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1.素数：一个只有两个因子（1和本身）的大于1自然数，最小的素数为2；2.按定义来判断某个数n是否为素数。
1.解题思路:判断在2-sqrt（n）的范围内是否有n的因子。
如果有，则该数不为素数（即合数）；否则该数就为素数。
2.代码：#includeusing namespace std;bool isPrime(int n){bool prime= true;for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0) //nhas another divisor except 1 and n{prime= false;break;}return prime;}int main( ){int n;cin>>n;if(isPrime(n))cout<<"yes"<<endl;elsecout<<"no"<<endl;return 0;}时间效率为：O(sqrt(n))；*但是当要联系判断多个数是否为素数时，这种方法的效率就太低了。
下面介绍另外一种效率略高的方法3.筛选法求素数：如果要连续判断大量的数是否为素数时，用筛选法是一种不错的方法，但是也有缺点（这点稍后再谈）：在介绍这种方法之前，你必须要明白任何一个素数都可以由多个合数组成。
1.解题思路：1.创建一个长度为n的数组，数组的下标就表示相应的数，其内的值表示该数是否为素数（0表示不是素数，1表示是素数）。
2.将下标为0和下标为1的数组内的内容标为0；3.从2开始，直到p(2<=p<=sqrt(n)),把所有的kp（kp<=n，k=2,3……）都标记为0（即为合数）。
4.输出数组中值为1的数的下标（即为1-n中所有的素数）2.代码：#includeusing namespace std;void isPrime(int *prime,int n){for(int i=2;i*i<=n;i++){if(prime[i]) //从素数开始{for(int j=2*i;j<=n;j+=i) //下标为素数的倍数的数为a合数 prime[j]=0;}}}int main(){int prime[101];for(int i=0;i<101;i++){prime[i]=1;}prime[0]=0;prime[1]=0;isPrime(prime,100);for(int i=0;i<101;i++)if(prime[i]==1) //1表示素数，0表示合数cout<<i<<endl;return 0;}这种算法的时间复杂度小于n*sqrt(n);这种方法有一个缺陷：1.如果判断1000个数是否为素数，但是这些数分布在（1*10^8,1*10^9）范围内时，会造成极大的空间浪费。
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
【数学问题】区间素数区间素数是指在给定的一个闭区间[a,b]内，存在多少个素数。
素数是指只能被1和它本身整除的正整数。
要求区间素数，可以使用埃拉托斯特尼筛法，该算法的基本思想是：从2开始，将每个数的倍数标记为合数，然后在未被标记的数中找到素数。
以下是一个使用Python 实现的埃拉托斯特尼筛法的示例代码：```pythondef sieve_of_eratosthenes(n):primes = [True for i in range(n+1)]p = 2while(p * p <= n):if(primes[p]):for i in range(p * p, n+1, p):primes[i] = Falsep += 1prime_numbers = [p for p in range(2, n+1) if primes[p]]return prime_numbersa, b = 2, 100prime_numbers = sieve_of_eratosthenes(b)count = sum(1 for p in prime_numbers if a <= p <= b)print(count)```在上述代码中，我们首先定义了一个名为`sieve_of_eratosthenes`的函数，用于生成一个从2到给定范围内的所有素数的列表。
然后，我们定义了一个闭区间[a,b]，并调用`sieve_of_eratosthenes`函数生成该区间内的素数列表。
最后，我们使用`sum`函数计算该区间内素数的数量，并将结果打印出来。
当a=2，b=100时，运行上述代码将输出`26`，表示在[2,100]这个区间内有26个素数。
素数个数公式及其推论素数，这玩意儿在数学的世界里就像是特立独行的“独行侠”，神秘又有趣。
今天咱们就来好好聊聊素数个数公式及其推论。
我记得有一次给学生们讲素数的课，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，素数到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
我说：“假设咱们要把一堆苹果平均分，但是只能分成完整的份数，不能有切开的半个苹果。
如果苹果的总数是个素数，那就只能分成 1 份和它本身那么多份，是不是很特别？”小家伙似懂非懂地点点头。
咱们先来说说素数个数公式。
素数个数公式其实就是用来计算在某个范围内素数个数的。
