§9.7第一型曲面积分的计算1

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第一型曲面积分

一、有向曲面及曲面元素的投影二、第二型曲面积分的概念与性质三、第二型曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类双侧曲面单侧曲面
曲面分内侧和外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和右侧
曲面分上侧和下侧
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思考: 思考若 ∑ 是球面出的上下两部分, 则被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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结束
例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面上的部分, 则原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】

a2 h2
0
思考: 若是球面
出的上下两部分, 则

dS z

(
0
)

dS z

(

4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h

例2. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ

Dxz
一投：将曲面向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)

yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =

Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)

Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x

1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.

第一型曲面积分

S1 S2
《数学分析》教学课件教学课件广东第二师范学院
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2
x 2 y 2 a 2

a 0
a(a 2 x 2 ) a x y
2 2 2
dxdy
2a dr
2π
a 2 r 2 cos 2 a2 r 2
0
r d
2πa
πa
a
2a 2 r 2 a2 r 2
《数学分析》教学课件教学课件广东第二师范学院
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f ( x , y , z )dS
D xy

2 f ( x , y , z( x , y )) 1 z x ( x, y) z 2 y ( x , y )dxdy
记忆口诀：“一代二换三投影”。
注：（1）计算第一型曲面积分 f ( x, y, z )dS
S1 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 ; S2 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 .
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
S1 S2
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2
x 2 y 2 a 2

a 0
a(a 2 x 2 ) a x y
2 2 2
S
D
EG F 2 dudv , (3)

第一型曲线曲面积分的计算

y
A
o Bx
例 2．计算 L yds ，其中 L 为抛物线y x2 ，直线x1 及
x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例 3．计算 ( x2 y2 z2 )ds ，其中 L 为曲线
L
x2 y2 z2 4 xz0
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
1
x 2
y
x z
2dydz;
D yz
３．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：A
1
y 2
z
y x
2dzdx.
Dzx
例1
求球面x2 y2 z2 a2在 z b(a b 0)部分的面积。
例 2 求由曲面x2 y2 az 和z 2a x2 y2 (a 0)所围立体的表面积.
：
z f ( x,
(x, y) y) 0
，在柱面(x,
y)
0
上介于L与
之间的
曲面的面积就是L f (x, y)ds 。
z
o
x
f (x, y)ds
y
L
当f (x, y) 0 时, L f (x, y) ds 表示以 L 为准线,
母线平行于z轴,高为z f (x, y)的柱面面积。
例6
求圆柱面x2 y2 1位于平面z 0上方与z y 下方那部分的侧面积A.
2() 2()d
L
注：对 L f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的，
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利用 L 的方程化简被积函数.
故有“代入法”或“整体代入”

第一型曲面积分

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
山西大同大学数计学院
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
山西大同大学数计学院
I v 1 u dudv vdv
2 0 D

第一曲面积分

程序设计网络课件教学设计多媒体课件 PPT文档
程序设计网络课件教学设计多媒体课件 PPT文档
教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
例. 求半径为R 的均匀半球壳的重心.
解: 设的方程为 zR 2 x2y2,(x ,y) D xy 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
z zd S d S
用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R3R0202dd0202ssiinn cdod s
R3 2 R
R 2
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M(x,y,z)dS
S
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似，例如
dSS的面.积
S
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二、第一型曲面积分的计算
定理22.1 设有光滑曲面 S:zz(x,y)(,x,y) D xy
z
S
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
f(x, y,z)dS
O
y
D xy
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS2Rdz
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
H
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▪ 第一型曲面积分的概念 ▪ 第一型曲面积分的计算
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第一型曲面积分(北工大)课件

曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度函数，那么积分结果等于该标量场在积分区域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上的增量。这个定理可以用于计算某些物理量（如力、势能等）在某个区域上的分布情况。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积元素与曲面的法向量有关。

曲面积分总结

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

第一型曲面积分

第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念
定义1：设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，它把S分成n个小区面块Si (i=1,2,...,n).以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度||T||=max(Si) (i=1,2,...,n),在Si上任取一点（）（ξi,ζi,ηi）(i=1,2,...,n),若极限lim||T||→b0∑inf(ξi,ηi,ζi)ΔSi存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi) (i=1,2,...,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S的第一型曲面积分，记作∫∫f(x,y,z)dS .
注：当f(x,y,z)≡1时，曲面积分∫∫dS就是曲面块S的面积。

