2010 TI 竞赛题

2010年全国大学生数学竞赛决赛答 tian27546这是献给博士论坛一个礼物 转载时请勿注明是博士论坛一、（20分）计算下列各题：1．求极限 211sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+解法1因211sin )1(n k n k n k π∑-=+211222sin sin 21(2sin 21n n k n k nn k πππ∑-=+=） )22cos 22(cos 1(2sin 2122112n k n k n k nn k πππππ+--+=∑-=） )22cos 22(cos 1(22112nk n k n k n n k πππππ+--+≈∑-=） 2112211222cos 1(22cos 1(n k nk n n k n k n n k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=）） 222211222cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n nk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k πππππππ-+--+-+=∑-=） 21222222)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(nk n n n n n n n n n k ππππππ-+---+=∑-=）（*） 而2122)12(cos n k n k π-∑-=212222sin 2)12(cos22sin 21n n k nn k πππ∑-=-=])1(sin [sin2sin2121222n k n k nn k πππ--=∑-= 2222sin 2sin )1(sinn n n n πππ--=222sin2)2(sin 2cos n n n n πππ-=（**） 将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos 12(2cos )11([lim 222222n n n nn n n n n n n n n ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222n n n n n n n n n n n ππππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2232222n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222n n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=--解法2 Step 1因∑-=112sin n k n k π211222sinsin 22sin 21n nk nn k πππ∑-==)22cos 22(cos2sin2122112n k n k nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222n n n n πππ--=故)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sinlim 222112n n n nn k n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222n n n n n πππ--=→∞nn n n n 2sin 2)1(sin2lim22πππ-=→∞n n n n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π= Step 2因222)12(cosn k nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21n n k nnk πππ∑=-=])1(sin [sin2sin212222nk n k nnk πππ--=∑= 2222sin 2sinsin n n n n πππ-=2222sin 2)1(sin 2)1(cos nn n n n πππ-+=因此∑-=112sin n k n k nk π211222sin sin 22sin 21n n k n k n n k πππ∑-== ]2)12(cos 2)12(cos [2sin 212112112n k n k n k n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21222112n k n k n k n k nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21n k n n n n n n n nn k ππππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21n k n n n n nnnk ππππ(*) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21nn n n n n n n n n n ππππππ 于是∑-=→∞112sin lim n k n n k nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim nn n n n n n n n n n n ππππππ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（ ）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n n n n n ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222y x a z ---= 的上侧, 0>a .解 记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz ⎰⎰⎰Ω+++=dxdydz a z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydz a z )32(⎰⎰⎰≤+---+=2222220)32(a y x y x a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[a y x y x a dxdy az z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222a y x dxdy y x a a y x a ⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(ar r r r a a r a⎰-++-=a r r r a a r a 02222d )3(2π ⎰-++-=ar r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(a u u a a u a π223222)(42a u a a uu a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 227333a a a πππ-=+-=3．现 设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解 设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbVπ+=， 则2322242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV V h ， 因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Vab a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.4．已知 x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f 解 因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin 1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ 令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t tt t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222⎰+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(222 ⎰+-=t tt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(222222⎰-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222 ⎰-+++=t t t t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t t t t tt tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424 令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122u u u u u u ⎰-+++=v v v v v v d )233(212222⎰+-++=v v v v v v d )323(122222 令)()323(1222v R vAv v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v v vv v x f ⎰+-+=323d 324ln 622v v vv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v v C v v +-+=32231arctan 3221924ln 62C v v +-+=2213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C x x +-+++=221)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222ππ 二、（10分）求下列极限1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e n n n n )11(lim解 设xx x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim010x f x e x x xx '=-+→→)()(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 20x x x x x x f x x +++-=→→20)1ln()1(limx x x x e x ++-=→22)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→2．nnn n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c 解 因300ln 3ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故 原式=333lim)13(1lim 10003lim abc ee c b a x c b a c b axxxx x x x x x x xx xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (sin lim 220++→ 解 设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 111lim220020-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x xx x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x1cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 411--=→t f t f t )1(41f '=21= 四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→yy x x xf y 0d )(1lim.解 令⎰=xt t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim0000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→y yy y y y y x x G x xG yx G x y x x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→yy x x G yy G ⎰+∞→-=yy x x G y A 0d )(1lim 0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证 （1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=x x xe x f e --+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1)1()1(n n n f 条件收敛. 证 因 0)(lim>=→a xx f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2)(aa x x f <-因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，nn f a 1)1(2<，n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞=-1)1()1(n n n f 发散.下证原级数收敛：由0)(lim0>=→a xx f x 知，0)(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，0)(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a xx f x f x f f x x由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0x f f a x '='=→，因此存在一个正数η，使得当η<-0x 时，有2)(aa x f <-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η1>n 时，)1()11(n f n f <+，且0)0()1(lim ==∞→f nf .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.综上可知，原级数条件收敛.六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根. 证 记!!2!11)(2n t t t t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n t t t e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n t t t r e nx 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn t n n tt t r e n t t r e ,2d )()(0nt t p e n nn t -=⎰-ψ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=202220d )(d )(d )(2d ))(1(n nn n t n t n n n t n n t tt p e t t r e tt p e nt t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(n n n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1nnn nt t t n t p e t e e n ξ ⎰⎰+-++-=+---202022d ))2((d )!1(1nnn nt nt t t n t r e e t e e n ξ ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121nnnnt t t e e n t e e n n ξξ ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n nt t t e e n t e e n n ξξ ⎰-+->202d )!1(22n nt t e e n n []202)!1(22nt ne e n n -++= )1()!1(222-+-=ne n n )!1(2)!1(222+++-=n n e n n )!1(22)!1(2222+-=+->n en n e n n n012>->n（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()⎰⎰-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t te t t t e F ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(2111>-=--+-=--ee e 031)2(>->eψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e e ψ 01232452!522)4(2>->->->e e e ψ,0122212e e 12)(>->++->n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解 不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（， 若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。

