数学求取值范围技巧

求取值范围的方法一、引言值范围是数学中一个重要的概念，它描述了一个变量能够取到的所有可能值。

在计算机科学和编程中，求取值范围的方法是非常重要的，因为它可以帮助程序员正确地处理数据，并避免出现错误。

本文将介绍几种常用的方法来求取值范围。

二、数学方法1. 直接法直接法是最基本的求取值范围的方法，它通过观察函数或变量的定义域和值域来确定其取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2+1，我们可以发现它定义在实数域上，并且其最小值为1，因此其取值范围为[1,+∞)。

2. 推导法推导法是通过对函数或变量进行推导来确定其取值范围。

例如，对于函数f(x)=log(x)，我们可以通过求导得到其单调递增，并且定义域为(0,+∞)，因此其取值范围为(-∞,+∞)。

3. 极限法极限法是通过极限运算来确定函数或变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，在x趋近于0时，sin(x)/x趋近于1，因此f(x)在x趋近于0时的极限为1，因此其取值范围为[-1,1]。

三、计算机方法1. 穷举法穷举法是通过枚举所有可能的取值来确定变量的取值范围。

例如，对于一个整数变量x，我们可以通过一个循环来枚举所有可能的取值，并找到最小和最大值来确定其取值范围。

2. 值域分析法值域分析法是通过对程序进行静态分析来确定变量的取值范围。

例如，对于一个程序中的整数变量x，我们可以通过分析程序中所有可能赋给x的值，并找到最小和最大值来确定其取值范围。

3. 测试法测试法是通过编写测试用例来验证程序中变量的取值范围。

例如，对于一个程序中的整数变量x，在编写测试用例时可以考虑边界情况和异常情况，并检查程序是否正确处理了这些情况。

四、总结求取值范围是数学和计算机科学中非常重要的问题，在实际应用中也经常遇到。

本文介绍了几种常用的方法来求取值范围，包括数学方法和计算机方法。

这些方法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围． 最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。

参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。

设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。

不等式组的解集取值范围技巧
1. 嘿，要知道同大取大呀！就好比你要选最大的苹果，那肯定就是那个最大个儿的嘛！比如说不等式组 x＞3，x＞5，那解集不就是 x＞5 嘛，这多简单呀！
2. 还有哦，同小取小可别忘啦！这就像找最小的糖果，肯定是那最小的一颗呀！比如 x＜2，x＜1，那解集自然就是 x＜1 咯！
3. 哎呀，大小小大中间找也很重要呢！这就好像你在一群人中找一个不高不矮的人，就在中间呀！像 x＞1，x＜3，那解集不就是 1＜x＜3 嘛，很好理解吧？
4. 那大大小小就无解啦！这就类似你想要找一个既最大又最小的东西，哪有呀，根本不存在嘛！像 x＞5，x＜2，这可就无解喽！
5. 千万别忘了先分别求出每个不等式的解集哟！这就像你做饭得先准备好食材一样基础重要呀！比如 2x+1＞5，先求出 2x＞4，x＞2 呀！
6. 然后再把这些解集综合起来看呀！就像把不同的拼图拼成一幅完整的画一样呢！这绝对是找到不等式组解集取值范围的关键技巧呀！
我的观点结论就是：掌握这些不等式组解集取值范围的技巧，就像是掌握了打开数学大门的钥匙，能让我们在数学的世界里畅游无阻呀！。

取值范围的解题技巧取值范围是数学中常见的问题，它涉及到变量在某个区间内的取值。

解决这类问题需要一定的技巧和策略。

以下是一些解决取值范围问题的技巧：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的要求，明确哪些变量是未知的，以及它们需要满足的条件。

2. 建立数学模型：根据问题的描述，建立数学方程或不等式来表示未知数的取值范围。

这通常涉及到代数、微积分、线性代数等知识。

3. 分析方程或不等式：对建立的方程或不等式进行分析，找出关键的点或条件，这可能涉及到解方程、求导数、矩阵运算等。

4. 确定取值范围：根据分析的结果，确定未知数的取值范围。

这可能需要一些推理和判断，有时还需要进行多次的检验和调整。

5. 检验答案：最后，你需要检验得到的取值范围是否符合问题的要求。

这可能涉及到一些实际背景的知识，例如物理、经济等。

下面是一个具体的例子，说明如何应用这些技巧来解决取值范围问题：题目：一个工厂生产某种零件，其成本与产量之间的关系为：C(x) = 500 + ^2（其中x为零件的个数），求当产量在什么范围内时，每增加一个零件的成本增加不超过1元？1. 理解问题：我们需要找出产量x的取值范围，使得每增加一个零件的成本增加不超过1元。

