四色定理的机器证明

四色猜想是什么[四色猜想的启示]在我们的生活中地图的重要性自然不用多说。

可是，在绘制地图时，相邻的不同区域最好涂上不同的颜色以示区别。

这样的地图看起来花花绿绿，只是不知你有没有注意过，不论一张地图上的行政区划有多么复杂，只要使用四种颜色着色，就可以保证将它们清清楚楚地区分开来(即任何相邻的两个地区颜色不会重复)。

这个问题到了数学家手里，就变成著名的四色猜想(也称四色问题)。

数学家从节约的角度考虑，任何地图，使得相邻的地区涂上不同的颜色，至少得用多少种颜色呢?四色问题或者四色猜想的结论是：四色足够!百年拼搏史说起来，这个问题可能有许多人发现过，但是第一个明确记录在案的是刚从伦敦大学毕业不久的英国青年弗兰西斯・葛斯瑞。

1852年，他给一张英国地图着色时发现，四种颜色足够。

他于是猜想对任何地图也是如此。

他把这个想法告诉正在伦敦大学学习的弟弟弗雷德里克，他弟弟当然解决不了这个问题，于是向他的老师、著名数学家德・摩尔根请教，他也不能解决这个问题，便于1852年lO月23日写信给当时最伟大的科学家哈密顿，这成为四色问题第一个人历史文献。

不过，哈密顿对这类好像数学游戏的问题不太感兴趣，德・摩尔根于是继续宣传，直到另一位英国数学家凯莱于1878年在皇家学会上正式提出并在《皇家地理学会会报》上发表，这才引起人们对四色问题的广泛重视。

各国数学中心和数学杂志都收到大量的错误证明，就如同以后的费马大定理和哥德巴赫猜想一样。

正如许多这类提法简单而证明极为困难的大猜想一样，大量的“证明”完全离谱，但也有的包含可贵的思想，当然这些思想只能来自有数学训练的人。

1879年，剑桥大学三一学院数学毕业生肯普先在《自然》杂志，后在《美国数学杂志》上发表四色猜想的证明。

然而到1890年，一位大学数学讲师希伍德指出肯普的“证明”中有一个漏洞，然后，他应用肯普的方法给出一个定理――五色定理，也就是五色足够。

尽管四色定理没有得到证明，肯普和希伍德对于后来图论的发展都作出决定性的贡献。

世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。

可用符号表示：K（n)，n=、<4。

四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。

着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。

1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。

1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。

直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。

20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。

四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

智慧树知到《数学宇宙的语言》章节测试答案绪论1、爱因斯坦因为数学的限制，使得广义相对论的研究难以开展，后来他用了7年的时间努力学习黎曼几何，才得以继续他伟大的创举。

A:对B:错正确答案：对2、20世纪初爱因斯坦创立的狭义相对论与广义相对论。

A:对B:错正确答案：对3、400年前开普勒发明的微积分。

A:对B:错正确答案：错4、牛顿花费20年的时间思考归纳出的行星运动三定律。

A:对B:错正确答案：错第一章1、四色定理的机器证明被所有数学家们认可。

A:对B:错正确答案：错2、数学已经成为人类看待世界的一种方式，这里的世界包括我们所居住的物理的、生物的与社会学的世界，以及我们心灵与思维的世界。

A:对B:错正确答案：对3、下列关于数学的说法，错误的是（）。

A:数学的高度抽象性决定了其应用的广泛性。

B:任何学科都有抽象的成分，数学的抽象程度与其他学科的抽象一样，没有区别。

C:数学理论的真正形成是从古希腊开始的。

D:数论是古老的数学分支，是纯粹数学思维的产物，除了起智力体操的作用以外，没有什么实际的用途。

正确答案：任何学科都有抽象的成分，数学的抽象程度与其他学科的抽象一样，没有区别。

,数论是古老的数学分支，是纯粹数学思维的产物，除了起智力体操的作用以外，没有什么实际的用途。

4、整数理论中的“算术基本定理”，其内容是：任一大于1的自然数都可以分解成若干个素数的乘积，如果不计素数因子的顺序，这种分解是唯一的。

A:对B:错正确答案：对5、当花粉的小颗粒悬浮在液体中时，在显微镜下可以看到不规则的复杂运动，运动的轨迹是一种处处可导的光滑曲线。

A:对B:错正确答案：错第二章1、对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算A:对B:错正确答案：对2、下列关于哈密顿四元数的说法正确的是（）。

