y x x x =+≠+所在直线方程为：(),(-2) 006=4(4,),2y x M x +与联立得-----------------------------------------------6分02(4,).2y N x -同理可得-----------------------------------------------------8分00120062(5,),(3,)22y y MF NF x x ∴=--=--+- 2020*********(1)1241515644x y MF NF x x ⨯-⋅=+=+=--------------------------10分 (3)2122()MF NF b ⋅=定值，下证之--------------------------------------------11分22212221,(,0),(,0),(,0),(,0):x y a A a B a F c F c l x a b c+=--=证明：椭圆方程为，22222000000222(,),1=-x y x P x y y b a b a +=设则，即（1）00y PA y x a x a x a=+≠+所在直线方程为：(),(-) 22200()=(,),a a y a a c x M c c x a++与联立得2200()(,).a a y a c N c x a --同理可得--------------14分2222001200()()(,),(,).a a a y a y a a c c MF c NF c c x a c x a+-∴=---=--+- 4224022122220()a a y ac MF NF c c x a-⋅=-+- 2224222()2()a c b b b c c+=-=定值--------------------------------16分20.解:〔1〕由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分〔2〕考虑(3)nx n ≥的系数，那么有120n n n a pa qa --++=，……………5分因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，……………7分假设0n a =，那么0p q ==，与220p q +≠矛盾，假设数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，那么{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，……………9分 由〔1〕知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………10分〔其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.其它解法酌情给分.〕(3)111,(1).n n a a n nn n a n a n -+-==+由（2）可知，（）（） 2121321212228,39,a a a a n a a a a =====∴<时，11-13(1).n n a a n n n n n n n a a -+≥>+>当时，,即（）（）下用数学归纳法证明.……………12分4333=81,4=64,8164,n =>1）当时，结论成立.13,(1)k k n k k k N k k +=≥∈>+2)设当时()时，结论成立，即有①. ……………13分由①得1211.(1)(2),,(1)21k kk k k k k k k k k ++>+>+>+++又因为即 221+1+11(1)(2)=()1,(2)2212(1)k k k k k kk k k k k k k k k k k k k +++++⋅>⋅=>++++++（）所以（）21+1+2,1k k k k n k ++>=+即（）（）所以结论在时也成立. 1-11)2)(3,).n n a a n n n n n N a a -≥∈>综合、，对任何结论成立，即（）（）……………16分。
江苏省徐州市2016-2017学年高二下期中考试理科数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.复数212i i -=+ ．2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，结论的否定是 ．.3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是 ．(用数字作答).4.由:①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形，写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为 ．(写序号）5.设：z 为纯虚数,且11z i -=-+，则z = .6.观察下列各式:9-1=8,16-4=12，25-9=16，36-16=20，……，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 .7.若()42340123423x a a x a x a x a x +=++++，则()()2202413a a a a a ++-+的值为 ． 8.现有一个关于平面图形的命题:如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .9.用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>……成立，起始值应取为n = ． 10.用数学归纳法证明:()111112321n n n ++++<>-……,在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是 （用含有k 的式子作答).11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节,则不同的排法种数为 .(用数字作答） 12.已知复数z 满足等式12z z i -=+（i 是虚数单位）.则1x i --的最小值是 .13.如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin cos 66θθ+= .14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理:即两个等髙的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与x 轴，直线()0y h h =>及渐近线b y x a=所围成的阴影部分(如图）绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设复数z a bi =+（,a b R ∈，0a >，i 是虚数单位），且复数z 满足10z =()12i z+在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.⑴求复数z ；(2)若1m i z i-++为纯虚数(其中m R ∈）,求实数m 的值. 16.阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:()sin sin sin cos sin αβαβαβ+=+…①，()sin αβ-=sin cos αβcos sin αβ-…②，由+①②得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=…③，令A αβ+=,B αβ-=,有2A B α+=，2A B β-=，代入③得sin sin 2sin cos 22A B A B A B +-+=. (1)利用上述结论，试求sin15sin 75+的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sin cos 22A B A B A B +--=-. 17.已知2n x⎛ ⎝的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为314. (1)求n 的值;(2)求展开式中的常数项.18.