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埃拉托塞尼筛法的素数公式与黎曼猜想的素数公式-一都是来自埃氏筛一、摘要本文把黎曼猜想与素数普遍公式通过埃拉托塞尼筛法联系起来了。
［编辑本段1二，黎曼假设概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家蚕尔伯特列出23个数学问题.其中第8问题中便有黎曼假设(还包括挛生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于索数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826-1866)观察到，素数的频率•紧密相关于。
⑴时,(5)2 2 22+……。
(当(5)式的r=L时) 2(1.1尸=1 +上+ £3 3 32O (当(5)式的r=：时)(1.J_)T=1+-L+£+ .... (当(5)式的r=—nt) 5一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z(s)=。
的所有有意义的解都在一•条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,00。
个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕索数分布的许多奥秘带来光明。
1730年，欧拉在研究调和级数：1 1 1 1—=1 + — + — +...+ —n 2 3 n发现：V，1 1 1 1 1 1 1 IT 小1、.]〉一=(1 + — + -+・..)(1 + — + "V + ...)(1 + — + +…)...... =II (1 --------) o (2) n 2 22 3 32 5 52 1 1 P其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n s (s>1),即可。
人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！质数，也称素数，指大于1的自然数中，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。
今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素数定理。
这是目前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。
欧几里德欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程。
大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道：'素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。
不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。
n^2-n+41，n等于1到40'。
欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：'一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。
'后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的贡献相当多，数论四大定理之一就有个——欧拉定理，而欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的金钥匙。
欧拉和欧拉乘积式对素数的研究，欧拉过后，直到高斯才有了进展，大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。
同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。
证我者，得永生！直到一百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明，他们的证明都是根据黎曼的思路走的，其中运用到了高深的整函数理论，至此，这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT）。
素数定理值得一提的，他们两人一个活了96岁，一个活了98岁。
素数定理还有个初等表达式：素数定理初等表达式该定理可以推出很多有趣的结论，比如：N是素数的概率～1/lnN；第N个素数～NlnN；这两个推论和PNT互为充要条件。
筛法求素数一，确定素数。
二，以此数为圆心，作对称轴。
三，逐步减去该圆周长的一半，直至结果为素数。
四，看哪个素数与对称轴之积最大，则是这个素数。
如上面所示： 16与15的差=1，这样，很快就能看出这个素数是1。
五，如果不符合条件，那么必须重新开始。
找到符合条件的数后，再用筛法。
…我的老师——赵老师为了表示大自然对我们的恩泽，便出了一道题给我们做。
我听到了这个消息时，高兴得两只手抓住了头发，感觉头发都快掉光了。
“太棒了！我终于可以摆脱他们啦！”找出来，每天除了吃饭、睡觉，其余的时间我都花在寻找素数和合数上面了。
我把找素数和合数当成游戏一般，玩耍一番。
我去问爸爸妈妈，我从她们那里得知方程就是求未知数的值的，我很惊奇，便去查资料。
方程是一种解决数学问题的等式，是比较重要的数学模型之一。
它既是一种等式，又是一个未知数。
同时也是具有等号左边的值和右边的未知数的等式。
有时候，我感觉很难理解它的含义。
我去翻阅书本，书上写着：“方程就是用一个未知数和一个已知数表示出两个数之间的关系。