A:哈密顿四元数满足乘法结合律，但不满足乘法交换律。

B:哈密顿四元数实质是“三维复数的类似物”。

许寿椿反驳雷明先生错误批评的信提要：雷明先生八年前发文对我的书《图书四色问题》进行指错。

雷明先生文章名字是：“许寿椿教授的《图说四色问题》一书中的错误”（后称之为‘雷氏长文’）。

我当即复函对他的正确指错表示感谢，也对他文章大部分内容表示不认同。

同时指出他点连通度概念不正确（此问题在雷氏长文7、8、10三节中6处有反映）。

他在很快的回信里承认他连通度概念错了。

但他的文章一直未作任何修改地在网络上挂了近八年，给读者造成我的书错误百出的印象。

今日我做八年来首次公开回应，反驳雷明先生对我批评中的谬误，也同时再次对他的批评表示感谢。

在网络上发此文之前，我上网搜索一番，也读到雷明先生博客。

发现雷明先生这些年成果极多，对四色猜想给出的简短逻辑证明已经有13个之多。

雷明先生的勤奋、高产、广博，令人敬佩。

雷明先生的证明有一两个真的成功，那也是国家之幸。

我乐见之。

限于本人资历、能力，本文不涉及对雷明先生的工作的一般性评论，本文只是对他对我的批评的反批评。

希望这种批评与反批评，有利于双方，有利于关心四色猜想的其他朋友。

顺祝祝雷明先生一切顺利。

目录：一、问题缘起，雷先生给我的两个矛盾印象二、概要性反驳1.对雷氏长文的概要性评价（十节中，两节有道理，八节皆错误）2.约一小半的篇幅，雷氏针对的并非我书的内容，而是借题发挥、宣扬自己3.雷明先生用他自己的‘小错误’‘推断出’我的‘大错误’4.雷氏长文包含有不少不完整逻辑推理（缺乏大前提或小前提），或者结论完全与前提脱节的论证5.雷明先生否定了一些数学界已经有广泛共识的结论三、对雷氏长文的逐节反驳四、对雷先生的建议或忠告五、附录：书《图说四色问题》片段摘录1.书中面对四色问题爱好者的一段话（我的书之第一章5节）2.书中关于四色问题计算机证明的一节（我的书之第一章9节）3.书中关于计算机辅助四色问题实验研究的说明（我的书之序言摘录）六、最后的话：一点感慨和遗憾（暂略）一．问题缘起，雷先生给我的两个矛盾印象许寿椿，《图说四色问题》的作者。

四色定理计算机证明过程四色定理是数学中的一个著名问题，它提出了一个有趣的猜想：任何平面图只需要四种颜色就可以使相邻的区域彼此区分开来。

这个问题在数学界引起了广泛的关注和争议，并且在计算机科学的发展中也起到了重要的作用。

本文将介绍使用计算机来证明四色定理的过程。

我们需要了解什么是平面图和相邻区域。

平面图是指在平面上绘制的图形，其中的线段只能相交于端点且不相交。

而相邻区域则是指平面图中由边界线相连的相邻的区域。

为了证明四色定理，我们可以使用计算机来进行穷举搜索。

具体地说，我们可以通过对平面图进行逐一遍历，尝试为每个区域分配一种颜色，并检查是否存在相邻区域颜色相同的情况。

如果不存在这样的情况，即可证明该平面图可以使用四种颜色进行着色。

在计算机中实现这个算法需要解决两个关键问题：如何表示平面图和如何进行穷举搜索。

我们可以使用邻接表来表示平面图。

邻接表是一种数据结构，用于表示图中的顶点和边。

对于平面图而言，顶点即为区域，在计算机中可以用数字或者其他唯一的标识符来表示。

而边则表示两个相邻区域的边界线，可以用一个列表来表示每个区域与其相邻区域的关系。

然后，我们需要实现一个递归函数来进行穷举搜索。

该函数的输入参数为当前的平面图和已经为部分区域分配的颜色。

在每一步递归中，我们选择一个尚未分配颜色的区域，尝试为其分配一种颜色，并递归调用函数继续搜索。

如果找到了一种着色方案使得整个平面图都满足相邻区域颜色不同的条件，那么我们就成功地证明了四色定理。

在实际的计算机程序中，为了提高效率，我们可以使用一些优化技巧。

例如，我们可以根据已经分配颜色的区域来确定下一个要分配颜色的区域，从而减少搜索的时间和空间复杂度。

此外，我们还可以利用剪枝策略，即在搜索过程中排除一些不可能的情况，进一步提高算法的效率。

通过上述的算法和优化技巧，我们可以使用计算机来证明四色定理。

当然，由于穷举搜索的复杂性，对于大规模的平面图，这个算法可能需要很长的时间和大量的计算资源。

十色定理四色定理四色定理的尝试证明0引言百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”目前只有通过计算机经过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试书面证明。

