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1.素数：一个只有两个因子（1和本身）的大于1自然数，最小的素数为2；2.按定义来判断某个数n是否为素数。
1.解题思路:判断在2-sqrt（n）的范围内是否有n的因子。
如果有，则该数不为素数（即合数）；否则该数就为素数。
2.代码：#includeusing namespace std;bool isPrime(int n){bool prime= true;for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0) //nhas another divisor except 1 and n{prime= false;break;}return prime;}int main( ){int n;cin>>n;if(isPrime(n))cout<<"yes"<<endl;elsecout<<"no"<<endl;return 0;}时间效率为：O(sqrt(n))；*但是当要联系判断多个数是否为素数时，这种方法的效率就太低了。
下面介绍另外一种效率略高的方法3.筛选法求素数：如果要连续判断大量的数是否为素数时，用筛选法是一种不错的方法，但是也有缺点（这点稍后再谈）：在介绍这种方法之前，你必须要明白任何一个素数都可以由多个合数组成。
1.解题思路：1.创建一个长度为n的数组，数组的下标就表示相应的数，其内的值表示该数是否为素数（0表示不是素数，1表示是素数）。
2.将下标为0和下标为1的数组内的内容标为0；3.从2开始，直到p(2<=p<=sqrt(n)),把所有的kp（kp<=n，k=2,3……）都标记为0（即为合数）。
4.输出数组中值为1的数的下标（即为1-n中所有的素数）2.代码：#includeusing namespace std;void isPrime(int *prime,int n){for(int i=2;i*i<=n;i++){if(prime[i]) //从素数开始{for(int j=2*i;j<=n;j+=i) //下标为素数的倍数的数为a合数 prime[j]=0;}}}int main(){int prime[101];for(int i=0;i<101;i++){prime[i]=1;}prime[0]=0;prime[1]=0;isPrime(prime,100);for(int i=0;i<101;i++)if(prime[i]==1) //1表示素数，0表示合数cout<<i<<endl;return 0;}这种算法的时间复杂度小于n*sqrt(n);这种方法有一个缺陷：1.如果判断1000个数是否为素数，但是这些数分布在（1*10^8,1*10^9）范围内时，会造成极大的空间浪费。
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
【数学问题】区间素数区间素数是指在给定的一个闭区间[a,b]内，存在多少个素数。
素数是指只能被1和它本身整除的正整数。
要求区间素数，可以使用埃拉托斯特尼筛法，该算法的基本思想是：从2开始，将每个数的倍数标记为合数，然后在未被标记的数中找到素数。
以下是一个使用Python 实现的埃拉托斯特尼筛法的示例代码：```pythondef sieve_of_eratosthenes(n):primes = [True for i in range(n+1)]p = 2while(p * p <= n):if(primes[p]):for i in range(p * p, n+1, p):primes[i] = Falsep += 1prime_numbers = [p for p in range(2, n+1) if primes[p]]return prime_numbersa, b = 2, 100prime_numbers = sieve_of_eratosthenes(b)count = sum(1 for p in prime_numbers if a <= p <= b)print(count)```在上述代码中，我们首先定义了一个名为`sieve_of_eratosthenes`的函数，用于生成一个从2到给定范围内的所有素数的列表。
然后，我们定义了一个闭区间[a,b]，并调用`sieve_of_eratosthenes`函数生成该区间内的素数列表。
最后，我们使用`sum`函数计算该区间内素数的数量，并将结果打印出来。
当a=2，b=100时，运行上述代码将输出`26`，表示在[2,100]这个区间内有26个素数。
素数个数公式及其推论素数，这玩意儿在数学的世界里就像是特立独行的“独行侠”，神秘又有趣。
今天咱们就来好好聊聊素数个数公式及其推论。
我记得有一次给学生们讲素数的课，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，素数到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
我说：“假设咱们要把一堆苹果平均分，但是只能分成完整的份数，不能有切开的半个苹果。
如果苹果的总数是个素数，那就只能分成 1 份和它本身那么多份，是不是很特别？”小家伙似懂非懂地点点头。
咱们先来说说素数个数公式。
素数个数公式其实就是用来计算在某个范围内素数个数的。
就好像你要在一堆糖果里找出巧克力糖有几颗一样，这个公式就是帮咱们找出素数有多少个的工具。
它大概长这样：π(x) ≈ x / ln(x) 。
这里的π(x)表示不超过 x 的素数的个数，ln(x) 是自然对数。
可别被这看起来有点复杂的式子吓到，其实它背后的道理挺简单的。
比如说，咱们要算 100 以内有多少个素数。
把 100 代进去，就能大概估计出素数的个数。
不过这只是个近似值哦，不是完全准确的，但在很多情况下已经能给咱们提供很有用的参考了。
那素数个数公式又有啥推论呢？这可就有趣啦！其中一个推论就是，随着数字越来越大，素数会变得越来越稀少。
想象一下，就好像在一个大果园里找特别珍贵的水果，越往深处走，找到的难度就越大。
还有一个推论是关于素数之间的间隔的。
有时候两个相邻的素数之间的差距可能会很大，有时候又会比较小，没有固定的规律。
这就像是在操场上跑步，有时候你跨的步子大，有时候步子小，但总体还是在向前跑。
