双生素数对 N生素数对及哥德巴赫猜想论文

哥德巴赫猜想作者姓名：弯国强作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学E-mail ：**************摘 要：■1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和。

■2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

关键词：素数、素数的个数公式、素数对公式、哥德巴赫猜想 中图分类号：O156.1哥德巴赫猜想现代叙述：大致可以分为两个猜想：■1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；（欧拉命题）■2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

（哥德巴赫命题） 不难看出，哥德巴赫命题仅仅是欧拉命题的一个简单的推论。

哥德巴赫命题成立并不能保证欧拉命题的成立。

而欧拉命题却可以轻易推出哥德巴赫命题成立。

现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

证明哥德巴赫猜想成立实质上就是证明欧拉命题的成立。

为了方便，我们把两个奇素数之和叫做素数对。

例如：3+3；3+5；3+7。

3+5和5+3因为所含质数相同，加数位置不同，所以只算一个素数对。

哥德巴赫猜想证明的思路：首先要给出精确的质数的个数公式,这是证明哥德巴赫猜想的基础,没有质数的个数公式就不能很好地证明哥德巴赫猜想,因为离开了质数的个数公式,证明哥德巴赫猜想就是无源之水,就是空中楼阁;而这个问题理论上我们已经成功解决。

具体证明在《质数的个数公式》 定理1：（素数的个数公式）设n 为正整数，12,,m p p p ""为n 的前部素数，m 是前部质数的个数，那么所有不大于n 的素数的个数11()(1)1m m m mmi i j i j k i i j i j k i i n n n n n m n p p p p p p p π=<<<=⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+−+−++−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑∏"" 其次,要给出精确的哥德巴赫猜想公式,也就是不超过n 的偶数表示成素数对的公式——素数对公式,以及不超过n 的奇数表示成奇数组的公式——素数组公式,这是证明哥德巴赫猜想正确的关键。

孪生素数与哥德巴赫猜想的证明Twin prime number and the Goldbach conjecture certificateJiao Hongbin【】Be to apply the vegetable that the author plain establishes to differentiate between law mainly in culture, elementary coming to give a twin out a prime number certificate and Goldbach conjecture correctness having boundless multiple-twin proves that.在本文的论述过程中，除特别规定外，需作出的某些说明，以约定示之。

约定1：本文中所说的数（包括奇根与偶根）都是正整数；素数即质数；奇素数与奇合数都简称为素数与合数；数列是指无重复数的递增无穷正整数列；非负整数集记作N；正整数集记作N+；[X]表示不超过实数X的最大整数；a、b、m、n、u、au∈N+。

引言等差数列（A）：3，5，7，…，其通项公式可写为an=1+2n。

研究数列（A)，创立一种新的素数判定方法，给出孪生素数有无限多对的证明以及哥德巴赫猜想正确性的初等证明，就是本文的主要目的和任务。

本文的主要结果是数学四定理；1.定理1.6；2.定理2.3；3.定理3.13与3.14。

现论述如下：1 定理1.6的证明定义1.1 设数列（A）中的任一个奇数N=1+2n，则n=12（N-1）叫做奇数N的根，或简称为奇根。

记作奇根n或在十分明确的情况下就记作n。

由奇根n确定的奇数N也记作N（n)。

当N是素数时，n叫做素数N的根，或简称为素根。

记作素根n；当N是合数时，n叫做合数N的根，或简称为合根。

记作合根n。

全体奇根组成的数列：1，2，3，…叫做奇根列。

关于素数公式素数定理哥德巴赫猜的初等证明想[原创]2009.10.26山东省莱西市266618。

摘要:素数(亦称质数)，是数论领域极具神秘色彩的数，有关素数的数学难题，则是数论领域，最具挑战性的经典数学难题之一。

本文从最浅显的数学基础理论入手，通过对传统数学理论的继承与创新,采用新颖的数学思想和数学方法,从本质上揭示出了素数在正整数域中,分布变化的内在规律。

并简明的给出了“素数公式”；“准素数定理”以及“哥德巴赫猜想”的初等证明。

进而使得这门古老的数学基础理论----“数论”焕发出新的生机。

关键词：素数，素数公式，准素数定理，哥德巴赫猜想。

引言数论，是一门古老的数学学科分支，他是研究整数性质和相互关系的理论。

素数及其分布，则是数论领域最有趣的一大分支。

关于素数分布问题,可分为三种类型:一:怎样直接计算和表示出(某个、多个以及所有)素数。

亦即“素数公式”问题。

二:怎样得到和准确表示出给定正整数域中，素数的数量及其分布,亦即“准素数定理”问题。

三:怎样得到和表示出所给定正整数域中，具有某种特性的素数的数量及其分布规律.如: “孪生及比孪生素数问题”;“哥德巴赫猜想问题”，“勒让德猜想问题”等等。

对于素数这三个方面的问题,虽然世界上诸多数学精英做了大量的工作.发现并利用大筛法来获得素数,编制了庞大的素数表数据库。

但是,因所引用的基础的理论存在偏差,确切的说，是所引用定理的切于点不到位和不够精准。

所以导致了在理论层面上，不但没能证明出，表达给定整数域中，任意素数的表达式----素数公式；而且，也没能归纳出有关正整数域中，素数数量分布变化的表达式----准素数定理；因此，也就无法最终解决那些具有某种特性的素数，在正整数域中分布变化规律的诸多难题。