就好像你要在一堆糖果里找出巧克力糖有几颗一样，这个公式就是帮咱们找出素数有多少个的工具。
它大概长这样：π(x) ≈ x / ln(x) 。
这里的π(x)表示不超过 x 的素数的个数，ln(x) 是自然对数。
可别被这看起来有点复杂的式子吓到，其实它背后的道理挺简单的。
比如说，咱们要算 100 以内有多少个素数。
把 100 代进去，就能大概估计出素数的个数。
不过这只是个近似值哦，不是完全准确的，但在很多情况下已经能给咱们提供很有用的参考了。
那素数个数公式又有啥推论呢？这可就有趣啦！其中一个推论就是，随着数字越来越大，素数会变得越来越稀少。
想象一下，就好像在一个大果园里找特别珍贵的水果，越往深处走，找到的难度就越大。
还有一个推论是关于素数之间的间隔的。
有时候两个相邻的素数之间的差距可能会很大，有时候又会比较小，没有固定的规律。
这就像是在操场上跑步，有时候你跨的步子大，有时候步子小，但总体还是在向前跑。
再回到咱们开始说的那个课堂上的小家伙。
后来做作业的时候，他居然自己用这个公式算了几个数，虽然过程有点小错误，但那股认真劲儿真让我欣慰。
总之，素数个数公式及其推论虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就会发现其中的乐趣和奥秘。
就像在一个神秘的宝藏洞穴里探险，每往前走一步，都可能有新的惊喜在等着咱们。
希望大家都能在数学的世界里，找到属于自己的那份乐趣和惊喜！。
素数，指的是除了1和自身外没有其他因子的自然数。
数学家从古至今都对素数表现出浓厚的兴趣，因为素数不仅是数论研究的基石，而且与现代密码学等领域密切相关。
数论中的一个重要问题就是素数分布的研究。
素数虽然无法被简单地表达为某种规律，但人们却发现了素数有一定的分布特点。
最早对素数分布性质的研究要追溯到古代希腊数学家埃拉托斯特尼时期。
他提出了一个被称为埃拉托斯特尼筛法的算法，用于筛选出一定范围内的素数。
虽然这个算法并没有给出素数的分布规律，但它为后来研究素数分布提供了重要的基础。
素数的分布特点有许多经典的结果。
其中，最著名的就是168数筛法所揭示的欧拉公式：Π(n) ~ n/ln(n) ，其中Π(n)表示小于等于n的素数个数，ln(n)是自然对数。
根据欧拉公式，我们可以得知小于等于100的自然数中大约有25个素数，而小于等于1000的自然数中大约有168个素数。
从这一结果不难看出，素数的分布呈现出稀疏的趋势。
然而，虽然欧拉公式描述了素数的大致分布规律，但它并不能准确地预测每个具体范围内的素数个数。
数学家高斯曾经提出过一个连续函数π(x)用以表示小于等于x的素数个数，这个函数被称为素数计数函数。
但直到20世纪，数学家们才能够构造出一个更精确的素数计数函数，这个函数被称为黎曼ξ函数。
黎曼ξ函数的重要性不仅在于它对素数分布的准确描述，还在于它与黎曼猜想的紧密联系。
黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，由19世纪德国数学家黎曼提出。
它的内容是指：所有的非平凡的黎曼ξ函数零点都在一条虚轴上，即虚部都是 1/2。
这个猜想至今没有被证明，但它引发了人们对素数分布性质的深入研究。
目前，关于素数分布还有许多未解决的问题。
例如，素数的孪生对猜想，它指的是一对差值为2的素数，比如（3，5）、（11，13）等。
数学家目前无法确定是否存在无穷多对孪生素数，这个问题仍然是数论的一个重要难题。
素数分布的研究不仅仅是数学中的经典问题，也对现代科学具有重要意义。
自然数学之素数公式一．素数的判别：素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。
所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。
即我们常用的筛法。
但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。
当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。
这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：物体，时间，数量是自然数学的三个要素。
它们的的定义是：1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。
为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。
用应用数学有两个表达方式。
它们的计算方法是一样的。
同余式：函数式：获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：将以上公式作为组合公式：把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。
否则必定是合数。
将以上公式单独应用：1：a为2，3，4，……n/2中的任意一个数，n代人素数等式必然成立。
2：等式不成立，代人n的数必定不是素数。
3：有极少量的合数也能使得公式成立，但比例很小。
且当数字越大，能使公式成立的合数越少，准确率越高。
五：公式的计算和与筛法的对照：我们知道a的n次方是一个相当大的数，但公式的余数必定小于n。
我们可以用因式分解方法解决。
