概率论与数理统计作业11

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的； （2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N --由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.取出一球，若发现这球为白球，试求箱【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0，a ]【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，CP （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

02197概率论与数理统计一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

） 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为 【 B 】A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B ．{ (反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}C ．{一次正面，两次正面，没有正面}D ．{先得正面，先得反面}2. 设A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >则有 【 D 】A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P AB =D. ()()()P AB P A P B =+3. 若φ≠AB ，则下列各式中错误的是 【 C 】A ．0)(≥AB PB.1)(≤AB PC. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A-B)≤P(A)4. 若A B ⊂，则下面答案错误的是 【 A 】A. B 未发生A 可能发生B. ()B-A 0P ≥C. ()B P A P ≤)(D. B 发生A 可能不发生5. 袋中有a 个白球,d 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 【 C 】A.21B. 1a d +C. a a d +D. da d + (c5)6. 设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是【 C 】 A.C AUB 与 B. B A -与C(B5)C. C AC 与D. C AB 与 7. 设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则 【 D 】A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独立D. A 与B 独立8. 四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译的概率为【 D 】A. 1B. 21(B8\c8)C. 52D. 329. 已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为 【 B 】A.81B. 83C. 85D.87 10. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为【 B 】A.2-e B.251e -C.241e-D.221e-. 11. 设),4,(~μN X 则 【 C 】A.)1,0(~4N X μ-B.21}0{=≤X PC.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ12. 设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 。

习题一1. 设Ａ、Ｂ与Ｃ为三个事件，试用Ａ、Ｂ与Ｃ表示下列各个事件:(1) 只有Ａ出现; (2) 只有Ａ不出现; (3) 至多一个事件出现; (4) 至少一个事件出现;(5) 恰好一个事件出现。

2. 在某系的学生中任选一人，设Ａ＝{被选出的是男学生}，Ｂ＝{•被选出的是一年级学生}，Ｃ＝{被选出的是田径运动员}; 试回答下列各个问题:(1) 事件ＡＢC的含义; (2) 事件ABC的含义; (3) 事件A B C的含义; (4) ＡＢＣ＝Ｃ的条件。

3. 可上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权，方法是两选手分别猜{•正面朝上} 或{反面朝上}，根据上抛的结果，猜中的选手先发球，试说明此方法的公平性。

4. 上抛两枚硬币，若Ａ＝{有一枚正面朝上}，Ｂ＝{有两枚正面朝上}，Ｃ＝{至少有一枚正面朝上}，试求Ｐ(Ａ)、Ｐ(Ｂ)与Ｐ(Ｃ)。

5. 丢掷一粒骰子，若Ａ＝{1， 3， 5}，Ｂ＝{朝上的点数不超过5}，Ｃ＝{朝下的点数为素数}，试求Ｐ(Ａ)、Ｐ(Ｂ)与Ｐ(Ｃ)。

6. 丢掷两粒骰子，若Ａ＝{朝上的点数之和恰好是9}，Ｂ＝{朝上的点数之和超过4}，试求Ｐ(Ａ)与Ｐ(Ｂ)。

7. 口袋中有4个红球3个白球，如果(1) 从中任取一球，求取得红球的概率; •(2) 从中任取两球，求取得一个红球一个白球的概率。

8. 口袋中有4个红球3个白球，如果用取后放回的方法，每次取一个，共取两次，Ａ＝{两次都取红球}，Ｂ＝{第二次取出红球}，Ｃ＝{先取出红球后取出白球}， D＝{两次取出红球、白球各一个}，试求这四个事件的概率。

9. 若正方形由x轴、y轴、直线x＝1和 y＝1 所围成， •正方形内部的点坐标为(x， y)且Ａ＝{x＋y< 1/2}，Ｂ＝{x＋y > 1/2 且x< 1/2， y< 1/2}，Ｃ＝{ y< x２}，试求这三个事件的概率。

10. 某棉麦连作地区，因受气候条件的影响，棉花减产的概率为0.08，小麦减产的概率为0.06，棉麦都减产的概率为0.04，试求(1)•棉花和小麦至少有一样减产的概率， (2) 棉花和小麦至少有一样不减产的概率，棉花和小麦都不减产的概率。