再回到咱们开始说的那个课堂上的小家伙。
后来做作业的时候，他居然自己用这个公式算了几个数，虽然过程有点小错误，但那股认真劲儿真让我欣慰。
总之，素数个数公式及其推论虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就会发现其中的乐趣和奥秘。
就像在一个神秘的宝藏洞穴里探险，每往前走一步，都可能有新的惊喜在等着咱们。
希望大家都能在数学的世界里，找到属于自己的那份乐趣和惊喜！。
素数，指的是除了1和自身外没有其他因子的自然数。
数学家从古至今都对素数表现出浓厚的兴趣，因为素数不仅是数论研究的基石，而且与现代密码学等领域密切相关。
数论中的一个重要问题就是素数分布的研究。
素数虽然无法被简单地表达为某种规律，但人们却发现了素数有一定的分布特点。
最早对素数分布性质的研究要追溯到古代希腊数学家埃拉托斯特尼时期。
他提出了一个被称为埃拉托斯特尼筛法的算法，用于筛选出一定范围内的素数。
虽然这个算法并没有给出素数的分布规律，但它为后来研究素数分布提供了重要的基础。
素数的分布特点有许多经典的结果。
其中，最著名的就是168数筛法所揭示的欧拉公式：Π(n) ~ n/ln(n) ，其中Π(n)表示小于等于n的素数个数，ln(n)是自然对数。
根据欧拉公式，我们可以得知小于等于100的自然数中大约有25个素数，而小于等于1000的自然数中大约有168个素数。
从这一结果不难看出，素数的分布呈现出稀疏的趋势。
然而，虽然欧拉公式描述了素数的大致分布规律，但它并不能准确地预测每个具体范围内的素数个数。
数学家高斯曾经提出过一个连续函数π(x)用以表示小于等于x的素数个数，这个函数被称为素数计数函数。
但直到20世纪，数学家们才能够构造出一个更精确的素数计数函数，这个函数被称为黎曼ξ函数。
黎曼ξ函数的重要性不仅在于它对素数分布的准确描述，还在于它与黎曼猜想的紧密联系。
黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，由19世纪德国数学家黎曼提出。
它的内容是指：所有的非平凡的黎曼ξ函数零点都在一条虚轴上，即虚部都是 1/2。
这个猜想至今没有被证明，但它引发了人们对素数分布性质的深入研究。
目前，关于素数分布还有许多未解决的问题。
例如，素数的孪生对猜想，它指的是一对差值为2的素数，比如（3，5）、（11，13）等。
数学家目前无法确定是否存在无穷多对孪生素数，这个问题仍然是数论的一个重要难题。
素数分布的研究不仅仅是数学中的经典问题，也对现代科学具有重要意义。
自然数学之素数公式一．素数的判别：素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。
所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。
即我们常用的筛法。
但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。
当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。
这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：物体，时间，数量是自然数学的三个要素。
它们的的定义是：1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。
为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。
用应用数学有两个表达方式。
它们的计算方法是一样的。
同余式：函数式：获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：将以上公式作为组合公式：把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。
否则必定是合数。
将以上公式单独应用：1：a为2，3，4，……n/2中的任意一个数，n代人素数等式必然成立。
2：等式不成立，代人n的数必定不是素数。
3：有极少量的合数也能使得公式成立，但比例很小。
且当数字越大，能使公式成立的合数越少，准确率越高。
五：公式的计算和与筛法的对照：我们知道a的n次方是一个相当大的数，但公式的余数必定小于n。
我们可以用因式分解方法解决。
素数的概念数学公式在数学中，素数是指一个大于1且只能被1和它自身整除的正整数，比如2、3、5、7等数字。
其中，2是最小的素数，也是唯一的偶数素数。
素数的概念有着悠久的历史，古印度学者拉康已经把它归纳出来，并且用规范的语言记录下来，而数学家费马把它提出来，用来研究它们及其特性。
素数由现代数学家费马概念简单明了，他把素数定义为“大于1的整数，除了1和它本身外，再无其他的因数。
”这里的因数是指能够把它们可以整除，而2是最小的素数，只有它一个。
素数的特性是它们不能被其他数字除尽，而且它们只能由自身和1相乘组成，没有任何其他数字能够以素数为因数，这也是素数依据定义及其特性的原因。
费马提出了一种方法叫做“素数测试”，用来判断一个整数是不是素数。
它的原理是，当将一个整数n除以从2到它的平方根的整数时，如果有一个能够整除的数，那么就可以断定这个数不是素数了；如果所有的数都不能整除，那么就可以断定这个数是素数了。
给出一个素数的计算公式，把它写成积式的形式，就可以便利地计算它的值。
如果一个数可以用素数的乘积来表示，就可以将它写成如下形式：N=a＊b＊c＊d…其中，a，b，c，d…为素数，N为被表示的数值。
这种写法叫做“素数分解”，是一种将复杂数学问题简化的典型方式。
另外，数学中另一种素数概念叫做“极大素数”，它们是拥有超出统计范围的素数，比如阿拉伯数字中的10亿以上。
极大素数的表达式可以用素数的乘积形式表示，比如用2和5的乘积可以表示为： N=2＊5＊10＊20＊40…由于极大素数比普通素数复杂，因此在使用极大素数时，必须特别注意，以防止出现错误。
总之，素数是数学研究中最基础的一个概念，它的概念简单明了，并且包含着丰富的数学特性，是数学家们研究的重要内容。
而费马的“素数测试”也提供了简洁明了的解释和计算方法，大大提高了确定素数的效率。
同时，素数也可以用乘积的形式表达，这样可以将复杂的数学问题简化，使数学更加容易理解。