二、第二型曲面积分的计算
定理22.1：设有光滑曲面，：S：z=z(x,y),(x,y)∈D为S上的连续函数，f(x,y,z)
为S上的连续函数，则：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy .
第一型曲面积分公式。

eg1:计算∫∫dSz ,其中S是球面x2+y2+z2=a2 ,被平面z=1(0<h<a)所截的顶部。

解：曲面S的方程为z=a2−x2−y2 ,定义域D为圆域x2+y2≤a2−h2 ,由于
1+zx2+zy2=aa2−x2−y2
由第一型曲面积分公式得，∫∫dSz=∫∫1a2−x2−y2∗aa2−x2−y2dxdy=∫02πdθ∫0a2−h2aa2−r2rdr
=2πalnah
注意：(1)有哪位定义域为圆域，所以采用参数坐标来做，令x=rcos θ,y=rsinθ ;。

第四节第一类曲面积分

)
（1）确定的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

§9.7第一型曲面积分的计算(1)

被柱面x2 y2 2ax 所截得的有限部分。 z
x2 y2
解：∵ 关于xoz 而对称，而
y z 2 x 2 ，被积函数
y
中 xy, yz 都是y 的奇函数，
∴ xydS yzdS 0 ，
∴ (xy yz zx)dS zxdS 。
o
x
∵z
x2 y2 ，zx
x x2 y2
，zy
i1
1 i n
如果当 d 0 时，这和式的极限总存在，则称此极限为
f (x, y, z) 在曲面上的第一型曲面积分或对面积的曲面
积分，记作 f (x, y,z)dS ，即
n
f (x, y, z)ds lim f (i ,i ,i )si
d 0 i1
其中 f (x, y, z) 称为被积函数，称为积分曲面。注：
y， x2 y2
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
2dxdy ，
∴ (xy yz zx)dS zxdS 2 zxdxdy
2
2
d
2acos3 cosd
0
2
4
2a4
2
cos5
d
8
2a4 2 cos5 d
0
2
8 2a4 4 2 1 64 2 a4. 5 3 15
作业
习题六（P196）
4
x 0 ， y 0 ， z 0 及x y z 1 所围
成的四面体的整个边界曲面。解：整个边界曲面在平面x 0 ，
1
o 2 3
y
y 0 ， z 0 及x y z 1 上的部 x
分依次记为1 ，2 ，3 ，4 。

第一类曲面积分

性 1
D
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
2
D
14
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
对称性
xdS xdS xdS
3
31
32
2 xdS 2 x
在曲面上对面积的曲面积分或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即

n

f ( x, y, z)dS

lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
积分曲面被积函数曲面元素
如曲面是闭曲面,则积分为 M ( x, y, z)d S
z
h o
y x h

23
例3. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3 , 4 分别表示在平面 1
上的部分, 则 o
原式 =

1
2
3
4
x yz dS
1 x
1y
x yz d S 4 4 : z 1 x y,
a dxdy Dxy a2 x2 y2
a 2 d 0
a2 h2 rd r
0
a2 r2

2
a

1 ln(a2 2

r2)

a2 h2
0
22
思考: 若是球面出的上下两部分, 则

dS z

第一型曲面积分

4
420
例7 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解

1
2
3
其中1：z 0 , 2：z x 2,
3： x2 y2 1. 投影域D1：x2 y2 1

D yz
x xu,v,
2) 当曲面由参数方程

y

y u, v ,
u,v D

z

z
u,
v

,
给出时, dS EG F2 dudv,
其中

F
E xu2 yu2 zu2 , xu xv yu yv zu zv ,

G xv2 yv2 zv2 ,
adxdz
右 z z Dzx a 2 x 2 z 2
Dzx : x2 z2 a2 , z h z
h z0x
h
0
y
x
解2：用参数方程
x a sin cos

y

a
sin

sin
z a cos
(0

2
,0

arccos
h )
a
易得：dS EG F 2dd a2 sindd
1
1

z
2 x

z
2 y
故
1

z
2 x

z
2 y
是曲面法线与
z轴夹角的余弦
的倒数.
解化作 xy 的二重积分

第一型曲面积分

解1: : z
x2

y2， D :
x2

y2

2x
z 0

dS= 1 zx2 zy2dxdy 2dxdy,
原式 ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy o
D1
Dxy
x