概率论与数理统计练习题——————————————————————————————————1．事件,,A B C中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A) ABC ABC ABC ABC (B) AB AC BC(C) ABC ABC ABC (D) A B C2．事件,A B至少有一个事件发生的事件是( ).(A) AB (B) A B (C) AB AB (D) AB3．事件,,A B C同时发生的事件是( ).(A) ABC (B) AB AC BC(C) ABC (D) A B C ——————————————————————————————————4．已知事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=, 则P(A∪B)= ( ).(A) (B) (C) (D) .5．已知P(A)=, P(B)=, P(A∪B)=, 则P(AB)=( ).(A) (B) (C) (D) .6．已知P(A∪B)=, P(B)=, P(AB)=, 则P(A)=( ).(A) (B) (C) (D) ——————————————————————————————————7．某办公室有10名员工分别编号从1到10任意选3人记录其号码则最小号码为5的概率为（）(A)112(B)120(C)15(D)168．设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取2件则其中无次品的概率为（）(A)110(B)910(C)198245(D)992459．从1～9九个数字中 任取3个排成一个三位数则所得三位数为偶数的概率是（ ）(A) 49(B) 59(C) 13(D)19——————————————————————————————————10．已知P(A)=, P(B)=, P(AB)=, 则P(A ︱B)=( ). (A)(B)(C) 08 (D) 11．设P (A )05P (B )06P (B |A )08则P (AB )( ).(A)(B)(C) (D)12．设P (A )05P (B )06P (B |A )08则P (A ∪B )( ).(A)(B) (C)(D)——————————————————————————————————13．已知事件A 与B 相互独立，P(A)=, P(B)=, 则P(AB)= ( ).(A)(B)(C)(D)14．已知事件A 与B 相互独立，P(B) =, P(AB) =, 则P(A)= ( ).(A)(B)(C) (D)15．设1()3P A =,1()2P B =，且A 与 B 相互独立 则P (A ∪B )( ).(A)13 (B)12(C)23(D)56.——————————————————————————————————16．对于任意两个事件A B有P (AB )( )(A).P(A )P (B ) (B).P (A )P (B )P (AB )(C).P (A )P (AB )(D).()()-()P A P B P AB +17．已知P (A )=，()P AB =，则()P A B -=（ ）。

概率论与数理统计作业第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{}反正正、正反、反正、反=Ω{}正正、正反=A ,{}正正=B ,{}正正、正反、反正=C2.设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：（1）AB =∅，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P解:（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

103819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=⨯⨯+⨯+=++=∴++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥Θ如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