终极素数定理终极素数定理是数论中的一项重要定理，它是关于素数分布的一个经典结论。
在数学家们长期的研究中，素数一直是一个引人注目的话题。
素数是指只能被1和它本身整除的自然数，如2、3、5、7、11、13等。
素数的分布一直是数学家们关注的焦点，而终极素数定理正是给出了关于素数分布的一个重要结论。
终极素数定理由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出，并在20世纪由俄罗斯数学家伊万·万科夫证明。
这一定理的精确表述是：当自然数n趋向于无穷大时，不大于n的素数的个数约为n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
这个定理表明，随着自然数的增大，不大于n的素数的个数与n/ln(n)的比值趋近于1。
终极素数定理的证明十分复杂，涉及到高深的数论知识和复杂的数学推理。
其中，最关键的一步是利用了解析数论中的复杂分析方法，通过对数函数的特殊性质进行推导和分析，最终得出了上述结论。
这一证明过程充分展示了数学的美妙和深奥，也为后来的数学家提供了重要的研究思路和方法。
终极素数定理的重要性不仅在于它对素数分布的描述，更在于它与其他数论问题的关联。
例如，根据终极素数定理，我们可以推导出著名的黎曼猜想。
黎曼猜想是19世纪德国数学家伯纳德·黎曼提出的一个关于素数分布的猜想，它预测了素数的分布与复数域中的某个特殊函数的零点有关。
虽然黎曼猜想至今尚未被证明，但终极素数定理为研究者提供了一种重要的思路和方法。
终极素数定理的发现和证明对数论的发展具有深远的影响。
它为研究者们提供了一个全新的视角，从而推动了数论的发展。
此外，终极素数定理也对密码学等领域产生了重要影响。
在现代密码学中，素数的特性被广泛应用于加密算法的设计与分析。
终极素数定理是数论中的一项重要定理，它给出了素数分布的一种精确描述。
这一定理的证明过程复杂而深奥，涉及到高深的数学知识和复杂的推理。
终极素数定理的发现和证明推动了数论的发展，并对其他数论问题以及密码学等领域产生了重要影响。
素数个数“区间下限”公式Prime number "interval lower limit" formula中国重庆退休教师佘赤求著********************摘要素数个数无法准确计算，证明了先进的准确的π(N)下确界公式，就同样可以推导出“1+1”式数“下确界公式”，解答哥德巴赫猜想。
1· 研究背景：作者证明了《N值区间定理》《连续合数定理》，发现已有的π(N)（素数个数）求计公式，全都忽视了“连续合数区间”内素数一样多，隐藏了重大失误，连容斥公式、素数定理也不例外。
于是改进惯例计算方法，证明了该式。
2· 主要成果：素数个数“区间下确界”公式3· 研究思路：发现错误，修正错误。
4· 研究方法：宏观分析研究成败主客观原因，微观探讨克服障碍手段：革新计算方法，应用“筛法”原理，根据乘法分配律计算。
5· 成果功用价值：基础理论是科学之源泉和种子，没有源泉，江河断流。
没有种子，颗粒无收。
没有基础理论的突破、发现，就没有科学的进展。
5·1 现实功用价值：运用同一原理、方法，可以推导出“1+1”式数“下确界公式”，解答哥德巴赫猜想。
5·5 应用前景：不可估量。
6· 成果评价：定理系独创原创首创，发展了基础理论，领先世界；现实应用颇广，功用价值巨大，前景不可估量。
7·成果真假：作者自以为是，因为“解析客观复原客观”的研究方法决定了，结果是客观实际的录像、透视、扫描，也就是客观真相。
是非不由作者一锤定音，行家、时间盖棺论定。
Abstract The number of prime numbers cannot be accurately calculated, and the advanced and accurate π(N) lower bound formula is proved. The “1+1” formula “lower bound formula”can also be derived to answer the Goldbach conjecture.1. Research background: The author proves the "N-value interval theorem" "Continuous Combination Theorem" and finds the existing π(N) (prime number) calculation formula, all ignoring the prime number in the "continuous joint interval" There are as many hidden mistakes, and even the formula and prime theorem are no exception. The formula calculation method was then improved to prove the formula.2. Main results: the formula of the number of prime numbers3. Research ideas: find errors and correct errors.4. Research methods: Macroscopic analysis studies the subjective and objective reasons for success or failure, and microscopically explores ways to overcome obstacles: innovative calculation methods, applying the principle of “screening method”, and calculating according to th e law of multiplication.5. Achievement value: The basic theory is the source and seed of science. There is no source, and the river is cut off. Without seeds, the particles are not collected. Without