2. 建立数学模型：根据题目给出的成本函数C(x) = 500 + ^2，我们可以建立不等式：^2 ≤ 1。

3. 分析不等式：解这个不等式，我们得到：x^2 ≤ 5，即 -√5 ≤ x ≤ √5。

4. 确定取值范围：考虑到x表示零件的个数，必须是正整数，所以x的取值范围是：[1, 5]。

5. 检验答案：将x = 1, 2, 3, 4, 5分别代入C(x)，验证是否满足每增加一个零件的成本增加不超过1元。

经检验，当x = 1, 2, 3, 4, 5时，C(x)的增量分别为, , , , 1，均不超过1元。

因此，答案是正确的。

通过以上步骤，我们可以解决这类取值范围问题。

需要注意的是，不同的问题可能需要不同的策略和技巧，因此在实际解题时需要根据具体情况灵活运用。

求参数取值范围一般方法参数取值范围是指一些变量的取值范围或限制，在不同的场景中，参数的取值范围有不同的定义和限制。

一般来说，我们可以使用以下几种方法来确定参数的取值范围。

1.物理范围：一些参数的取值范围可以根据物理世界中的规律确定。

例如，温度参数的取值范围可以根据物质的相变点或极限温度来确定。

这种方法主要适用于与自然现象或物质性质相关的参数。

2.数学模型：一些参数的取值范围可以通过数学模型来确定。

例如，在统计学中，一些参数的取值范围可以通过概率分布函数或统计量的定义来确定。

这种方法主要适用于与数学模型相关的参数。

3.专家意见：在一些情况下，参数的取值范围可能需要由专家根据经验或领域知识来确定。

例如，在一些金融模型中，一些参数的取值范围可能需要由金融专家来确定。

这种方法主要适用于领域专家无法通过物理或数学方法确定参数的情况。

4.数据分析：在一些情况下，参数的取值范围可以通过对实际数据的分析来确定。

例如，在市场营销中，一些参数的取值范围可以通过对市场调查数据的分析来确定。

这种方法主要适用于可以通过数据分析得到参数取值范围的情况。

5.系统约束：在一些情况下，参数的取值范围可能受到系统约束的限制。

例如，在计算机程序中，一些参数的取值范围可能受到计算机硬件或软件的限制。

这种方法主要适用于与计算机或系统相关的参数。

在确定参数的取值范围时，应该综合考虑以上几种方法，并根据具体情况选择合适的方法。

此外，还需要注意避免参数取值范围过于宽泛或过于狭窄的情况，以充分满足系统需求。

最后，为了确保参数的取值符合要求，还需要进行参数验证和测试，确保参数在取值范围内。

这样可以有效避免由于参数取值范围不合理而引发的问题。

集合求取值范围1. 引言在数学中，集合是由一组独特的对象组成的。

这些对象可以是数字、字母、词语、图形等等。

集合可以用来描述某个特定属性的所有对象的集合。

在实际应用中，我们经常需要求取集合中的值范围，即确定集合中元素的最小值和最大值。

2. 值范围的定义在讨论值范围之前，我们首先要明确什么是值范围。

对于一个给定的集合，它的值范围是指该集合中元素所能取到的最小和最大值之间的区间。

这个区间可以是无穷大或有限区间。

3. 值范围的求取方法要求取一个集合中元素的值范围，我们可以采用以下几种方法：3.1 遍历法遍历法是一种简单直接的方法，适用于元素数量较少且易于比较大小的情况。

通过遍历整个集合，找出其中最小和最大的元素即可得到值范围。

def find_range(set):min_value = float('inf')max_value = float('-inf')for element in set:if element < min_value:min_value = elementif element > max_value:max_value = elementreturn (min_value, max_value)3.2 使用内置函数许多编程语言都提供了内置的函数或方法来求取集合的值范围。

