第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D
2π
a
0
1 u 2 du
1 u 2 2 2 1 u ln u 1 u 2 2 0
2


a
a 1 a 2 ln a 1 a 2 .
质量分布的密度函数为 ( x , y , z ). 试导出曲面块 S
的重心和转动惯量公式. 2. 试讨论第一型曲面积分的轮换对称性. 3. 给出第一型曲面积分的中值定理, 并加以证明.
4. 模仿定理 20.1 的证明, 写出定理 22.1 的证明.
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r d
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2πa
πa
a
2a 2 r 2 a2 r 2
0
r dr
a2
0
a2 8 4 2 a t dt πa . 2 3 a t
(解法二 ) S 的参数方程为
x a sin cos , y a sin sin , z cos , ( , ) [0, π] [0, 2π].
2


例3 计算曲面积分 J ( y 2 z 2 )dS , 其中 S 是球面
S
x y z a .
2 2 2 2
解 ( 解法一) 记
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S1 : z a x y , x y a ;
2 2 2 2 2 2
S2 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 .
1 i n
S i 上任取一点 ( i ,i , i ) ( i 1, 2, , n), 若存在极限
||T ||0
lim
f ( , ,
i 1 i i
n
i
)S i I ,
且与分割 T 及 ( i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为
f ( x , y , z ) 在 S 上的第一型曲面积分, 记作
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I f ( x , y , z )dS .
S
(1)
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:
m ( x , y f ( x , y , z ) 1 时,曲面积分 dS 就是曲面
S
块 S 的面积.
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的典型物理背景是求物 质曲面的质量. 由于定积分、重积分、第一 型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.
一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念
类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S， 且密度函数 ( x , y, z ) 在 S上连续时，曲面块 S 的质 量为极限
π 2 π 2
2 a cos t
0
r 3 dr

(sin t cos t sin t cos t )cos 4 tdt
5
8 2a
π 4 2 0

64 cos tdt 2a 4 . 15
对于由参量形式表示的光滑曲面
x x( u, v ), S : y y( u, v ), ( u, v ) D , z z ( u, v ),
I ( xy zx yz )dS
S
2
D( xy )

xy ( x y ) x 2 y 2 dxdy .

用二重积分的极坐标变换,
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I 2 (sin t cos t sin t cos t )dt 4 2a
π 4 2 π 2
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
S1 S2
2
2
x y a
2

a 0
a(a 2 x 2 )
2
a2 x2 y2
2π 2 2 0
dxdy
2
2a dr
a r cos a2 r 2
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例2 计算 I z dS , 其中 S 为
S
螺旋面(图22-3)的一部分:
x u cos v , S : y u sin v , ( u, v ) D , z v,
z
2
S
O
(a ,0,0)
0 u a , D: 0 v 2π.
由于 S 关于平面 x y 对称, 且在对称点 ( x , y , z ) 与
( y, x , z ) S 处有 f ( x , y, z ) g( y , x , z ), 因此
f ( x, y, z )dS g( x, y, z )dS ,
S 2 2 S
x 2dS z 2dS . 即 x dS y dS . 类似地, 有
按 (3) 式计算如下:
E a 2 cos 2 cos 2 a 2 cos 2 sin 2 a 2 sin 2 a 2 ,
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F a 2 sin cos sin cos a sin cos sin cos 0 ,
2
G a 2 sin 2 sin 2 a 2 sin 2 cos 2 a 2 sin 2 ,
EG F 2 a 4 sin2 a 2 sin ;
J (a 2 sin 2 sin 2 a 2 cos 2 ) a 2sin d d
S S
S
S
由此得到
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2 ( y z )dS ( x 2 y 2 z 2 )dS 3S S
2 2
2 2 2 2 8 4 a dS a S a . 3 S 3 3
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复习思考题
1. 设可求面积的曲面 S 的方程为
z z( x , y ), ( x , y ) D,
D
a
4
0 d 0 (sin cos cos )sin d
2 2 2
2

2a
4
0
2π
1 8 4 2 2 sin cos d πa . 3 3
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(解法三) 令
f ( x , y, z ) x 2 , g( x , y , z ) y 2 , ( x , y, z ) S .
x 2 y 2 a 2 h2 . 由于 圆域
1 zx z y
2 2
a a2 x2 y2
,
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因此由公式 (2) 求得 dS a z a 2 x 2 y 2 dxdy S D
d
0 2π a 2 h2 0
2 a
||T ||0
lim ( i , i , i )S i ,
i 1
n
其中 T { S1 , S2 , ...,Sn } 为曲面块的分割，S i 表
( 示小曲面块 S i 的面积， i ,i , i ) 为 S i 中任意一点，
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸 S i 中的最大直径.
解 先求出
x
图 22 3
y
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2 2 2 E x u yu z u
cos 2 v sin 2 v 1,
F xu xv yu yv zu zv u sin v cos v u sin v cos v 0 ,
G xv2 yv2 zv2 u2 sin 2 v u2 cos 2 v 1 1 u2 ;
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在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为
f ( x , y, z )dS