1证明思路1.1证明范围及限制条件平面或球面地图，不考虑“飞地”。

1.2思路将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均四色足够，则命题得证。

1.3证明步骤步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。

步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。

2证明步骤一2.1建模第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。

n=任意非0正整数。

第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。

n=任意非0正整数。

显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。

球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。

下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。

条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻；当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述;我们接下来继续证明n>3时的情况：因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。

数学哲学与科学哲学和计算机科学的能动作用【内容提要】本文对存在于数学哲学与科学哲学、以及数学哲学与计算机科学之间的相互影响和渗透的关系进行了分析，并以此为依据提出了“能动作用”这一知识与概念发展的普遍模式，即我们不仅应当高度重视在不同领域之间所存在的重要联系，而且应当明确肯定这种关系的能动性质。

正文】1引言这一文章有两个相互关联的目标：第一，表明数学哲学在20世纪中与两个很不相同的领域，即科学哲学和计算机科学（包括人工智能），产生了重要的相互作用，而且，这三个领域都由这种相互影响得益匪浅；第二，作为对于这种相互关系的进一步分析，文中提出了“能动作用”(dynamic interaction)的概念，作者认为，这事实上代表了知识与概念发展的一个普遍模式。

为了讨论的方便，以下先对“能动作用”这一概念作一较为具体的刻划。

笔者认为，这主要包括以下四个特征：(1)在两个先前被认为是互不相关的领域之间可能发现某些出乎意料的联系；(2)这两者都由这种联系，或者更精确地说，由这种相互作用，得益匪浅；(3)这并非是静态的、而是一种能动的关系，特别是，先前处于次要地位的领域可能转而占据主导的地位，反之亦然；(4)在保持相互联系的同时，对立双方又都应当保持一定的相对独立性，这事实上也就是主次地位发生变化的一个必要条件。

数学哲学与科学哲学在本世纪中的相互作用，可以被看成上述“能动作用”的第一个例子：在本世纪上半叶，数学哲学显然在这两者中居于主导的地位，例如，维也纳学派就是由数学哲学（这在当时主要是指数学基础研究）吸取了不少重要的基本思想从而发展起了自己的科学哲学理论，后者并曾在很大时期内一直被看成是科学哲学领域中的正统观念；然而，自60年代以来，科学哲学已逐渐取代数学哲学而在两者中占据了主导的地位，例如，主要就是由于科学哲学的影响才导致了数学哲学在现代的革命性变化。