这些函数通常高效且易于使用，适用于处理大型集合。

以Python为例，可以使用min()和max()函数来求取集合的最小和最大值。

def find_range(set):min_value = min(set)max_value = max(set)return (min_value, max_value)3.3 数学方法对于数学中常见的数列或数集，我们可以利用一些数学方法来求取其值范围。

例如，对于等差数列，可以直接通过首项和公差计算出最小和最大值。

对于一般的数集，我们可以借助一些基本概念和定理来推导其值范围。

求一次函数自变量取值范围的基本方法
一次函数自变量取值范围的问题相对复杂一些，题型多、解法活、难度大，本文将求一次函数自变量取值范围的基本策略呈现于后，供大家参考。

一.图像法
例1.已知函数的图像如图1所示，则x的取值范围是（）
A.一切实数
B.
C. D.
图1
解析：仔细观察图像，就会发现正确答案是D。

二.单调性法
例2.已知函数的函数值范围是。

求该函数自变量x的取值范围。

解析：当时，由得；
当时，
对于函数，y随x的增大而增大
即自变量x的取值范围是。

三.极限位置法
例3.已知：如图2，在中，，D、E分别是AB、AC边上的动点，在运动过程中，始终保持，设，求y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。

图2
解析：在中，
，即
所以y与x之间的函数关系式为。

当D与B重合时，CE最小，此时。

则，即，
故
当时，
自变量的取值范围是。

四.生活经验法
例4.拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。

解析：由题意得
油箱中的油最多是40升，同时拖拉机工作需要燃油提供能量，所以，即自变量t 应满足，解得。

需要补充说明的是，在求一次函数解析式时，有的题目本身没有提出求自变量取值范围的要求，解题时我们最好还是把自变量的取值范围写出来，因为离开自变量的取值范围，函数就失去存在的依据了。

