高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量学案北师大版必修

1 2.3 从速度的倍数到数乘向量

知识梳理

1.向量数乘

（1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

λa的长度与方向规定如下：|λa|=|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.

（2）向量数乘的运算律

设λ、μ是实数，则有λ(μa)=(λμ)a；(λ+μ)a=λa+μ a；λ(a+b)=λa+λb.

（3）向量数乘的几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小|λ|倍.

2.向量的线性运算

（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.

（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.

3.向量共线的判定定理和性质定理

判定定理：如果a=λb，则a∥b；

性质定理：如果a∥b（b≠0），则一定存在一个实数λ，使得a=λb.

4.平面向量基本定理

如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=a1e1＋a2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式.

5.直线的向量参数方程式

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数ｔ，使OP=(1-t)OA+tOB,这个等式又称为直线l的向量参数方程式.

知识导学

1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.

2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.

3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用.

疑难突破

1.向量共线定理有何应用？

剖析：学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.

（1）判定定理的结论是a∥b，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线.

例如：设OA=a，OB=b，OC=21（a+b）,求证：AB∥BC.

证明：由题意得AB=b-a，BC=OC-OB=21（b+a）-b=21（a-b）， 2 ∴BC=-21AB.

∴AB∥BC.

由此可见，证明向量a∥b，只需找到满足a=λb的实数λ的一个值即可.

（2）判定定理的结论是a∥b，则有当OA=a，OB=b时，有O、A、B三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线.

例如：设OA=a，OB=b，OC=21（a+b）,求证：A、B、C三点共线.

证明：由题意得AB=b-a.

BC=OC-OB=21（a+b）-b=21（a-b）,

∴BC=21AB.∴AB∥BC.

∴A、B、C三点共线.

由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.

（3）判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.

例如：如图2-3-1，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜x＜1.

图2-3-1

求证：DE∥BC且DE=xBC.

证明：∵AD=xAB，AE=xAC，

∴AD=xAB，AE=xAC.

∴DE=AE-AD=x(AC-AB)=xBC.

∴DE∥BC.

∴DE∥BC且DE=xBC.

由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.

（4）性质定理的结论是a=λb，则有|a|=|λ|·|b|，当OA=a，OB=b时，|OA|=|λ|·|OB|，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.

例如：如图2-3-2，平行四边形OACB中，BD=31BC，OD与BA相交于E. 3

图2-3-2

求证：BE=41BA.

证明：设E′是线段BA上的一点，且BE′=41BA.

设OA=a，OB=b，则BD=31a，OD=b+31a.

∵'BE='OE-b，E′A=a-'OE，3'BE=E′A,

∴3('OE-b)=a-'OE.

∴'OE=41 (a+3b)= 43 (b+31a).

∴'OE=43OD.

∴O、E′、D三点共线，即E，E′重合.

∴BE=41BA.

由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.

2.如何正确认识平面向量基本定理？

剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.

平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2（基底）的唯一线性组合形式λ1e1＋λ2e2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.

例如：（经典回放）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（ ）

A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) B.λ(AB+BC),λ∈(0,22)

C.λ(AB-AD),λ∈(0,1) D.λ(AB-BC),λ∈(0, 22)

思路解析：如图2-3-3所示，

4 图2-3-3

由向量的运算法则得：AB+AD=AC，

又点P在对角线AC上，则AP∥AC,且|AP|＜|AC|.

∴存在实数λ使AP=λAC,λ∈(0,1).

答案：A

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朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。 5 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。