对于数学哲学与科学哲学的这种能动作用我们将在第二节中作出具体分析。

2021年5月第47卷第3期西南民族大学学报（自然科学版）Journal of Southwest Minzu University ( Natural Science Edition)M a y.2021Vol.47 No. 3doi ：10. 11920/xnm dzk. 2021. 03. 013简评四色定理的一种非计算机“逻辑证明”杨军,李高平，李庆(西南民族大学数学学院，四川成都610041)摘要：2020年，Y.W a n g基于构形和可归约性的经典概念提出了一份四色猜想（T h e F o u r C o l o r C o n j e c t u r e J C C)的归谬法证明.首先构造反例指出其“临界A'色图”定义的一个缺陷.其次对比分析表明，把“最小图”改为“临界5色图”的做法产生了逻辑二难困境：若按前者对待，则原文尚缺论证能够抵抗传统的H e a w o o(丨图的反例攻击；若按后者处理，则当今图论无法保证其存在性.关键词：四色猜想；极大平面图；最小图；临界A.-色图；H e a w o o d图中图分类号:0157.5 文献标志码：A文章编号:20954271(2020 )06*0326>04A brief comment on a non - computer "logical proof" of the four - color theoremYANG Jun, LI Gao - ping, LI Qing(School of Mathematics, Southwest Minzu University, Chengdu 610041 , China)Abstract ： In 2020, Y. Wang proposed a proof by contradiction of the Four Color Conjecture (4CC) based on the two classic concepts of configuration and reducibility. This article first constructs a counterexample to point out a defect in the definition of "critical 5 - chromatic graph" . Secondly, the comparative analysis shows that the practice of changing the "minimal graph" to the "critical 5 - chromatic graph" has begot a logical dilemma：If it is treated as the former, then the original still lacks the proof that it can resist the counterexample attack of the traditional Heawood graph；if it is dealt with as the latter, then the con­temporary graph theory cannot guarantee its existence.Keywords：Four Color Conjecture (4CC) ；maximal plane graph；minimal graph；critical h - chromatic graph；Heawood graph四色猜想（The Four Color Conjecture，4CC)、Fer-mat猜想、Goldbach猜想和Riemann假设是学界公认 挑战人类智商的四大世界数学难题其中4CC是 指平面图的色数不超过4,即任意地图均可用四种颜 色进行着色，使得有共同边界的区域着色不同.虽在 1976年Appel和Haken采用寻找可约的不可避免构 形集的方法，利用计算机辅助计算宣布证明了 4CC，但证明过程太长，以至于无法手工验证，故有些人从 根本上反对使用计算机，迄今为止不少图论学者（爱 好者）仍在寻找攻克4C C的简洁纯数学（非机器）证 明|3-5].2020年，Y.Wang[6]基于Kempe提出的构形(configuration)和可归约性（reducibility)概念提出了 一份4CC的归谬法证明（以下简称WK-证明）.虽历 史上Kempe方法被Heawood在1890年成功运用到五 色定理的证明，但1879年Kempe在4CC“证明”过程 中最小度5 = 5的情形因无法证明可归约性而遭遇 11年之后Heawood图的反例攻击[2’7'.于是，Y.Wang 尝试将Kempe“证明”中的核心概念“最小图”改为基 于临界5色图的存在性.本文对此展开若干比较性研 究，提出评价及建议.收稿日期:202(M39>09作者简介:杨军(1963-),男，汉族，重庆涪陵人，教授，博士.研究方向:信息安全与密码学、数学建模.E-mail:jimyang898@ 163.co m基金项目：国家自然科学基金青年基金项目（11401493);西南民族大学中央高校基本科研业务费专项资金项目（2020N Y B 17)第6期杨军，等：简评四色定理的一种非计算机“逻辑证明3271预备知识定义1[2’5]:若图C存在平面图形表示使它的边 仅在端点处相交，则称C为可平面图（planar graph). C的这种图形表7K被称为平面图（plane graph)定义2[4’8]:平面图C被称作极大平面图（maxi­mal plane) ，若不能添加新边形成平面图 G D C， 且 F(C)= V(C).从直观上等价地看，它是指在任意一 对不相邻的顶点之间添加一条边便可破坏其平面性 的平面图.定义3[2’8]:图C= (K, £)的一个顶点着色(vertex coloring)定义为一•个映射C: S(颜色集），使得任意两个相邻的顶点和均有C(1；)#当基数|S|= A：时，称G 拥有一个 A -着色（A - coloring)•参数;G)= m inU:G拥有A:-着色}被称为C的点色数（（vertex -)chromatic number)，简称色数.当;^(G)= &，称 G 是 i-色的（A: - chromatic);当;G) ^，称 G是 i - 可着色的(A：-colorable).定义4[2_9-"]:设;^(c)= A 2 2.若对任何真子 图//C G，均有尤（//)<1则称C为临界色图(critical A:- chromatic graph)，简称为 A:-临界图（4-critical graph) [5,71.