湖北省黄冈中学2018届高三数学5月二模考试试题 文

2018年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷（理科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则（∁R A）∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，3} 2．（5分）若复数z＝1+i+i2+i3+..+i2018，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）设a＝（），b＝（），c＝log3，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题正确的个数是（）p1：若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βp2：命题“∃x0∈R，+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≥0”p3：函数y＝sin（ωx+）在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为p4：若随机变量Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）＝0.8185 A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）过双曲线Γ：x2﹣y2＝1上任意点P作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于A，B两点，若O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．4B．3C．2D．17．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m＝10，则输出的S为（）A．100B．250C．140D．1909．（5分）已知△ABC所在平面内有两点P，Q，满足＝，＝，若||＝4，||＝2，S△APQ＝，则2的值为（）A．±4B．8±4C．12D．2010．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB ＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）实数x，y满足约束条件，它表示的平面区域为C，目标函数z＝x﹣2y的最小值为p1．由曲线y2＝3x（y≥0），直线x＝3及x轴围成的平面区域为D，向区域D内任投入一个质点，该质点落入C的概率为p2，则2p1﹣4p2的值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）＝ax+lnx﹣有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，﹣）B．[1，﹣]C．（﹣，﹣1）D．[﹣，﹣1]二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（ax+1）（1﹣）6的展开式中的常数项是﹣11，则实数a的值为．14．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2＝b2相交的弦长为，则椭圆的离心率为．15．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8﹣2S4＝6，则a9+a10+a11+a12的最小值为．16．（5分）在△ABC中，a+c＝6，且（3﹣cos A）tan＝sin A，则△ABC的面积最大值为．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2＝（2﹣）bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1sin A＝1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝．（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面SCD；（Ⅱ）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角B﹣MD﹣C余弦值．19．（12分）IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅．为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程．如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品．在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d参考数据：20．（12分）已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+x﹣a（a∈R）．（1）若直线x＝t（t＞0）与曲线y＝f（x）和y＝g（x）分别交于A，B两点，且曲线y＝f（x）在A处的切线与y＝g（x）在B处的切线相互平行，求a的取值范围；（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2且x1＞x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的取值范围．四.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l1：x＝0，直线l2：x﹣y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0且a2+b2＝2．（I）若是+≥|2x﹣1|﹣|x﹣1|恒成立，求x的取值范围；（Ⅱ）证明：（+）（a5+b5）≥4．2018年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则（∁R A）∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，3}【解答】解：解x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1，或x≥3；∴A＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；∴∁R A＝{x|﹣1＜x＜3}；∴（∁R A）∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）若复数z＝1+i+i2+i3+..+i2018，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z＝1+i+i2+i3+..+i2018＝＝＝＝，∴，则z的共轭复数的虚部为﹣．故选：B．3．（5分）设a＝（），b＝（），c＝log3，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：a＝（）＝＞b＝（）＞1＞c＝log3，则c＜b＜a．故选：D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2＝3，底面周长为：2+2+1+＝5+，高为：2，故四棱柱的表面积S＝2×3+（5+）×2＝，故选：B．5．（5分）下列命题正确的个数是（）p1：若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βp2：命题“∃x0∈R，+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≥0”p3：函数y＝sin（ωx+）在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为p4：若随机变量Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）＝0.8185 A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：p1：若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α、β相交，故错．p2：命题“∃x0∈R，+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故错．p3：函数y＝sin（ωx+）在x＝2处取得最大值，则2＝2kπ+，可得正数ω的最小值为，故正确．p4：若随机变量Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）＝＝0.8185故正确，故选：B．6．（5分）过双曲线Γ：x2﹣y2＝1上任意点P作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于A，B两点，若O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：双曲线Γ：x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x，∵P为双曲线的任意一点，不妨设P（1，0），∴双曲线Γ的切线方程为x＝1，∴|AB|＝2，∴S△AOB＝|AB|•|OP|＝×2×1＝1，故选：D．7．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，故排除D．当x∈（0，π）时，f′（x）＝，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，x∈（，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当x＝时，f（x）取得极大值同时也是最大值f（）＝＝＜1，故选：A．8．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m＝10，则输出的S为（）A．100B．250C．140D．190【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0，m＝10满足条件n是奇数，a＝0，S＝0不满足条件n≥m，n＝2，不满足条件n是奇数，a＝2，S＝2不满足条件n≥m，n＝3，满足条件n是奇数，a＝4，S＝6不满足条件n≥m，n＝4，不满足条件n是奇数，a＝8，S＝14不满足条件n≥m，n＝5，满足条件n是奇数，a＝12，S＝26不满足条件n≥m，n＝6，满足条件n是奇数，a＝18，S＝44不满足条件n≥m，n＝7，满足条件n是奇数，a＝24，S＝68不满足条件n≥m，n＝8，不满足条件n是奇数，a＝32，S＝100不满足条件n≥m，n＝9，满足条件n是奇数，a＝40，S＝140不满足条件n≥m，n＝10，不满足条件n是奇数，a＝50，S＝190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：D．