高考数学-----ω的取值与范围问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤−⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+≤−≥≤−⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤−⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+<−><−⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 22、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤−<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 432(1)(3)(24)T b a k Tk a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪−+−⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<−≤−+−<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<−≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k T T b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪−+−⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤−<−+−≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点 ⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω−+≤−⎧⎪⎪−+−⎪≤<⎨⎪⎪+−+−<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n Tn T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω−+≤−<⎧⎪⎪−+−⎪⇒<≤⎨⎪⎪+−+−≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==−． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b −≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=−为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图像的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 【答案】154【解析】3x π=−是()f x 的一个零点，()113k k Z πωϕπ∴−+=∈；3x π=是()f x 的一条对称轴，()2232k k Z ππωϕπ∴+=+∈；由12332k k πωϕπππωϕπ⎧−+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩得：2124k k πϕπ+=+，02πϕ<<，4πϕ∴=，1334k ω∴=−+； 0ω>，0k ∴≤；当0k =时，34ω=，当,20216x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，35063,4420218x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()f x \在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，不合题意；当1k =−时，154ω=，当,20216x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，155097,4420218x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 5097202128πππ<<，()f x \在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，符合题意； ω∴的最小值为154. 故答案为：154. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1−，则ω的取值范围是___________.【答案】{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】当()2,3x ππ∈且0ω>时，23x πωωπω<<，因为函数()f x 在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1−， 则()()2,3,k k πωπωπππ⊆+，其中Z k ∈，所以，23k k πωππωππ≥⎧⎨≤+⎩，解得()123k k k Z ω+≤≤∈，由123k k +≤，可得2k ≤， 因为0ω>且Z k ∈，当0k =时，103ω<≤；当1k =时，1223ω≤≤；当2k =时，1ω=. 综上所述，实数ω的取值范围是{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故答案为：{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈−（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 【答案】2【解析】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈−为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =−，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图像与直线1y =在[,]−ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2. 故答案为：2例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________． 【答案】712【解析】()f x 在()2ππ，内单调,则最小正周期T ，2T≥π，2T π≥,22ππω≥,所以01ω<≤, 2x ππ<<时，2333x πππωπωωπ+<+<+，由01ω<≤得4333πππωπ<+≤，72333πππωπ<+≤， 而()f x 在()2ππ，内恰有一个零点且单调（因为单调有零点则只能有一个零点），所以23ππωππ≤+<且3232πππωπ<+≤，解得17312ω<≤， 所以ω的最大值是712． 故答案为：712． 例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________. 【答案】32【解析】()f x 在ππ,46⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，由正弦函数在某区间单调时，区间长度不超过半个周期，即ππ5ππ6412ω⎛⎫−−=≤ ⎪⎝⎭，结合0ω>，故1205w <≤，∵ππ46x −≤≤，设4πx θω=+，0ω>，则θ关于x 单调递增，故464ππππ4ωθω−+≤≤+，而πππ12π13π5646420ω+≤⋅+=，πππ12π7π4454420ω−+≥−⋅+=−，故θ最大可能取值区间是7π13π,2020⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，根据复合函数的单调性，θ关于x 单调递增，故只需求y 关于θ单调递增区间即可，根据正弦函数的单调性，2sin y θ=在ππ2π,2π,22k k k θ⎡⎤∈−+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，故需满足7π13πππ,2π,2π,202022k k k ⎡⎤⎡⎤−⊆−+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，显然此时k 只可取0k =，则πππ,442πππ,642ωω⎧−+≥−⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得332ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，又0ω>，∴302ω<≤，则ω的最大值是32. 故答案为：32.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx =.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____. 【答案】234【解析】因为函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则()π2sin 4f x x ω⎛⎫'=−+ ⎪⎝⎭且()f x 的一个极值点为πx =，则()0f π'=即2sin 0,π4π4πk k ωπωπ⎛⎫−+=⇒+=∈ ⎪⎝⎭Z得1,4k k ω=−∈Z又因为2πT ω=，且π2π33T << 则π2π2π3633ωω<<⇒<< 所以当6k =时，max 123644ω=−= 故答案为:234例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=− ⎪⎝⎭0ω>)的图像向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．【答案】12 【解析】()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=− ⎪⎝⎭22sincos2221cos sin 2sin 2sin .3xxxxx x xx ωωωωωωωπω=−−=−=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设曲线C 所对应的函数为()g x ,则()2sin 333g x f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()g x 的图像关于y 轴对称, ∴332k πωπππ+=+,k ∈Z ,解得:132k ω=+()k ∈Z, 0ω>,∴ω的最小值是12.故答案为:12.例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T ，π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______．【答案】4【解析】由题意可知2πT ω=，所以，()()cos 2πcos f T ϕϕ=+==因为0πϕ<<，则π6ϕ=，所以，()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知πππcos 012126f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()ππππZ 1262k k ω+=+∈， 所以，()412Z k k ω=+∈，0ω>，故ω的最小值为4. 故答案为：4.例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫− ⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______. 【答案】{}1,7,13【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题得π06f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则()11ππ6k k Z ωϕ−⋅+=∈，又由()f x 在区间57,1818ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值无最小值，满足7π5ππ2π18189T ω−=≤=，则018ω<≤， 当35π7π181π28x =+=时，则ππsin 133f ωϕ⎛⎫=+⎫= ⎪⎝ ⎭⎪⎭⎛⎝， 即()22ππ2π32k k Z ωϕ⋅+=+∈，所以()122ππ63k k ϕ+=+， 又2πϕ<，故6πϕ=，所以()21121616,k k k k Z ω=+=−∈，又0ω>，所以满足条件的ω的取值集合{}1,7,13M =. 故答案为：{}1,7,13.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．【答案】17【解析】由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得2()33k k ωπππ+=∈Z ， 所以61()k k ω=−∈Z .由()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得1253241234ππππωω⨯<−≤⨯，解得618ω<≤，又61()k k ω=−∈Z ，当3k =时，17ω=，则ω的最大值为17，, 故答案为：17例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________． 【答案】23【解析】由题意，函数()sin()f x x ωϕ=+， 因为1(0)sin 2f ϕ==，可得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈， 因为063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得ω取得最小值， 且1()2634πππ+=，所以函数()f x 关于(,0)4π对称， 可得sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，若112,6k k Z πϕπ=+∈时，可得12246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以211(2)46k k ω=−+−，其中12,k k Z ∈，所以2124(2)3k k ω=−+−，其中12,k k Z ∈， 因为0ω>，当2121k k −=时，可得min 210433ω=−+=；若1152,6k k Z πϕπ=+∈时，可得125246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈， 所以215(2)46k k ω=−+−，其中12,k k Z ∈，所以21104(2)3k k ω=−+−，其中12,k k Z ∈， 因为0ω>，当2121k k −=时，可得min 102433ω=−+=. 故答案为：23.例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【答案】143【解析】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω−≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=. 故答案为：143例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（ ）A ．18B ．12C ．76D ．32【答案】AB【解析】由于()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，故有ππ3π322T ωω−<=⇒<，同时需满足πππ36ππ(1)π6k k ωω⎧−≥⎪⎪⎨⎪−<+⎪⎩解得173,26k k k ω+≤<+∈Z ,显然0k =和1k =−时符合条件，所以ω的取值范围为1170,,626⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭． 故选：AB。