2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 化简三角有理式xx x x x x x x 22662244cossin2cos sincossin sincos ++++的值为（ ）A. 1B. sin cos x x +C. sin cos x xD. 1+sin cos x x2．若2:(1)30,:2p x x x q x +++≥≥-，则p 是q 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或 4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知O P =a，O Q =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ） A ．132k r -±==B ．1313,22k r ±±==C ．132k r ±==D ．1313,22k r -±-±==5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105° 6．设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ）A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b > 7．若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ ）A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项 8．设()cos5x f x =，12111(log ),(log ),(log )eea fb fc f eπππ===，则下述关系式正确的是（ ）。

评分通则1.凡要求计算或推导的，必须示出计算或推导过程。

没有计算或推导过程，即使结果正确也不得分。

2.有效数字错误，扣0.5分，但每一大题只扣1次。

3.单位不写或表达错误，扣0.5分，但每一大题只扣1次。

4.只要求1个答案、而给出多个答案,其中有错误的，不得分。

5.方程式（不是反应式！）不配平不得分。

6.用铅笔解答（包括作图）无效。

7.使用涂改液涂改的解答无效。

8.不包括在标准答案的0.5分的题，可由省、市、自治区评分组讨论决定是否给分。

9．答案中红色字为标准答案，而蓝字体（加下划线）为注释语不属于答案。

气体常数R＝8.31447 J K-1 mol-1 法拉第常数F＝96485 C mol-1 阿佛加德罗常数N A＝6.022142×1023 mol-1第1题(15分)1-1 2009年10月合成了第117号元素，从此填满了周期表第七周期所有空格，是元素周期系发展的一个里程碑。

117号元素是用249Bk轰击48Ca靶合成的，总共得到6个117号元素的原子，其中1个原子经p次α衰变得到270Db后发生裂变；5个原子则经q次α衰变得到281Rg后发生裂变。

用元素周期表上的117号元素符号，写出得到117号元素的核反应方程式（在元素符号的左上角和左下角分别标出质量数和原子序数）。

每式1分，画箭头也得 1分。

两式合并为 23n +Uns 5+Uns =Bk 6+Ca 629397294117249974820也得满分。

（2分）（3分）1-3 一氯一溴二(氨基乙酸根)合钴(III)酸根离子有多种异构体，其中之一可用如下简式表示。

请依样画出其他所有八面体构型的异构体。

第2题 (5 分) 最近我国有人报道，将0.1 mol L -1的硫化钠溶液装进一只掏空洗净的鸡蛋壳里，将蛋壳开口朝上，部分浸入盛有0.1 mol L -1的氯化铜溶液的烧杯中，在静置一周的过程中，蛋壳外表面逐渐出现金属铜，同时烧杯中的溶液渐渐褪色，并变得混浊。

