二次函数中考试题分类汇编
一、选择题
1、已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:
① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤
)(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结论有( )B
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2、如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ).B (A )②④
(B )①④
(C )②③ (D )①③
3、二次函数2
21y x x =-+与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为( )A
5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大
B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小
O x
y O x y O
x
y O
x
y
A
B C D
C. 存在一个负数x 0,使得当x
D. 存在一个正数x 0,使得当x
6、已知二次函数y =x 2-x+a (a >0),当自变量x 取m 时,其相应的函数值小于0,那么下
列结论中正确的是( )B
(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0
(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题
1、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图8所示,
且P =| a -b +c |+| 2a +b |,Q =| a +b +c |+| 2a -b |, 则P 、Q 的大小关系为 . P 2 31y ax x a =-+-的图象,那么a 的值是 .-1 3、已知二次函数2 2y x x m =-++的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程 220x x m -++=的解为 . 11x =-,23x =; 4、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点()P a bc ,在第 象限. 三 三、解答题 1、知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B (1,0),且经过点C (2,8)。 (1)求该抛物线的解析式; 图8 x y O 第4题 O y x 图9 y x O 1 3 (第3题) (2)求该抛物线的顶点坐标。 解:(1)设这个抛物线的解析式为c bx ax y ++=2 由已知,抛物线过)0,2(-A ,B (1,0),C (2,8)三点,得 ?? ? ??=++=++=+-8240024c b a c b a c b a (3分)解这个方程组,得4,2,2-===c b a ∴ 所求抛物线的解析式为4222 -+=x x y (6分) (2)2 9)2 1(2)2(24222 2 2-+=-+=-+=x x x x x y ∴ 该抛物线的顶点坐标为)2 9,21(-- 2、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为(14)A -,,且过点(30)B ,. (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 解:(1)设二次函数解析式为2 (1)4y a x =--, Q 二次函数图象过点(30)B ,,044a ∴=-,得1a =. ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--,即223y x x =--. (2)令0y =,得2 230x x --=,解方程,得13x =,21x =-. ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30),和(10)-,. ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点. 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40), 3、已知二次函数图象的顶点是(1 2)-,,且过点302? ? ??? ,. (1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证:对任意实数m ,点2 ()M m m -, 都不在这个 二次函数的图象上. 解:(1)依题意可设此二次函数的表达式为2 (1)2y a x =++, ········································ 2分 又点302?? ??? ,在它的图象上,可得322 a =+,解得12a =-. 所求为21 (1)22 y x =- ++. 令0y =,得121 x x =, 画出其图象如右. (2)证明:若点M 在此二次函数的图象上, 则22 1(1)22 m m -=-++. 得2230m m -+=. 方程的判别式:41280-=-<,该方程无解. 所以原结论成立. 4、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图9所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程2 0ax bx c ++=的两个根.(2分) (2)写出不等式20ax bx c ++>的解集.(2分) (3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(2分) (4)若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 解:(1)11x =,23x = (2)13x << (3)2x > (4)2k < 5、如图13,已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B . (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P (m ,m )与点Q 均在该函数图像上(其中m >0),且 这两点关于抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的 距离. 解:(1)将x =-1,y =-1;x =3,y =-9分别代入c x ax y +-=42 得 ???+?-?=-+-?--?=-. 3439, )1(4)1(122c a c a 解得 ? ??-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642--=x x y . (2)对称轴为2=x ;顶点坐标为(2,-10). (3)将(m ,m )代入642--=x x y ,得 642--=m m m , 解得121,6m m =-=.∵m >0,∴11-=m 不合题意,舍去. ∴ m =6.∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称,∴点Q 到x 轴的距离为6. 6、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于 A B ,两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23), 和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式; (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角 PCO ∠与ACO ∠的大小(不必证明),并写出此时点P 解:(1)Q 二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(23), 和(图13 ∴由1242393212. b a a b c a b ?