9．（5分）已知△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足＝，＝，若||＝4，||＝2，S △APQ ＝，则2的值为（ ） A ．±4B ．8±4C ．12D ．20【解答】解：因为＝，所以P 为AC 中点，又因为＝，所以，所以，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以S △APQ ＝S △ABC ， 因为S △APQ ＝，所以＝2，所以sin A ＝，cos A ＝或cos A ＝﹣．故＝||•||cos A ＝．所以2＝20．故选：D ．10．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示：三棱锥S ﹣ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2， 则：SD ＝，设外接球的半径为R ，则：在△BOD中，利用勾股定理：（﹣R）2+12＝R2，解得：R＝所以：S＝π•R3＝π•（）3＝．故选：D．11．（5分）实数x，y满足约束条件，它表示的平面区域为C，目标函数z＝x﹣2y的最小值为p1．由曲线y2＝3x（y≥0），直线x＝3及x轴围成的平面区域为D，向区域D内任投入一个质点，该质点落入C的概率为p2，则2p1﹣4p2的值为（）A．B．C．D．【解答】解：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A（，）处取得最小值，且最小值为z＝，即p1＝．区域C的面积为：＝，平面区域D的面积为：＝＝6，故p2＝＝，所以2p1﹣4p2＝．故选：B．12．（5分）若函数f（x）＝ax+lnx﹣有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，﹣）B．[1，﹣]C．（﹣，﹣1）D．[﹣，﹣1]【解答】解：令f（x）＝0可得a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝（1﹣lnx）（﹣）．令g′（x）＝0可得x＝e或x﹣lnx＝x2，令h（x）＝x2﹣x+lnx，则h′（x）＝2x﹣1+＝＞0，∴h（x）在（0，+∞）单调递增，又h（1）＝0，∴当0＜x＜1时，h（x）＝x2﹣x+lnx＜0，即x﹣lnx＞x2，∴﹣＜0．当x＞1时，h（x）＝x2﹣x+lnx＞0，即x﹣lnx＜x2，又x﹣lnx＞0，∴﹣＞0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，g（x）取得极小值g（1）＝1，当x＝e时，g（x）取得极大值g（e）＝﹣．∵f（x）有3个零点，∴a＝g（x）有3解，∴1＜a＜．故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（ax+1）（1﹣）6的展开式中的常数项是﹣11，则实数a的值为2．【解答】解：∵（ax+1）（1﹣）6＝（ax+1）（1﹣+﹣+﹣+）的展开式中的常数项是﹣11，则实数a的展开式中的常数项是﹣6a+1＝﹣11，则实数a＝2，故答案为：2．14．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2＝b2相交的弦长为，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣c，0），过点F1作倾斜角为30°的直线y＝（x+c）与圆x2+y2＝b2相交的弦长为b，可得：，可得：b＝c，a2＝b2+c2，则a＝b，则椭圆的离心率为：e＝＝＝＝．故答案为：．15．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8﹣2S4＝6，则a9+a10+a11+a12的最小值为24．【解答】解：由题意可得：S8﹣2S4＝6，可得：S8﹣S4＝S4+6，由等比数列的性质可得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，则S4（S12﹣S8）＝，综上可得：a9+a10+a11+a12＝S12﹣S8＝＝S4++12≥24，当且仅当S4＝6时等号成立．综上可得，则a9+a10+a11+a12的最小值为24．故答案为：24．16．（5分）在△ABC中，a+c＝6，且（3﹣cos A）tan＝sin A，则△ABC的面积最大值为2．【解答】解：在△ABC中，∵（3﹣cos A）tan＝sin A，∴（3﹣cos A）•＝sin A，即3sin B＝sin A+sin A cos B+cos A sin B＝sin A+sin C，∴由正弦定理可得：3b＝a+c＝6，∴解得：b＝2．∵a+c＝6，∴6＝a+c≥2．可得：ac≤9，（当且仅当a＝c＝3时等号成立）∴cos B＝＝＝，可得：sin B＝＝＝，∴S＝ac sin B＝×ac×＝2≤2＝2．（当且仅当a＝c ＝3时等号成立）故答案为：2．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2＝（2﹣）bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1sin A＝1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【解答】解：（1）在△ABC中，由a2﹣（b﹣c）2＝（2﹣）bc．可得b2+c2﹣a2＝．所以cos A＝＝∵0＜A＜π．∴A＝（2）设{a n}的公差为d（d≠0），a1sin A＝1，由（1）得a1＝2，且a42＝a2a8∴（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d）即（2+3d）2＝（2+d）（2+7d）解得：d＝2∴a n＝2n那么＝＝∴数列{}的前n项和S n＝＝．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝．（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面SCD；（Ⅱ）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角B﹣MD﹣C余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，依题意得，四边形ABED为正方形，且有BE＝DE＝CE＝a，BD＝CD＝，∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥平面SCD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面SCD；（Ⅱ）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，∵平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，SH⊥CD，SH⊂平面SCD，∴SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，∠SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．由（Ⅰ）得，SD＝，∴在Rt△SHD中，，DH＝，SH＝，在△ADH中，∠ADH＝45°，AD＝a，DH＝，由余弦定理得AH＝，∴AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，∴DF⊥底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（，0，0），C（0，，0），S（0，，），A（，﹣，0），M（，﹣，），设平面MBD的法向量，由，取z＝1，得，设平面MCD的法向量，由，取z1＝1，得，∴|cos＜＞|＝＝．故所求的二面角B﹣MD﹣C的余弦值为．19．（12分）IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅．为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程．如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品．在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d参考数据：【解答】解：（1）由题意列表为：故K2＝＝＞7.879，故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关．（2）设A i表示检测到第i个环节有问题，（i＝1，2，3，4），X表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，10，20，30，40，50，60，70，X＝0，表明四个环节均正常，P（X＝0）＝P（）＝（）3•＝，X＝10，表明第四环节有问题，P（X＝10）＝P（）＝（）3•＝，X＝20，表明前三环节有一环节有问题P（X＝10）＝＝，X＝30表明前三环节有一环节及第四环节有问题P（X＝30）＝＝，X＝40，表明前三环节有两环节有问题P（X＝40）＝＝，X＝50，表明前三环节有两环节及第四环节有问题P（X＝50）＝＝，X＝60，表明前三环节有问题P（X＝60）＝（）3＝，X＝70，表明四环节均有问题P（X＝70）＝（）3•＝，费用X分布列为：故E（X）＝（0×24+10×8+20×36+30×12+40×18+50×6+60×3+70×1）＝（元）故大约需要耗费元．20．（12分）已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，∴设抛物线的方程为x2＝2py，抛物线的焦点为F，则|QF|＝3＝2+，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝4y．