第十章(第四部分)曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。

第十章：曲线积分与曲面积分本章知识点1、曲线积分2、第一曲面积分3、第二曲面积分4、两种曲面积分的联系5、各种积分的联系重点：1．两类曲线积分的概念及计算方法2．格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件3．两类曲面积分的概念及计算方法4．高斯公式难点：1．曲面积分的概念及计算方法2．斯托克斯公式第一节对弧长的曲线积分一、公式：=应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:2.函数在L上有定义，且连续。

公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：二、常用计算法：１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．２．对于平面曲线，可以用公式的变形．３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。

（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．三、公式推导及证明推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。

推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）；记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．求和：利用积分定义，由弧长公式：由中值定理：其中是由中值定理确定的［］上的一点，；于是：利用,,,的连续性，有：于是：右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义取极限：得公式：四、例题例1． 计算ds y L⎰，其中L 是抛物线上点O （0，0）与点B （1,1）之间的一段弧。

例2． 计算曲线积分ds z y x ⎰++Γ)(222，其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到2π的一段弧第二节 对坐标的曲线积分一、问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）设，，是在x,y,z 三轴正方向的投影．则：做和：二．公式{}⎰⎰'+'=+βεψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)()(),([)()(),([),(),(三、 两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:例题： 例1：计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点A （1，－1）到点B （1,1）的一段弧 例2 计算⎰-+ydz x dy zy dx x 2233，其中是从点A （3,2，1）到点B （0,0，0）的直线段AB第三节 格林公式及其应用 一．格林(Green)公式:,其中:l 为光滑曲线,D 为平面单连通区域,l 为D 的边界. P,Q 在D 及l 上连续,并且有对x,y的连续偏导,右侧积分取区域正向,即延正向前进,区域在左边. 二．平面上曲线积分与路径无关的条件 三．二元函数的全微分求积四．例题例1 求椭圆θθsin ,cos b y a x ==所围成图形的面积A 例2 计算⎰⎰-dxdy e y2，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角形闭区域 例3 验证：22yx ydxxdy +-在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 第四节 对面积的曲面积分思想:与曲线积分类似,只不过分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段, 这里以微小切平面代替曲面.接下来是求和,取极限.一、公式:其中z=f(x,y)为曲面方程.也可写成,其中为法线与z 轴夹角.若s 为参数形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于,(其中所以公式可化为若记,,则公式亦可写为:.二、计算方法:1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出与后.s由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式.2.化方程为参数方程.计算A,B,C或E,F,G利用推倒公式求积分.3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.三、公式推广:第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定义同上.四、例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑zdS，其中∑是球面2222azyx=++被平面z=h(0<h<a) 截出的顶部例2 计算⎰⎰∑xyzdS，其中∑是由平面x=0,y=0 ,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面第五节对坐标的曲面积分一．同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为:二．下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和,与I相比较,有对于正负号的取舍,适当uv平面的正向与曲面s选定一侧相关的正向相互对应时取正号,否则取负.因为第二类区面积分计算可利用上述公式将分别计算,然后求和.三．两类曲面积分的联系对于微小面有(由中值定理得其存在性).作和,由于.取极限:,其中为微小元的直径的最大值.因为,于是得由方程对称性得到联系方程(为法线与x,y,z轴的夹角)四．例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222长方体Ω的整个表面的外侧，{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0,0,0),,(。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。