有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.19.(1)找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别{}n a 是的第几项;(2)证明为无理数；(3)证明,4不可能为同一等差数列中的三项.20.已知函数()1ln f x a x x x=-+，()2g x x x b =+-，()y f x =的图象恒过定点P ，且点P 既在()y g x =的图象上，又在()y f x =的导函数的图象上.⑴求a ,b 的值；(2)设()()()f x h xg x =,当0x >且1x ≠时，判断()h x 的符号，并说明理由； (3)求证：11111ln 232n n n n +++++>+… (2n ≥且n N *∈）.试卷答案一、填空题1.i -.2.三个角全大于60.3.25.4.②③①.5.i ±.6.()22244n n n +-=+.7.18.318a .9.8.10.2k. 13.-1. 14.2a h π. 二、解答题15.解⑴设(),,0z a bi a b R a =+∈>，由z =2210a b +=.①又复数()()()()()121222i z i a bi a b a b i +=++=-++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22a b a b -=+即3a b =-.②.由①②联立方程组22103a b a b⎧+=⎨=-⎩,解得3a =,1b =-或3a =-，1b =，0a >，∴3a =-，1b =.∴3z i =-. ⑵由3z i =+,可得()()()()()()115333111122m i i m i i m i m i m z i i i i i i i ------++=++=++=++=++++- 12m i -, 1m i z i -++为纯虚数，∴502102m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩， 解得5m =-.16.解（1）157515756sin15sin 752sin cos 222+-+==；（2）因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-…①，()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+…②，由①-②得()()cos cos 2sin sin αβαβαβ+--=-…③，令A αβ+=,B αβ-=,有2A B α+=，2A B β-=，代入③得cos cos 2sin sin 22A B A B A B +--=-. 17.解：⑴2n x ⎛ ⎝展开式的通项为()52211r n r r r n T C x -+=-， ∴展开式中第3项与第5项的系数分别为2n C ,4n C ,据题意得24314n n C C =， 解得10n =；(2)∴展开式的通项为()52021101r r rr T C x -+=-， 令52002r -=得8r =， ∴展开式中的常数项为81045C =.18.解⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有24C 种选法.共有3264120C C •=(种)选法. ⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有36C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有55106246C C -=(种).(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法.其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时共有4485C C -种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有444985191C C C +-=(种).19.解（1)取首项为1，则1n n a -=，则11a =，2a ，54a =.(2)有理数，则存在互质整数h ，k h k=， 则222h k =,所以h 为偶数，设2h l =,l 为整数，则222k l =，所以k 也为偶数，则h ，k 有公约数2,这与h ，k 互质相矛盾，是有理数.(3)证明：假设1，4是同一等差数列中的三项，且分别为第,,n m p 项且,,n m p 互不相等，设公差为d ，显然0d ≠()1m n d =+-，()41p n d =+-,消去d ()31m n p n-=+-, 由,,n m p 都为整数，所以为有理数，由（2)是无理数，所以()31m n p n-+-等式不可能成立，所以假设不成立，即1不可能为同一等差数列中的三项.20.解⑴因为()1ln f x a x x x =-+，所以()f x 恒过()1,0，所以()1,0P ，()10g =，所以2b =,因为()211a f x x x=--′，()0f x =′,所以2a =，即2a =，2b =； (2)答：()()()0f x h x g x =<,即证0x >且1x ≠时，()f x ，()g x 异号； 因为()()()2212g x x x x x =+-=-+,所以当1x >时，()0g x >，因为()()22212110x f x x x x --=--=<′,所以()f x 在()1,+∞单调递减， 又()10f =,所以()()10f x f <=，所以()()()0f x h x g x =<， 当01x <<时，()0g x <， 因为()()22212110x f x x x x --=--=<′，所以()()10f x f >=,所以()()()0f x h x g x =<,综上得证.(3)由（2)知：当1x >时，()0f x <, 即12ln x x x <-，令()21n x n n =≥-，所以1112ln 111n n n n n n n n -<-=+---， 所以212ln 112<+，3112ln 232<+，……，12ln 11n n n n n <+--， 以上1n -个式子相加，即得()1112ln 21112n n n n ⎛⎫<+++--> ⎪⎝⎭…， 所以1111ln 22n n n n++++>+…. 另法：（3）数学归纳法证明如下：①2n =时，左边13122=+=,右边3ln 24=+,左边-右边343ln 2ln 042e =-=> ∴左边>右边，所以，当时，不等式2n =成立.②假设当()2,n k k k N *=≥∈时，不等式成立，即()1111ln 122k k k k k++++>+>…成立. 那么，当1n k =+时，左边111111ln 2121k k k k k k +=++++>++++…，而右边()()11ln 121k k k ++=+++， 要证：()()111111ln 12121k k k k k ++++++>++++…，即证：()()1111ln ln 12121k k k k k k k +++++>++++， 即证：()()1111ln 1ln 2121k k k k k k k +++⎛⎫+-<+- ⎪++⎝⎭,即证()11ln 221k k k k k k ++<-+★， 由（2)知：当1x >时，()0h x <，且()0g x >，所以()0f x <，即12ln x x x <-， ∵11k k +>∴112ln 1k k k k k k ++<-+∴★成立 所以，当1n k =+时，不等式成立. 由①②知，11111ln 232n n n n +++++>+…（2n ≥且n N *∈）不等式成立.。