（2）如图所示，∵A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），x3＜x1＜x2，∴A（x1，），B（x2，），D（x3，），根据抛物线关于y轴对称，取x1≥0，记k AB＝k1，k AD＝k2，则有，，∴x2＝4k1﹣x1，x3＝4k2﹣x1，k1k2＝﹣1，又∵△ABD是以A为顶点的等腰直角三角形，∴|AB|＝|AD|，即＝•|x3﹣x1|，将x2，x3代入得•|4k2﹣2x1|，化简，得，则＝×（）2，|AB|＝，令y＝•＝，则＝＝＝，∴当t＝1，即k1＝1时，|AB|最小值为4，此时x1＝0，即当A（0，0），B（4，4），D（﹣4，4）时，△ABD为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+x﹣a（a∈R）．（1）若直线x＝t（t＞0）与曲线y＝f（x）和y＝g（x）分别交于A，B两点，且曲线y＝f （x）在A处的切线与y＝g（x）在B处的切线相互平行，求a的取值范围；（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2且x1＞x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝xlnx，（x＞0），∴f′（x）＝1+lnx，∵g（x）＝x2+x﹣a（a∈R），∴g′（x）＝ax+1，∵曲线y＝f（x）在点A处的切线与y＝g（x）在点B处的切线相互平行，∴f′（t）＝g′（t）在（0，+∞）有解，即lnt＝at在（0，+∞）有解，∵t＞0，∴a＝．令F（x）＝，则F′（x）＝，得x＝e，当x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，∴F（x）max＝F（e）＝，∴a的取值范围是．（Ⅱ）由（I）可知h′（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝lnx﹣ax，∴x1，x2分别为方程lnx﹣ax＝0的两个根，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，等价于不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立．所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2＝a（x1+λx2）．因为λ＞0，0＜x2＜x1，所以原式等价于a＞．又由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2作差得，＝a（（x1﹣x2）），即a＝．所以原式等价于＞．．因为0＜x2＜x1，原式恒成立，即l＞恒成立．令t＝，t∈（1，+∞），则不等式lnt＞在t∈（1，+∞）上恒成立．令h（t）＝lnt﹣，则h′（t）＝﹣＝，①当λ2≤1，λ＞0，即0＜λ＜1时，可见t∈（1，+∞）时，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（1，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，h（t）＞0在t∈（1，+∞）恒成立，符合题意；②当λ2＞1时，可见当t∈（1，λ2）时，h'（t）＜0；当t∈（λ2，+∞）时，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（1，λ2）时单调递减，在t∈（λ2，1）时单调递增．又h（1）＝0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，只须0＜λ＜1．四.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l1：x＝0，直线l2：x﹣y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+4sinθ．∵直线l1：x＝0，∴直线l1的极坐标方程为（ρ∈R），∵直线l2：x﹣y＝0，∴直线l2的极坐标方程为（ρ∈R）．（2）设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ＝2cosθ+4sinθ中，令，得ρ1＝2cosθ+4sinθ＝4，令，得ρ2＝2cosθ+4sinθ＝3，∵＝，∴|AB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0且a2+b2＝2．（I）若是+≥|2x﹣1|﹣|x﹣1|恒成立，求x的取值范围；（Ⅱ）证明：（+）（a5+b5）≥4．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b∈（0，+∞），且a2+b2＝2，∴+＝（a2+b2）（+）＝（1+4++）≥（5+2）＝，则|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤，当x≤时，不等式化为1﹣2x+x﹣1≤，解得﹣≤x≤，当＜x＜1，不等式化为2x﹣1+x﹣1≤，解得＜x＜1，当x≥1时，不等式化为2x﹣1﹣x+1≤，解得1≤x≤，综上所述x的取值范围为[﹣，]；（2）证明：（+）（a5+b5）＝a4+b4++＝（a2+b2）2﹣2a2b2++≥4﹣2a2b2+2＝4﹣2a2b2+2a2b2＝4，当且仅当a＝b＝1时，取得等号．另解：由柯西不等式可得（+）（a5+b5）＝[（）2+（）2][（）2+（）2]≥（+）2＝（a2+b2）2＝4，当且仅当a＝b时，取得等号．。

湖北黄冈中学2019年高三五月第二次重点-数学（文）2018届高三五月第二次模拟考试数学〔文〕试题【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的、 1、假如复数(2)bi i -(其中b ∈R )的实部与虚部互为相反数，那么b ＝( ) A 、2B 、2-C 、1-D 、 1A 、x ∀∈R ，21x ≠B 、x ∀∉R ，21x ≠C 、0x ∃∈R ，021x≠D 、0x ∃∉R ，021x≠3、“错误！未找到引用源。

”是“直线错误！未找到引用源。

垂直”的() A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4.样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均 值为1，那么样本方差为〔〕 A、65CD 、2 5、假设函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1，其中b a ,为常数、那么函数b a x g x +=)(的大致图象是〔〕A 、B 、C 、D 、6、()2sin(2),6f x x π=+假设006(),[,]542f x x ππ=∈，那么0cos 2x =〔〕AB、CD7、在平行四边形ABCD中，2,30,AB AD A ==∠=点M 在AB 边上，1,4AM AB =那么DM DB ⋅=〔〕 A 、1-B 、1C 、14D 、14- 8、设,x y ∈R ,1,1a b >>，假设2xya b ==，24a b +=，那么21x y+的最大值为() A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，那么方程1()||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是〔〕 A 、8B 、9C 、10D 、1110、12,F F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，假设(,0)M t 为一个切点，那么〔〕A 、2t <B 、2t =C 、2t >D 、t 与2的大小关系不确定【二】填空题：本大题共7小题，考生共需作答7小题，每题5分，共35分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清晰，模棱两可均不得分、11、一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生人、 12、在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，那么PAB ∆的面积大于14的概率是_________、 13、集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<<,且()2,MN b =,那么a b +=_________、14、执行如右下图所示的程序框图，假设输入2x =，那么输出y 的值为、 15、某几何体的三视图如下，那么该几何体体积为、正视图侧视图俯视图〔第15题图〕〔第14题图〕16、设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，假设z 的最小值1，那么〔Ⅰ〕k 的值为；〔Ⅱ〕z 的最大值为、17、在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加221222231一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；那么第n 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n 表示)【三】解答题：本大题共5小题，共65分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 18、〔此题总分值12分〕在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且222212,S q b S b =+=、 〔Ⅰ〕求n a 与n b ； 〔Ⅱ〕数列{}n c 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T 、 19、〔此题总分值12分〕在如下图的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点、 〔Ⅰ〕求证：不管点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；〔Ⅱ〕当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCCB -与圆柱的体积比、20、〔此题总分值13分〕如图，某市预备在道路EF 的一侧修建一条运动竞赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC 、该曲线段是函数()2πsin()0,0,[4,0]3y A x A x ωω=+>>∈-时的图象，且图象的最高点为(1,2)B -,CD ，且CD //EF ；赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE 、(Ⅰ)求ω的值和DOE ∠的大小；(Ⅱ)假设要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个 “矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在 半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，求“矩形 草坪”面积的最大值，并求如今P 点的位置. 21、〔此题总分值14分〕函数x x x f ln )(=的图象为曲线C ,函数b ax x g +=21)(的图象为直线l 、 (Ⅰ)当3,2-==b a 时,求)()()(x g x f x F -=的最大值； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为12,,x x 且12x x ≠,求证：1212()()2x x g x x ++>、22、〔此题总分值14分〕抛物线P :py x 22=上一点(,2)Q m 到抛物线P 的焦点的距离为3，,,,A B C D 为抛物线的四个不同的点，其中A 、D 关于y 轴对称，00(,)D x y ，11(,)B x y ，22(,)C x y ，2010x x x x <<<-，直线BC 平行于抛物线P 的以D 为切点的切线、〔Ⅰ〕求p 的值；〔Ⅱ〕证明：CAD BAD ∠=∠；〔Ⅲ〕D 到直线AB 、AC 的距离分别为m 、n ，且m n D +=，ABC ∆的面积为48，求直线BC 的方程、参考答案选择填空：BAADDCCBCB11、2012、714、2315、542π+16、1，717、66,22n n -1、【解析】(2)2bi i b i -=+，应选B 、2、【解析】特称命题的否定是全称命题，应选A 、3、【解析】假设直线错误！未找到引用源。

数学（文）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．如果复数(2)bi i -(其中b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．2B ．2-C ．1-D ． 12．已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是( )A ．x ∀∈R ，21x≠ B ．x ∀∉R ，21x≠ C ．0x ∃∈R，021x≠D ．0x ∃∉R，021x≠3．“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均 值为1，则样本方差为（ ）A．5 B ．65 CD ．25．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1，其中b a ,b a x g x+=)(的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知()2sin(2),6f x x π=+若006(),[,]542f x x ππ=∈，则0cos 2x =（ ） A ． B ． C ． D ．7．在平行四边形ABCD 中，2,30,AB AD A ==∠=点M 在AB 边上，1,4AM AB =则DM DB ⋅=（ ）A ．1-B ． 1C ．14D ．14-8．设,x y ∈R ,1,1a b >>，若2x y a b ==，24a b +=，则21x y +的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知12,F F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(,0)M t 为一个切点，则（ ）A ．2t <B ．2t =C ．2t >D ．t 与2的大小关系不确定二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．12．在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于14的概率是_________． 13．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,MN b =,则a b +=_________．14．执行如右下图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 ． 15．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为 ．正视图 侧视图俯视图（第15题图） （第14题图）16．设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若z 的最小值1，则（Ⅰ）k 的值为 ；（Ⅱ）z 的最大值为 ．17．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第n 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n 表示)三、解答题：本大题共5小题，共6518．（本题满分12分） 在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且222212,S q b S b =+=．（Ⅰ）求na 与nb ；（Ⅱ）数列{}n c 满足n n S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ．2212231图1图2图319．（本题满分12分）在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．20．（本题满分13分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ．该曲线段是函数()2πsin()0,0,[4,0]3y A x A x ωω=+>>∈-时的图象，且图象的最高点为(1,2)B -,赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD //EF ；赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (Ⅰ)求ω的值和DOE ∠的大小；(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在 半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，求“矩形 草坪”面积的最大值，并求此时P 点的位置. 21．（本题满分14分）已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数bax x g +=21)(的图象为直线l ．(Ⅰ) 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值；(Ⅱ) 设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为12,,x x 且12x x ≠, 求证：1212()()2x x g x x ++>．22．（本题满分14分）抛物线P :py x 22=上一点(,2)Q m 到抛物线P 的焦点的距离为3，,,,A B C D 为抛物线的四个不同的点，其中A 、D 关于y 轴对称，00(,)D x y ，11(,)B x y ，22(,)C x y ，2010x x x x <<<- ，直线BC 平行于抛物线P 的以D 为切点的切线．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）证明：CAD BAD ∠=∠；（Ⅲ）D 到直线AB 、AC 的距离分别为m 、n，且m n +=，ABC ∆的面积为48，求直线BC 的方程．数学（文）试卷答案及解析 选择填空：BAADD CCBCB11．20 12．12 13．7 14．23 15．542π+16．1 ，7 17．66, 22n n - 1．【解析】(2)2bi i b i -=+，故选B ．2．【解析】特称命题的否定是全称命题，故选A ．3．【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则=14aa -⨯-，即2a =±，选A.4. 【解析】有题意可得第五个值为1- ，方差为222221[(2)(1)012]25-+-+++=.选D.5．【解析】由图1知01,a b <<<故选D ．6．【解析】06(),5f x =03sin(2),65x π∴+=004[,],cos(2),4265x x πππ∈∴+=- 00003cos 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 63636310x x x x ππππππ-∴=++=+++=选C ．7．【解析】法一：21111()()444 4.DM DB DA AB DB AD DB DB DB ⋅=+⋅=+⋅==.法二：以D 为原点，,DA DB 所在的边分别为,x y 轴轴，建立平面直角坐标系，则11(01),),.44A B M DM DB⋅=，，故选C．8．【解析】由题意得：2211log,loga bx y==，2222222212log log log log()2,2a ba b a bx y++=+=≤=故选B．9．【解析】由题意可得(4)()()f x f x f x+=-=，∴函数的周期是4，可将问题转化为()y f x=与1||yx=-在区间[10,10]-有几个交点．画图知，有10个交点,选C．10．【解析】设圆C与直线1F A的延长线、2AF分别相切于点,,P Q则由切线的性质可知：221122211,,,22, AP AQ F Q F M F P F M F M F Q AF AQ a AF AP a F M ===∴==-=--=-122, 2.MF MF a t a∴+=∴==故选B．11．【解析】2405020600⨯=．12．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，以AB为底边，要使PAB∆的面积大于14,则为P点到AB的距离12h>，∴概率为1.213．【解析】{05},2,5M x x a b=<<∴==，7.a b∴+=14．【解析】2,5,|25|8x y==->否，∴5x=，11y=，|511|8->否，∴11x=，23y=，|1123|8->，∴输出y，∴23y=．15．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．16．【解析】作出不等式组表示的平面区域，由题意可知直线1kx y+=过点(1,0), 1.k∴=当直线2x y t+=过点59(,)24时，z有最大值7.17．