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高中数学题库-平面解析几何初步

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1. 直线方程

（一）直线的位置关系

1. 已知集合123),(axyyxA，15)1()1(),(2yaxayxB，若

BA，则a的值为____________________

2．若直线04)1(2ymx与直线043ymx平行，则m ． 3

3. 已知m{1，0，1}，n{1，1}，若随机选取m，n，则直线10mxny恰好不经过第二象限的概率是 ．

4．已知实数x，y满足约束条件333xyyx≥≤≤，，，则225zxy的最大值为 ．12

5. 已知两条直线21,ll的斜率分别为)0(,2121kkkk，设21,ll的夹角（锐角）为.

（1）求证：21121tankkkk

（2）求直线012yx与直线033yx的夹角

6. 求函数1345222xxxxy的最小值.

7. 求函数5213422xxxxy的最小值.

8. 若122yx，则22yx的最大值为_______.

9. 已知直线l过不同的两个点)sin,(cos2A，)1,0(B，则直线l的倾斜角的取值范围是___________. ,434,0

（二）直线应用题

1. 如图所示，有两条道路OM与ON，060MON，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设()OAakm，()OBbkm．

（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；

（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为34km，到点O的距离PO为74km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．

解：建系，检验是否三点共线即可

2. 如图在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，证明：EGDF；

（Ⅱ）设点E关于直线AC的对称点为E，问点E是否在直线DF上，并说明理由．

证明：（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设AD长度为1，

则可得(0,0)A，(0,1)D，(1,0)E，(2,0)F，(3,1)C ． …………………2分

所以直线AC方程为13yx，①

直线DF方程为112yx，② ………………… 4分

由①②解得交点62(,)55G ． ………………… 6分 BAbOPaMNH∴EG斜率2EGk，又DF斜率12DFk，

∴1EGDFkk，即有EGDF． ………………… 8分

（Ⅱ）设点11(,)Exy，则EE中点M111(,)22xy，

由题意得 111111,23211,13yxyx ………………… 11分

解得43(,)55E． ………………… 14分

∵314()1525，

∴点E在直线DF上． ………………… 16分

3. 如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，

OA = 10 km，OB = 20 km，C在O的北偏西45° 方向上，CO =52km．

（1）求居民区A与C的距离；

（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ

① 求w关于θ的函数表达式；

② 求w的最小值及此时tan的值．

（第18题） θFE北OABC在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC＝90°，AC∥OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分别是线段AC、线段BC上的动点，当△MON的面积最大且周长最小时，点M的坐标为 _______

.

2. 圆的方程

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线360xy与圆22(3)(1)2xy交于A，B两点，则直线OA与直线OB的倾斜角之和为 ．3

2. 已知,,xyR集合22(,)1,(,)1,0,0xyAxyxyBxyabab,若AB只有一个元素，则,ab应满足的关系为__________

3. 已知0r，集合222(,)1,(,)MxyxyNxyxyr，若MNM，则r的最大值为______________；若,MNN则r的最小值为_____________ 212，

4. 已知圆22:()()1(0)Cxayaa与直线3yx相交于P，Q两点，若

090PCQ，则实数a ．

变式1 “090PCQ”改为所求三角形CPQ面积最大，则实数a=_____.

变式2“090PCQ”中900改为600，则实数a=________. 变式3“090PCQ”中“=”改为“<”，则实数a的取值范围为__________.

5. 一类存在性问题探究

例：（2013年苏锡常镇徐连一模）若对于给定的正实数k，函数()kfxx的图像上总存

在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的

取值范围是

解法1：可转化为双向不等式的有解问题，即31222xkx，解得：290k

解法2：可利用图像研究其充要条件为：92k，解得：290k

原型：（2012年江苏高考题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 _____________

6. 已知圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为(1,1)A，(3,5)B．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M(2,0)的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程.