所以数百年来在数学界遗憾的错过了对一个极其重要的数学规律的发现及认知。

下面用初等数学方法对“素数公式”问题、“准素数定理”问题、“哥德巴赫猜想”问题、进行论证。

一：素数公式素数:是指在正整数域内，只能表示为1的整数倍数的数。

五年级数学日记300字相关作文
今天，我无聊的看着书。

忽然，我眼睛一亮，发现了一个十分有趣的词语：孪生素数猜想。

我十分好奇，也非常纳闷：什么是孪生素数猜想？于是，带着疑问，我来到了网上。

终于，在网上，我找到了答案。

原来，孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。

这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以被描述为“存在无穷个孪生素数”。

孪生素数即相差2的一对素数。

例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。

而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。

因此，孪生素数猜想是反直觉的。

由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。

有些人声称已经证明了孪生素数猜想。

然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。

原来，这就是孪生素数猜想呀！看来今天果然是“不虚此行”，终于又了解了一个新的知识点。

希望我以后还能了解更多，同时，我也要努力，争取早早证明孪生素数猜想。

关于孪生素数猜想的证明关于孪生素数猜想的证明Һ吴国胜㊀（安徽省电子器材公司，安徽㊀合肥㊀２３００６１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文的目的在于用筛法㊁解析方法等基础理论证明在自然数中存在无穷对孪生素数，并给出孪生素数分布的下界．ʌ关键词ɔ孪生素数猜想；定义及推论；误差值引㊀言两个相差２的素数称作一对孪生素数．在自然数中存在无穷对孪生素数的猜想是古希腊人提出来的，迄今大约有二千年的历史了，它和１７４２年德国人提出的Ｇｏｌｄｂａｃｈ猜想被人们喻为姐妹问题．德国杰出的数学家Ｈｉｌｂｅｒｔ１９００年在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上提出二十三个著名问题，孪生素数猜想是其中第八个问题的一部分．本文的目的在于对以下定理给出详细证明．定理命ω（ｘ）表示不超过ｘ的孪生素数组数，对于充分大的Ｎ，存在无穷多个整数点Ｍｉɪ［Ｎ，＋ɕ），有ω（Ｍｉ）ȡ０．３７Ｍｉｌｎ２Ｍｉ．有简单推论，对于任意ｘȡＮ，总有ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２．孪生素数猜想成立．一㊁定义及推论定义１㊀命２，３为原素数，不再以Ｐ表示．素数以Ｐｉ表示，其中Ｐ１＝５，Ｐ２＝７，Ｐ３＝１１， ，以此类推．相应地，孪生素数从５，７开始计算．定义２㊀Ｚｊ＝ᵑｊｉ＝１Ｐｉ．定义３㊀命６ｎ－１与６ｎ＋１为一对孪生组，ｎ为正整数．推论１㊀命Ｄ（ｘ）表示［０，ｘ］间孪生组的组数，则Ｄ（ｘ）＝ｘ－１６[]，１ɤｘ，０，０ɤｘ＜１．æèçç定义４㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）为［０，ｘ］间一方含Ｐｊ因子而双方均与Ｚｊ－１互素的孪生组的组数，称作ｘ内Ｐｊ的孪生类数．（ｘȡＰｊ）．推论２㊀ω（ｘ）－ω（ｘ）＝Ｄ（ｘ）－ðｐ１ɤｐｊɤｘＢ（ｘ，Ｐｊ）．定义５㊀当（６，ｋｎ）＝（ｋ，ｎ）＝１定义Ｔ（ｋ，ｎ）ʉ（ｋｎ）２＋６ｋｑ（ｍｏｄ６ｋｎ），其中ｑ满足３ｋｑʉ１（ｍｏｄｎ），特别地，Ｔ（ｋ，１）ʉｋ２（ｍｏｄ６ｋ）．定义６㊀Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝２ＤｘＰｊ()－２ðＰ１ɤＰｉɤＰｊ－１ＢｘＰｊ，Ｐｉ()，为二倍于０，ｘＰｊ[]间不小于Ｐｊ孪生类的孪生组数．（ｘȡＰ２ｊ）．（注：本文［α］，｛α｝分别表示α的整数与分数部分，并将［α＋β］＋［α－β］简记作［αʃβ］，将｛α＋β｝＋｛α－β｝简记作｛αʃβ｝，将ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）简记作ｓｉｎ（αʃβ）．）二㊁第一类误差关系式的建立引理１㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１（ｍ，ｎ）＝１μ（ｍｎ）(ｘ＋Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１)（ｘȡＰｊ）．证：当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１时，由定义５有Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉ０（ｍｏｄＰｊｍ），１（ｍｏｄ６）．{Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２ʉ０（ｍｏｄｎ），－１（ｍｏｄ６）．{故Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）与Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２为分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，同样Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）与Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）－２为另一组分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，且－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｎ，Ｐｊｍ）－２（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．根据剩余系互补的性质，当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１，对于任意ｘȡＰｊ，在［０，ｘ］间一方含Ｐｊｍ因子，另一方含ｎ因子的孪生组数：Ｄ（ｘ，Ｐｊｍ，ｎ）＝ｘ＋Ｔ（ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１．由定义４和Ｂｒｕｎ的包含排除定理（文献［６］第一章ɦ７定理１），即得引理．又当（ｍ，ｎ）＞１时，恒有μ（ｍｎ）＝０，故引理中（ｍ，ｎ）＝１的条件可以不必要．证毕．引理２㊀（Ⅰ）Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１μ（ｍｎ）æèççｘＰｊ＋Ｔ（ｍ，ｎ）－２６ｍｎéëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（ｍ，ｎ）６ｍｎéëêêêùûúúú＋１öø÷÷－１（ｘȡＰ２ｊ）．（Ⅱ）若用Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）代替Ｔ（ｍ，ｎ），上式亦成立．证：当ｍ＝ｎ＝１时，Ｔ（１，１）ʉ１（ｍｏｄ６），μ（１）＝１，ʑｘＰｊ＋Ｔ（１，１）－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（１，１）６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，又Ｔ（ｍ，ｎ）－２ʉ－Ｔ（ｎ，ｍ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．由定义６和引理１即得（Ⅰ）成立．ȵ（Ｐｊ，ｍｎ）＝（Ｐｊ，Ｚｊ－１）＝１，ʑＴ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｍ，ｎ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．又Ｔ（Ｐｊ，１）ʉＰ２ｊʉ１（ｍｏｄ６），ʑｘＰｊ＋Ｐ２ｊ－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｐ２ｊ６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，故（Ⅱ）亦成立，证毕．引理３㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１）（ｘȡＰ２ｊ），ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ㊃ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３ｄæèçöø÷，其中Ｔ（Ｋξ）＝ＴＰｊＫξ，Ｚｊ－１Ｋξæèçöø÷，Ｋξ为Ｋｉ｜Ｚｊ－１之某一值，ｖ（ｄ）表示ｄ的不同素因子的个数，ｖ（１）＝０．证：命φ表示Ｋｉ｜Ｚｊ－１的集合，因Ｚｊ－１无重复素因子，故对于任一Ｚｊ－１，Ｋｉ之集合有且仅有ðｊ－１ｋ＝１Ｃｋｊ－１＝２ｊ－１个元素组成，当（ｌ１，ｌ２）＝（ｌ１，６Ｐｊｍｎ）＝（ｌ２，６Ｐｊｍｎ）＝１，有Ｔ（ｌ１Ｐｊｍ，ｌ２ｎ）ʉＴ（Ｐｊｍ，ｎ）（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．由引理１，２即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðＫｉ｜Ｚｊ－１１２ｊ－１ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）㊃æèççｘ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６Ｐｊｄéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｋｉ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６ｄéëêêêùûúúú－ｘＰｊ－Ｔ（Ｋｉ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷＋１，（１）现估计（１）式中第一㊁三两项中消去－２后所产生的误差Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ３，命Ａｉ＝ｘ＋Ｔ（Ｋｉ）有：Ａｉ－２６Ｐｊｄéëêùûú＝［Ａｉ］－２６Ｐｊｄéëêùûú＝Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú－１，当［Ａｉ］ʉ０或１（ｍｏｄ６Ｐｊｄ），Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú，其他．ìîíïïïï故知只有当［Ａｉ］＝６ＰｊＭｉＤｉ＋δ（δ＝０或１，其中Ｄｉ｜Ｚｊ－１）时才产生误差，根据同余的性质有：ðｄ｜Ｄｉμ（ｄ）２ｖ（ｄ）＝１，ｖ（Ｄｉ）为偶数或０，－１，ｖ（Ｄｉ）为奇数，{ʑＲ１ɤ１２ｊ－１ðＫｉ｜Ｚｊ－１１＝１，同样可证得｜Ｒ３｜ɤ１．ʑ｜Ｒ｜ɤ｜Ｒ１｜＋｜Ｒ３｜ɤ２，故由（１）式知必定存在某一Ｋξ｜Ｚｊ－１，使得：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１），其中ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）æèççｘʃＴ（ｋξ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊʃＴ（Ｋξ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷，ȵＰｊＫξ｜Ｔ（Ｋξ），Ｚｊ－１Ｋξ｜Ｔ（Ｋξ）－２，（注：以下将Ｔ（Ｋξ）简记作Ｔ）ʑｄ｜Ｚｊ－１｜Ｔ（Ｔ－２）．因ｄ无重复素因子，故知对于任意ｄ，当ｄȡ４ｘ２可分解为ｄ＝ｄ１ｄ２，其中ｄ２ȡｄ１ȡ１，使ｄ２｜Ｔ或者ｄ２｜（Ｔ－２）两者之一成立．显然ｄ２ȡ２ｘ＞ｘ＋２Ｐｊ（ｘȡＰ２ｊ），如ｄ２｜Ｔ成立，有０＜ｘｄ２＝β＜１，Ｔｄ２＝Ｌ，显然（６，Ｌ）＝１，因而－Ｌ６ｑ[]＝－１－Ｌ６ｑ[]（ｑ为正整数），故有：ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝βʃＬ６Ｐｊｄ１[]－βʃＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，同样如ｄ２｜（Ｔ－２），则有０＜ｘ＋２ｄ２＝β１＜１，０＜ｘ－２ｄ２＝β２＜１，０＜ｘ＋２Ｐｊｄ２＝β３＜１，０＜ｘ－２Ｐｊｄ２＝β４＜１，Ｔ－２ｄ２＝Ｌ，则（６，Ｌ）＝１，即有ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝β１＋Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú＋β２－Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β３＋ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β４－ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，ʑｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄéëêùûúæèçöø÷＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄ{}－ｘʃＴ６Ｐｊｄ{}æèçöø÷，（２）由Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式，当｛α｝ʂ０时有：｛α｝＝－ðɕｎ＝１１ｎπｓｉｎ（２ｎπα）＋１２，（３）ȵＰｊ｜Ｔ，ʑ只需取ｘ，当Ｐｊ｜ｘ，即有（２）式中任意一项｛αｉ｝ʂ０均适用于（３）式，故（２）式又可表示为：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ(ｃｏｓｎπＴ３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ３ｄ)，证毕．三、第一类误差值的计算引理４㊀用Ｍ［Ｆ１（ｙ）］表示函数Ｆ１（ｙ）的Ｍｅｌｌｉｎ变换式，若有Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１），取σ＝ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当ｙ＞Ｐｊ时，必有｜Ｆ１（ｙ）｜＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷．证：σ＝１－１ｌｎｙ＞１－１ｌｎＰｊ＞０．首先证明Ｍ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令Ｈ（ｓ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２，（４）则Ｈ（ｓ）ɤðｄ｜Ｚｊ－２｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）｜ｄｓ－２｜＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２），ʑｌｎ｜Ｈ（ｓ）｜ɤｌｎᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２）＝ðＰ１ɤＰɤＰｊ－１ｌｎ（１＋２Ｐ－１－１ｌｎｙ）ɤðＰ１ɤＰɤＰｊ－１２Ｐ－１＝２ｌｎｌｎＰｊ＋Ｏ（１）．（参见文献［２］第七章ɦ３Ｍｅｒｔｅｎｓ公式）ʑ｜Ｈ（ｓ）｜＝Ο（ｌｎ２Ｐｊ）绝对收敛．又Ｒｅ（２－ｓ）＝１＋１ｌｎｙ＞１，令ｂ１（ｕ）＝｛ｕ｝－１２，有ζ（２－ｓ）＝１１－ｓ＋１２－（２－ｓ）ʏɕ１ｂ１（ｕ）ｕ３－ｓｄｕ＝－１ｓ－１＋１＋ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２，（参考文献［１］第八章ɦ２）ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２为｛ｕ｝ʂ０时的瑕积分，记作Ｐ㊃Ｖ．Ｐ㊃Ｖʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２＝｛ｕ｝ｕｓ－２ɕ１－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝＝－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝ｄｕｄｕ，当｛ｕ｝ʂ０，由（３）式有ｄ｛ｕ｝ｄｕ＝－２ðɕｎ＝１ｃｏｓ（２ｎπｕ）＝－ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ＋１，（参考文献［７］（３．６．１）式）综上即得：Ｑ＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）＝－１＋（ｓ－１）Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１æèççöø÷÷ｄｕ＝－１＋Ｐ㊃Ｖʏɕ１（ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１）ｄｕｓ－１＝Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕｄｕｓ－１，ʑ｜Ｑ｜ɤＰ㊃Ｖʏɕ１｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ｜㊃｜ｄｕｓ－１｜＝｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πξｓｉｎπξ｜ʏɕ１ｄｕ－１ｌｎｙ｜ɤ１ｓｉｎπξ＜＋ɕ（｛ξ｝ʂ０），ʑＭ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令ʏ（σ）＝ｌｉｍＡңɕʏσ＋ｉＡσ－ｉＡ，由文献［１］第十二章ɦ１引理１有：Ｆ１（ｙ）＝１２πｉʏ（σ）Ｍ［Ｆ１（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）ｙ－ｓｄｓ＝－１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｙ－ｓ＋１ｄｙｄｓ＝ｉ２πʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｓｄｙｄｙ－ｓ＋１．ȵζ（２－ｓ）－１＝ðɕｎ＝２１ｎ２－ｓ，ʑ｜ζ（２－ｓ）－１｜ɤðɕｎ＝２１ｎ１＋１ｌｎｙ＝ʏɕ１ｄｕｕ１＋１ｌｎｙ＋Ｏ（１）＝－ｌｎｙ㊃ｕ－１ｌｎｙɕ１＋Ｏ（１）＝ｌｎｙ＋Ｏ（１），ｄｓｄｙ＝ｄ１ｌｎｙｄｙ＝１ｙｌｎ２ｙ，｜ｙｉｔ｜＝｜ｅｉｔｌｎｙ｜＝１，ｙ－σ＋１＝ｙ１ｌｎｙ＝ｅ．当ｙ＞Ｐｊ，ｌｎｙ＞ｌｎＰｊ≫１，ʑ｜Ｆ１（ｙ）｜ɤʏ（σ）｜Ｈ（ｓ）｜｜ζ（２－ｓ）－１｜ｄｓｄｙ｜ｄｙ－ｓ＋１｜ɤʏ（σ）Ｏ（ｌｎ２Ｐｊ）（ｌｎｙ＋Ｏ（１））１ｙｌｎ２ｙｄｙ１ｌｎｙ＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷，证毕．引理５㊀对于充分大的ｘ，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤＯｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷＋Ｏ（１），当Ｐｊɤｘ１２时，误差项Ｏ（１）可以不计．证：（Ⅰ）当Ｐｊɤ６ｌｎｘ时，ȵðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπαｃｏｓｎπβɤ１，又ｖ（Ｐ）＝１，由引理３有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）＝２ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２ｖ（Ｐ））＝２㊃３ｊ－１．由素数定理得ｊ＝π（Ｐｊ）＝ＰｊｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()．ʑＢ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤ２㊃３ｊ－１＋Ｏ（１）＜３ｊɤ３７ｌｎｘｌｎｌｎｘ＝ｘ７ｌｎ３ｌｎｌｎｘ＜ｘ１２≪ｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊ．（Ⅱ）当ｘ１２＜Ｐｊɤｘ，显然有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝１，Ｐｊ与Ｐｊ＋２为孪生素数，０，其他．{（Ⅲ）现着重讨论６ｌｎｘ＜Ｐｊɤｘ１２的情形．由引理３我们有：㊀ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπ㊃ｎπｄ㊃ｓｉｎｎπｘ３ＰｊｄʏＴ６Ｔ６Ｐｊｓｉｎ２ｎπｑｄｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｄ(ｃｏｓｑ－ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ－ｃｏｓｑ＋ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ)ｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊ(ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπｄ２ｓｉｎ２ｎπｄｙ)ｄｙｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ．由积分不等式，当ｂ＞ａȡ０时，若在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）可积，｜ｆ（ｘ）｜ɤ｜ｇ（ｘ）｜，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤʏｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘɤʏｂａ｜ｇ（ｘ）｜ｄｘ．又Ｆ（ｙ）可积，则有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ，（５）Ｆ（ｙ）是实连续函数，ｙ＞０（见（９）式），我们可对其取Ｍｅｌｌｉｎ变换，令ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当α＞０时，Ｍ［ｓｉｎαｘ］＝ʏɕ０ｓｉｎαｘ㊃ｘｓ－１ｄｘ＝α－ｓΓ（ｓ）ｓｉｎπｓ２，ʑＭ［Ｆ（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１（ｎπ）１－ｓ２２－ｓΓ（ｓ）ｄｓ－２ｓｉｎπｓ２，（６）ðɕｎ＝１ｎ１－ｓ＝ζ（ｓ－１），Γ（ｓ）＝（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（文献［５］第二章ɦ２定理２），ｓｉｎπｓ２＝ｃｏｓπ（ｓ－１）２．根据ＲｉｅｍａｎｎＺｅｔａ函数解析开拓的性质（文献［３］第二篇第二章ɦ２定理２．１）有ζ（１－ｓ）＝２１－ｓπ－ｓｃｏｓπｓ２Γ（ｓ）ζ（ｓ）普遍成立．ʑ由（６）式和（４）式有：Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝ζ（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（ｓ－１）π１－ｓ２２－ｓＨ（ｓ）㊃ｃｏｓπ（ｓ－１）２＝ζ（２－ｓ）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），令Ｆ（ｙ）＝Ｆ１（ｙ）＋Ｆ２（ｙ），则Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＋Ｍ［Ｆ２（ｙ）］，其中Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），（７）Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ），相应地，ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）＋ｈ２（ｘ，Ｐｊ），首先证明ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．ȵＰｊＫξＴ，Ｚｊ－１Ｋξ（Ｔ－２）（见引理３），ʑＴȡＰｊＫξ，Ｔ－２ȡＺｊ－１Ｋξ，Ｔ２＞Ｔ（Ｔ－２）ȡＰｊＫξ㊃Ｚｊ－１Ｋξ＝ＰｊＺｊ－１＝Ｚｊ，Ｔ＞Ｚｊ（注：当ｘȡＰ２ｊ，必有ｄ通过所有ＰɤＰｊ－１，故（５）式中Ｔ不变．）由文献［１］第三章ɦ１定理２契贝谢夫θ函数性质有：ｌｎＴ＞１２ｌｎＺｊ＞１２－ε()Ｐｊȡ１２－ε()６ｌｎｘ＞２．８ｌｎｘ，即有１ｌｎＴ＝Ｏ１Ｐｊ()，（８）及Ｔ＞ｘ２．８，又ｘȡＰ２ｊ，由（５）式知ｙȡｑ－ｘ６ＰｊȡＴ－ｘ６Ｐｊ＞ｘ２．８－ｘ６ｘ≫ｘ２．２≫４ｘ２，（９）ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ２（ｙ）ｄｙｄｑ＝(ʏɕＴ－ｘ６Ｐｊ－ʏɕＴ－ｘＰｊ６－ʏɕＴ＋ｘ６Ｐｊ＋ʏɕＴ＋ｘＰｊ６)ʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍｅｌｌｉｎ变换公式（文献［８］５８１页），若Ｍ［ｆ（ｙ）］＝Ｍ（ｓ），则有：Ｍ［ʏɕｙｆ（φ）ｄφ］＝Ｍ（ｓ＋１）ｓ成立，由此推出：Ｍ［ʏɕｙʏɕφｆ（η）ｄηｄφ］＝Ｍ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ成立．令Ｕ（ｙ）＝ʏɕｙʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ）得到Ｍ［Ｕ（ｙ）］＝（ｓ＋２－１）Ｈ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ＝１ｓＨ（ｓ＋２），由（９）式ｙ≫４ｘ２，即σ＝１－１ｌｎｙ＞０，因而｜Ｍ［Ｕ（ｙ）］｜＝１σ＋ｉｔＨ（２＋σ＋ｉｔ）ɤðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ１σ＋ｉｔ＝１σ２＋ｔ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ＜＋ɕ绝对收敛．即有：Ｕ（ｙ）＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕＭ［Ｕ（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）１ｓｄｙ()ｓｄｓ，根据Ｍｅｌｌｉｎ变换表（文献［８］５８２页）有１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕ１ｓαｙ()ｓｄｓ＝１（ｙ＜α），０（ｙ＞α），{（σ＞０）由（９）式得ｙ＞４ｘ２＞ｄ，ʑＵ（ｙ）＝０，即可得到ｈ２（ｘ，Ｐｊ）的各项积分均为０，ʑｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．又Ｆ１（ｙ）满足引理４的条件，由（５）式有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）ɤＯʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙｄｙｄｑæèçöø÷＝Ｏｌｎ２ＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()ｄｑæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｄｑｑｌｎｑæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６Ｐｊæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰｊｌｎＴæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷．注１：上式中，ｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()＝ｌｎｌｎｑ＋ｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()ｌｎｑ＋ｌｎ１－ｘ６ｑＰｊ()＝Ｏｌｎ１＋１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()()＝Ｏ１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()＝Ｏ１ｌｎｑ㊃ｘ６ｑＰｊ()＝ＯｘＰｊｑｌｎｑ()．注２：上式中，ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６ｑＰｊ＝ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６＋ｌｎ１Ｐｊ＝ｌｎ１１－ｌｎＰｊｌｎＴ６＝Ｏｌｎ１＋ｌｎＰｊｌｎＴ６æèççöø÷÷æèççöø÷÷＝ＯｌｎＰｊｌｎＴæèçöø÷．