【解析】设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，an ＝an －1＋5＋4(n －2)，所以an ＝a1＋5(n －1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n －2)]＝2n2－n. 18．【解答】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126解得4-=q （舍）或3=q ，3d =．故33(1)3n a n n=+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）(33)2211,()2(33)31n n n n S C n n n n +=∴==-++，211111212(1)()()(1)32231313(1)n nT n n n n ⎡⎤∴=-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦．19．【解答】（Ⅰ）∵侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，∴AC BC ⊥， 又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥BC ，又1AA AC A =，∴BC ⊥平面1A AC ，∵BC ⊂平面1A BC，∴平面1A BC ⊥平面1A AC；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ， K^S*5 当点C 是弧AB 的中点时，2,AC BC r ==111212(2)(2)33A BCC B V r r h r h-=⋅⋅⋅=,2=V r hπ圆柱， ∴111=2:3A BCC B V V π-圆柱：．20．【解答】（Ⅰ）由条件，得2A =，34T =． ∵2πT ω=，∴π6ω=．∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π2sin()63y x =+． 当x=0时，3y OC ==．又CD=3，∴ππ44COD DOE ∠=∠=，即． （Ⅱ）由（Ⅰ）知6OD =．当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE上，故OP =． 设POE θ∠=，π04θ<≤，“矩形草坪”的面积为)()26sin cos sin S θθθθθθ=-=111π6(sin 2cos2))32224θθθ+-=+-． ∵π04θ<≤，故πππ2=428S θθ+=当时，时，取得最大值3．21．【解答】(Ⅰ)3ln )(3,2+-=∴-==x x xx F b a10ln 11ln 1)(222=⇒=--=--='x x x x x x x F)(,0)(),1,0(x F x F x '>'∈单调递增，)(,0)(),,1(x F x F x '<'+∞∈单调递减，2)1()(max ==F x F(Ⅱ)不妨设21x x <，要证2)()(2121>++x x g x x ,只需证21211()()22x x a x x b ⎡⎤+++>⎢⎥⎣⎦ （﹡） 1111ln 12x ax bx x =+，2222ln 12x ax bx x =+，212121211ln ln ()()()2x x a x x x x b x x ∴-=+-+-，将（﹡）两边同乘以21x x -得，21212121211()()()()2()2x x a x x x x b x x x x ⎡⎤++-+->-⎢⎥⎣⎦，只需证212121()(ln ln )2()x x x x x x +->-，即证221211()ln2()x x x x x x +>-，令)(2ln)()(111x x x xx x x H --+=，),(1+∞∈x x ，只需证)(0)(2ln)()(1111x H x x x xx x x H =>--+=，1ln )(11-+='x x x x x H ，令1ln)(11-+=x x x x x G ，∴ 0)(21>-='x x x x G ，∴)(x G 在),(1+∞∈x x 单调递增．∴0)()(1=>x G x G ，即0)(>'x H ，∴)(x H 在),(1+∞∈x x 单调递增．∴0)()(1=>x H x H ，即0)(2ln)()(111>--+=x x x xx x x H ，∴2)()(2121>++x x g x x ．22．【解答】（Ⅰ） |QF|=3=2+2p， ∴p =2．（Ⅱ）∴抛物线方程为y x 42=， A(4,200x x -)， D(4,200x x )， B(4,211x x ) ，C(4,222x x )， 2x y =' ∴221212124442BCx x x x xk x x -+===-，0212x x x =+∴，2202202044,4ACx x x x k x x --==+22011010444AB x x x xk x x --==+，201012020444AC AB x x x x x x x k k --+-∴+=+==，所以直线AC 和直线AB 的倾斜角互补， BAD CAD ∴∠=∠． （Ⅲ）设α=∠=∠CAD BAD ，则m=n=|AD|sin α，4)2.0(,22sin παπαα=∴∈=∴ ，0204:x x x y l AC+=-∴ 即024x x x y ++=，把:ACl 024x x x y ++=与抛物线方程y x 42=联立得：0442002=---x x x x ，20204x x x x --=-∴，402+=∴x x ，同理可得401-=x x ，00004,2,x x x x -<-<∴>48)4(4)42(2)24(221||||212000=-=-+==∴∆x x x AC AB S ABC ， 40=∴x ，xy l B BC 2:)0,0(=∴∴．。

2018年5月高考二模理科数学试卷（黄冈中学带答案）
5 c 湖北省黄冈市黄冈中学4坐标系与参数方程）
已知曲线的极坐标方程分别为，
，则曲线与交点的极坐标为．
三、解答题本大题共6小题，共分，解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）设角是的三个内角,已知向量， ,且
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若向量 ,试求的取值范围
18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条路，校车走路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走路①，丙校车由于其他原因走路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．学
19．（本题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，，
（Ⅰ）若为中点，求证∥平面；
（Ⅱ）求平面与所成锐二面角的大小．
20．（本题满分12分）已知正项数列{an} 的前项和，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项式；
（Ⅱ）定理若函数在区间D上是下凸函数，且存在，则当
时，总有．请根据上述定理，且已知函数是。

2018年湖北省黄冈高三数学模拟试题(二)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)参考公式： 三角函数的积化和差公式sin αcos β=12[sin (α＋β)＋sin (α－β)]cos αsin β=12[sin (α＋β)－sin (α－β)]cos αcos β=12[cos (α＋β)＋cos (α－β)]sin αsin β=－12[cos (α＋β)－cos (α－β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧= 12(c ′＋c )l (其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)台体的体积公式：V 台体=13(S ′＋SS ′＋S )h (其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17=10，则S 19的值A .是55B .是95C .是100D .不能确定2.设集合P ={x |(x － 1)(x － 4)≥0，x ∈R }，Q ={x |(n － 1)(n － 4)≤0，n ∈N }，集合S 满足S ∩Q =S ，S ∩P =｛1，4｝，则集合S 中元素的个数是A .2B .2或4C .2或3或4D .无穷多个 3.|x |≤2的必要但不充分条件是A . |x ＋1|≤3B . |x ＋1|≤2C . |x ＋1|≤1D . |x － 1|≤1 4.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线A .垂直B .平行C .相交D .异面5.现从某校5名学生干部中选出4人分别参加 “资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，则不同的参加方案的种数是A .90B .120C .180D .3606.为了使函数y =sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A .98πB .1972πC . 1992π D . 100π7.(理科)函数y ＝2arccos (x 2－x －14)的值域是A . [0,4π3] B .[2π3，2π] C .[ － 2π3，2π3] D . [0，2π3] (文科)函数y ＝2cos (sinx )的值域是 A .[2cos 1，2]B .[－2，2]C .[0，2cos 1]D .[－2cos 1，2cos 1]8.将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲C ′，若曲线C ′的方程为x 24－y25＝1，则曲线C 的焦点坐标为A .(6，－1)，(0，－1)B .(－6，1)，(0，1)C .(－3，2)，(－3，－4)D .(3，2)，(3，－4)9.向高为H 的圆锥形漏斗匀速地注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭)，注入溶液量V 与溶液深度h 的函数图象是A B C D 10.不等式－x 2－4x ≤43x ＋1－a 的解集是[－4,0],则a 的取值范围是A .a ≤－5B .a ≥53C .a ∈RD .a ≤－5或a ≥5311.设x 1，x 2，x 3分别是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2，log 21x ＝x 的实数根，则x 1，x 2，x 3大小关系是A . x 1＞x 2＞x 3B .x 2＞x 1＞x 3C .x 2＞x 3＞x 1D .x 3＞x 1＞x 212.三棱锥S －ABC 中，E 、F 、G 分别是SA 、SB 、SC 上的点，且SE EA ＝BF SF ＝SCSG ＝2，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为A .1∶9B .1∶7C .1∶8D .2∶25第II 卷(非选择题 90分) 姓名__________学号______一大题答题卡：二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的一个函数是f (x )＝______(注：只填上你认为正确的一种可能即可)。

