静力学第三章力偶系

作用点：C处确定C点
由合力距定理 mB ( R ) mB (Q )
又 R P Q
RCB Q AB
AB AC CB代入
AC P 整理得： CB Q
② 两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P
方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处 （推导同上） CB Q CA P 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩 心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。P40
由于FO与FA组成一力偶，FB与F'A组成一力偶，故有
M1 2 FO FB FA 8 kN o r sin 0.5 sin 30
方向如图b)、c)所示。
四、空间力偶系的合成和平衡条件
• 1、空间力偶系：作用在物体同一平面的许多力 偶叫平面力偶系,……。 • 2、空间力偶系的合成：合成结果得到一个合力 偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶矩矢 的矢量和。 • 矢量式 • 解析式 • 3、空间力偶系的平衡条件
• 两个基本性质（P37~38） • 1、力对点矩矢的基本性质：作用于刚体上 二力对刚体产生的绕任一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢 等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。 • 2、合力矩定理：合力对任一点之矩矢等于 诸分力对同一点之矩矢的矢量和。
§3-2 力对轴的矩 定义： mz ( F )mO ( Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积 它是代数量，方向规定 + [证 ] –
mz ( F )mz ( Fxy )2OA'B'
由几何关系：
OABcos OA'B'
所以： 2OABcos 2OA'B'
即：
mO ( F ) cos m z ( F )
[mO ( F )] z mz ( F )
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这 力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的 关系。 又由于
mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶，其合力偶矩等于各力 偶矩的代数和。 3、平面力偶系平衡的充要条件是：合力偶矩等于零，或所有 各力偶矩的代数和等于零。即
m 0
i i 1
n
[例10]
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻四个
等直径的孔，每个钻头的力偶矩为 m m m m 15Nm 1 2 3 4 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
力偶对刚体的外效应只能使刚体产生转动。
2．力偶矩的概念？：力偶对刚体的转动效应用力偶矩表示。 在平面问题中，力偶矩是代数量。以符号M(F，F‘)表示，也可 简写成M，即 M＝±Fd 。 式中的正负号一般以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位为N· m。力偶矩的大小也可用力偶中的一个力为底 边与另一个力的作用线上任一点所构成的三角形面积的两倍表 示，即 M＝±2△OAB
②只要保持力偶矩大小和转向不
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。
变，可以任意改变力偶中力的大
小和相应力偶臂的长短，而不改 变它对刚体的作用效应。
三、平面力偶系的合成和平衡条件
1、平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系。 2、平面力偶系的合成：设有两个力偶(F1，F1′) (F2，F2′)
导槽对销子A的作用力FA和铰链O处的约束反力FO的作用。由 于力偶只能由力偶来平衡，因而FO与FA必组成一力偶，其FO 、FA大小相等，方向相反。圆轮受力图如图 b）所示。由力 偶系的平衡条件知
M 0
解得：
M1 FAr sin 0
M1 FA r sin
(2) 再以摇杆BC为研究对象。其上受有力偶矩M2及F‘A和铰链B
《工程力学》
第一篇：静力学
• 第三章 力偶系
– §3-1 力对点矩 – §3-2 力对轴矩 – §3-3 力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点矩
力对物体可以产生 移动效应—取决于力的大小、方向 转动效应—取决于力矩的大小、方向
一、力对点的矩
M O ( F ) F d
+
-
说明： ① M O ( F )是代数量（平面上）。
处的约束反力FB的作用。FB与F’A必组成一力偶，其FB、F‘A大小 相等，方向相反。摇杆BC受力图如图 c）所示。由力偶系的平 衡条件知 ：
M 0
r M 2 FA 0 sin
M1 FA 将 FA r sin 代入上式解得 M 2 4M1 8 kN m 。
[ 例 11] 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子 A放在摇
杆 BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1 ＝ 2kN·m，OA＝r＝0.5m。图示位置时OA与OB垂直， 30o ， 且系统平衡。求作用于摇杆 BC上力偶矩M2及铰链O、B处的约 束反力。
解
(1) 先选取圆轮为研究对象。圆轮受有力偶矩M1及光滑
？
mz ( F )mz ( Fz )mz ( Fxy )mO ( Fxy )
结论：力对平行它的轴的
矩为零。即力F与轴共面时，
力对轴之矩为零。
力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 [证] 由于 mO ( F ) 2AOB 面积 通过O点作任一轴Z，则：
mO ( F ) F d 2AOB 面积
如果r 表示A点的矢径，则：
mO ( F ) r F , mO ( F ) r F sin(r ,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。 两矢量夹角为
O
1 2
由于F Xi Yj Zk
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
RA P1 P2' ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
结论:
M m1 m2 mn mi
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有： N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
60 N B 300N 0.2
N A N B 300 N
1．力偶的概念：在日常生活和工程实践中，常见到作用在物体 上的两个大小相等、方向相反，而作用线不重合的平行力的作用
。如图 a)所示，汽车司机转动方向盘时，两手作用于方向盘的力
；或图 b)所示的钳工师傅用丝锥攻螺纹时，两手作用于丝锥铰杠 上的力等。两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
如图 (c)所示，记作(F，F‘)，力偶的两力之间的垂直距离d 称为 力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。由以上实例可知，
3、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面， 所以空间力偶矩必须用矢量表示。
力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。
二、平面力偶性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。？ ① 两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致
[证] 由合力投影定理有
od=ob+oc
M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R )2oADoAod
又∵ M o ( F1 ) 2oABoAob
mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )，证毕
§3.3
一、力偶与力偶矩
力偶系的合成与平衡
空间力偶是一个自由矢量（对刚体绕任意一点转动 效应相等）。？如何理解
性质3：平面力偶等效定理：作用在同一平面内的两个力偶， 只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此 等效。 [证] 设物体的某一平面上作 用一力偶(F，F ')
现沿力偶臂AB方向加一 对平衡力(Q，Q ')，
再将Q，F合成R，
my (F ) mx ( F ) mz ( F ) cos ， cos ， cos mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，
等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：
n
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
i mO ( F ) r F x X j y Y k z Z
r xi yj zk
( yZ zY )i ( zX xZ ) j ( xY yX )k [mO ( F )]x i [mO ( F )] y j [mO ( F )]z k
矢量积的解析式
② F↑,d↑转动效应明显。
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④ 单位N· m，工程单位kgf· m。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=F· d ,2倍⊿形面积。
在平面中：力对点的矩是代数量。
在空间中：力对点的矩是矢量？
矩矢三要素：强度、方位、转向？ [例] 汽车反镜的球铰链
Q ' ，F '合成R ' ，