最后一步用到（８）式，综上即得到引理．证毕．四㊁函数Ｇ（ｕ）的性质引理６若Ｇ（ｕ）满足方程Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，㊀㊀㊀㊀㊀㊀１ɤｕɤ２，㊀㊀㊀㊀（１０）（ｕ２Ｇ（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ（ｕ－１），ｕ＞２，（１１）{则Ｇ（ｕ）为连续函数，对于任意ｕȡ１，恒有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．证：令Ｇ（ｕ）＝Ｇ１（ｕ）＋Ｇ２（ｕ），其中Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）满足方程：Ｇ１（ｕ）＝１ｕ２，Ｇ２（ｕ）＝０，㊀１ɤｕɤ２，（ｕ２Ｇ１（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ２（ｕ－１），（ｕ２Ｇ２（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ１（ｕ－１），ｕ＞２，{解之即知Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）均为连续函数，故Ｇ（ｕ）为连续函数．由（１０）式知，当１ɤｕɤ２时，有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１成立．用数学归纳法证明，当ｕ＞２时，也有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．由（１１）式即得：ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔɤ２ʏｕ２ｔｄｔ＝ｕ２－２２，ʑＧ（ｕ）ɤ１－３ｕ２ɤ１．又ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔȡ１２ʏｕ２ｔｄｔ＝１４（ｕ２－２２）＝１４ｕ２－１，ʑＧ（ｕ）ȡ１４．证毕．五、定理的反证１．在假设基础上得到的结果（第二类误差值的计算）引理７㊀对于充分大的Ｎ，当ｙȡＮ时，假设恒有ω（ｙ）＜Ｃｙｌｎ２ｙ㊀（１２）成立，Ｃ＝０．３７，则当ｘ１２ȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷成立，其中Ｐｊ＝ｘ１ｕ＋１，即ｕ＝ｌｎｘｌｎＰｊ－１．证：用数学归纳法证明．当Ｎ充分大，ＰｊȡＮ时，有Ｐｊȡｌｎ７Ｐｊ，故有ｘＰ２ｊｌｎ３ＰｊɤｘＰｊｌｎ４Ｐｊ．当ｘ１２ȡＰｊȡｘ１３（１ɤｕɤ２）时，由（１２）式，引理５，定义６及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ωｘＰｊ()－２ω（Ｐｊ－１）＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＜２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２ＣｘＰｊ（ｌｎｘｕｕ＋１）２＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，即知当１ɤｕɤ２时，Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，引理成立．若ｘ１ｋ－１ȡＰｊȡｘ１ｋ，ｋȡ３（即ｋ－２ɤｕɤｋ－１），引理成立，则当ｘ１ｋȡＰｊȡｘ１ｋ＋１，ｋ－１ɤｕɤｋ时由引理５及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＢｘＰｊ，Ｐｉ()＋２ωｘＰｊ()－２ωｘＰｊ()１２()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷．此处着重说明：在以上递推计算中每项都有一个差式，如记作ω＋ｉ－ω－ｉ，易见对于每个差式，恒有ω＋ｉȡω－ｉȡω（Ｐｊ），故参加递推和式计算之ω（ｔ）均符合引理假设的条件，即：ωｘＰｊ()ȡω（ｔ）ȡω（Ｐｊ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ）．又ｘ１ｋ＋１ɤＰｊ，ʑｘɤＰｋ＋１ｊ，即有ｘＰｊ()１ｋɤＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２．因而可由已知递推得：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷ｘＰｊＰｉｌｎ２Ｐｉ＋ＯðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２２ｘＰｊＰｉｌｎ３Ｐｉæèçöø÷＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷，（１３）用Ａｂｅｌ恒等式计算：Ω＝ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷１Ｐｉｌｎ２Ｐｉ，在文献［１］第三章ɦ１引理２中取Ａ（ｔ）＝ðＰɤｔｌｎＰＰ，当ｔȡＰｊȡｌｎｘ充分大时，由文献［１］第四章命题（Ｃ）式有：Ａ（ｔ）＝ðｎɤｔΛ（ｎ）ｎ－ðｍȡ２ðＰɤｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝ｌｎｔ－γ＋Ｏ（１）－Ｅ（ｔ），其中γ为Ｅｕｌｅｒ常数，Ｅ（ｔ）＝ðｍȡ２ðＰｌｎＰＰｍ－ðｍȡ２ðＰ＞ｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝α１＋Ｏʏɕｔｌｎｑｑ２ｄｑæèçöø÷＝α１＋Ｏｌｎｔｔæèçöø÷＝α１＋Ｏ（１），ʑＡ（ｔ）＝ｌｎｔ－α＋Ｏ（１），ȵα１，γ均为与ｔ无关的常数，ʑα亦为与ｔ无关之常数．令Ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ，ｒ（ｔ）＝－α＋Ｏ（１），ｆ（ｔ）＝ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷１ｌｎ３ｔ．ȵＨ（ｔ）连续可微，及１４ɤＧ（ｕ）ɤ１，由文献［１］第三章ɦ１引理２即可得到：Ω＝ʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()其中ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()＝ｒｘＰｊ()１２()ｆｘＰｊ()１２()－ｒ（Ｐｊ）ｆ（Ｐｊ）－ʏｘＰｊ()１２Ｐｊｒ（ｔ）ｆᶄ（ｔ）ｄｔ＝ＯｆｘＰｊ()１２()＋Ｏ（ｆ（Ｐｊ））＋ＯʏｘＰｊ()１２Ｐｊｆᶄ（ｔ）ｄｔ()＝Ｏ１ｌｎ３Ｐｊæèçöø÷．故由（１３）式即有：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣｘＰｊʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏｘＰｊ()１２Ｐｊ２ｔｌｎ４ｔæèçöø÷ｄｔ＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝４ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()ʏｘｕ２（ｕ＋１）ｘ１ｕ＋１ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷㊃ｌｎｘＰｊｌｎｔæèççöø÷÷３ｄｌｎｔｌｎｘＰｊæèççöø÷÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏ１２ｌｎｘＰｊｌｎＰｊ２τ４ｄτæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｉæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊʏｕ２２βＧ（β－１）ｄβ＋Ｏ２ｘ３Ｐｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ［β２Ｇ（β）］ｕ２＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，其中２２Ｇ（２）＝１，故引理亦成立．证毕．２．由正态分布及其误差值计算所得到的结果引理８㊀当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ．证：由引理１即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｍ｜Ｚｊ－１ｎ｜Ｚｊ－１μ（ｍｎ）２ｘ６Ｐｊｍｎ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３ＰｊᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＋Ｏ（３ｊ）（参见文献［３］１５页）ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（Ｐ－１）２Ｐ２ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ（Ｐ－２）（Ｐ－１）２＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()２ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷，由Ｍｅｒｔｅｎｓ公式（文献［２］第七章ɦ３）有ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()＝３㊃（２－１）（３－１）２㊃３ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ＝３ｅ－ｒｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()，又１＞ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞ᵑＰ１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）３２ᵑＰ２＝４３（２２－１）（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）２２㊃３２ᵑＰ２éëêêùûúú＝４３ðɕｎ＝１１ｎ２æèçöø÷－１＝４３π２６()－１＝８π２＞０．８１．由素数定理，当ｌｎｘ充分大时，有ｊɤ１．１ＰｊｌｎＰｊɤ１１０ｌｎｘｌｎｌｎｘ＜１２ｌｎｘ，ʑＯ（３ｊ）＝Ｏ（３１２ｌｎｘ）＝Ｏ（ｘｌｎ３２）＝Ｏ（ｘ０．６）．综上即得Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ｘ３Ｐｊ㊃９ｅ－２ｒｌｎ２Ｐｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()２㊃ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＋Ｏ（ｘ０．６）＞３ｅ－２ｒ（１－０．０１）２０．８１ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５０７ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，证毕．三㊁结㊀论当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，由引理７又有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷ɤ２ＣｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＜（２Ｃ＋ε）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＜０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，这就与引理８的结果相矛盾，因此引理７的假设不能成立．因引理７计算中的ω（ｔ）均为：ω（ｘ）ȡω（ｔ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ），故可推出至少存在一点ξ，ｘȡξȡｌｎｘ，有：ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξ成立．故有：ω（［ξ］）＝ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξȡ０．３７［ξ］ｌｎ２［ξ］．（１４）即可推出在［Ｎ，ｅＮ］之间至少有一个整数点ｍ１使（１４）式成立，同样在［ｍ１，ｅｍ１］之间至少有一个整数点ｍ２使（１４）式成立，如此等等，依次类推，就证明了定理的真实性．由上述我们立即可以得到一个简单的推论：对于任意ｘȡＮ，总有：ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２成立．孪生素数猜想得证．定理证毕．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．素数定理的初等证明［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［２］潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［３］闵嗣鹤．数论的方法（上册）［Ｍ］，北京：科学出版社，１９８１．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［５］［苏］Ａ．Ａ．卡拉楚巴著，潘承彪，张南岳译．解析数论基础（中译本）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８４．［６］华罗庚．数论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，１９７９．［７］Ｇ．Ｈ．哈代，Ｗ．Ｗ．洛戈辛斯基著，徐瑞云，王斯雷译．富里埃级数（中译本）［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９７８．［８］‘数学手册“编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．［９］潘承洞．素数分布与哥德巴赫猜想［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９７９．。