2018黄冈中学高三数学五月模拟试卷及答案（理科
5 c 湖北省黄冈中学1，0)得,∴A点坐标为；……2分
∵ ∴ 是的中点∴
∴ 椭圆方程为……5分
(II)当直线N与PQ之一与轴垂直时，四边形PQN面积；
…………6分
当直线PQ，N均与轴不垂直时，不妨设PQ ，
联立代入消去得
设则………8分
∴ ，同理
∴四边形PQN面积………10分
令，则，易知S是以为变量的增函数
所以当时，，∴
综上可知，，∴四边形PQN面积的取值范围为………13分
22 (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证对于任意正整数n，均有（为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数＝f （x）的图象相切? 若存在，有多少条?若不存在，说明理由．
22、（Ⅰ）解由题意．………………1分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………3分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取，由⑴知，。

2018年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则A. B. 1， C. 0， D.【答案】B【解析】解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．先解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2.若复数，则z的共轭复数的虚部为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，则z的共轭复数的虚部为．故选：B．写出等比数列的前n项和，结合虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i得运算性质，是基础题．3.设，，，则a，b，c的大小顺序是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：，底面周长为：，高为：2，故四棱柱的表面积，故选：B．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5.下列命题正确的个数是：若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则：命题“，”的否定是“，”：函数在处取得最大值，则正数的最小值为：若随机变量～则，已知随机变量～，则A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：：若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则或、相交，故错．：命题“，”的否定是“，”，故错．：函数在处取得最大值，则，可得正数的最小值为，故正确．：若随机变量～则，已知随机变量～，则故正确，故选：B．：若，，，，则或、相交．：命题“，”的否定是“，”．：可得，可得正数的最小值为．：．本题考查了命题真假的判定，属于中档题．6.过双曲线：上任意点P作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若O为坐标原点，则的面积为A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，为双曲线的任意一点，不妨设，双曲线的切线方程为，，，故选：D．由于P为双曲线的任意一点，不妨设，可得双曲线的切线方程为，即可得到，三角形的面积即可求出．本题考查了双曲线的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．7.函数在的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，则函数是奇函数，则图象关于原点对称，故排除D．当时，，则当时，，函数为增函数，时，，函数为减函数，则当时，取得极大值同时也是最大值，故选：A．根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S为A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，不满足条件n是奇数，，不满足条件，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，不满足条件n是奇数，，不满足条件，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，不满足条件n是奇数，，不满足条件，，满足条件n是奇数，，不满足条件，，不满足条件n是奇数，，满足条件，退出循环，输出S的值为190．故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.已知所在平面内有两点P，Q，满足，，若，，，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为，所以P为AC中点，又因为，所以，所以，所以Q为线段AB的靠近B的三等分点．所以，因为，所以，所以，或．故．所以．故选：D．推导出P为AC中点，，Q为线段AB的靠近B的三等分点从而求出，或由此能求出．本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.已知三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示：三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，则：，设外接球的半径为R，则：在中，利用勾股定理：，解得：所以：．故选：D．首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的体积．本题考查的知识要点：三棱锥与外接球的关系，球的体积公式的应用．11.实数x，y满足约束条件，它表示的平面区域为C，目标函数的最小值为由曲线，直线及x轴围成的平面区域为D，向区域D内任投入一个质点，该质点落入C的概率为，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为，即．区域C的面积为：，平面区域D的面积为：，故，所以．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合，以及概率求解即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．12.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：令可得，令，则令可得或，令，则，在单调递增，又，当时，，即，．当时，，即，又，．当时，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，当时，取得极大值．有3个零点，有3解，．故选：A．令，分类参数可得，判断的单调性，求出的极值即可得出a的范围．本题考查了函数零点个数与函数单调性的关系，考查函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的常数项是，则实数a的值为______．【答案】2【解析】解：的展开式中的常数项是，则实数a的展开式中的常数项是，则实数，故答案为：2．把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项，再根据常数项为，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】解：椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，可得：，可得：，，则，则椭圆的离心率为：．故答案为：．求出直线方程，利用过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，列出方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，仔细与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15.已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为______．【答案】24【解析】解：由题意可得：，可得：，由等比数列的性质可得：，，成等比数列，则，综上可得：，当且仅当时等号成立综上可得，则的最小值为24．故答案为：24．由题意可得：，可得：，由等比数列的性质可得：，，成等比数列，可得：，展开利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.在中，，且，则的面积最大值为______．【答案】【解析】解：在中，，，即，由正弦定理可得：，解得：．，可得：，当且仅当时等号成立，可得：，当且仅当时等号成立故答案为：．使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解．本题考查了正弦定理，三角函数化简，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若等差数列的公差不为零，且，且、、成等比数列，求的前n项和．【答案】解：在中，由可得．所以．设的公差为，，由得，且即解得：那么数列的前n项和．【解析】由可得结合余弦定理可得答案．等差数列的公差不为零，根据，可得的值，由、、成等比数列，建立关系求解d，可得通项，利用裂项相消可得的前n项和．本题考查了等差等比数列，裂项相消法、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M是SA的中点，，，．Ⅰ求证：平面平面SCD；Ⅱ若直线SD与底面ABCD所成的角为，求二面角余弦值．