解：（Ⅰ）由题意得圆心(2,2)C， ……………… 2分

半径10RAC， ……………… 4分

所以圆C的方程为22(2)(2)10xy． ……………… 6分

（Ⅱ）显然直线l不可能垂直x轴，设直线l的方程为(2)ykx，

因为直线l与圆C有且只有一个公共点，

所以圆心到直线的距离2|222|101kkdk， ……………… 9分

解得3k或13k． ……………… 12分 所以直线l的方程为360xy或320xy． ……………… 14分

7. 若圆222(0)xymm与圆2268110xyxy相交，则实数m的取值范围为 ．（1，11）

8. 在直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），则满足224PAPB且在圆224xy上的点P的个数为 ． 2

9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：2248190xyxy关于直线l：250xy对称的圆C2的方程为 ．221xy

10. 已知圆O的方程为x2  y2  r2（r为正的常数），设P（m，n）为平面内的一个定点，求证：存在定点Q，使得对圆O上的任意一点M，均有MPMQ为定值．

11. 已知Ryx,，且0222yyx，求证：08622xyx. 圆构成的区域的包含关系.

12. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2214xy的左、右焦点分别为F 与F，圆F：2235xy．

（1）设M为圆F上一点，满足1MF'MF，求点M的坐标； （2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，

证明：点F到直线QT的距离FH为定值．

3. 动态问题研究

1. 已知圆M：22(1)(3)4xy，过x轴上的点(,0)Pa存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标a的取值范围为 ．

解：取AB中点C，连接MC、MP，设2ABm则2222223MCmrMCmMP 相减得2222884MPmrm，0mr ∴228436MPm，即22(1)336a

∴133133a

2. 已知A = { (x，y) | x2  y2 ≤4 }，B = { (x，y) | (x  a)2  (y  a)2≤2a2，a  0 }，则A∩B表示区域的面积的取值范围是___________．（0，2π）

3. 分别在曲线xye与直线1yex上各取一点M与N，则MN的最小值为 ． MyoxPAB． （第17题） TQPF 'HO yxF112e

专题思考：两条曲线，两个动点问题的研究很不容易；所以研究这类问题我们的想法是能不能先定一个点，只研究一个动点问题；

变式1：（2012年新课标全国理科卷）设点P在曲线xey21上，点Q在曲线)2ln(xy上，则PQ的最小值为____________ 两函数互为反函数；)2ln1(2

变式2：在椭圆12422xy与圆11(22yx）各取一点M,N，则MN的最小值为_____

16

变式3：已知0),,(),,(212211xxyxNyxM是双曲线xy3图像上两点，则MN的最小值为___________. 62

改编自2011年江苏高考题：在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2的图象交于QP,两点，则线段PQ长的最小值为

背景：在双曲线中，两个实轴顶点间的距离为所求最小值

变式4：如果M是函数)(xfy图像上的点，N是函数)(xgy图像上的点，且NM,两

点之间的距离MN能取到最小值d，那么将d称为函数)(xfy与)(xgy之间的距离.

按这个定义，函数xxf)(和34)(2xxxg之间的距离是 127

4. 在平面直角坐标系xOy中，若动点(,)Pab到两直线1l：yx和2l：2yx的距离

之和为22，则22ab的最大值为

．18

解：由题意得：42baba

（1）.3,2,ababa此时22ab的最大值为18；（2）.1,2,ababa此时22ab的最大值为10；

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苏教版学高中数学必修二立体几何初步直线与平面的位置关系直线与平面平行讲义

苏教版学高中数学必修二立体几何初步直线与平面的位置关系直线与平面平行讲义

学

习 目 标 核 心 素 养

１．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．（重点）

２．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．（难点）

３．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．（重点、易错点） 通过学习本节内容提升学生的直观想象、逻辑推理数学核心素养.

１．直线和平面的位置关系

位置

关系 直线a在

平面α内 直线a与平

面α相交 直线a与平

面α平行

公共点 有无数个

公共点 有且只有一个

公共点 没有公共点

符号

表示 aα a∩α＝A a∥α

图形

表示

２．直线与平面平行的判定定理

（１）自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（２）图形语言：如图所示．

（３）符号语言：错误!⇒a∥α．

３．直线与平面平行的性质定理

（１）自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

（２）图形语言：如图所示．

（３）符号语言：

错误!⇒l∥m．

１．思考辨析

（１）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. （ ）

（２）若直线a在平面α外，则a∥α. （ ）

（３）若直线a∩b＝，bα，则a∥α. （ ）

（４）若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．

（ ）

[答案] （１）× （２）× （３）× （４）√

[提示] （１）l也可能在平面α内．（２）直线a也可能和平面α相交．（３）a∥α或aα或a与平面α相交．

２．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是________．

b∥α或bα [若a∥b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系如图所示．]