例如： X+Y=Y，则X和Y就叫做方程的未知数，X和Y就叫做方程的两个数，而方程里的未知数，等于方程两边的数的总和。
”书上讲的是那么的清晰，我渐渐地明白了方程的意思。
“接下来就是探索素数和合数的奥秘了。
”老师说道。
随着老师这一声令下，同学们又在火热的研究素数和合数的道路上狂奔。
我问同学们，他们问了一些同学，我一点也没想到一道简单的题，可以出现这么多问题。
由于没有经验，我研究了很久，还是没能解决。
老师走过来，亲切地对我说：“你怎么了？这道题目是这样做的，为什么不会呢？”“对啊，你能告诉我吗？”我回答道。
老师不紧不慢地说：“好吧，这样做吧！”说完，老师便教我做这道题。
老师解释道：“这样的做法：素数÷1÷2÷3÷4÷5，同理，合数也是这样算的。
”我恍然大悟，原来做题可以这么简单。
在我们班上，还有一位特殊的数学家——罗嘉东，同学们都尊敬地称呼他为“罗爷”。
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
哥德巴赫猜想题哥德巴赫猜想题是数学领域里的一个经典猜想，它是存在于其他数学领域中许多领域的奇怪事物之中的一个。
该猜想的内容是，任何一个大于二的偶数，都可以分解为三个素数之和，即偶数n=a+b+c(a,b,c均为素数)。
虽然哥德巴赫猜想题在初学者眼中可能会被看作是一个小学奥数题，但它现在仍然是一个未能得到证明的数学难题。
首先，我们来了解一下素数的定义。
素数指的是在大于1的正整数中，除了1和它本身以外，没有其他因数的数，即只能被1和它本身整除的数。
例如，2,3,5,7,11,13等都是素数。
由于哥德巴赫猜想题是众多数学难题中的一个，它的解答尚未被证明，因此相关研究人员对此进行了大量的探究，目前也产生了一些有关猜想的新发现。
其次，许多学者在研究哥德巴赫猜想题时，首先会从整数本身入手，寻找整数间的规律，希望从中发现一些答案的线索。
例如，研究人员发现，偶数可以表示为两个素数的和，从数学上来说，可以表示为Goldbach猜想：如果给定一个大于2的偶数，那么它总能表示成两个素数之和。
然后，研究者们开始尝试应用数论的相关知识，探寻哥德巴赫猜想的证明。
在研究的过程中，他们发现了一些有趣而奇特的规律。
例如，从3到数值特别大的范围内，数学家们发现了哥德巴赫猜想在各数字范围内的成立情况。
这也暗示着在有一个极大的质数范围内，哥德巴赫猜想依然成立。
最后，我们来看看哥德巴赫猜想背后的科学思维与思维方法，可以总结如下：1. 知识面宽广：在研究哥德巴赫猜想时，研究者需要掌握整数、素数、数形结构等相关知识。
2. 用直觉来指导思考：有时候，直觉能够指引着我们去从不同的角度来分析问题，这可以帮助我们更深刻地理解问题的本质。
3. 尝试寻找规律：找到问题的规律能够给我们带来多种方法，从而突破瓶颈，可以让我们发现问题。
4. 运用证明方法：证明是数学研究中必不可少的一部分，因此，掌握证明的方法并在解决问题时运用证明的思维方法是非常重要的。
哥德巴赫猜想这个问题的解答并不是那么容易就能得到的，但是在解答的过程中，研究者们得到的知识和思考方式、证明工具等都会对解决其它数学难题和科学研究等都有很大的帮助。
哥德巴赫猜想求素数
哥德巴赫猜想是一个数论问题，提出者是德国数学家哥德巴赫。
该猜想的内容是：每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
具体来说，假设我们有一个大于2的偶数n，我们要证明存在两个素数p和q，使得n = p + q。
举个例子，偶数10可以表示为5 + 5，这里5是素数。
或者，偶数16可以表示为11 + 5，这里11和5都是素数。
哥德巴赫猜想虽然很简洁，却一直没有被证明。
许多数学家都花费了很多时间和精力来尝试证明这个猜想，但至今仍然没有成功。
目前，已经证明了该猜想对于范围内的所有偶数成立，但对于更大的数字，仍然没有得到证实。
这个猜想在数论中仍然是一个未解之谜。
一些数学家对哥德巴赫猜想进行了一些限制，提出了一般化的哥德巴赫猜想，即任意大于2的整数都可以表示为至多k个素数之和，k 是一个固定的正整数。
这个更加一般化的猜想同样没有被证明。
虽然哥德巴赫猜想仍然未解决，但它在数论领域中引发了很多有趣的研究和讨论。
人们希望在未来能够找到证明这个猜想的方法，并揭开这个数学谜题的真相。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数对猜想一、题目:题目链接让我们定义d n为：d n=p n+1−p n，其中p i是第i个素数。
显然有di=1，且对于n>1有dn是偶数。
“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。
现给定任意正整数N(<105)，请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。
二、输入格式:输入在一行给出正整数N。
输出格式：在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。
三、输入样例:20输出样例:4四、设计思路：由于题目的要求是相邻且相差为二的素数,所以我们可以直接令前面一个数为i，后面一个数就为i+2，然后判断这两个数是否都是素数，如果是的话，那么统计素数对的变量就加1；外面再嵌套一个do-while循环就ok了，注意循环的终止条件是i+2<=num,而不是i<=num,如果是i<=num的话，那么可能就会越界，不满足题目的要求，还有一点就是在素数的判断的函数中，如果将判断素数的循环条件变为以下代码：for(i=2;i<num;i++)if(num%i==0){flag=0;break;}虽然最后的结果不会出现问题，但是对程序的时间复杂度会有很大的影响，我在网上做这道题时最开始就是这么写的，由于那个网站的对程序运行的时间有限制，所以这样写就不能通过，需要改善代码降低时间复杂度才能通过，于是我就想对素数判断的函数的循环进行改进，本质上就是减少了循环的次数，改进后的代码如下：for(i=2;i<=sqrt(num);i++)if(num%i==0){flag=0;break;}五、完整代码:#include<stdio.h>#include<math.h>int