2

2
d
2cos ( 2 sin cos 2 sin 2 cos )d
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
1
0
4
A. dx
x 2
0
5!! 15 5 31
例3. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,

Dxy
简述为：一代、二换、三投影
代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1
计算

S
1 z
dS
,
其中 S
z h

第一型曲面积分

类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得

D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意

是球面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS

(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函则 f ( x , y , z )dS 0 数若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS

曲面积分的第一型和第二型

曲面积分的第一型和第二型曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和工程学中。

曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。

本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。

一、第一型曲面积分第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。

换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。

其计算公式为：∬S f(x,y,z) dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。

在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。

通常，参数方程可以表示为：x = g(u,v)y = h(u,v)z = k(u,v)其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。

对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为一个二重积分：∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。

值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用微积分技巧对其进行简化。

此外，在计算第一型曲面积分时，我们还需要考虑曲面的方向。

有时候，我们需要在某个指定方向上计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。

如果曲面法向量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。

二、第二型曲面积分第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。

也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。

其计算公式为：∬S F · dS其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。

与第一型曲面积分相比，第二型曲面积分更加复杂一些。

在计算第二型曲面积分时，我们需要对被积函数进行向量积分。

我们需要将向量函数投影到曲面切平面上，然后再计算切平面上的积分。

这样才能得到正确的曲面积分结果。

与第一型曲面积分类似，对于第二型曲面积分我们也需要考虑曲面的法向量。

如果曲面法向量朝上，则为正方向；反之，则为负方向。

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0 2 2 0
4a
a
1
dy
h 2
1
2
dz
2 2 例 4．计算 ( xy yz zx)dS ，其中是由锥面z x y
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
2
解：∵ 关于xoz 而对称，而
y z x ，被积函数
2 2
z
y
中 xy, yz 都是 y 的奇函数，
§9.7 第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念与性质
定义设曲面是光滑的， f ( x, y, z) 定义在上且有界。
把任意分成 n 小块 si (i 1, 2, , n) （ si 也同时代表第
i 小块曲面的面积），任取 (i , i , i ) si ，作和式

o
x
2 2 a h 2
a
d
a y

Dxy
add a
2 2
a d
0
2
a
2
0
1 2 2 2a[ ln(a )] 2
a 2 h 2 0
a 2a ln . h
例 2．计算 xyzdS ，其中是由平面

z
4 1
x 0 ， y 0 ， z 0 及 x y z 1 所围
4 2
dS
2 2 2
1 x y z
o
a y
其中 1是位于第一卦限的部分，
1 的方程为 x a y ， x y
2 2
x
， xz 0 ，
y a2 y2
ds
1 x 2 x 2 dydz y z

a a y
2 2
dydz ，
z h
1
把 1 投影到 yoz 平面，得 D yz {( y, z ) 0 y a, 0 z h} ，
f ( x, y, z )ds dlim0 f ( i ,i , i )si
i 1

n
其中 f ( x, y , z ) 称为被积函数，称为积分曲面。注：
（1）当 f ( x, y, z ) 在光滑曲面上连续时， f ( x, y, z )dS 存在。
2 2 a cos 3 cosd d 0 2
2
4

2 4 5 2a cos d 8 2

2a
4
0
2
cos d
5
4 2 64 2 4 8 2a 4 1 a . 5 3 15
o
a y
x 2 y 2 z 2 4 a 2 z 2 4 a 2 z 2
1 D yz
dS
dS
1
x
a
2 2
a y
dydz
a z a y y a 1 z h 1 h h 4a(arcsin ) 0 ( arctan ) 0 4a arctan 2arctan . a a a 2 a a a
成的四面体的整个边界曲面。
解：整个边界曲面在平面 x 0 ，
y 0 ， z 0 及 x y z 1 上的部
2
o3
y
x
分依次记为 1 ， 2 ， 3 ， 4 。
xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzds
1 2 3 4
（2）面密度为连续函数( x, y, z ) 的光滑曲面的质量为
m ( x, y, z )dS 。