定义4 [6]:—个A -色图被称为临界的（criti­cal), 若任意删除一个顶点或一条边后总得到一个(A - 1)- 色图•定义5[2’12]:若有平面简单图C满足;^G)= 5, 但对于任何阶小于图C的阶〃（C)的平面图W均有 尤(//) <4,则称 G是最小图（minimal graph)•(Heawood)五色定理U_8]:任何可平面图都是5 - 可着色的.2 W K-证明：概述采用归谬法证明.若4CC不真，则在可平面图中 应该存在若干5 -色图.令C是一个临界5 -色图，则 最小度5(G)= 4, 5.情形一：当S(C)= 4,置C的顶点u的度数 deg c(u)= 4.令u的邻点集/vc( «) = i v t , v2, v3, ■如图1所示.V3V1图1degf;( u) = 4Fig. 1deg6( u) = 4V3V3图2若边消失，则该图能变成4-可着色图Fig. 2 If the edge vxv2is missing,the graph can become 4 - colorable.边¥2, ¥3, C i存在的理由是假如它们中的任意一个消失，比如消失，那么通过组合和巧成为〃12的图就是图2中的C'因为G的边数小于C的边数，所以C'应该是一个4-可着色图.在此情形下，只要C被变回到C，我们就能够得到4-可着色图C,这与C是一个临界5-色图的假设相违.其余部分及情形二（当3(C)=5)，详见文献[6]原文.3简析W K-证明失效的原因首先指出，虽有四色猜想（The Four Color Conjec­ture， 4CC )之说 ，但 WK- 证明中的 5 - color graph及 4 - colored graph均属非专业术语.从其上下文看，应 分别改为5 -色图（5 - chromatic graph)及4 -可着色 图(4-colorable graph)这两个概念.下面我们针对328西南民族大学学报（自然科学版)第47卷评1^-证明提出4点分析.第一点，定义4'值得商榷.下面我们举一反例比 较定义4和定义4 .vi长为3的圈C3图3 C3的一个删点删边运算Fig. 3 An operation of deleting a vertex and an edge由图3可知，奇圈(：3是3色图，而其子图C3 - ag (2阶完全图&的补图）是1色图.根据 定义4及性质[2]“C是临界3色图e C是奇圈”，知 C3是临界3色图.另一方面，根据定义4',我们针对 C3设计一个删点删边运算，使得产生的子图g的色 数火（g) = 1# 3 -1= 2.由此推出“C3不是临界的”的谬论.故我们建议 放弃定义4而回归到定义4.第二点，四色猜想的研究范畴属于极大平面图[1’81，但文献[6]并未阐述其关联性,故我们运用极 大平面图审视WK-证明过程.断言：图1只是临界5 -色图C的一个子图G，但并非极大平面图.证明如 下:利用极大平面图的一个特征[2]设6是〃（23)阶 简单平面图，则G是极大的<=>£ =3v-6.在G中，e =8,z； = 5 ,不满足占=3t； -6，故简单平面图G还 不是极大的.图2的左侧子图是多余的，因通过实施删除新生 的平行边、环及孤立点的“边收缩”运算[m|2]直接 从图1即得图2的右图（边收缩图C.e，其中边e= )，且C.6已进化成为极大平面图（因£ = 6,t; =4满足充要条件s= 3v - 6 ).在图论中没有“把点h和点h组合成为点〃12 ”的运算，应改为上述“边收缩”运算.同时在此谨需指 明一个“一词多义不等价”的图论特有现象:也有部分文献，如文献[5,7，13，14]并不删除“边收缩”运算诱 导出来的平行边.第三点，在WK-证明中把“最小图”改用“临界 5色图”并作为归谬法的起点假设，我们评价这是其 最大的逻辑“硬伤”•理由1[7’1<)]:每个A-色图C均有 一个A:-临界子图（A:- critical subgraph)//，但未必有 C= //.理由2 2’5]:对于色数A 2 4，人类迄今尚未 找到临界A-色图的特征（即充要条件）.我们认为，这是人类尚未发现4CC纯数学证明在基础研究平台 上的一个瓶颈原因.理由3[^|2]:根据5色定理可知，若4CC不真，则必存在最小图.这可能是文[6]认定 “令C是一个临界5 -色图”的依据，但我们指出：最 小图#临界5 -色图（二者的共性是5 -色图，但最 小性的主体对象不同：前者指“图的阶”，后者指“点 色数”）•因此，我们质疑WK -证明的做法产生了如 下的逻辑二难困境:若按“临界5色图”处理，则其存 在性当今图论无法保证;若按最小图对待，则疑似遭 遇传统的Heawood图的反例攻击.事实上，不同于最 小度5 = 4的安全情形，WK -证明对于有逻辑失误 风险的5 = 5情形反而欠缺完整细节.倡议4:在探索 世界级数学难题时，应防止某些学者打着“不妨假设；同理可证；可以证明”的旗号实施“我断言，你验 证——信不信由你”的行文策略;正因为是世界级数 学难题，一般读者不能直接验证或间接补充.故无论 证明或算法的复杂度多高，严谨负责的做法是提供完 整的对应附件（若长）.我们认为，这是人类挑战机器 证明必须付出的智慧代价.巧合的是，WK-证明全程 使用了 4次“应该是”（should be)•对此我们再次倡 议:针对数学猜想的正式证明不能抱持“猜”的态度或 方法.第四点,WK-证明采取“反证法中的反证法”的思路本身是合理合法的，但即使把原文中的anyone (任何一人）改为any one (任何一个），后面的推理 仍然违背了逻辑否定的De Morgan律（全称量词V 与存在量词3的互换）.WK-证明在图2中用反证 法证明断言“（所有的）边¥2, ¥3,都在C 中存在”；该命题的否定应为“存在某一条边（基于在 图1中这4条边关于G的最小度顶点w具有（在同构 意义下的）中心对称性，故不妨设），满足隹£( C) •”这是一种常见、可救但必改的逻辑bug.4结语与展望(1)我们的反例表明：WK-证明中使用的新定第6期杨军，等：简评四色定理的一种非计算机“逻辑证明329义4有缺陷，应首先回归到标准定义4.(2) 最近一项研究成果[1]业已揭示Kempe不能 证明4CC的根本原因：Kempe变换不能从一个4 -着色导出所有的4 -着色.我们的对比分析结果表明：把Kempe“证明”中的核心概念“最小图”改为“临界5色图”的做法产生了如下的逻辑二难困境:若按“临界5色图”处理，则当今图论无法保证其存在性;若按最小图对侍，则原文尚缺论证能够抵抗传统的Heawood图的反例攻击.(3) 展望:视围棋比赛为一系列2色顶点动态演 化（单点增加与多点删除运算）的图变,从近年“围棋人机大战”（指人工智能围棋程序AlphaG。