关于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想的新思路以及因数分解的一个多项式算法作者：谢翰来源：《文理导航》2018年第11期【摘要】证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。

本文提出了不同以往的第五种思路，创建出了α数集和β数集，成功地将哥德巴赫猜想拆解成为两个更基本的猜想。

此外，给出了孪生素数猜想的一个证明途径以及因数分解的一个多项式算法。

【关键词】孪生素数猜想；哥德巴赫猜想；第五种思路；α数β数；因数分解多项式算法史上和素数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：（一）每一个不小于6的偶数，都是两个奇素数之和；（二）每一个不小于9的奇数，都是三个奇素数之和。

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。

显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。

因此，只需在两个猜想中证明第一个猜想就足够了。

证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。

这四种思路中只有殆素数的思路取得了比较重大的突破。

殆素数就是素因子个数不多的正整数。

现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，数学家把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。

1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇素数，另一个则是两个奇素数的积。

”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。

但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。

有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

Advances in Theoretical and Applied Mathematics, ISSN 0793-4554, V ol.8,№1, 2013, pp.17-26There are Infinitely Many Sets of N-Odd PrimeNumbers and Pairs of Consecutive Odd PrimeNumbersZhang TianshuNanhai west oil corporation,China offshore Petroleum,Zhanjiang city, Guangdong province, P.R.China.Email: tianshu_zhang507@AbstractLet us consider positive odd numbers which share a prime factor>1 as a kind, then the positive directional half line of the number axis consists of infinite many equivalent line segments on same permutation of χkinds’ odd points plus odd points amongst the χkinds’ odd points, where χ≥1. We will prove together that there are infinitely many sets of n-odd prime numbers and pairs of consecutive odd prime numbers by the mathematical induction with aid of such equivalent line segments and odd points thereof, in this article.KeywordsSets of n-odd prime numbers, Pairs of consecutive odd prime numbers, Mathematical induction, Odd points, Positive directional half line of the number axis, RLSS№1~№χ, Sets of •µ(•s)+b(◦s)•, Pairs of•υ(◦s)•, The coexisting theorem, №1 RLS №1~№χ, Set of♠µ(♠s)+b(◦s)♠,Pair of♠υ(◦s)♠.Basic ConceptsSuppose n >1, and κ1<κ2<...<κn-1 are n-1 natural numbers, and Jχ, Jχ+κ1, Jχ+κ2, Jχ+κ3, ... Jχ+κn-1 are all odd prime numbers, then we call (Jχ,Jχ+κ1,Jχ+κ2,Jχ+κ3,...Jχ+κn-1) a set of n-odd prime numbers. Thereupon we conjecture that for any positive odd prime number J p, if a number of residue’s classes which n integers 0, κ1, ... κn-1divide respectively bymodulus J p is less than J p , then there are infinitely many sets of n-odd prime numbers which differ orderly by κ1, κ2-κ1, κ3-κ2,...and κn-1-κn-2.We term the conjecture as n-odd prime numbers’ conjecture. For example, when n≥2, and κ1=2, it contains twin prime numbers’ conjecture. In addition, it contains 3-odd prime numbers’ conjecture when n≥3, κ1=2 and κ2=6. And so on and so forth…Evidently, if modulus J p ≥ Jχ+κn-1, then each odd prime number of such a set of odd numbers belongs in a residue class, thus number n of n-odd prime numbers is less than J p. If modulus J p ≤ Jχ, then number n of n-odd prime numbers may be greater than J p. For example, a set of 16-odd prime numbers (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73) for modulus J4 (i.e. 11), it has 16 odd prime numbers of 10 residue’s classes because 17≡61(mod 11), 19≡41(mod 11), 23≡67(mod 11), 29≡73 (mod 11), 31≡53(mod 11), and 37≡59(mod 11) plus 13, 43, 47, and 71.In addition, there is such a conjecture, namely if there is a pair of consecutive odd prime numbers which differ by 2k, then there are surely infinitely many pairs of consecutive odd prime numbers which differ by 2k, where k is a natural number. This conjecture needs still us to prove it. When k=1, it is the very twin prime numbers’ conjecture evidently.Everyone knows, each and every odd point at positive directional half line of the number axis expresses a positive odd number. Also infinitemany a distance between two consecutive odd points at the positive directional half line equal one another.Let us use the symbol “•” to denote an odd point, whether • is in a formulation or it is at the initial positive directional half line of the number axis. Moreover the positive directional half line is marked merely with symbols of odd points. Please, see following first illustration. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••First IllustrationWe use also symbol “•s” to denote at least two odd points in formulations. Then, the number axis’s positive directional half line which begins with odd point 3 is called the half line for short thereinafter.We consider smallest positive odd prime number 3 as №1 odd prime number, and consider positive odd prime number Jχas №χodd prime number, where χ ≥1, then odd prime number 3 is written as J1 as well. And then, we consider positive odd numbers which share prime factor Jχas №χkind of odd numbers. If an odd number contains α one another’s-different prime factors, then the odd number belongs in α kinds of odd numbers concurrently, where α ≥1.There is an only odd prime number Jχwithin №χkind’s odd numbers. Excepting Jχ, we term others as №χ kind of odd composite numbers.If one • is defined as an odd composite point, then we must change symbol “◦” for its symbol “•”. And use symbol “◦s” to denote at least two definite odd composite points in formulations.In course of the proof, we shall change ◦s for •s at places of ∑№χ[χ≥1] kind’s odd composite points according as χ is from small to large.Since №χkind’s odd numbers are infinitely many a product which multiplies every odd number by Jχ, so there is a №χkind’s odd point within consecutive Jχ odd points at the half line.Therefore any one another’s permutation of χ kind’s odd points plus odd points amongst the χkind’s odd points assumes always infinite many recurrences on same pattern at the half line, irrespective of their prime/composite attribute.We analyze seriatim №χ kind of odd points at the half line according to χ=1, 2, 3 … in one by one, and range them as second illustration.3 91521273339 455157 63697581879399105 117 129 •••◦••◦••◦•◦◦••◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦◦◦◦•◦•◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦…№1•◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦◦◦◦◦ ◦…№2• ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦…№3◦• ◦ ◦◦ ◦ ◦…№4•. ◦ ◦ ◦ ◦…№5Second IllustrationWe consider one another’s equivalent shortest line segments at the half line in accordance with same permutation of χ kinds’ odd points plus odd points amongst the χkinds’ odd points as recurring segments of the χkinds’ odd points.We use character “RLS№1~№χ”to express a recurring segment of ∑№χ[χ≥1] kind of odd points, and use character “RLSS№1~№χ” to express theplural. If one • is affirmed as an odd prime point, then this • is rewritten as one♠ at the half line and/or in formulations, and symbol ♠s express at least two odd prime points in formulations. For example, the one another’s permutation of certain kinds of odd points at №1 RLS№1~№4 , please, see following third illustration.The permutation of odd prime & composite points at №1 RLS№1~№4♠♠♠○♠♠○♠♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○3 15 27 39 51 63 75 87 99♠♠○♠♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○♠○♠○○♠○○♠♠○○○○♠♠○♠111 123 135 147 159 171 183 195♠○○○○○♠○○○○○♠○♠♠○♠○○♠♠○○○○♠○○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○ 207 219 231 243 255 267 279 291○○○○○♠○♠♠○♠○○○○○○♠○○♠○○○♠♠○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○♠○○♠○○○ 303 315 