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。

已知函数的值域求参数的取值范围要求函数的值域或最值，需要先了解函数的定义域和性质。

然后通过分析函数的性质，可以求得参数的取值范围。

以下是一个比较常见的例子，来说明如何求参数的取值范围。

例子：已知函数$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$，求参数$a,b,c,d$的取值范围使得函数的值域为实数集。

首先，由于分母不能为零，所以要求$d\neq0$。

然后，我们来分析函数的性质。

对于实数$x$，函数$f(x)$的值域为实数集，意味着对于任意的实数$y$，存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。

假设我们有一个实数$y$，我们来看是否存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。

根据函数的定义，$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$。

令$f(x)=y$，我们得到$\frac{ax^2+bx+c}{x+d}=y$。

将分式的分子移到等式的另一侧，我们得到$ax^2+bx+c=y(x+d)$。

这是一个二次方程，我们将它转化为标准形式。

即$ax^2+bx+c-y(x+d)=0$。

对于这个二次方程，我们考虑它的判别式$\Delta=b^2-4ac+4yad+4yd^2$。

要使得这个二次方程有实数解，判别式需要满足$\Delta\geq 0$。

将判别式代入，我们得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。

现在，我们来考虑几种情况：当$a>0$时，二次方程的开口向上。

根据$\Delta\geq 0$，我们可以得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。

当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时，二次方程有一个实数解，即方程的判别式为零时。

当$b^2-4ac+4yad+4yd^2>0$时，二次方程有两个实数解，即方程的判别式大于零时。

现在我们考虑一些特殊情况：当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时根据$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$，我们可以得到$b^2-4ac=y(-4ad-4d^2)$。

一次函数求x取值范围过程一次函数，也称为一元一次方程，由一个未知数和一个一次项组成，通常用ax + b的形式表示，其中a和b都是实数，a不能等于零。

一次函数的图像是一条直线，斜率代表着函数的变化率，截距则表示函数与y轴的交点。

因此，求一次函数的x取值范围就是要求函数在x轴上交的区间。

下面介绍一些方法：方法一：解一元一次方程对于一次函数y = ax + b，当y = 0时，得到一个一元一次方程ax + b = 0，将其解出解后，即可得到函数在x轴上的交点，也就是x 的取值，其方法如下：1.将y = ax + b中的y用0代替，得到0 = ax + b。