四色定理获证历程及对图论的影响邓硕;王献芬【摘要】通过回溯四色问题从猜想到定理的历史过程，揭示了简化思想在数学方法中的主导作用，最后简述四色问题对图论发展的影响，以对相关研究有所助益。

【期刊名称】《科技视界》【年(卷),期】2016(000)025【总页数】2页(P125-126)【关键词】图论;四色定理;证明;图着色;拓扑图论【作者】邓硕;王献芬【作者单位】河北地质大学数理学院，河北石家庄050031;河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024【正文语种】中文图论是组合数学的一个分支，是离散数学的重要组成部分。

近些年来，随着计算机科学的发展，图的理论及其在其他科学领域的广泛应用，越来越受到数学界乃至科学界的重视。

同其他数学学科相比，图论的历史虽不太久远，但是其内容的丰富、问题的难度、技巧的精湛及其理论的交叉融合，却是难以想象的。

一个表述简单的问题，证明起来却有着意想不到的艰难。

限于篇幅，本文简要论述四色问题从猜想到证明的历程，从中获得有益启示。

所谓四色问题，简单说就是，若给平面（或球面）上任意地图着色，使得相邻两区域不能用相同颜色，问是否四种颜色足够？此问题是刚从伦敦大学毕业不久的英国青年葛斯瑞（F.Guthrie,1831-1899）在1852年的一个猜测。

迄今为止，人们发现的第一个正式的文字记录是德·摩根在1860年4月14日写的一篇书评[6]。

由于英国大数学家凯莱（A.Cayley，1821-1895）在1878年6月13日召开的伦敦数学会上当场发问，四色问题是否已被证明，从而引起了数学界极大的反响[1]。

各国数学中心和主要数学杂志此后源源不断地收到四色问题的各种证明。

1879年，剑桥大学三一学院数学毕业生肯普（A.B.Kempe,1849-1922）首先给出了一个“证明”。

11年后，即1890年，希伍德（P.J. Heawood，1861-1955）首先给出一个反例图（即希伍德图），指出了肯普证明的疏漏。

文章编号:1671-654X(2003)02-0055-06四色定理论证颜宪邦,屈姿朴(陕西航空电气有限责任公司第四十七设计研究所,陕西兴平713107)收稿日期:2003-04-03作者简介:颜宪邦(1936-),男,四川渠县人,研究员,主要研究方向为航空电源。

摘 要:用离散数学之图论证明 四色猜想 ,巧妙而深层次地应用数学归纳法和换色法,解决了肯泊(A.Kempe)百多年前提出 不可避免构形集 中的一个地域有五个邻域的情况的所谓 可约性 问题,同时指出了1890年希伍德(P.Heawood)举出的25阶反例(当时,他以此说明 四色猜想 不成立,而 五色定理 成立)与本文中的一种可换色(即 可约性 )的典型实例类同,进而简捷而理想地证明了 四色猜想 是成立的,使 四色定理 得到科学的论证。

关键词:图论;平面图;数学归纳法;换色法;4-可着色中图分类号:O157文献标识码:A引言四色定理 又称 四色猜想 或称 四色问题 。

它是说一个平面(球面)地图,只需要用四种颜色来着色,就可以使得两个相邻的地区没有相同的颜色。

这个问题,据有关资料介绍,是1840年德国数学家麦比乌斯(A.F.M !o bius,1790-1868)首先提出的,但一直未得到确切的数学理论上的论证。

1976年6月美国数学家阿佩尔(K.Apple)、哈肯(W.Haken)等人宣布,他们选择了2000多种构形,包括几百万种情况,作了两百亿个逻辑判断,借助于大型电子计算机,运行了1200小时,证明了 四色定理 。

在研究证明 四色猜想 的历史长河中,多次有人宣布已证明了它,但均被人否定其证明的确切性。

借助于大型电子计算机来证明 四色定理 是现代计算机应用所取得的一个重大成就,但作为一个数学定理的证明,并不理想。

至今,这个著名的 四色猜想 还没有一个理想的、确切的数学理论证明。

在离散数学的图论中,把这个 四色猜想 问题化归为平面图的点着色问题。

四⾊定理及其计算机证明为了⿊这个：“OpenAI发⽂表⽰，他们已经为Lean创建了⼀个神经定理证明器，⽤于解决各种具有挑战性的⾼中奥林匹克问题，包括两个改编⾃IMO的问题和来⾃AMC12、AIME竞赛的若⼲问题。