-=??++=??-+=-? ? ,, 解得123.a b c =-?? =??=?,, ∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++. (2)假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),使得以 B O D ,,为顶点的三角形与BA C △相似. 在223y x x =-++中,令0y =,则由2 230x x -++=,解得1213x x =-=, (10)(30)A B ∴-,,,.令0x =,得3y =.(03)C ∴,. 设过点O 的直线l 交BC 于点D ,过点D 作DE x ⊥轴于点E . Q 点B 的坐标为(30),,点C 的坐标为(03),,点A 的坐标为(1-4345. AB OB OC OBC ∴===∠=o ,,BC ∴==要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△, 已有B B ∠=∠,则只需BD BO BC BA = , ① 或 .BO BD BC BA = ② 成立. 若是①,则有344 BO BC BD BA ?= ==g .而45OBC BE DE ∠=∴=o ,. ∴在Rt BDE △中,由勾股定理,得2 2222 24BE DE BE BD ??+=== ? ??? . 解得 94BE DE == (负值舍去).93 344 OE OB BE ∴=-=-=. ∴点D 的坐标为3944?? ???,.将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中,求得3k =. ∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =. [或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+,则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为 3y x =.此时易知BOD BAC △∽△,再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+.联立33y x y x ==-+,求得点D 的坐标为3944?? ??? ,.] 若是②,则有BO BA BD BC = ==g .而45OBC BE DE ∠=∴=o ,. ∴在Rt BDE △ 中,由勾股定理,得2 2 2 2 22BE DE BE BD +===. 解得 2BE DE ==(负值舍去).321OE OB BE ∴=-=-=.∴点D 的坐标 为(12),. 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中,求得2k =.∴满足条件的直线l 的函数表达式为 2y x =. ∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),使得以 B O D ,,为顶点的三角形与BA C △相似,且点 D 的坐标分别为3944?? ??? ,或(12), . (3)设过点(03)(10)C E ,, ,的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P . 将点(10)E ,的坐标代入3y kx =+中,求得3k =-.∴此直线的函数表达式为33y x =-+. 设点P 的坐标为(33)x x -+, ,并代入2 23y x x =-++,得25 x x -=解得1250x x ==,(不合题意,舍去).512x y ∴==-,. ∴点P 的坐标为(512)-,.此时,锐角PCO ACO ∠=∠. 又Q 二次函数的对称轴为1x =, ∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23),. ∴当5p x >时,锐角PCO ACO ∠<∠;当5p x =时,锐角PCO ∠=当25p x <<时,锐角PCO ACO ∠>∠. 7、如图,矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上,边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的.O ’点在x 轴的正半轴上,B 点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1.求这个二次函数的解析式; (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得ΔPOM为直角三角形?若存在,请求出P点的坐标和ΔPOM的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边C’O’所在直线的解析式. 8、容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比,即t = 用地面积 建筑面积S M ,为充分利用 土地资源,更好地解决人们的住房需求,并适当的控制建筑物的高度,一般地容积率t 不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时,结合往年开发经验知,建筑面积M (m 2)与容积率t 的关系可近似地用如图(1)中的线段l 来表示;1 m 2建筑面积上的资金投入Q (万元)与容积率t 的关系可近似地用如图(2)中的一段抛物线段c 来表示. (Ⅰ)试求图(1)中线段l 的函数关系式,并求出开发该小区的用地面积; (Ⅱ)求出图(2)中抛物线段c 的函数关系式. 解:(Ⅰ)设线段l 函数关系式为M =kt +b ,由图象得 ???=+=+.800006,280002b k b k 解之,得???==.2000,13000b k ∴线段l 的函数关系式为M =13000t +2000, 1≤t ≤8. 由t = 用地面积 建筑面积S M 知,当t =1时,S 用地面积=M 建筑面积, 把t =1代入M =13000t +2000中,得M =15000 m 2. 即开发该小区的用地面积是15000 m 2. (Ⅱ)根据图象特征可设抛物线段c 的函数关系式为Q =a ( t -4)2+k , 把点(4,0.09), (1,0.18)代入,得 ???=+-=.18.0)41(,09.02 k a k 解之,得??? ???? ==. 1009,1001k a ∴抛物线段c 的函数关系式为 Q = 1001( t -4)2+1009,即Q =1001t 2-252t +4 1 , 1≤t ≤8. 9、如图10,已知抛物线P :y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上),与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段 BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: y … - 52 -4 - 52 0 … (1) 求A 、B 、C 三点的坐标; (2) 若点D 的坐标为(m ,0),矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围; (3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点 M ,使FM =k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同,完全正确解答只能得到5分): (2) 若点D 的坐标为(1,0),求矩形DEFG 的面积. 