高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

1. 已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，―1，―1），则

A．> B．<

C．≤ D．≥

【答案】D

【解析】计算知=≥=，故选D。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。

点评：简单题，应用公式计算。

2. 若O（0，0，0），P（x，y，z），且，则表示的图形是 ． 【答案】以原点O为球心，以1为半径的球面； 【解析】的几何意义是：空间到原点距离处处相等的点到集合，故为以原点O为球心，以1为半径的球面。 【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式应用。 点评：根据点的坐标满足的几何条件，认识几何体的特征。 3. （12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．

【答案】A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）； E（）；F（，5，）。

【解析】解：设原点为O，因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面xOy内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用，写出，所以A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；

因为平面与坐标平面xOy平行，且，所以A'，B'，，D'的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）；由于E分别是中点，所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是的，同理E的竖坐标也是的竖坐标的，所以E（）；

由F为中点可知，F在坐标平面xOy的射影为BC中点，横坐标和纵坐标分别为和5，同理点F在z轴上的投影是AA'中点，故其竖坐标为，所以F（，5，）．

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。

点评：根据几何体的特征，在直角坐标系中，写出点的坐标。

4. 圆过原点的充要条件是 ．

【答案】；

【解析】即原点坐标适合方程，所以。

【考点】本题主要考查圆的方程。

点评：点在圆上，坐标适合方程。

5. 已知方程表示一个圆。（1）的取值范围 ．（2）该圆半径的取值范围 ． 【答案】（1）；（2）≤。 【解析】（1）因为方程表示一个圆，所以 （2）

【考点】本题主要考查圆的标准方程与一般方程的互化。

点评： 圆的一般方程要求中

6. （12分）已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：上，求此圆的标准方程．

【答案】

【解析】解：

因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），

又，所以线段AB的垂直

平分线的方程是．

联立方程组，解得．

所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径，

所以，此圆的标准方程是．

【考点】本题主要考查圆的方程求法。

点评：求圆的方程，常用待定系数法，根据条件设出标准方程或一般方程。有时利用几何特征，解答更为简便。

7. （12分）求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．

【答案】

【解析】解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)，据题意得：

， ∴ ，

∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为， ∴所求的圆的方程为.

【考点】本题主要考查圆的方程求法。

点评：求圆的方程，常用待定系数法，根据条件设出标准方程或一般方程。

8. （12分）已知圆x2＋y2＋x－6y＋3=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，求以PQ为直径的圆的方程．

【答案】x2+y2+2x-4y=0.

【解析】解：已知圆x2+y2+x－6y+3=0与直线x+2y－3=0的两个交点为P、Q，求以PQ为直径的圆的方程.

解法1：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点P、Q的坐标满足方程组

x2+y2+x-6y+3=0，x+2y－3=0， 解方程组，得

即点P（1，1），Q（－3，3）∴线段PQ的中点坐标为（－1，2）

|PQ|==2，故以PQ为直径的圆的方程是：

（x+1）2+（y－2）2="5"

解法2：设所求圆的方程为x2+y2+x－6y+3+λ（x+2y－3）=0，

整理，得：x2+y2+（1+λ）x+（2λ－6）y+3－3λ=0，

此圆的圆心坐标是：（－，3-λ）， 由圆心在直线x+2y－3=0上，得

－+2（3－λ）－3=0 解得λ=1

故所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y=0.

【考点】本题主要考查圆的方程求法、中点坐标公式。

点评：求圆的方程，常用待定系数法，这里解法2运用了“圆系方程”，简化了过程。

9. （14分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，

求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

【答案】（1）（2），N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．

【解析】解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

P ．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，

平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．

由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以

， ．所以有， ①

由（1）题知，M是圆上的点，

所以M坐标（x1，y1）满足：②

将①代入②整理，得．

所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．

【考点】本题主要考查求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，考查考生的计算能力。

点评：求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，应熟练掌握。两道小题有相互对比之效。

10. （14分）已知圆及点．

（1）在圆上，求线段的长及直线的斜率；

（2）若为圆上任一点，求的最大值和最小值；

（3）若实数满足,求的最大值和最小值．

【答案】（1），KPQ＝；

（2），；

（3）最大值为，最小值为.