)|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++= 53314354415451=⨯⨯+⨯+=4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： （1）直到第r 次才成功；解:由于1122===⎰⎰+∞+∞∞-c dx x c dx x c ,故1=c 3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？解: (1)2304.04.06.0}2{3225===C X P(2)66304.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445=--==-=-=≥C X P X P X P(3)233532254154.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{C C C X P X P X P X P ++⋅==+=+==≤ =0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)98976.04.01}0{1}1{5=-==-=≥X P X P4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件A B C 分别表示甲 乙 丙击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E {事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时A B U 常记为A B +) 2. 设M 件产品中含m 件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只 计算以下事件的概率.A {8只鞋子均不成双},B {恰有2只鞋子成双},C {恰有4只鞋子成双}. ★4. 设某批产品共50件 其中有5件次品 现从中任取3件 求 (1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中 任取3个排成一个三位数 求(1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A {最小号码为5}, B {最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A ={全红}B ={颜色全同}C ={颜色全不同}D ={颜色不全同}E ={无黄色球}F ={无红色且无黄色球}G ={全红或全黄}.☆.某班n 个男生m 个女生(mn 1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0 1]线段上任取两点将线段截成三段 计算三段可组成三角形的概率. 第二次作业1. 设A B 为随机事件 P (A ) P (B ) (|)0.85P B A = 求(1)(|)P A B (2)()P A B ∪(1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=- (2)()()()()P A B P A P B P AB =+-U 0.920.930.8620.988.=+-= 2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件A {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B {(1,6),(6,1)}.★.在1—2000中任取一整数 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记事件A {能被5除尽}, B {能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = 3. 由长期统计资料得知 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15刮风(用B 表示)的概率为7/15 既刮风又下雨的概率为1/10 求P (A |B )、P (B |A )、P (AB )4 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率． 记事件i A ={第i 次落下时摔破}1,2,3.i =5 设在n 张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券}1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n -====-或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6 甲、乙两人射击 甲击中的概率为08 乙击中的概率为07 两人同时射击 假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2)甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率记事件A ={甲中靶}B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯= (2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7 袋中有a 个红球 b 个黑球 有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 (1)A {在n 次摸球中有k 次摸到红球}(2)B {第k 次首次摸到红球}(3)C {第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8一射手对一目标独立地射击4次 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率 设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-=9 设某种高射炮命中目标的概率为 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以的概率命中目标(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂L L L 只计算1次概率．(1,,n i i L 是1,,n L 的一个排列1,2,,.k n =L )分块概率重数为1,,k i i A A L 中任取1个-任取2个1(1)k -++-L 任取k 个即将,U I 互换可得对偶加法(容斥)公式☆.证明 若A B 独立 A C 独立 则A B ∪C 独立的充要条件是A BC 独立. 证明充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-U 代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C =U 即,A B C U 独立. 必要性:⇒()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1 在做一道有4个答案的选择题时 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 设他知道问题的正确答案的概率为p 分别就p 和p 两种情形求下列事件概率(1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件A ={知道问题正确答案}B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+当0.6p =时13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+== 当0.3p =时13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+==(2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2 某单位同时装有两种报警系统A 与B 当报警系统A 单独使用时 其有效的概率为 当报警系统B 单独使用时 其有效的概率为.在报警系统A 有效的条件下 报警系统B 有效的概率为.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统B 有效的条件下 报警系统A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率.(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U☆.为防止意外 在矿内同时设有两种报警系统A 与B 每种系统单独使用时 其有效的概率系统A 为0 92 系统B 为 在A 失灵的条件下 B 有效的概率为 求: (1)发生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下 A 有效的概率3 设有甲、乙两袋 甲袋中有n 只白球 m 只红球 乙袋中有N 只白球 M 只红球从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少 记事件A ={从甲袋中取到白球}B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得☆.