该证明器使⽤⼀个语⾔模型来寻找形式化命题(formal statement)的证明。

”The four color theorem was proved in 1976 by Kenneth Appel and Wolfgang Haken after many false proofs and counterexamples (unlike the five color theorem, proved in the 1800s, which states that five colors are enough to color a map)...The Appel and Haken proof attracted a fair amount of criticism. Part of it concerned the proof style: the statement of the Four Colour Theorem is simple and elegant so many mathematicians expected a simple and elegant proof that would explain, at least informally, why the theorem was true - not opaque IBM 370 assembly language programs.System/370 Model 148The new model also offers increased system throughput -- the amount of time it takes to perform a given amount of work -- compared to the Models 135 and 145. The Model 148 is available with 1,048,576 or 2,097,152 characters of memory. ⾼达1MB或2MB内存。

智慧树知到《数学宇宙的语言》章节测试【完整答案】智慧树知到《数学宇宙的语言》2019章节测试答案第1章单元测试1、爱因斯坦因为数学的限制，使得广义相对论的研究难以开展，后来他用了7年的时间努力学习黎曼几何，才得以继续他伟大的创举。

答案：对2、20 世纪初爱因斯坦创立的狭义相对论与广义相对论。

答案：对3、400年前开普勒发明的微积分。

答案：错4、牛顿花费20年的时间思考归纳出的行星运动三定律。

答案：错第2章单元测试1、四色定理的机器证明被所有数学家们认可。

答案：错2、数学已经成为人类看待世界的一种方式，这里的世界包括我们所居住的物理的、生物的与社会学的世界，以及我们心灵与思维的世界。

答案：对3、下列关于数学的说法，错误的是()。

答案：任何学科都有抽象的成分，数学的抽象程度与其他学科的抽象一样，没有区别。

、数论是古老的数学分支，是纯粹数学思维的产物，除了起智力体操的作用以外，没有什么实际的用途。

4、整数理论中的“算术基本定理”，其内容是：任一大于1的自然数都可以分解成若干个素数的乘积，如果不计素数因子的顺序，这种分解是唯一的。

答案：对5、当花粉的小颗粒悬浮在液体中时，在显微镜下可以看到不规则的复杂运动，运动的轨迹是一种处处可导的光滑曲线。

答案：错第3章单元测试1、对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算答案：对2、下列关于哈密顿四元数的说法正确的是()。

答案：哈密顿四元数满足乘法结合律，但不满足乘法交换律。

、哈密顿四元数实质是“三维复数的类似物”。

3、实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，只要与其余假定不矛盾，就能构造出许多代数体系。

答案：对4、康托尔的连续统假设已经被证明是正确的。

答案：错5、二进制下的 1111111 在十进制下表示为()。

答案：127第4章单元测试1、《几何原本》中只有几何问题的公理化方法证明，但没有微积分的思想方法的应用。

组合数学四色证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑四色问题的证明如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。

这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。

但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。

根据欧拉创立的“拓扑学”原理，平面地图上不管形状多么复杂、大小多么不等的每块区域都可看成一个点。

而相互间有接壤的可用连线来表示<从图1到图6每幅图上方的区域图都可用下面的关系图来表示）。

地图上着色时只要相互有接壤的区域用的颜色不同就能分清不同区域了，也就是关系图上每条线两端的点不同色就行了。

下面的是湖南地图！可以用四种颜色！！从最大平面图上看，每一个区域<点）都是被其它若干个区域<点）所包围。

下面我们就逐一就各种包围情况来分析需要几种颜色。

1。

一个区域完全包围另一个区域的情况：这种情况相信不用画图大家也能明了，比如梵蒂冈处在罗马的包围之中，地图上它只要用与罗马不同的任何颜色就能分别出来，而处在中间的梵蒂冈存在与否，根本不会影响罗马与周围区域的着色。

2..二个区域包围一个区域的情况：如图1所示，中间的区域只要用不同于外面二区域的任何颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围二区域与其它区域的着色。

就是说：在整个最大平面图中可把图1中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉了中心O点，把二边形左右两条边AB合并为一条。

3..三个区域包围一个区域的情况：如图2所示，中间的区域只要用不同于外面三区域的任何第四种颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围三区域与其它区域的着色。

就是说：在整个最大平面图中可把图2中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉中心O点，只剩下外面三边形ABC。

4. 四个区域包围一个区域的情况：如图3所示，由于上与下区域不接壤可用同一种颜色、左与右区域也不接壤也可用同一种颜色，所以中间区域只要用第三种颜色就行了。

关于“四色问题”的证明“四色问题”是世界数学‎史上一个非‎常著名的证‎明难题，它要求证明‎在平面地图‎上只要用四‎种颜色就能‎使任何复杂‎形状的各块‎相邻区域之‎间颜色不会‎重复，也就是说相‎互之间都有‎交界的区域‎最多只能有‎四块。