327 339 351 363 375 387♠○♠○○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○♠○○○○○♠○○○♠○♠○ 399 411 423 435 447 459 471 483○○♠○♠○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○○♠○○♠○○○○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○ 495 507 519 531 543 555 567 579 591 ♠○○♠♠○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○○○○♠○♠○○♠○○○ 603 615 627 639 651 663 675 687♠○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○♠○♠○○○♠○○♠○♠○○○♠○♠○○○○○○♠699 711 723 735 747 759 771 783○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○♠♠○ 795 807 819 831 843 855 867 879♠○○○○○○○○○♠○♠○○○♠○○○○♠○○○♠○♠○○♠○○♠○○○○○○♠○♠○○♠○○♠891 903 915 927 939 951 963 975○○○♠○○♠○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○○○987 999 1011 1023 1035 1047 1059 1071○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○○○ 1083 1095 1107 1119 1131 1143 1155 1167 1179 ♠○○♠○○♠○○○♠○○○○○♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○○○○♠1191 1203 1215 1227 1239 1251 1263 1275 ♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○○○○♠♠○○♠○○○○○○○○○○○○○○○○♠○○♠○○♠○ 1287 1299 1311 1323 1335 1347 1359 1371○○♠○○○○○○○○♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○○♠○○○○○♠○ 1383 1395 1407 1419 1431 1443 1455 1467○○○♠♠○♠♠○♠○○♠○○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠1479 1491 1503 1515 1527 1539 1551 1563○○○♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○○○○○○○○♠○○♠○♠♠1575 1587 1599 1611 1623 1635 1647 1659○○○○○○○○○○♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○♠○○♠○○♠○○○○○ 1671 1683 1695 1707 1719 1731 1743 1755 1767 ○○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○○○♠○○○○○○♠○○♠1779 1791 1803 1815 1827 1839 1851 1863○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○○○○○○ 1875 1887 1899 1911 1923 1935 1947 1959○○○♠○○♠○○○♠○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○○○○♠1971 1983 1995 2007 2019 2031 2043 2055○○♠○○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○○○♠2067 2079 2091 2103 2115 2127 2139 2151○○○○○○○○♠○○○○○○○○○○○♠○♠○○♠○○○♠○○○○○○○♠♠○♠○○○♠○○○○ 2163 2175 2187 2199 2211 2223 2235 2247 2259 ○○○♠♠○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○♠♠2271 2283 2295 2307Third IllustrationAnnotation: “♠” denotes an odd prime point; “○” denotes an odd composite point.№1 RLS№1ends with odd point 7; №1 RLS№1~№2ends with odd point 31;№1RLS№1~№3 ends with odd point 211; №1 RLS№1~№4 ends with odd point 2311. Justly №1 RLS№1~№χbegins with odd point 3. There are ∏Jχ odd points at each RLS№1~№χ , where χ ≥1,and ∏Jχ=J1*J2*…*Jχ.Undoubtedly one RLS№1~№(χ+1)consists of consecutive Jχ+1RLSS№1~№χ , and they link one by one.Since none of any kind’s odd composite points coincides with odd point 1 on the left of №1 RLS№1~№χ, then none of any kind’s odd composite points coincides with the odd point which closes on the left of №2 RLS№1~ №χaccording to the definition of recurring segments of the χkinds’ odd points. The odd point which closes on the left of №2 RLS№1~№χis exactly the most right odd point of №1 RLS№1~№χ. Thus the most right odd point of №1 RLS№1~№χis an odd prime point always. Namely 2∏Jχ+1 is an odd prime number always.Number the ordinals of odd points at seriate each RLS№1~№χ+y by consecutive natural numbers which begin with 1, namely from left to right each odd point at seriate each RLS№1~№χ+y is marked with from small to great a natural number ≥1 in the proper order, where y≥0. Then, there is one №(χ+y) kind’s odd point within Jχ+y odd points which share an ordinal at Jχ+y RLSS№1~№(χ+y-1) of a RLS№1~№χ+y. Furthermore, there is one №(χ+y) kind’s odd composite point within Jχ+yodd points which share an ordinal at Jχ+y RLSS№1~№(χ+y-1) of seriate each RLS№1~№χ+y on the right of №1 RLS№1~№χ+y.Odd prime points J1, J2 …Jχ-1 and Jχare at №1 RLS№1~№χ. Yet, there are χodd composite points on ordinals of J1 plus J2 ...plus Jχ-1 plus Jχ at seriate each RLS№1~№χon the right of №1 RLS№1~№χ. Thus №1 RLS№1~№χis a particular RLS№1~№χ in contradistinction to each of others.After change ◦s for •s at places of ∑№χ[χ≥1] kind’s odd composite points at the half line, if one • is separated from another • by µ •s plus b ◦s irrespective of their permutation,then express such a combinative form as a set of • µ(•s)+b(◦s) •, where µ ≥0, and b ≥0.If µ+2 •s of • µ(•s)+b(◦s) • are all defined as odd prime points, then the set of • µ(•s)+b(◦s) • is rewritten as a set of♠ µ(♠s) +b(◦s)♠. Further, if the set of ♠µ(♠s)+b(◦s) ♠lies within consecutive Jχodd points, and for odd prime number Jχ, a number of residue’s classes which µ+2 odd prime numbers whereof µ+2 ♠s express divided respectively by modulus Jχ is less than Jχ, then, such a set of♠ µ(♠s) +b(◦s)♠ is the very a set of n-odd prime points, where n=µ+2.If two •s of • υ(◦s) • are defined as odd prime points,then the pair of •υ(◦s)• is rewritten as a pair of♠ υ(◦s) ♠, where υ≥0.When µ=0, a set of • µ(•s)+b(◦s) • is exactly a pair of •b(◦s)•, and a set of ♠ µ(♠s)+b(◦s) ♠is exactly a pair of♠ b(◦s) ♠, where b≥0.Let µ+ b=m, a set of • µ(•s)+b(◦s)• may be written as a set of • m(•s◦s) •, and a set of♠ µ(•s)+b(◦s)♠may be written as a set of♠ m(•s◦s)♠.After change ◦s for •s at places of ∑№χ[χ≥1] kind’s odd composite points, Jχ-h at №1 RLS№1~№χ is defined as an odd prime point, where χ>h≥0,yet there are infinitely many •s on the right of Jχat the half line, and every •is an undefined odd point on prime/composite attribute. Anyhow every prime factor of an odd number which each •at the right of Jχ expresses is greater than Jχ.A set of • µ(•s)+b(◦s) •is negated according as any • of the set is defined as one ◦. Also a pair of • υ(◦s)• is negated according as either • of the pair is defined as one ◦. If a set of • µ(•s)+b(◦s) • can not always be negated, then it is precisely a set of♠ µ(♠s)+b(◦s) ♠. Likewise, if a pair of • υ(◦s)• can not always be negated, then it is precisely a pair of ♠υ(◦s) ♠.From the definition for recurring segments of χ kinds’ odd points, we can conclude that after change ◦s for •s at places of ∑№χ[χ≥1] kind’s odd composite points, if there is a set of♠ µ(♠s)+b(◦s) ♠within consecutive Jχodd points on the right of Jχ at №1 RLS№1~№χ, then there is surely a set of • µ(•s)+b(◦s) • on ordinals of the set of ♠µ(♠s)+b(◦s)♠at seriate each RLS№1~№χon the right of №1RLS№1~№χ.Without doubt, the converse proposition is tenable too. Namely after change ◦s for •s at places of ∑№χ [χ≥1]kind’s odd composite points, if there is a set of •µ(•s)+b(◦s) • within consecutive Jχodd points at seriate each RLS№1~№χon the right of №1 RLS№1~№χ, and from left to right №k odd prime points of all sets of •µ(•s)+b(◦s) • share an ordinal, then there is surely a set of♠ µ(♠s)+b(◦s) ♠on ordinals of any such set of • µ(•s)+b(◦s) •, at №1 RLS№1~№χ, where k = 1, 2, … µ+2.Of course, every ♠ of the set of ♠ µ(♠s)+b(◦s) ♠and every prime factor of an odd number which each • of every such set of • µ(•s)+b(◦s) • expresses are greater than Jχ.To be brief, after change ◦s for •s at places of ∑№χ[χ≥1] kind’s odd composite points, a set of ♠µ(♠s)+b(◦s) ♠on the right of Jχat №1 RLS№1~№χand infinite many sets of •µ(•s)+b(◦s)• on ordinals of the set of ♠µ(♠s)+b(◦s)♠at seriate RLSS№1~№χon the right of №1 RLS№1~№χcoexist at the half line. We term the aforesaid conclusion as the coexisting theorem of a set of ♠µ(♠s)+b(◦s)♠plus infinite many sets of •µ(•s)+b(◦s)• at the half line, or term it as the coexisting theorem for short.Jχ+1 RLSS№1~№χ of any RLS№1~№(χ+1) may be folded at an illustration, oneby one, so as to view conveniently, e.g. №1, №2 and №3 kinds’ odd points at two RLSS№1~№3from the differentia, please, see following fourth illustration.