高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案数学教案

2.3.2平面向量基本定理

整体设计

教学分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.

三维目标

1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.

2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

重点难点

教学重点:平面向量基本定理.

教学难点:平面向量基本定理的运用.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a.是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢？

思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？

推进新课

新知探究

提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

图1 ②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.

活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a..过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA.交于点M;过点C作平行于直线OA.的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM=λ1e1,ON=λ2e2.由于OC=OM+ON,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a.都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.

由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.

由此可得:平面向量基本定理:

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a.=λ1e1+λ2e2.

定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2)基底不唯一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a.在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式唯一.

讨论结果:①可以.

②a=λ1e1+λ2e2.

提出问题

①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:

图2

已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a.与b的夹角.

显然,当θ=0°时,a.与b同向;当θ=180°时,a.与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.

如果a与b的夹角是90°,我们说a.与b垂直,记作a.⊥b.

由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a.,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.

讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间\[0°,180°\]内;向量与直线的夹角不一样.

②可以.

应用示例 思路1

例1 如图3,ABCD中,AB=a.,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=31BC,以a.,b为基底分解向量AM与HF

图3 活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.

解:由H、M、F所在位置,有

AM=AD+DM=AD+21DC=AD+21AB=b+21a..

HF=AF-AH=AB+BF-AH=AB+31BC-21AD

=AB+31AD-21AD

=a-61b

点评:以a.、b为基底分解向量AM与HF,实为用a.与b表示向量AM与HF.

变式训练

已知向量e1、e2(如图4),求作向量-2.5e1+3e2.

图4

作法:(1)如图,任取一点O,作

OA=-2.5e1,OB=3e2.

(2)作OACB.

故OC就是求作的向量.

例2 如图5,质量为10kg的物体a.沿倾角θ=30°的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力和支持力.(g=10m/s2)

图5

解:物体受到三个力:重力AG,斜面支持力AN,滑动摩擦力AM.把重力AG分解为平行于斜面的分力AF和垂直于斜面的分力AE.因为物体做匀速运动,所以AN=-AE,AM=-AF.

因为|AG|=10(kg)×10(m/s2)=100(N),

|AF|=|AG|·sin30°=100×21=50(N)，

|AE|=|AG|·cos30°=100×23=503(N), 所以|AM|=|AF|=50N,|AN|=|AE|=503N.

答：物体所受滑动摩擦力大小为50N,方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为503N,方向与斜面垂直向上.

例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )

A..①② B.②③ C.①③ D.①②③

活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.

解析:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.

答案:B

点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.

变式训练

(2007上海春季高考,13) 如图6,平面内的两条相交直线1OP和2OP将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若OP=a.1OP+b2OP,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a.、b满足.( )

图6

A.a.＞0,b＞0 B.a.＞0,b＜0 C.a.＜0,b＞0 D.a.＜0,b＜0

解析:∵点P落在第Ⅲ部分,

∴OP在直线1OP上的分向量与1OP同向,在直线2OP上的分向量与2OP反向.∴a.＞0,b＜0.

答案:B

思路2

例1 如图7,M是△A.BC内一点,且满足条件AM+2BM+3CM=0,延长CM交A.B于N,令CM=a.,试用a.表示CN.

图7

活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:

推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.

推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a.1,a.2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则.,2211baba

解:∵AM=AN+NM,BM=BN+NM,

∴由AM+2BM+3CM=0,得(AN+NM)+2(BN+NM)+3CM=0.

∴AN+3NM+2BN+3CM=0.又∵A.、N、B三点共线,C、M、N三点共线,

由平行向量基本定理,设AN=λBN,CM=μNM,

∴λBN+3NM+2BN+3μNM=0.∴(λ+2)BN+(3+3μ)NM=0.

由于BN和NM不共线,∴.033,02.∴.1,2

∴CM=-NM=MN.∴CN=CM+MN=2CM=2a.

点评:这里选取BN,NM作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.

变式训练

设e1与e2是两个不共线向量,a.=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.

解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.

又λa+μb=5e1-e2.

由平面向量基本定理,知.154,523

解之,得λ=1,μ=-1.

例2 如图8,△A.BC中,A.D为△A.BC边上的中线且A.E=2EC,求GDAG及GEBG的值.

图8

活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.

解:设GDAG=λ,GEBG=μ.