设有五个袋子 其中两个袋子 每袋有2个白球 3个黑球 另外两个袋子 每袋有1个白球 4个黑球 还有一个袋子有4个白球 1个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋 并从这袋中任取一球 求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋 并由其中任取一球 结果是白球 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少★4 发报台分别以概率06和04发出信号 “·” 及 “” 由于通信系统受到于扰 当发出信号 “·” 时 收报台分别以概率08及02收到信息 “·” 及 “” 又当发出信号 “” 时 收报台分别以概率09及0?l 收到信号 “” 及 “·” 求: (1)收报台收到 “·”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到 “·” 时 发报台确系发出信号 “·” 的概率(4)收到 “” 时 确系发出 “” 的概率记事件B ={收到信号 “·”}1A ={发出信号 “·”}2A ={发出信号“”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5 对以往数据分析结果表明 当机器调整良好时 产品合格率为90% 而机器发生某一故障时 产品合格率为30% 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75%(1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品 求机器调整良好的概率 记事件B ={产品合格}A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A) (B) (C)图如下 系统(A) (B)由4个元件组成 系统(C)由5个元件组成 每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常}B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+(B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得 第四次作业1 在15个同型零件中有2个次品 从中任取3个 以X 表示取出的次品的个数 求X 的分布律.☆.经销一批水果 第一天售出的概率是 每公斤获利8元 第二天售出的概率是 每公斤获利5元 第三天售出的概率是 每公斤亏损3元 求经销这批水果每公斤赢利X2 抛掷一枚不均匀的硬币 每次出现正面的概率为2/3 连续抛掷8次 以X 表示出现正面的次数 求X 的分布律.3 一射击运动员的击中靶心的命中率为 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数 写出X 的分布律 并计算X 取偶数的概率解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++B 偶 4 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率 (3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==:(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5 某汽车从起点驶出时有40名乘客 设沿途共有4个停靠站 且该车只下不上每个乘客在每个站下车的概率相等 并且相互独立 试求 (1)全在终点站下车的概率 (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率记事件A ={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==:(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==:2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!,nn n e ⎫⎪⎭其中 1.7724538509.π==参贝努利分布的正态近似6 已知瓷器在运输过程中受损的概率是 有2000件瓷器运到 求 (1)恰有2个受损的概率 (2)小于2个受损的概率 (3)多于2个受损的概率 (4)至少有1个受损的概率受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==:近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为的泊松分布 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品 求产品的合格品率产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭★8 设随机变量X求X 的分布函数 5),(||5).P X ≤ 随机变量X 的分布函数为 第五次作业1 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位 小时) 其密度函数是 试求 (1)系数k (2)X 的分布函数 (3)在15分钟内完成一道作业的概率 (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率 (1) 0.50.52320111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2 设连续型随机变量X 服从区间[a a ](a 0)上的均匀分布 且已知概率1(1)3P X >= 求 (1)常数a (2)概率1()3P X <(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3 设某元件的寿命X 服从参数为 的指数分布 且已知概率P (X 50)e4 试求(1)参数 的值 (2)概率P (25X 100)补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰@ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rx r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得其中 2.7182818284.e B4 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布 求 (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率 (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率 (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee-⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5 设X ~N (0 1) 求 P (X 061) P (262X 125) P (X 134) P (|X |213) (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ- (3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4 19) 设飞机上午10 10从甲地起飞 求 (1)飞机下午2 30以后到达乙地的概率 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午1 40至2 20之间到达乙地的概率 (1)131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭★7 设某校高三女学生的身高X ~N (162 25) 求 (1)从中任取1个女学生 求其身高超过165的概率 (2)从中任取1个女学生 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率 (3)从中任取6个女学生 求其中至少有2个身高超过165的概率 (1)162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-= ⎪⎝⎭(2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165} ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y :贝努利分布(6,0.2742),B n p == 第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为 (1)求Y |X |的分(2)求YX 2X 的分布律(1)(2)★.