第3届罗马尼亚大师杯数学竞赛试题及解答第一天2010年2月26日(9：30-14：00)，布加勒斯特每题7分，共21分1. 对一个由有限个素数组成的集合P ，用)(P m 表示具有下述性质的连续正整数的个数的最大值：这些连续正整数中的每个数都能被P 中的至少一个元素整除.(1) 证明：)(|P |P m ≤，等号当且仅当||min P P >时取到.(2) 证明：)12)(1|(|)(||-+<P P P m .这里|P|表示集合P 的元素个数.解答：设1<p 1<p 2<…<p k 是P 中的元素，则k=|P|≥1.(1) 由中国剩余定理可知：存在正整数a,使得a ≡-i(mod p i ),即p i |a+i,因此，存在k 个连续正整数a+1,…,a+k,它们具有题中性质,从而m(P)≥k.注意到，当minP>k 时,对P 中的每个元素而言，任意连续k+1个正整数中至多有一个是其倍数，但由抽屉原则可知，任意具有题中性质的连续k+1个正整数中应有两个数同时是P 中某个数的倍数。

因此，此时m(P)=k. 另一方面，当minP ≤k 时，再次运用中国剩余定理，对1,2,…,k 的任意一个排列r 1,…,r k ,都存在正整数a,使得a ≡-r i (mod p i ),特别地，设r 1≡k+1-p 1,则数a+1,…,a+k;a+k+1符合要求，这时m(P)>k. 综上可知，(1)成立。

(2) 只要证在连续()()121-+k k 个正整数中，必有一个数与k p p p ,,,21 互质。

设A 是P 的一个子集，A T 是这连续()()121-+k k 个正整数中满足其为A 中每个数的倍数的数的集合。

设()()121-+=k k m ，由容斥原理，这些数中与k p p p ,,,21 互质的数的个数为()A APA T ⋅∑⊆1-。

我们只要证明()01->⋅∑⊆A APA T 。

\A 题 储油罐的变‎位识别与罐‎容表标定通常加油站‎都有若干个‎储存燃油的‎地下储油罐‎，并且一般都‎有与之配套‎的“油位计量管‎理系统”，采用流量计‎和油位计来‎测量进/出油量与罐‎内油位高度‎等数据，通过预先标‎定的罐容表‎（即罐内油位‎高度与储油‎量的对应关‎系）进行实时计‎算，以得到罐内‎油位高度和‎储油量的变‎化情况。

许多储油罐‎在使用一段‎时间后，由于地基变‎形等原因，使罐体的位‎置会发生纵‎向倾斜和横‎向偏转等变‎化（以下称为变‎位），从而导致罐‎容表发生改‎变。

按照有关规‎定，需要定期对‎罐容表进行‎重新标定。

图1是一种‎典型的储油‎罐尺寸及形‎状示意图，其主体为圆‎柱体，两端为球冠‎体。

图2是其罐‎体纵向倾斜‎变位的示意‎图，图3是罐体‎横向偏转变‎位的截面示‎意图。

请你们用数‎学建模方法‎研究解决储‎油罐的变位‎识别与罐容‎表标定的问‎题。

（1）为了掌握罐‎体变位后对‎罐容表的影‎响，利用如图4‎的小椭圆型‎储油罐（两端平头的‎椭圆柱体），分别对罐体‎无变位和倾‎斜角为α=4.10的纵向‎变位两种情‎况做了实验‎，实验数据如‎附件1所示‎。

请建立数学‎模型研究罐‎体变位后对‎罐容表的影‎响，并给出罐体‎变位后油位‎高度间隔为‎1cm 的罐‎容表标定值‎。

（2）对于图1所‎示的实际储‎油罐，试建立罐体‎变位后标定‎罐容表的数‎学模型，即罐内储油‎量与油位高‎度及变位参‎数（纵向倾斜角‎度α和横向偏转‎角度β ）之间的一般‎关系。

请利用罐体‎变位后在进‎/出油过程中‎的实际检测‎数据（附件2），根据你们所‎建立的数学‎模型确定变‎位参数，并给出罐体‎变位后油位‎高度间隔为‎10cm 的‎罐容表标定‎值。