一、第一型曲面积分的计算法
设光滑曲面的方程为 z z ( x, y) ，在 xy 面上的投影区域为 Dxy ，函数 z ( x, y ) 在 Dxy 上有一阶连续偏导数，如果 f ( x, y, z) 在上连续，则有
2
2
∴ xyzdS xyzdS
4

Dxy
3xy(1 x y)dxdy
1
y 2 y 3 1x 3 xdx y(1 x y)dy 3 x[(1 x) ] dx 0 0 0 2 3 0 3 1 (1 x) 3 1 3 2 3 4 3 x dx ( x 3x 3x x )dx . 0 6 6 0 120
∴ xydS yzdS 0 ，

o
x
∴ ( xy yz zx)dS zxdS 。

∵ z x y ，zx
2 2
2
2
x x y
2 2
，z y
y x y
2 2
，
dS 1 z x z y dxdy 2dxdy ，
∴ ( xy yz zx )dS zxdS 2 zxdxdy

分后与重积分应用中求曲面面积公式一致。
dS 2 2 2 2 例 1．计算曲面积分，其中是球面 x y z a z
被平面 z h (0 h a ) 截出的顶部。
a
h
z
o
x
a
a y
例 2．计算 xyzdS ，其中是由平面

x 0 ， y 0 ， z 0 及 x y z 1 所围
f ( x, y, z)dS

f ( x, y, z( x, y)) 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy
2 2 Dxy

注：（1）计算第一型曲面积分 f ( x, y, z )dS 时，只要将被积
函数 f ( x, y, z) 中的 z 换成 z( x, y) ，曲面的面积元素 ds 换成
1
1x
例 3．计算

dS x y z
2 2 2
，其中： x y a ，
2 2 2
0 z h ， (a 0, h 0) 。
z
h
1
解：∵曲面关于 yoz 平面和xoz 平面对称， ∴
dS
2 2 x y z dS 4 2 2 1 a z
成的四面体的整个边界曲面。
z
4 1
2
o3
y
x
例 3．计算

dS x y z
2 2 2
，其中： x y a ，
2 2 2
0 z h ， (a 0, h 0) 。
z
h
1
o
a y
x
2 2 例 4．计算 ( xy yz zx)dS ，其中是由锥面z x y
∵在 1 ， 2 ， 3 上， f ( x, y, z) xyz 0 ，
∴ xyzdS xyzdS xyzdS 0 。
1 2 3
在 4 上， z 1 x y ，
∵
2 2 1 z x z y
1 (1) (1) 3 ，
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
2
z
y
o
x
dS 2 2 2 2 例 1．计算曲面积分，其中是球面 x y z a z
被平面 z hБайду номын сангаас(0 h a ) 截出的顶部。
2 2 2
解：的方程为 z a x y ，
在 xoy 面上的投影区域为
a
h
z
o
D xy ： x 2 y 2 a 2 h 2 ，
x
y
2 2
a
，
2
a y
zx
x a x y
2 2 2
，z y
a x y
1 z 2 z 2 x y

a a x y
2 2 2
，
a
h
z
dS adxdy ∴ 2 2 2 z D a x y xy
f ( i ,i , i )si
i 1
n
(i 1, 2, , n) ，设 d max{S i的直径} ，
1 i n
如果当 d 0 时，这和式的极限总存在，则称此极限为
f ( x, y , z ) 在曲面上的第一型曲面积分或对面积的曲面
积分，记作 f ( x, y, z )dS ，即
D yz
（3）若曲面的方程为y y( x, z ) ，( x, z ) D xz ，则
f ( x, y, z )dS f ( x, y( x, z ), z )
Dxz
2 2 1 y x ( x, z ) y z ( x, z ) dxdz
。
（4） f ( x, y, z ) 1 时， dA曲面的面积。化为二重积
2 2 D 曲面换成其投影区域 xy 即可。 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy ，
（2）若曲面的方程为x x( y, z ) ，( y , z ) D yz ，则
f ( x, y, z )dS

f ( x( y, z ), y, z ) 1 x 2 ( y, z ) x 2 ( y, z ) dydz ， y z

§9.7第一型曲面积分的计算1

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曲面积分总结

第一型曲面积分

第四节第一类曲面积分

§9.7第一型曲面积分的计算(1)

第一类曲面积分

第一型曲面积分

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第一型曲面积分

曲面积分的第一型和第二型

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