定理设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤ 两边对y 求导,2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥ 两边对y 求导,因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明两边对y 求导,或两边微分2 设随机变量X 的密度函数是f X (x ) 求下列随机变量函数的密度函数 (1)Y tan X (2)1Y X=(3)Y |X | (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y=+(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=-- 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+-> ★3 设随机变量X ~U [2 2] 求Y 4X 21的密度函数 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为或解 反函数支12()()x y x y ==★4 设随机变量X 服从参数为1的指数分布 求YX 2的密度函数(Weibull 分布) 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时, 两边对y 求导得或 反函数y x ='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5 设随机变量X~N (0 1) 求(1)Ye X 的密度函数 (2)YX 2的密度函数(Gamma 分布)(1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时, 因而Y 的密度为 或反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =->(2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y ==6 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 求Y ln X 的概率密度 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1 2 3 4 5的五个盒子中去 设X 为落入1号盒的球的个数 Y 为落入2号盒的球的个数 试求X 和Y 的联合分布律 1 袋中装有标上号码1 2 2的3个球 从中任取一个并且不再放回 然后再从袋中任取一球 以X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数 求 (1)(X Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3)X 与Y 是否独立 (1)(X Y )的联合分布律为(2) X Y 的分布律相同12(1),(2).33P X P X ==== (3) X 与Y 不独立2 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它 求(,)X Y 联合密度★3 设二维随机变量(X Y )服从D 上的均匀分布 其中D 是抛物线yx 2和xy 2所围成的区域 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数 并判断Y X ,是否独立分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y 两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q == ★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求(1)常数A (2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ) f Y (y ) (4)X 与Y 是否相互独立(1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Axe dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰(2) 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<(4)由23,11,0()()(,),20,yX Yx e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求(1)X 的密度(2) (,)X Y 的联合密度 (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f xy -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1 求函数(1)Z 1XY (2) Z 2min{X Y } (3) Z 3max{X Y }的分布律 (1)11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=(2)2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====2 设随机变量求函数Z X /Y 的分布律3 设X 与Y 相互独立 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求ZXY 的概率密度★4 设X ~U (0 1) Y ~E (1) 且X 与Y 独立 求函数ZXY 的密度函数 当01z <≤时 当1z >时 因此★5 设随机变量(X Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ) f Y (y ) (2)求函数U max (X , Y )的分布函数 (3)求函数V min (X , Y )的分布函数(1) 1,01,()10,x X e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,yY e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1x xx x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. (3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩@.6 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160 202)分布 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率随机变量2(160,20),X N :180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为 第九次作业★1.试求 E (X ) E (X 25) E (|X |)2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求 (1)常数A (2)X 的数学期望(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a b ]上均匀分布试求 (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π)(2)球的体积的数学期望(体积316D π)(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4.求E (X ) E (Y ) E (XY ) ★ 5. 设随机变量X 和Y 独立 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y + (2)求2()E X Y(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰或随机变量1Z Y =-:指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1.试求 (1) D (X ) (2) D (3X 2)(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求 (1)常数A (2)E (X ) (3) D (X ) (4) D (2X 3)(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3)22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★ 3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求 (1),X Y 的协方差和相关系数A (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<因此(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得 ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数 (1) X 的分布列为由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=g(2) Y(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑g(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P 随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得 第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大 掷1000次均匀硬币 出现正面的次数在400到600次之间出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 应用切比雪夫不等式有2. 