３．能保证直线a与平面α平行的条件是__________（填序号）．

（１）bα，a∥b；

（２）bα，c∥α，a∥b，a∥c；

（３）bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

1. 圆关于直线对称的圆的方程是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】圆心关于直线对称。

∵圆x2+y2-2x-6y+9=0转化为标准方程为（x-1）2+（y-3）2=1，

所以其圆心为：（1，3），r=1，

设（1，3）关于直线2x+y+5=0对称点为（a，b）

则有，解得

故所求圆的圆心为（-7，-1）．半径为1，所求圆的方程为：（x+7）2+（y+1）2=1，故选A。

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系。

点评：关于直线对称的圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标，因为半径相同。

2. 直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，计算的面积，需要计算EF的长度，O到直线的距离。，O到直线的距离，所以的面积为，选C。

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系。

点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用“代数法”或“几何法”。圆的半弦长、半径、弦心距构成Rt△，在解“弦问题”中常常用到。数形结合，分析得解。

3. 已知圆的方程为，且在圆外，圆的方程为

=，则与圆一定

A．相离 B．相切 C．同心圆 D．相交

【答案】C

【解析】因为C1为圆，则f（x，y）=0必具有f（x，y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0 ， 其圆心为（，） ；

而C2的方程为 f（x，y）-f（x0，y0）=0 ，即 x2+y2+Dx+Ey+（F-x02-y02-Dx0-Ey0-F）=0 ，

F-x02-y02-Dx0-Ey0-F是常数项 ，因此上述方程中，圆心亦为（，），所以C1与圆C2是同心圆，故选C。

【考点】本题主要考查圆与圆的位置关系

点评：由题意设出圆C1的方程为f（x，y）=0，求出圆心，半径，表示出圆C2的方程为f（x，y）=f（x0，y0），推出二者是同心圆即可。

4. 两圆，的公切线有且仅有

(完整版)精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整题(含答案)

(完整版)精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷

平面解析几何初步

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．x轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（ ）

A．2 B．22

C．10 D．15

二、填空题

2．若直线l与圆C：x2＋y2－4y＋2＝0相切，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则此三角形的

面积为 ▲ ．

3．若直线y=x+m与曲线x=22yy有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ．

4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），M为边BC的中点，则||AMuuuur ▲ .

3

5．已知直线0742:1yxl，则过点)7,3(A且与直线1l垂直的直线的方程是 .

6．有下列命题：①经过定点000(,)Pxy的直线方程都可以写成00()yykxx的形式；②不经过原点的直线都可以用方程1xyab表示；③经过定点(0,)Ab的直线都可以用方程ykxb表示；④过不同两点11122(,),(,)PxyPxy的直线都可以用方程121121()()()()0yyxxxxyyg表示。其中正确的命题是_____________

7．过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当AOBVD的面积最小时，直线l的方程是

8．圆2220xyy关于直线40xy对称的圆的方程是__________

9．两圆22240()xyaxaaR和224140()xybybbR恰有三条共切线，则11ab的最小值为 ▲ .

高一数学平面解析几何初步试题

高一数学平面解析几何初步试题

高一数学平面解析几何初步试题

1. 圆：和：的位置关系是_______．

【答案】内切；

【解析】研究圆与圆的位置关系通常要研究半径、圆心距之间的关系，也可通过研究方程组解的情况实现。：圆心为（0,0），半径为2；：圆心为（3,4），半径为7,=5，7－2=5,所以圆：和：的位置关系是内切。

【考点】本题主要考查圆与圆的位置关系

点评：研究圆与圆的位置关系通常要研究半径、圆心距之间的关系，也可通过研究方程组解的情况实现。

2. （12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

【答案】m=3.

【解析】由

又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=

∴ 解得m=3.

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系。

点评：巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系，是解析几何中常见技巧。

3. （14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．

【答案】圆心坐标为（－，3），半径．

【解析】

将代入方程，

得．

设P，Q，则满足条件：

．

∵ OP⊥OQ, ∴而，，

∴．

∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径．

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程。

点评：巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系，是解析几何中常见技巧。

4. 已知直线在轴的截距大于在轴的截距，则、、应满足条件

A． B． C． D． 【答案】D

【解析】因为直线在轴的截距大于在轴的截距，即，所以，选D。

【考点】本题主要考查直线方程的一般式、直线的截距。

点评：简单题，应熟练地由直线方程的一般式化为其它形式。

5. 直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】直线x-2y+b=0与两坐标轴的交点是A（-b，0），B（0，），