解:⑴ 解法一:设2(0)y ax bx c a =++?, 任取x ,y 的三组值代入,求出解析式21 42 y x x =+-, ·········································· 1分 令y =0,求出124,2x x =-=;令x =0,得y =-4, ∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2,0),B (-4,0),C (0,-4) . ······················· 3分 解法二:由抛物线P 过点(1,-52),(-3,5 2 -)可知, 抛物线P 的对称轴方程为x =-1,················································································ 1分 又∵ 抛物线P 过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2,0),B (-4,0),C (0,-4) . ································ 3分 ⑵ 由题意,AD DG AO OC = ,而AO =2,OC =4,AD =2-m ,故DG =4-2m , ······ 4分 又 BE EF BO OC = ,EF =DG ,得BE =4-2m ,∴ DE =3m , ········································· 5分 ∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2 (0<m <2) . ········································· 6分 注:也可通过解Rt △B OC 及Rt △AOC ,或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. ⑶ ∵S DEFG =12m -6m 2 (0<m <2),∴m =1时,矩形的面积最大,且最大面积是6 . 当矩形面积最大时,其顶点为D (1,0),G (1,-2),F (-2,-2),E (-2,0), ··· 7分 设直线DF 的解析式为y =kx +b ,易知,k =23,b =-23,∴22 33 y x =-, 又可求得抛物线P 的解析式为:21 42 y x x =+-, ·············································· 8分 令2233x -=21 42 x x +-,可求出x =161-?. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ,则N 的横 图10 ,过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ,有 FN HE DF DE = =233 -- ······························································· 9分 点M 不在抛物线P 上,即点M 不与N 重合时,此时k 的取值范围是 k 且k >0. ··································································································· 10分 说明:若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: ⑵ ∵AD DG AO OC = ,而AD =1,AO =2,OC =4,则DG =2, ································· 4分 又∵FG CP AB OC = , 而AB =6,CP =2,OC =4,则FG =3, ∴S DEFG =DG ·FG =6. 10、(2007山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(12),,点B 的坐标为(31),,二次函数2 y x =的图象记为抛物线1l . (1)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A ,但不过点B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可). (2)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过A B ,两点,记为抛物线2l ,如图②,求抛物线2l 的函数表达式. (3)设抛物线2l 的顶点为C ,K 为y 轴上一点.若ABK ABC S S =△△,求点K 的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ,使ABP △为等腰三角形.若存在,请判断点P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师. x 图① x 图② x 图③ 解:(1)有多种答案,符合条件即可.例如2 1y x =+,2 y x x =+,2 (1)2y x =-+或 223y x x =-+ ,2(1)y x = ,2(1y x =--. (2)设抛物线2l 的函数表达式为2 y x bx c =++, Q 点(12)A ,,(31)B ,在抛物线2l 上, 12931b c b c ++=?∴? ++=?,解得9211. 2 b c ? =-????=??, ∴抛物线2l 的函数表达式为2911 22 y x x =- +. (3)2 29119722416y x x x ??=-+=-+ ???,C ∴点的坐标为97416?? ??? ,. 过A B C ,,三点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D E F ,,, 则2AD =,716CF = ,1BE =,2DE =,54DF =,3 4 FE =. ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形. 117517315 (21)22122164216416 ????= +?-+?-+?= ? ?????. 延长BA 交y 轴于点G ,设直线AB 的函数表达式为y mx n =+, Q 点(12)A ,,(31)B ,在直线AB 上,213.m n m n =+?∴?=+?,解得125. 2 m n ? =-??? ?=??, ∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+.G ∴点的坐标为502?? ??? ,. x 2 设K 点坐标为(0)h ,,分两种情况: 若K 点位于G 点的上方,则5 2 KG h =- .连结AK BK ,. 151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ??? ?=-=??--??-=- ? ???? ?△△△. 1516ABK ABC S S == Q △△,515216h ∴-=,解得5516h =.K ∴点的坐标为55016?? ??? ,. 若K 点位于G 点的下方,则52 KG h = -.同理可得,25 16h =. K ∴点的坐标为25016?? ??? ,. (4)作图痕迹如图③所示. 由图③可知,点P 共有3个可能的位置. 11、如图,抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2。 (1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; (2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由。 x 解:(1)令y=0,解得11x =-或23x =(1分) ∴A (-1,0)B (3,0);(1分) 将C 点的横坐标x =2代入2 23y x x =--得y=-3,∴C (2,-3)(1分) ∴直线AC 的函数解析式是y=-x -1 (2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)(注:x 的范围不写不扣分) 则P 、E 的坐标分别为:P (x ,-x -1),(1分) E (2 (,23)x x x --(1分) ∵P 点在E 点的上方,PE=2 2 (1)(23)2x x x x x -----=-++(2分) ∴当12x = 时,PE 的最大值=9 4 (1分) (3)存在4个这样的点F ,分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)F F F F - 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1.