若每次射击目标命中的概率为 不断地对靶进行射击 求在500次射击中 击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==★3. 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在( 上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -:10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N :(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1|n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝ 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于10的概率不小于★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于 正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25. ★5. 有一大批电子元件装箱运往外地 正品率为 为保证以的概率使箱内正品数多于1000只 问箱内至少要装多少只元件正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n == 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率.正面次数(40,1/2),X B n p ==:400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯=离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X << 第十二次作业★1. 设X 1 X 2 X 10为来自N (0 032)的一个样本 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iX N i =:由卡方分布的定义10222211~(10).0.3i i X χχ==∑略大卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1 X 2 X 3 X 4 X 5是来自正态总体X ~(0 1)容量为5的样本 试求常数c 使得统计量服从t 分布 并求其自由度由独立正态分布的可加性12(0,2),X X N +:标准化变量(0,1),U N =:由卡方分布的定义22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立由t 分布的定义(3),T t ===:因此c =自由度为3. ★3 设112,,,n X X X L 为来自N (1 2)的样本 212,,,nY Y Y L为来自N (2 2)的样本 且两样本相互独立 2212,S S 分别为两个样本方差 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+- 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得类似地222.ES σ=★4 设1,...,n X X 为总体2(,)N μσ的简单样本样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值()0.95.P X kS μ>+=统计量(1),X T t n =-:因此k = ☆.设正态总体2(,)N μσ的容量为12n =的简单样本为112,...,X X 样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值()0.95.P X kS μ>+=正态总体样本方差未知统计量(1),12.X T t n n =-=:★5 设N ( 2)的样本 记11nii X X n ==∑ 2211()1ni i S X X n ==--∑ 证明 T (1)t n - 证由独立正态分布的可加性21(,),ni i XN n n μσ=∑:211,,ni i X X N n n σμ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑:1n X +及2S 相互独立()2110,n n X X N nσ++-:和2S 独立标准化变量(0,1),U N =:2222(1)~(1),n S n χχσ-=-/,S σ=由t 分布的定义第十三次作业★1 设总体的密度函数为22(),0,(;)0,x x f x αααα-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求参数α的矩估计总体期望23220002()2(;),33x x x EX xf x dx x dx ααααααααα⎛⎫-==⋅=-= ⎪⎝⎭⎰⎰3,EX α= 用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EXX =得α矩估计为ˆ3.X α= ★2 设总体的密度函数为1(1)(1),01(;)0,x x x f x θθθθ-⎧+-<<=⎨⎩其他 求参数 的矩估计总体期望解得2,1EX EX θ=-用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EX X =得 矩估计为2ˆ.1X Xθ=- 3 设总体的密度函数为||1(;),2x f x e x σσσ-=-∞<<+∞ 求参数 的最大似然估计似然函数1111()(;)exp ||,2nn i i n n i i L f x x σσσσ==⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏取对数得对数似然函数11ln ()ln 2ln ||,ni i L n n x σσσ==---∑令21ln ()1||0,ni i L n x σσσσ=∂=-+=∂∑ 解得σ的最大似然估计为11ˆ||.nL i i x n σ==∑ 4 设总体的密度函数为222,0(;)0,0x x e x f x x θθθ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩求参数 的最大似然估计 似然函数2122111()(;)exp ,ninn i i i ni i xL f x x θθθθ===⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∏∑∏取对数得对数似然函数22111ln ()ln 2ln ,nn i i i i L x n x θθθ===--∑∑令231ln ()220,n i i L n x θθθθ=∂=-+=∂∑ 解得θ的最大似然估计为ˆLθ= ★5 设总体X 的均值和方差分别为与 2 X 1 X 2 X 3是总体的一个样本, 试验证统计量(1)112311ˆ4412X X X μ=++; (2)2123111ˆ333X X X μ=++; (3)3123311ˆ882X X X μ=++均为 的无偏估计量, 并比较其有效性(1)1123123111111ˆ.442442E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (2)1123123111111ˆ.333333E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (3)1123123311311ˆ.882882E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ 因此123ˆˆˆ,,μμμ均为μ的无偏估计量 由独立变量方差的可加性因此无偏估计量123ˆˆˆ,,μμμ中2ˆμ最有效,1ˆμ比3ˆμ有效 ★7. 设2ˆθ为 2的无偏估计, 且ˆ()0D θ>, 试证ˆθ不是 的无偏估计 反之, 若ˆθ为 的无偏估计, ˆ()0D θ>, 则2ˆθ也不是 2的无偏估计证(1) 22ˆ,E θθ=2222ˆˆˆˆ0,D E E E θθθθθ=-=->22ˆˆ,,E E θθθθ<≠得ˆθ不是 的无偏估计(2) ˆ,E θθ=222222ˆˆˆˆˆ0,,D E E E E θθθθθθθ=-=->>得2ˆθ不是2θ的无偏估计 8设$$12,θθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量,且$$124D D θθ=,找出常数12,k k ,使$$1212k k θθ+也是θ的无偏估计量,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小.