№: 1 5 10 15 №: 1 5 10 153♠♠♠ ◦• • ◦ •• ◦ • ◦ ◦ •• C ◦ ◦ ◦ ◦ • • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • •◦ ◦ •◦ • • ◦• ◦ ◦ • ◦ ◦ •• ◦ ◦ • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • ◦ ◦ • •◦ ◦ • ◦ • • ◦ ◦ •◦ • ◦ ◦ • ◦ ◦ ◦ • ◦ • • ◦ ◦ • ◦ • ◦ ◦ • ◦◦ ◦ • ◦ • • ◦ •• ◦ • ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦ • ◦ • • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ ◦ •◦ ◦ • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • •◦ ◦ • ◦ ◦ • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • ◦ ◦ • ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • •◦ ◦ • ◦ • • ◦ • • ◦ ◦ ◦ ◦ • •211 ◦ ◦ • ◦ • • ◦ • • ◦ ◦ ◦ ◦ • •DFourth IllustrationAfter change ◦s for •s at places of №1 plus №2 plus №3 kinds’ odd composite points, every♠denotes a definite odd prime point, and every • denotes an undefined odd point at prime/composite attribute, and every ◦ denotes a definite odd composite point, in the illustration. Line segment 3(211) is №1 RLS№1~№3, and line segment CD is any of seriate RLSS№1~№3 on the right of №1 RLS№1~№3.The ProofWe will prove together that there are infinitely many sets of n-odd prime numbers and pairs of consecutive odd prime numbers by the mathematical induction with the aid of RLSS№1~№χ and odd points thereof, thereinafter.1. When χ=1, there is a set of♠ ♠ alone on the right of J1 at №1 RLS№1 , and the set of♠ ♠ is a pair of♠υ1(◦s)♠ as well, i.e. twin odd prime points 5 and 7, where υ1=0.When χ=2, there are ♠◦♠♠◦♠♠◦♠◦ ◦♠♠on the right of J2at №1RLS№1~№2,and these odd points contain several sets of ♠µ2(♠s)+b2(◦s)♠within consecutive J s odd points, including several pairs of♠υ2(◦s) ♠within them, where µ2≤6,b2≤5,J1≤J s≤J5, and υ2 ≤ 2.Evidently these pairs of♠υ2(◦s)♠ contain pairs of twin odd prime points.When χ=3, there are both sets of ♠ µ3(♠s)+b3(◦s) ♠within consecutive J f odd points and pairs of ♠υ3(◦s) ♠on the right of J3 at №1 RLS№1~№3, where µ2≤µ3≤41, b2≤b3≤58, J s ≤ J f ≤J27=101, and υ2≤υ3=0, 1, 2, 3, 4, 5 and 6. Evidently these sets of ♠µ3(♠s)+b3(◦s)♠embody certain sets of ♠µ2(♠s)+b2(◦s)♠, and these pairs of ♠ υ3(◦s) ♠ embody all pairs of♠υ2(◦s)♠.For pairs of ♠υ3(◦s)♠on values of υ3 at №1 RLS№1~№3, we instance (11, 13), (13, 17), (23, 29), (89, 97), (139, 149), (199, 211) and (113, 127). Please, see preceding third illustration once again.When χ=4, there are both sets of ♠ µ4(♠s)+b4(◦s)♠within consecutive J a odd points and pairs of ♠ υ4(◦s)♠on the right of J4 at №1 RLS№1~№4 , where µ3≤µ4≤337, b3≤b4≤813, J f ≤J a≤J189=1151, and υ3≤υ4 =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11and 16.Evidently these sets of ♠µ4(♠s)+b4(◦s)♠ embody certain sets of ♠µ3(♠s)+b3(◦s)♠, and these pairs of ♠ υ4(◦s)♠ embody all pairs of ♠ υ3(◦s) ♠.For pairs of ♠υ4(◦s)♠on values of υ4 at №1 RLS№1~№4, we instance (17, 19), (19, 23), (31, 37), (89, 97), (139, 149), (211, 223), (293, 307), (1831,1847), (1259, 1277), (887, 907), (1669, 1693), (2179, 2203)and (1327, 1461). Please, see preceding third illustration once more.2. When χ=β≥4, suppose that there are both sets of ♠ µβ(♠s)+bβ(◦s) ♠within consecutive J b odd points and pairs of ♠ υβ(◦s) ♠on the right of Jβat №1 RLS№1~№β , where µβ≥µ4, bβ≥b4, υβ≥υ4, J b ≥J a, and Jβ≥J4. In addition, these sets of ♠µβ(♠s)+bβ(◦s) ♠embody any of sets of n-odd prime points on the right of J1 at №1 RLS№1~№ψ, and these pairs of ♠ υβ(◦s) ♠ embody any of pairs of consecutive odd prime points at №1 RLS№1~№ψ, where ψ<β.Let us suppose that any of sets of n-odd prime points on the right of J1 at №1 RLS№1~№ψ is a set of ♠ µp(♠s)+b q(◦s)♠; and any of pairs of consecutive odd prime points at №1 RLS№1~№ψis a pair of ♠ υδ(◦s)♠,where µp≥µ4, b q≥b4, and υδ ≥υ4.3.When χ=η>β,prove that there are both sets of ♠µη(♠s)+bη(◦s) ♠within consecutive J c odd points and pairs of ♠ υη(◦s) ♠on the right of Jηat №1 RLS№1~№η ,where µη≥µβ, bη≥bβ, υη≥υβ, J c ≥J b, and Jη>Jβ. In addition, these sets of ♠ µη(♠s)+bη(◦s) ♠ must embody a set of ♠ µp(♠s)+b q(◦s)♠ which needs us to prove, and these pairs of ♠ υη(◦s) ♠must embody a pair of ♠ υδ(◦s)♠ which needs us to prove.Proof．Since there is a set of ♠ µp(♠s)+b q(◦s)♠ within consecutive J b oddpoints on the right of Jβat №1 RLS№1~№β, furthermore, we name the set of ♠µp(♠s)+b q(◦s)♠ “Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g”, where d≥1 and g =β+d+µp+1. Well then, let us first prove that there is a set of ♠µp(♠s)+b q(◦s)♠ on ordinals of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g on the right of J g at №1 RLS№1~№g , hereinafter.We know that every odd number >1 has a smallest prime factor except for 1 surely, yet the smallest prime factor of any odd prime number is exactly it itself.If greatest one within respective smallest prime factors of b q odd composite numbers whereof b q(◦s) between Jβ+d and J g express is written as Jφ, then the set of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g is either at №1 RLS№1~№ φ or out of №1 RLS№1~№φ. If it is at №1 RLS№1~№φ, then let 1≤χ1≤ϕ. If it is out of №1 RLS№1~№φ, then suppose that it is just at №1 RLS№1~№κ , but it is not at №1 RLS№1~№κ-1, then κ >ϕ , and let 1≤χ2≤κ .If the set of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g is at №1 RLS№1~№φ, then after change ◦s for •s at places of ∑№χ1 [1≤χ1≤ϕ] kind’s odd composite points, there is a set of •µp(•s)+b q(◦s)•on ordinals of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s)J g at seriate each RLS№1~№φon the right of №1 RLS№1~№φ.If the set of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g is just barely at №1 RLS№1~№κ , but it is out of №1 RLS№1~№(κ-1), then after change ◦s for •s at places of ∑№χ2[1≤χ2≤κ]kind’s odd composite points, there is a set of •µp(•s)+b q(◦s)•on ordinals of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g at seriate each RLS№1~№κon the right of №1 RLS№1~№κ.Either there is Jϕ ≥ µp+b q+2 or Jκ ≥ µp+b q+2, uniformly let it to equal Jν. If Jϕ or Jκ<µp+b q+2, then suppose that Jν is the smallest odd prime number which is not smaller than µp+b q+2.Each set of •µp(•s)+b q(◦s)• on ordinals of Jβ+d µp(♠s)+b q(◦s) J g considering aforementioned either case is rewritten as a set of • µp(•s)+b q(◦s)•.If some set of • µp(•s)+b q(◦s)• is defined as a set of ♠ µp(♠s)+b q(◦s)♠, then the set of ♠ µp(♠s)+b q(◦s)♠ is rewritten as a set of ♠µp(♠s)+b q(◦s)♠.Let ν+1≤ω≤g, since there is one №ω kind’s odd point within consecutive Jω odd points, and there is one №ω kind’s odd point within Jωodd points which share an ordinal at seriate JωRLSS№1~№ω-1, therefore there is a series of results as the following.After successively change ◦s for •s at places of № (ν+1) kind’s odd composite points, there are both (Jν+1-µp) sets of •µp(•s)+b q(◦s) • and µp sets of •(µp-1)(•s)+(b q+1)(◦s)• at seriate each RLS№1~№(ν+1)on the right of №1 RLS№1~№(ν+1).Of course, every prime factor of an odd number which each • at here expresses is greater than Jν+1.After successively change ◦s for •s at places of № (ν+2) kind’s odd composite points, there are both(Jν+1-µp)(Jν+2-1)sets of • µp(•s)+b q(◦s) • and µp( Jν+2-1) sets of • (µp-2)(•s)+(b q+2)(◦s)• at seriate each RLS№1~№(ν+2)on the right of №1 RLS№1~№(ν+2). Of course, every prime factor of an odd number which each • at here expresses is greater than Jν+2 .And so on and so forth…Up to after successively change ◦s for •s at places of №g kind’s odd composite points, there are both(Jν+1-µp)(Jν+2-1)( Jν+3-1)…( J g-1) sets of •µp(•s)+b q(◦s)•and µp(Jν+2-1)( Jν+3-1)…( J g-1) pairs of • (µp+b q)(◦s) •at seriate each RLS№1~№g on the right of №1 RLS№1~№g。