breakthroughs and discoveries in basic theory, there is no scientific progress.5·1 Realistic utility value: Using the same principle and method, we can derive the “1+1” formula “lower bound formula” and answer the Goldbach conjecture.5·5 Application prospects: immeasurable.6. Evaluation of results: The theorem is the original original creation, developed the basic theory, and leads the world; the practical application is quite wide, the utility value is huge, and the prospect is immeasurable.7. The true and false results: The author is self-righteous, becau se the research method of “analytical objectiverestoration and objectiveness” is determined. The result is objective and practical video, perspective, scanning, that is, objective truth.The right and wrong are not allowed to be hammered by the author, and the experts and time cover it.关键词素数个数计算公式哥德巴赫猜想Key words prime number number calculation formula Goldbach conjecture素数个数“区间下限”公式参考资料没有可用于解决问题的文献.。
素数公式就是数论的丝绸之路。
2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。
2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式。
黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。
也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。
希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<D≤√N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。
.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。
屉部贞世朗编。
259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：清华大学出版社《品学》中的素数公式N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。
(1)其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。
a≠0。
即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。
若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。
(2)例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。
论符合哥德巴赫猜想素数对数量的下限公式一、哥猜素数存在的区间对于偶数m=2n，从0开始至2n分成两个区间（0→n）、（n→2n）；根据切比雪夫定理：若自然数n>2,则n和2n之间至少有1个素数。
根据素数定理：长度为n(n>2)时，素数个数约为：π（n）≈n/ln(n);长度为2n内的素数个数约为：π（2n）≈2n/ln(2n)。
那么，（n→2n）区间内的素数个数约为：π（n）=π（2n）-π（n）。
设p(x)为小素数，p(y)为大素数，那么哥猜如果成立可表示为： P(x)+p(y)=2nP(x)所在区间为：（0→n），p(y)所在区间为：（n→2n）。
P(x)=p(y)=n时，2p=2n，哥猜直接成立。
又，2n内的素数是由√2n内的素数决定的，即不能被√2n的初始素数整除的数，一定是素数。
所以，区间（0→n）内还存在一个初始区间：（0→√2n），则证明哥猜的素数存在的完整区间为：｛0→√2n→n｝，｛n→2n｝。
或者我们令Pi为初始素数，则有：｛0→pi→√2n→p(x)→n→p(y)→2n｝。
二、筛法的理论基础公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：1、“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
2、将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d ≤√N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。
.3、再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。
屉部贞世朗编。
259页）。
（3）、筛法的原理，设√N内的初始素数为pi=(2、3、5、7...pi)，那么，只要筛除pi的所有整数倍的数，剩下的一定都是素数，筛除的区间是（√N→N）。
从2开始，先去除2的整数倍剩余数的占比为（1-1/2)，再从其中筛除3的整数倍（1-1/2)*（1-1/3），再从其中筛除5的整数倍，（1-1/2)*（1-1/3）*（1-1/5）等以此类推，我们有：（1-1/2)*（1-1/3）*（1-1/5）*......*(1-1/pi)。