$$$$1212121212()()E k k k E k E k k θθθθθθ+=+=+=,121k k +=,$$$$$222212122121212()(4)D k k k D k D k k D θθθθθ+=+=+,121222121,0,1,min{4}.k k k k s k k +=≤≤⎧⎨=+⎩ 求最小值得1214,55k k ==,4min 5s =,$$$121124min ().5D k k D θθθ+=第十四次作业★1. 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径X 可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个, 测得直径(单位:mm)为, , , , ,若已知总体方差为, 试求平均直径的置信区间.(置信度为 若总体方差未知, 试求平均直径的置信区间.(置信度为 (1)μ的置信区间中心当20.06σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长为 因此μ的0.95置信区间为(2) 样本方差2211()0.051,1ni S X X n =-=-∑ μ的95.01=-α置信区间半长为因此μ的0.95置信区间为★2. 为了解某型号灯泡使用寿命X (单位:小时)的均值μ和标准差 今测量10只灯泡 测得1500x = S20 若已知X 服从正态分布N ( 2), 求 (1)置信度为的总体均值 的置信区间 (2)置信度为的总体方差2的置信区间(1) 置信区间半长/20.025( 2.262 6.32214.3,t n t α-==⨯= 当2σ未知时,μ的95.01=-α置信区间为(2) 已知参数2210,20,0.10,n S α===上侧分位数为 置信区间两端(下限,上限)为因此灯泡使用寿命方差2σ置信度为10.90α-=的置信区间为★3. 对方差220σσ=为已知的正态总体 问须抽取容量n 为多大的样本, 方能使总体均值 的置信度为1的置信区间的长度不大于L总体均值μ的置信区间长度为/22,u L α≤取220/224n u L ασ≥的整数 ★4 已知某种元件的寿命X ~N ( 2) 现随机地抽取10个试件进行试验, 测得数据如下82, 93, 57, 71, 10, 46, 35, 18, 94, 69. (1)若已知 3, 求平均抗压强度 的95%的置信区间(2)求平均抗压强度的95%的置信区间 (3)求 的95%的置信区间 (1)μ的置信区间中心当223σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长/2 1.96 1.861,u α==因此μ的0.95置信区间为(2) 上侧分位数220.02510.025(9)19.023,(9) 2.700,χχ-== 样本方差σ的10.95α-=的置信区间两端(下限,上限)为因此元件寿命标准差σ的0.95置信区间为★.两正态总体均值差21μμ-的1α-置信区间．当22212σσσ==未知时 由于22,,,x y X Y S S 相互独立构造服从分布(2)t m n +-的统计量(枢轴量) 记222(1)(1)2x ywm S n S S m n -+-=+-，则21μμ-的二样本t 置信区间为★5 随机地抽取A 批导线4根 B 批导线5根 测得起电阻为(单位 欧姆)A B设测得数据分别服从正态分布N (1 2) N (2 2) 且它们相互独立 1 2 均未知 求12的95%的置信区间上侧分位数20.025(2)(7) 2.3646,t m n t α+-==当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为 21μμ-的95.01=-α置信区间为★6 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值米, 样本标准差0.4米. 求 (1)两正态总体均值差的95%的置信区间 (2)两正态总体方差比的95%的置信区间 (1) 分位数20.025(2)(18) 2.1009,t m n t α+-==当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为 21μμ-的95.01=-α置信区间为★(2)两正态总体(期望未知)的方差比2212/σσ的1α-置信区间．由于22111(1)/n S σ-~21(1),n χ-22222(1)/n S σ-~22(1),n χ-且2212,S S 独立,构造统计量(枢轴量) 2211122222~(1,1),S F F n n S σσ=-- 对给定的置信度α-1,由其中/2211/2121(1,1),(1,1)F n n F n n αα-=---- 因此2212/σσ的α-1置信区间为第十五次作业★1 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N ( 2) 40cm/s, 2cm/s 现在用新方法生产了一批推进器 从中随机抽取25只 测得燃烧率的样本均值为X s 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s 问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显着的改变取显着性水平 1).提出原假设及备择假设.0010:40;:.H H μμμμ==≠ 2).选取统计量并确定其分布.~(0,1).X U N =3).确定分位数及拒绝域.上侧分位数0.025 1.96,u =拒绝域{|| 1.96}.W U =≥4).计算统计量的观测值并作出统计推断.因此拒绝原假设,认为在显着性水平0.05α=下,推进器的燃烧率显着改变.★2 某苗圃规定平均苗高60(cm)以上方能出圃 今从某苗床中随机抽取9株测得高度分别为 62 61 59 60 62 58 63 62 63 已知苗高服从正态分布 试问在显着性水平 下 这些苗是否可以出圃 1).原假设及备择假设0010:60;:.H H μμμμ≥=< 2).取统计量(8).X T t =: 3).上侧分位数0.05(8) 1.8595,t =得拒绝域(, 1.8595).W =-∞-4).由样本计算得61.11,X=0,.T T W S ==>∉因此接受原假设0,H 即认为在显着性水平0.05α=下,这些苗可以出圃.★3 5名测量人员彼此独立地测量同一块土地 分别测得这块土地面积(单位 km 2)为, , , ,算得平均面积为 设测量值总体服从正态分布 由这批样本值能否说明这块土地面积不到(1).原假设及备择假设0010: 1.25;:.H H μμμμ≥=< 2).取统计量(4).X T t =:3).上侧分位数0.05(4) 2.1318,t =得拒绝域(, 2.1318).W =-∞-4).样本方差为2211()0.00123,1ni S X X n =-=-∑0.035,S = 统计量的实现值为因此接受原假设0,H 认为在显着性水平0.05下,这块土地面积达到. ★4 设某电缆线的抗拉强度X 服从正态分布N (10600 822) 现从改进工艺后生产的一批电缆线中随机抽取10根 测量其抗拉强度 计算得样本均值x 10653 方差S 26962 当显着水平时 能否据此样本认为(1)新工艺下生产的电缆线抗拉强度比过去生产的电缆线抗拉强度有显着提高 (2)新工艺下生产的电缆线抗拉强度的方差有显着变化 (1)提出原假设及备择假设.0010:10600;:.H H μμμμ≥=< 选取统计量并确定其分布.(9).X T t =: 确定分位数及拒绝域.0.05(9) 1.8331,t =得拒绝域(, 1.8331).W =-∞- 计算统计量的观测值并作出统计推断.因此接受原假设,认为在显着性水平0.05α=下,新工艺电缆抗拉强度比过去工艺有显着提高.(2)提出原假设及备择假设222220010:82;:.H H σσσσ==≠ 在原假设成立的前提下,构造统计量2222(1)~(9).n S χχσ-=确定上侧分位数2210.0250.025(9) 2.700,(9)19.023,χχ-==得拒绝域 计算2χ统计量的观测值并作出统计推断因而接受原假设0,H 即认为新工艺下的电缆抗拉强度的方差无显着变化.★5 设某涤纶强度X ~N ( 2) 用老方法制造的涤纶强度均值是 标准差 现改进工艺后 从新生产的产品中随机抽取9个样品 测得起强度如下在显着性水平0.05α=下,涤纶强度的均值和标准差是否发生了改变 (1)提出原假设及备择假设.0010:0.528;:.H H μμμμ==≠ 选取统计量并确定其分布.~(0,1).X U N =确定分位数及拒绝域.上侧分位数0.025 1.96,u =拒绝域{|| 1.96}.W U =≥ 计算统计量的实现值并作出统计推断.样本均值为 统计量的实现值为因此接受原假设0,H 即认为在显着性水平0.05α=下,涤纶强度均值未改变.(2)提出原假设及备择假设222220010:0.016;:,H H σσσσ==≠ 在原假设成立的前提下,构造统计量2222(1)~(8).n S χχσ-=确定上侧分位数2210.0250.025(8) 2.180,(8)17.535,χχ-==得拒绝域计算2χ统计量的观测值并作出统计推断样本平方和样本偏差平方和 统计量的观测值因而接受原假设0,H 即认为涤纶强度的标准差未改变.★6 测定某饮料中糖份的含量 测得10个观察值的均值X %标准差S % 设饮料中糖份的含量服从正态分布N ( 2) 试在显着性水平下 分别检验(1) 0010:0.05%;:.H H μμμμ==≠ (2) 0010:0.04%;:.H H σσσσ==≠ (1)提出原假设及备择假设.0010:0.05%;:.H H μμμμ==≠ 选取统计量并确定其分布.~(1).X T t n =-。