“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”的证明王若仲 1 谭谟玉2贵州省务川自治县实验学校王若仲（王洪）贵州省务川自治县农业局谭谟玉摘要：我闲遐之余，喜好研究数学问题，我在一次偶然探究中，发现了“哥德巴赫猜想”的简捷证明方法，即就是不具体研究单个素数的位置如何，也不研究设定区域内素数的数量如何，而是利用集合的概念，设置一定的条件，在宽泛的前提下探讨整体情形，即假设偶数6，8，10，…，（2m-2），（2m）（m≧3）；它们均可表为两个奇素数之和。

设奇合数a1，a2，a 3，…，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（ai＜aj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。

则集合{1，（2m-1）}∪{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{a1，a2，a3，…，a t }有缺项。

利用前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1+2），（a2+2），（a3+2），…，（at+2）}有缺项；利用该结论以及前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1-2），（a2-2），（a3-2），…，（at-2）}也有缺项；假设偶数（2m+2）不能表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，…，ar均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，（ai ＜aj，i＜j，i、j=1，2，3，…，r），r∈N。

则集合{1，（2m+2-1）}∪{（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），…，（2m+2-at）}∪{a1，a2，a3，…，ar}没有缺项。

该集合中的元素均分别减去2后所得集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1-2），（a2-2），（a3-2），…，（at-2）}仍然没有缺项。

这与前面所得结论产生矛盾，说明偶数（2m+2）能表为两个奇素数之和。