2.移项，将b移到左边，得到ax = -b。

3.两边同时除以a，得到x = -b/a。

所以，只需求出b和a的值，即可得到函数在x轴上的交点，也就是x的取值范围。

方法二：利用函数的单调性当a不等于零时，一次函数y = ax + b的单调性与a的符号有关。

如果a > 0，则函数单调递增，即随着x的增大，函数值也会增加。

因此，x的取值范围应该是从左到右的所有实数。

如果a < 0，则函数单调递减，即随着x的增大，函数值会减小。

因此，x的取值范围也应该是从右到左的所有实数。

如果a等于0，则函数是一个常数函数，不会与x轴相交。

无论如何，该方法只适用于求解一次函数和x轴的交点，也就是x 的取值范围，而不能确定函数在y轴的截距。

方法三：利用图像一次函数的图像是一条直线，通过观察图像可以得出一些信息。

一般地，如果一次函数的图像没有斜率为零，那么它就必定与x轴相交，且交点只有一个。

如果是斜率为零，那么函数图像就是一条水平线段，它与x轴相交的区间就是该值得所有取值。

如果函数图像已知，可以将其画出来，然后直接读取相交的位置，即可得出x的取值范围。

综上所述，求解一次函数的x取值范围可以通过解一元一次方程、利用函数的单调性和利用图像等多种方法来实现。

为了保证结果的准确性，需要掌握基本的数学技巧，了解图像的性质，以及熟练运用函数的相关知识。

不等式的取值范围技巧不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了数之间的大小关系。

而不等式的取值范围则是指满足该不等式的数的范围。

在解决实际问题中，准确地确定不等式的取值范围是十分重要的。

本文将介绍一些常见的技巧，帮助读者更好地理解和确定不等式的取值范围。

1. 首先，我们来讨论简单的一元一次不等式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以通过移项将其转化为x > 1。

这意味着只有大于1的实数满足该不等式，因此不等式的取值范围为x > 1。

2. 对于含有绝对值的不等式，我们需要将其分成两个部分进行讨论。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以分别解得2x - 3 < 5和2x - 3 > -5，即2x < 8和2x > -2。