【答案】Ⅰ证明：取BC中点E，连接DE，设，，依题意得，四边形ABED为正方形，且有，，，则，又平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，平面SCD．又平面MBD，平面平面SCD；Ⅱ解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，平面底面ABCD，平面底面，，平面SCD，底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，为斜线SD与底面ABCD所成的角，即．由Ⅰ得，，在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，，从而，过点D作，底面ABCD，、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则0，，，，，，设平面MBD的法向量，由，取，得，设平面MCD的法向量，由，取，得，．故所求的二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ取BC中点E，连接DE，设，，由已知可得，则，又平面底面ABCD，由面面垂直的性质可得平面从而得到平面平面SCD；Ⅱ过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得，则底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得，从而，过点D作，则底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD与平面MDC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角余弦值．本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．19.IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．用列联表判断：这次实验是否有的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺标准有关？在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？假设质检与检测过程不产生费用参考公式：，参考数据：【答案】解：由题意列表为：故K，故有的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关．设表示检测到第i个环节有问题，2，3，，X表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，10，20，30，40，50，60，70，，表明四个环节均正常，，，表明第四环节有问题，，，表明前三环节有一环节有问题，表明前三环节有一环节及第四环节有问题，，表明前三环节有两环节有问题，，表明前三环节有两环节及第四环节有问题，，表明前三环节有问题，，表明四环节均有问题，X故E元故大约需要耗费元【解析】由题意列表求出，从而有的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关．设表示检测到第i个环节有问题，2，3，，X表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，10，20，30，40，50，60，70，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点到焦点的距离为3，线段AB的两端点，在抛物线C上．求抛物线C的方程；在抛物线C上存在点，满足，若是以角A为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值．【答案】解：抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，设抛物线的方程为，抛物线的焦点为F，则，解得，抛物线C的方程为．如图所示，，，，，，，，根据抛物线关于y轴对称，取，记，，则有，，，，，又是以A为顶点的等腰直角三角形，，即，将，代入得，化简，得，则，，令，则，当，即时，最小值为，此时，即当，，时，为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16．【解析】设抛物线的方程为，抛物线的焦点为F，则，由此能求出抛物线C的方程．，，，取，记，，则，，，推导出，从而，则，，令，求出，当，，时，为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16．本题考查抛物线方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知函数，．若直线与曲线和分别交于A，B两点，且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；设在其定义域内有两个不同的极值点，且已知，若不等式恒成立，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ，，，，，曲线在点A处的切线与在点B处的切线相互平行，在有解，即在有解，，．令，则，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，的取值范围是．Ⅱ由可知，，分别为方程的两个根，即，，不等式恒成立，等价于不等式恒成立．所以原式等价于因为，，所以原式等价于．又由，作差得，，即．所以原式等价于因为，原式恒成立，即恒成立．令，，则不等式在上恒成立．令，则，当，，即时，可见时，0'/>，所以在上单调递增，又，在恒成立，符合题意；当时，可见当时，；当时，0'/>，所以在时单调递减，在时单调递增．又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须．【解析】Ⅰ由，，可得，由，可得，由曲线在点A处的切线与在点B处的切线相互平行，可得在有解，即在有解，由，可得令，利用导数研究其单调性即可得出．Ⅱ由可知，，分别为方程的两个根，即，，不等式恒成立，等价于不等式恒成立所以原式等价于由，，可得原式等价于又由，作差得，，即可得原式等价于由，原式恒成立，即恒成立令，，则不等式在上恒成立令，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，直线：，直线：，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系．求曲线C和直线，的极坐标方程；若直线与曲C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求线段AB 的长．【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的普通方程为，即，将，代入上式，得曲线C的极坐标方程为．直线：，直线的极坐标方程为，直线：，直线的极坐标方程为．设A，B两点对应的极径分别为，，在中，令，得，令，得，，．【解析】由曲线C的参数方程消去参数，求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程，由直线：，能求出直线的极坐标方程，由直线：，能求出直线的极坐标方程．设A，B两点对应的极径分别为，，在中，令，得，令，得，由此能求出．本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知，且．若是恒成立，求x的取值范围；Ⅱ证明：．【答案】解：Ⅰ，，且，，则，当时，不等式化为，解得，当，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，综上所述x的取值范围为；证明：，当且仅当时，取得等号．另解：由柯西不等式可得，当且仅当时，取得等号．【解析】Ⅰ运用乘1法和基本不等式可得的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；Ⅱ变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．。

黄冈中学2018年高三5月第二次模拟考试文科数学试卷 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．1．若集合M={}22|-=x y y ，N={|x y =，那么N M 为（ ）A.(],3-∞B.[)+∞,3C.(]0,3 D.[]0,32．已知复数122iz i +=- (其中i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部是（ ）A ．iB ． 1C ．－iD ．－13．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，n{}1,2,3∈,若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A. B.13 C. 23 D.794．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，19岁的世界围棋第一人柯洁3:0不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的2600男性中，有1560人持反对意见，2400名女性中，有1118人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图5．如图所示的程序执行后，输出的结果是7920，那么在程序UNTIL 后面的条件是（ ） A ．i<9B ．i ≤9 C ．i<8D ．i ≤86．下列说法中不正确的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈， 都有210x x -+≥B ．若数列{}n a 为公差不为1的等差数列，且2m n p a a a +=，则2m n p +=C ．命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题16D ．“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件7．我们处在一个有声世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同要求．音量大小η的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则70dB 的声音强度1I 是60dB 的声音强度2I 的 （ ）A ．20倍B ．10倍C ．5倍D ．2倍8．