(2015·浙江湖州,1,3分)-5的绝对值是() A.-5 B.5 C.-1 5 D. 1 5 解析∵|-5|=5,∴-5的绝对值是5,故选B. 答案 B 2.(2015·浙江嘉兴,1,4分)计算2-3的结果为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析2-3=-1,故选A. 答案 A 3.(2015·浙江绍兴,1,4分)计算(-1)×3的结果是() A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析(-1)×3=-3,故选A. 答案 A 4.(2015·浙江湖州,3,3分)4的算术平方根是() A.±2 B.2 C.-2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2,故选B. 答案 B 5.(2015·浙江宁波,3,4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为() A.0.6×1013元B.60×1011元 C.6×1012元D.6×1013元 解析6万亿=60 000×100 000 000=6×104×108=6×1012,故选C.答案 C 6.(2015·江苏南京,5,2分)估计5-1 2介于() A.0.4与0.5之间B.0.5与0.6之间C.0.6与0.7之间D.0.7与0.8之间解析∵5≈2.236,∴5-1≈1.236, ∴5-1 2≈0.618,∴ 5-1 2介于0.6与0.7之间. 答案 C 7.(2015·浙江杭州,2,3分)下列计算正确的是() A.23+26=29B.23-26=2-3 C.26×23=29D.26÷23=22 解析只有“同底数的幂相乘,底数不变,指数相加”,“同底数幂相除,底数不变,指数相减”,故选C. 答案 C 8.★(2015·浙江杭州,6,3分)若k<90<k+1(k是整数),则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 解析∵81<90<100,∴9<90<100.∴k=9. 答案 D 9.(2015·浙江金华,6,3分)如图,数轴上的A,B,C,D四点中,与表示数-3的点最接近的是 () A.点A B.点B C.点C D.点D 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(10分)(2015?佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画. (1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标; (3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标. 【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,). 【解析】 试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标; (2)联立两解析式,可求出交点A的坐标; (3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直 线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛 物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标. 试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, 故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4); (2)联立两解析式可得:,解得:,或. 故可得点A的坐标为(,); (3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B. S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣×× =4+﹣ =; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积. 设直线PM的解析式为y=x+b, ∵P的坐标为(2,4), ∴4=×2+b,解得b=3, ∴直线PM的解析式为y=x+3. 由,解得,, ∴点M的坐标为(,). 考点:二次函数的综合题 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3. 23、锐角三角函数 要点一:锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是( ) A . 3 5 B . 43 C .34 D .4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tan A = 1 3 ,则sin B =( ) A . 10 B . 23 C . 3 4 D . 10 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+= sin AC B AB = = 3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则sin B 的值是( ) A . 23 B .32 C .34 D .43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D 4.(2009·湖州中考)如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是( ) A .sin 2A = B .1tan 2A = C .cos 2 B = D .tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中,1BC =,2AB =,所以AC 所以1 sin 2 A = , cos A ,tan A = ;sin B 1cos 2B = ,tan B = 5.(2008·温州中考)如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,已知2CD =, 3AC =,则sin B 的值是( ) A . 2 3 B . 32 C . 34 D . 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线,得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.(2007·泰安中考)如图,在ABC △中,90ACB ∠= ,CD AB ⊥于D ,若AC = AB =tan BCD ∠的值为( ) (A (B )2 (C )3 (D ) 3 答案:B A C B D 中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、(天津市)已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:① ;②;③;④;⑤,( 的实数)其中正确的结论有()B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是().B (A)②④(B)①④(C)②③(D)①③ 3、(2007广州市)二次函数与x轴的交点个数是()B A.0B.1C.2D.3 4、(2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()A 5、(2007四川资阳)已知二次函数(a≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0)。下列结论正确的是()D A. 当x>0时,函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时,函数值y随x的增大而减小2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
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