进一步计算得到x < 4和x > -1，因此不等式的取值范围为-1 < x < 4。

3. 当不等式中含有分式时，我们需要注意分母不等于零的情况。

例如，对于不等式(2x + 1)/(x - 3) ≥ 0，我们首先要求分母x - 3不等于零，即x ≠ 3。

然后我们可以通过构建符号表来确定不等式的取值范围。

首先，我们观察到当x < -1时，分子和分母的符号相同，因此不等式成立。

接着，当-1 < x < 3时，分子为正，分母为负，因此不等式不成立。

最后，当x > 3时，分子和分母的符号再次相同，不等式成立。

综上所述，不等式的取值范围为x < -1或x > 3。

4. 对于含有多个不等式的复合不等式，我们可以通过绘制数轴来确定其取值范围。

例如，对于不等式组合2 < x ≤ 4，我们首先画出一个数轴，在数轴上标出2和4。

然后，我们观察到不等式中既包含大于2又包含小于等于4，因此我们将数轴分成三个部分：小于2的部分、大于2小于等于4的部分和大于4的部分。

最后，我们发现只有大于2小于等于4的部分满足不等式，因此不等式的取值范围为2 < x ≤ 4。

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。

根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。

（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。

（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。

第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。

因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。

根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。

首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。

集合参数求取值范围技巧集合参数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一组具有共同特征的对象。

在求取值范围时，我们可以运用一些技巧来简化计算过程，提高效率。

本文将介绍一些常用的技巧，帮助读者更好地理解和应用集合参数求取值范围。

一、使用数轴表示集合参数在求取值范围时，我们可以使用数轴来表示集合参数的取值范围。

首先，我们需要确定集合参数的定义域，即参数可以取到的值。

然后，我们可以在数轴上标出这些取值点，并根据集合参数的性质来确定其取值范围。

例如，假设集合参数为x，定义域为实数集。

我们可以在数轴上标出x的取值点，并根据题目给出的条件来确定x的取值范围。

这样，我们就可以清晰地看到x的取值范围在数轴上的位置。

二、利用集合参数的性质进行求解在求取值范围时，我们可以利用集合参数的性质来简化计算过程。

例如，如果集合参数满足某种特定的性质，我们可以根据这个性质来确定其取值范围。

举个例子，假设集合参数为x，定义域为正整数集。

如果题目给出的条件是x是一个偶数，那么我们可以利用偶数的性质来确定x的取值范围。

由于偶数是可以被2整除的数，所以x的取值范围可以表示为{x | x = 2n, n ∈ 正整数}。

三、利用集合参数的关系进行求解在求取值范围时，我们还可以利用集合参数之间的关系来简化计算过程。

例如，如果题目给出了多个集合参数之间的关系，我们可以利用这些关系来确定它们的取值范围。

举个例子，假设集合参数x和y之间满足x > y，且x和y的定义域都是实数集。

那么我们可以根据这个关系来确定x和y的取值范围。

由于x > y，所以x的取值范围应该大于y的取值范围。

四、注意集合参数的边界条件在求取值范围时，我们还需要注意集合参数的边界条件。

边界条件是指集合参数取值范围的最大值和最小值。

我们需要根据题目给出的条件来确定集合参数的边界条件，并在求解过程中加以考虑。

举个例子，假设集合参数x的定义域为[0, 10]，且题目给出的条件是x > 5。

初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导在初中数学中，经常需要求解一类参数的取值范围。

这是解决各类数学问题的基本方法之一，涉及到不等式、方程、函数等多个数学概念和技巧。

下面我将介绍三种常见的方法来求解一类参数的取值范围。

一、画图法画图法是最直观、简单的一种方法。

它适用于求解一元一次方程、一元二次方程以及简单的不等式等问题。

步骤：1.先根据题意，确定参数与自变量之间的关系。

例如，参数x和自变量y满足不等式，x-2，<y；2.根据给定的条件，确定画图的范围。

例如，确定x轴的范围为x∈R；3.在坐标系中画出参数x的范围，并标出关键点，如x=2，x=-2等；4.根据参数与自变量之间的关系，画出符合题意的图形；5.根据图形，确定参数的取值范围。

如不等式满足的区域是一个开区间，则参数的取值范围是开区间的两个端点。

二、代数法代数法是通过代数方法求解参数的取值范围。

它适用于不等式、方程和函数等问题。

步骤：1.根据题意列出等式或不等式，并将参数表示为符号；2.对等式或不等式进行化简和转换，使问题变得更简单；3.利用数学原理、规律和公式对参数进行求解；4.根据求解结果，确定参数的取值范围。

如不等式有解，则根据解的形式确定参数的取值范围。

三、区间法区间法是通过确定参数的范围，将问题转化成可解的区间，从而求解参数的取值范围。

它适用于函数和方程等问题。

步骤：1.根据题意列出方程或不等式，并将参数表示为符号；2.将方程或不等式转换成函数形式；3.利用函数的定义域和值域等性质，确定参数的范围；4.根据参数的范围，确定参数的取值范围。

需要注意的是，对于复杂的问题，我们可能需要结合不同的方法来求解参数的取值范围。

每一种方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体的题目要求和参数的条件来选择合适的方法。

总结起来，画图法适用于直观、简单的问题；代数法适用于各类代数问题；区间法适用于复杂函数和方程问题。

通过多练习、多思考，我们可以更加熟练地运用这些方法，求解各类参数的取值范围。

高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。

常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。

若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。

（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。

3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。

集合求参数的取值范围技巧以集合求参数的取值范围技巧为题，我们将探讨在数学问题中如何利用集合的概念来确定参数的取值范围的技巧。

在数学问题中，我们经常会遇到需要确定参数的取值范围的情况。

这些参数可以是实数、整数、自然数等。

利用集合的概念可以帮助我们更清晰地描述参数的取值范围，并且可以通过对集合的运算来得到最终的结果。

我们需要明确问题中所涉及的参数以及它们的取值范围。

如果参数是实数，我们可以用集合来表示其取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为实数x，我们可以用集合{x | x > 0}来表示x的取值范围，表示x大于0。

在确定参数的取值范围时，我们需要考虑到问题的各种限制条件。

这些限制条件可以通过集合的交、并、差等运算来表示。

例如，假设我们要求解一个不等式的解集，其中的参数为实数x，且要求x 满足两个不等式条件：x > 0和x < 1。

我们可以通过对这两个不等式条件的解集取交集得到最终的结果，即{x | 0 < x < 1}。

在一些复杂的问题中，我们可能需要利用集合的运算来表示多个参数的取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程组的解集，其中的参数为实数x和y，且要求x和y满足一些不等式条件。

我们可以分别通过集合来表示x和y的取值范围，然后通过对这两个集合的运算来得到最终的结果。

除了利用集合的运算来确定参数的取值范围外，我们还可以利用集合的性质来简化问题的求解过程。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为整数x，且要求x是一个偶数。

我们可以利用集合的性质来确定x的取值范围，即{x | x是偶数}。

这样，我们就可以将问题简化为求解偶数的集合。

在解决实际问题时，我们还可以利用集合的概念来表示一些特殊的取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为自然数x，且要求x是一个素数。

我们可以利用集合来表示素数的集合，即{x | x是素数}。

这样，我们就可以通过对素数集合的运算来得到最终的结果。