2015-2016学年江苏省八校联考高二（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若zi=1﹣2i，则a+b=．2．（5分）样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数为．3．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的值为．4．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：4：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生人数为．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是．6．（5分）设z=（3﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为．8．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．9．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的体积为cm3．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．11．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．12．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．13．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z∈C，z+2i和都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC 的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求证：BE∥平面ADF．17．（15分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．18．（15分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．19．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线P A1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上．20．（16分）设函数f（x）=x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，若a=﹣3，函数f（x）在[﹣2，2]的值域为[﹣2，2]，求f（x）的零点；（3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1对一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范围．2015-2016学年江苏省八校联考高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若zi=1﹣2i，则a+b=﹣3．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵zi=1﹣2i，∴﹣i•zi=﹣i（1﹣2i），∴z=﹣2﹣i，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数为64．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：样本数据落在（6，10）内的频率为0.08×4=0.32样本数据落在（6，10）内的频数为0.32×200=64．故答案为：643．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的值为5．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=3，满足条件a＜8，a=1+3=4，b=4﹣3=1；满足条件a＜8，a=4+1=5，b=5﹣1=4；满足条件a＜8，a=5+4=9，b=9﹣4=5；不满足条件a＜8，退出循环，输出b=5．故答案为：5．4．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：4：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生人数为20．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：根据分层抽样的原理，高二学生应抽取的人数为：，故答案为：205．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是25．【考点】EF：程序框图．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为s=1，n=3，经过第二次循环得到的结果为s=4，n=5，经过第三次循环得到的结果为s=9，n=7，经过第四次循环得到的结果为s=16，n=9经过第五次循环得到的结果为s=25，n=11，此时不满足判断框中的条件输出s的值为25．故答案为：25．6．（5分）设z=（3﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为10．【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z=（3﹣i）2 =8﹣6i，∴|z|==10，故答案为：10．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为2．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为：p=2．故答案为：2．8．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．9．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的体积为12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：圆锥的高h==4cm，∴圆锥的体积V=π×32×4=12πcm3．故答案为12π．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣311．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．【考点】E7：循环结构．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故答案为：．12．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c=a∴=故答案为：．13．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是[0，2]．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：由分析可得：PO2=x02+y02，又因为P在直线x﹣y﹣2=0上，所以x0=y0+2，由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即2y02+4y0+4≤4，变形得：y0（y0+2）≤0，解得：﹣2≤y0≤0，所以0≤y0+2≤2，即0≤x0≤2，则x0的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]14．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R），∴f′（x）=﹣2a2x+a=，由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得﹣2a2x2+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立①当a=0时，1≤0不合题意，②当a≠0时，可得，即，解得a≤﹣或a≥1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z∈C，z+2i和都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，，∵z+2i和都是实数，∴，解得，∴z=4﹣2i．