关于高等数学函数的极限与连续习题及答案

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。

函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。

极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。

这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。

在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。

题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。

首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。

由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。

接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。

根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。

（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。

A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。

(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。

3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。

A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。

4．下列说法错误的是（ D ）。

A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。

5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。

A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。

6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。

A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。

7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。

A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。

9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。

A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。

10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。