第一阶段在线作业第1题1-设川与另互为对立事件，且* ? U) >0, P <B) >0,则下列各式中错误的是(P VA JP⑷=1申⑻ B.P (>4B) =P <A)B (B)屮C.F(AB) = 1D.P (AUB) =2您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：对立不是独立。

两个集合互补。

第2题2•设儿&为两个随机事件.且P U)>0,则P UU5U)=( 八A. P (AB)B.P (乂)4C P (B) D3您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A发生，必然导致和事件发生。

■3.下列各函数可作为随机变壘分市函曹时是(0<r<l(_1」工w -1；C.用兀-[1 r>l.X 2 0<XClj .J r>l.I <0;0 <x <1 ；zx>1.您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：分布函数的取值最大为1，最小为0.第4题4 .设随机变量X的概率密度次(|x|a 其他4c.2J!l JP{-i<z<i}=(DU您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：密度函数在【-1，1】区间积分。

第5题玄役岛B为陋机事件，P (B) Ah P (A|B) =1贝J必有( )束A. F(AUB)^F (A)B. A ziBC. P (A) =P (B) D・ P (AB) =F <A)-您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A答案，包括了BC两种情况。

第6题&将两封信ffi机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（）心C. 2!D当C：4!您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：古典概型，等可能概型，16种总共的投法。

第7题第9题7.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率沟轴 他连续射击直至倫中沟止，则射註 i ■燉沏3的概率是（ ）-您的答案：C题目分数：0.5 此题得分：0.5批注：几何概型，前两次没有命中，且第三次命中，三次相互独立，概率相乘。