JudgePrimeNum(int num);int main(){int num;int i=1;int flag=0;scanf("%d",&num);do{if(JudgePrimeNum(i)==1&&JudgePrimeNum(i+2)==1) flag=flag+1;i++;} while (i+2<=num);printf("%d",flag);return 0;}//判断数字是否为素数int JudgePrimeNum(int num){int flag=1;if(num==1){flag=0;}else if(num==2||num==3){flag=1;}else{int i;for(i=2;i<=sqrt(num);i++) if(num%i==0){flag=0;break;}}return flag;}六、输出效果：。
哥德巴赫猜想素数和式个数计算公式李联忠（营山中学 四川营山 637700）摘要：哥德巴赫猜想素数和式个数计算公式：∑-∑-∑-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=≠==p p p x p p x p x Gi i i i j k j k j kkj ik k k in n n n 2112,1211)1()1()1(、 +q-h不大于n 2的素数均是2n 的约数时，哥德巴赫猜想计算公式pp p p p p p p G iikkin 11112211-⋅⋅-⋅⋅-⋅-⋅= +q-h 关键词：数论 哥德巴赫猜想 公式中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 引理：若p pn i21i 2+≤＜，p p p pp i ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，则在1、2、3…n 中去掉pk的倍数，余下的数（1除外）全为素数。
设p pn i21i 22+≤＜p p p pp i ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，N=2n 的和式N=2n=1+（2n -1）=2+（2n-2）=…=m+(2n-m)=…=(n+n) (1≤m ≤n)若pk|（2n-m ） 则2n ≡m （modpk) 设2n 除以pk的余数为N(pk)， N(pk)≠0，这时应在1、2、…n 中去掉两个同余类（余N （pk）和0），才能保证余下和式中，m 、（2n-m ）都不是pk的倍数,N(pk)=0,这时应在1、2、3、…n 中去掉一个同余类（余0），就能保证余下和式中，m 、(2n-m)都不是pk的倍数。
这样，余下和式全为两素数之和（1没去掉时，含1的和式除外），加上不大于p i的素数和，则2n 表示成两素数之和的种数∑-∑-∑-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=≠==p p p x p p x p x Gi i i i j k j k j kkj ik k k in n n n 2112,1211)1()1()1(、 +q-h1,012(==-=h h n q p i是素数是合数的素数和的个数，不大于))(mod (0,),)(mod (0);(mod 0222211p p p x p p p xp x iiii n n -≡-≡≡或或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≡-≡≡⎪⎩⎪⎨⎧-≡-≡))(mod (0))(mod (0)(mod 0))(mod (0))(mod (01222212112p p p p p p x p x p p p x p p p x i i i ii i j j j kjkk k kj n n n n 或或或或 n(pk)表n 除以pk的余数，n （pk）=0，只取余数0，［ ］为取整号，x x i1；…，xkj…；…xk12…为中国剩余定理同余组的解，)3(),()(≥=pp p kkkN n ）),1(,2,,11k21i k p pp p p p i i≤≤=+为连续素数，，证明：］示为［的两个同余类个数可表和余余则要去掉的模或设px p pp p px kk kkkkkk n n n +-≡)(0),)(mod(0则前面多或或设］［数的个数可表示为个素数要去掉的同余类前,))(mod (0))(mod (0;1⎪⎩⎪⎨⎧-≡-≡+∑=p p p x p p p x p x j j j kjkk k kj ik k k n n n i］，应加上；［去掉的个数可表示为∑≠=+i ji j k jkkjpp x n ,1, 则前面多加的或或或设,))(mod ((0))(mod (0))(mod (0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≡-≡-≡p p p x p p p x p p p x j j j lkj kk k lkj l l l lkjn n n以有应减去；以此类推，所］［个数表示为,,1,,∑≠≠=+ijk l j k l jkllkjpp p x nhq n n n n n pp p x pp p x pp x px G iiiijk l j k l jkllkjijk j k jkkjik kki -+++++++++-=∑-∑-∑∑≠≠=≠==］［］［］［］［ 2112,1,,3,1,1)1()1()1,012(==-=h h n q p i是素数是合数的素数和的个数，不大于其中 例：求46表示为两素数和的和式个数。