进一步利用‎附件2中的‎实际检测数‎据来分析检‎验你们模型‎的正确性与‎方法的可靠‎性。

附件1：小椭圆储油‎罐的实验数‎据 附件2：实际储油罐‎的检测数据‎油油浮子出油管油位探测装‎置注油口 检查口地平线 2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面‎示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向‎倾斜变位后‎示意图油油浮子出油管油位探测装‎置注油口 检查口水平线(b) 小椭圆油罐‎截面示意图‎α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm ‎0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐‎正面示意图‎图4 小椭圆型油‎罐形状及尺‎寸示意图图3 储油罐截面‎示意图（b ）横向偏转倾‎斜后正截面‎图地平线β地平线垂直‎线油位探针（a ）无偏转倾斜‎的正截面图‎油位探针油位探测装‎置地平线油3m油B题2010年‎上海世博会‎影响力的定‎量评估2010年‎上海世博会‎是首次在中‎国举办的世‎界博览会。

中原工学院第一届大学生程序设计竞赛正式比赛试题主办：中原工学院教务处学生处校团委计算机学院承办：中原工学院计算机学院地点：计算机学院实验中心406实验室时间：2010年4月11日【试题一】兔子【题目描述】兔子具有很强的繁殖能力。

一对成年兔子每个月可以繁殖一对小兔子，而一对小兔子经过m个月之后，就会长成一对成年兔子。

通过分析，我们可以看出：若m=2的时候，每个月兔子的对数构成了一个Fibonacci数列。

但是，若m<>2，这个问题看起来就不那么简单了。

你的任务是计算：假定初始只有一对兔子，那么，经过d个月之后，共有多少对兔子？可以假定，在此阶段没有任何兔子死亡。

【输入】输入包括多组测试数据。

每组测试数据的一行中包括2个整数m(1<=m<=10)，d(1<=d<=30)。

当测试数据遇到一行中有两个0时，即m=d=0，测试数据结束。

【输出】针对每组测试数据，在每一行输出经过d个月后共有多少对兔子。

【输入样例】2 33 50 0【输出样例】59【试题二】网页浏览器【题目描述】Mozilla Firefox是一个自由的，开放源码的网页浏览器，适用于Windows, Linux 和MacOS X等平台。

Firefox火狐校园大使是Mozilla开源社区项目的一部分，针对在校的高年级本科生和研究生以及众多技术爱好者，在校园中推广开源项目和开放技术，让更多的开发人员受益于Mozilla的开放技术和免费资源。

你很荣幸得到了这样一个机会，为Firefox编写一个重要的导航模块。

正如上图所示，导航模块要接受用户的后退、前进、进入用户输入的网址以及清空浏览记录等操作。

【输入】为了简化问题，用户所有的操作都以字符的形式从标准输入读入。

每一行描述一个操作，各操作的格式和功能如下所示：操作功能back 如果当前页面不是第一个页面，则跳到到前一个页面，并输出这个页面的网址forward 如果当前页面不是最后一个页面，则跳到到后一个页面，并输出这个页面的网址url 网址跳转到用户输入的网址（网址不含空格）clear 清空浏览记录（当前页面除外）exit 退出浏览器浏览器启动时默认进入中原工学院的主页” ”【输出】对于每一个需要输出网址的操作，输出对应的网址。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2010年上海世博会影响力的定量评估【摘要】世博会作为重大事件对举办城市的影响一直受到人们的关注，它规模庞大以致于影响整个国家的政治、经济、文化、科技，并在全球中引起巨大的反响。

因而定量分析上海世博会的影响力，应该说有重要的意义。

首先确定上海世博会影响力的指标，可从政治、经济、文化、科技等方面选择，但考虑到数据的可获得性和问题的复杂性，下面主要从旅游方面来定量分析，选择了国际旅游入境人数、国内旅游人数、总的旅游人数、国外旅游收入、国内旅游收入，外加GDP 和建筑业共七个指标，并利用互联网收集了上海市相应指标的数据，再利用统计分析拟合得到上海市各指标的趋势线方程，根据趋势线方程预测2010年上海市各指标的理论值i SL ；比较上海世博会1-7月的实际数据i SS ；最后求上海市各指标的贡献率i α和各指标的影响力i β分别是：对上海生产总值、旅游总人数、国内旅游人数、入境旅游人数、国内旅游收入、入境旅游收入、建筑业的贡献率分别为20.2647%、 7.85%、66.9%、3.95%、6.0626%、42.61%、2.61%，及相应的影响力为0.168501、0.072823、0.40095、0.037996、1.53975、0.977067、0.026789。