已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. 12-B. 2-C. 0D. 49． 函数()()()2sin xx e e x f x x e ππ-+=-≤≤的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2πϕ<)的部分图象如图所示，考察下列说法：①()f x 的图象关于直线23x π=-对称;②()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称;③若关于x 的方程()0f x m -=在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为(2,-;)0(12222>=-b b y x 1F 2F x y =),3(0y P④将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()f x 的图象.其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．311.设,x y 满足约束条件22,323,1,x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩若224x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ． 45C ．34D ．112．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在0x D ∈ ,使00()(0)f x kx k =≠，则称0x 是()y f x =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25()2f x ax x a =+-+在区间[]1,4上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,]2-∞B ．1(0,)2 C ．1[,)2+∞D ．(,0]-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知单位向量a ，b满足2a b -=，则b 在a方向上的投影等于 .14．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个四棱锥的体积为_________．15．已知P(2，m)为角α终边上一点，且1tan 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则sin α=_________．16．已知菱形ABCD 的边长为2，A=60°，将△ABD 沿对角线BD 折起，使得AC=3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．三、解答题：本题共6道小题，共70分。

黄冈中学2018年高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，若 4,2AB AC ==，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+的值为( ) A. ±B. 8± C. 12± D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )11.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( ) A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b+=，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a+++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：20.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．黄冈中学2018年高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，若 4,2AB AC ==，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+的值为( ) A.± B. 8± C. 12± D. 20±【答案】D【解析】因为0PA PC +=，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=即QA QB BC QC BQ +=-=，所以2QA BQ =，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆==，所以1sin 2A =，cos A =或故c o s 4A B A C A B A C A ⋅=⋅=±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( ) A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D故2112612p ==，所以121224133p p -=-=． 12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x =+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min11ln 1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2l n 0.'()x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a+++的最小值为_________.【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥ 当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】(3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆≤=3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=-．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【解析】（1）由22()(2a b c bc --=，222a b c --=，所以222cos 2b c a A bc +-==6A π∴= （2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，BD CD ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，SD =，所以在Rt SHD ∆中，SD =，DH =，SH =， 在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，2DH a =，由余弦定理得2AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则),0,0B，(),0C，0,,22S a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,,424M a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r得00424x y z =-+=⎩ 取1z =得n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r得00x y z '='''+=，取1z '=得，()m =u r ，所以cos ,7n mn m n m⋅===⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为7.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-=+++ ++++参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879 302040103K⨯-⨯==>⨯⨯⨯故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C === 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C === 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====费用X 分布列为：故：024108203630124018506603701121545108542EX ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值. 【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2131x x x x -=-，将23,x x 代入得：112122k x k x -=- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+， 则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可，2121144k AB k k +=+，令()32222211t t y t t t t++==++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB最小值为此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ，()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈（1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得 01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=．（1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b a b++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++19(1422≥++=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<．综上，9922x -≤≤．（2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。