（2）由（1）知z=4﹣2i，∴（z+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，∵（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，∴，即，∴，∴﹣2＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣2，2）．16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC 的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求证：BE∥平面ADF．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．又BC∩B1B=B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°．∴B1F⊥FD．又∵AD∩FD=D，AD，FD⊂平面AFD，∴B1F⊥平面AFD．（2）连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，∵AE=CF=2a，AE∥CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴M为EC中点．又D为BC中点，∴MD∥BE．又MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．17．（15分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．【考点】BA：茎叶图；BC：极差、方差与标准差；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．18．（15分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．【考点】CF：几何概型；J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是即：a2+b2=25，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}∴满足条件的情况只有a=3，b=4，c=5；或a=4，b=3，c=5两种情况．∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5）1种当a=2时，b=5，（2，5，5）1种当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）2种当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）2种当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6种当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）2种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．19．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线P A1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：（1）由得或∴椭圆C的方程为或．（2）不妨取椭圆C的方程为，A1（﹣2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，即．代入，得，即．∴=，则=．即P（，）．同理MA2的方程为，即．代入，得，即．∴=．则=．即Q（，）．∵P，Q，B三点共线，∴k PB=k QB，即．∴．即．由题意，y0≠0，∴．3（x0+1）（x0﹣1）2﹣（x0+1）y02=（x0﹣1）（x0+1）2﹣3（x0﹣1）y02．∴（2x0﹣4）（x02+y02﹣1）=0．则2x0﹣4=0或x02+y02=1．若x02+y02=1，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．∴2x0﹣4=0，点M始终在定直线x=2上．20．（16分）设函数f（x）=x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，若a=﹣3，函数f（x）在[﹣2，2]的值域为[﹣2，2]，求f（x）的零点；（3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1对一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；63：导数的运算．【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），解得b=0．…（2分）（2）由（1）可知f（x）=﹣x3+cx，∴f′（x）=﹣3x2+c．①若c≤0，则f′（x）≤0恒成立，则f（x）单调递减，又函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为[﹣2，2]，∴，此方程无解．…（4分）②若c＞0，则（ⅰ）若，即c＞12时，函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，∴，此方程组无解；…（6分）（ⅱ）时，即3≤c≤12时，∴，所以c=3；…（8分）（ⅲ）时，即c＜3时，∴，此方程组无解．综上可得c=3，∴f（x）=﹣x3+3x的零点为：．…（10分）（3）由题设得恒成立．记，若，则三次函数F（x）至少有一个零点x0，且在x0左右两侧异号，所以原不等式不能恒成立；所以，∴，此时恒成立等价于：10．b=c=0或者20.在10中在20中，所以c2≤3t﹣3c﹣1⇒3t≥c2+3c+1，∴综上a+b+c的取值范围是．…（16分）。
2015—2016学年第二学期高二数学期中试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．．．．．．．．．．1.设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），若z i ＝1－2i ，则a ＋b ＝ ． －32。
如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计,样本数据落在［6，10)内的频数为________． 643.根据如图所示的伪代码，最后输出的值为 ．54。
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3,现用分层抽样的方法从该校[来源高中三个年级的学生中抽取a ← 1b ← 3While a 〈8 a ← a ＋b b ← a －b End while Print b容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 205.如右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ． 256。
设2)3(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为_________。
107.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2 4x 的焦点到其准线的距离为 ． 28。
某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为____ ___．159。
已知圆锥的母线长为cm 5,底面半径为cm 3，则此圆锥的体积为___________3cm ．π12结束开始 n <10（第5题）输出S S ← 0，n ←1YN n ←n + 2 S ←S + n10.在平面直角坐标系xoy 中,若曲线2by axx=+（,a b 为常数)过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += 。
3-11。
已知实数x ∈[1，9］,执行如右图所示的流程图,则输出的x 不小于55的概率为 ．38．12。