【解析】解：（1）∵ 点P（a，a+1）在圆上，

∴ ， ∴ , P（4,5），

∴ , KPQ＝，

（2）∵ 圆心坐标C为（2,7），

∴ ，

∴ ，。

（3）设点（－2,3）的直线l的方程为：， 易知直线l与圆方程相切时，K有最值， ∴ ，

∴ ∴的最大值为，最小值为.

【考点】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力。

点评：研究直线与圆的位置关系，往往借助于“形”，数形结合，探寻解题思路。

11. △ABC中，点A(4，－1),AB的中点为M(3，2),重心为P(4，2)，则边BC的长为

A．5 B．4 C．10 D．8

【答案】A

【解析】设点B（x，y），根据中点坐标公式可知3=，2=

解得：x=2，y="5" 所以B（2，5）；

设点C（m，n），根据重心坐标公式可知4=，2=

解得：m=6，n=2，所以C（6，2），根据两点的距离公式可知|BC|=5，

故选A。

【考点】本题主要考查中点坐标公式、重心坐标公式以及两点间的距离公式，同时考查了计算能力。

点评：属于基础题，仔细计算。

12. 如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是

A． B．－3 C． D．3

【答案】A

【解析】设直线l的方程为y=kx+b，

根据题意平移得：y=k（x+3）+b+1，即y=kx+3k+b+1，

则kx+b=kx+3k+b+1，解得：k=-，故选A．

【考点】本题主要考查曲线的平移、直线方程、直线的斜率。

点评：根据平移规律，对x左加右减，对y上加下减，得到平移后的直线方程，根据平移后的直线方程与y=kx+b重合，令y相等即可求出k的值．

13. 直线l过原点，且平分□ABCD的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l的方程是

． 【答案】； 【解析】直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），所以直线斜率为由斜截式可得直线l的方程为。

【考点】本题主要考查直线方程的求法．

点评：注意数形结合，分析图形的特征，探求解题方法。

14. 若方程表示两条直线，则的取值是 ．

【答案】；

【解析】可化为，因为方程表示两条直线，所以左边可以分解因式，只有m=1时，才得到分解成(x+y)(x-y)使原方程化为(x+y)(x-y)+2(x+y)=(x+y)(x-y+2)=0表示直线x+y=0和x-y+2=0。

【考点】本题主要考查直线方程、因式分解。

点评：本题解法较多，这种推理判断认识到左边可以分解因式，是解题的关键。

15. 若点与点的距离为5，则 ． 【答案】0或8；

【解析】由两点间距离公式的关于m的方程，解得0或8。

【考点】本题主要考查两点间距离公式的应用。

点评：解法明确，计算要细心。

16. （12分）已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)．

【答案】①(－x, y)；②(x, －y)；③(－x, －y)；④(y, x)；⑤(－y, －x).

【解析】根据中心对称、轴对称的定义知①(－x, y)；②(x, －y)；③(－x, －y)；④(y, x)；⑤(－y,

－x).

【考点】本题主要考查中心对称、轴对称的定义。

点评：基础知识。

17. （14分）用坐标法证明三角形的中位线长为其对应边长的一半．

【答案】见解析。

【解析】证： 只需将三角形三个顶点的坐标设出，再利用中点坐标公式，求出两腰中点的坐标.

最后用两点间距离公式求得结果既可.

【考点】本题主要考查中点坐标公式的应用。

点评：坐标法证明平面几何问题的典例。

18. （14分）已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

【答案】

【解析】解：设点M（x,y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，那么点M属于集合

由距离公式，点M适合的条件可表示为：

①

将①式移项后再两边平方，得x2+(y－2)2=(y+2)2,

化简得：

因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是 (x≠0) ,它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图所示.

【考点】本题主要考查两点间距离公式、求轨迹方程的基本方法—直接法。

点评：基本题型。解题思路明确，须细心计算整理。

19. 如右图，棱长为3a正方体OABC－，点M在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为 ． 【答案】（2a，3a，3a）；