一百五十多‎年来有许多‎数学家用了‎很长时间，化了很多精‎力才能证明‎这个问题。

前些日子报‎刊上曾有报‎道说：有好几位大‎学生用好几‎台电子计算‎机联合起来‎化了十几个‎小时才证明‎了这个问题‎。

本人在二十‎多年前就知‎道有这么一‎个“四色问题”，可一直找不‎到证明它的‎方法。

现在我刚接‎触到“拓扑学”，其实用“拓扑学”原理一分析‎，“四色问题”就象当年欧‎拉把“七桥问题”看成是经过‎四个点不重‎复的七条线‎段的“一笔画”一样简单，连一般的小‎学生都能证‎明它。

根据“拓扑学”原理，任何复杂形‎状的每一块‎区域都可看‎成是一个点‎，两块区域之‎间相互有交‎界的可看成‎这两点之间‎有连线，只要证明在‎一个平面内‎，相互之间都‎有连线的点‎不会超过四‎个，也就证明了‎“四色问题”。

平面内的任‎意一个点A‎可与许许多‎多的点B、C、D……X、Y、Z有连线（如图1所示‎），同样B点也‎可与其它点‎有连线，C、D……X、Y、Z各点也可‎与其它点有‎连线。

但有一个原‎则：各连线之间‎不能相互交‎叉，因为一旦交‎叉就会产生‎一条连线隔‎断另一条连‎线（如图2所示‎），BC的连线‎就隔断了A‎D的连线。

但有人会说‎：两点间的连‎线可有许多‎条，AD连线可‎绕到B点或‎C点以外（图2中虚线‎所示）不就没有交‎叉了吗？可是这样一‎绕就产生一‎个结果：原来在一个‎封闭图形外‎的点变成了‎封闭图形内‎的点。

下面就通过‎对封闭图形‎的分析来证‎明相互之间‎都有连线的‎点不超过四‎个。

一个点本身‎或两个点之‎间的连线都‎可形成一个‎或多个封闭‎图形（如图3所示‎）。

三个相互之‎间都有连线‎的点从A点‎连到B点再‎到C点又回‎到A点（如图4所示‎），必定会造成‎图形的封闭‎。

和费马大定理，庞加莱猜想一样， 四色定理 也是那种叙述起来非常简单，证明起来却极其困难的百年数学难题。

但四色定理非常特殊的一点在于，它的最终证明并不是传统的数学逻辑证明，而是借助计算机分析所有可能的情形后完成的。

这也就是说，四色定理的证明迄今为止仍非单独的人力所能及，我们仍然没有找到理论上的逻辑证明，但借助计算机强大的计算能力，的确又可以解决这个难题。

四色猜想四色猜想最早并不是由职业数学家提出的，而是由从事地图制作的 费兰西斯.古色利（Francis Gurthire）发现的。

在为不同的地图着色过程中，细心的古色列发现，对于相邻(具有公共边界)的地区，若它们着不同颜色，那么只要四种颜色就可以完成这张地图。

好奇心强烈的古色列对这个猜想的正确性非常感兴趣，但苦于自己不具备专业的数学知识，于是他将这个问题告诉了自己在伦敦大学学数学的弟弟 费雷德里克·古色利（Frederick Guthrie），但弟弟也无能为力，后来他又寻求老师，著名数学家 德·摩根(deMorgan,1806~1871，提出了集合论中著名的德·摩根定律) 的帮助。

但令兄弟二人震惊的是，即使是德·摩根这样出色的数学家也对这个问题无能为力。

德·摩根但德·摩根算得上是四色猜想的第一位先驱，实际上他证明了至少需要四种颜色，并且因此留下了关于四色猜想最早的正式文字记录。

同样，德·摩根向许多当时著名的数学家咨询过这个问题，但都一无所获，直到英国著名数学家 凯莱(ArthurCayley，1821～1895，矩阵论创始人) 在1878年向伦敦数学会提交这个问题后，四色猜想才开始广为人知，并吸引了众多数学家来研究这个问题。

凯莱在凯莱正式向数学界提出四色猜想后不到一年时间内，毕业于剑桥大学数学系的律师 肯普(Kempe)给出了一个看似正确的证明，但直到十一年后， 希伍德(Heawood) 才发现了肯普证明中的错误，由此证明四色猜想的努力再次破产。

四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。

反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。

由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。

所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。

1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。

分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。

b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。

将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。

内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。

2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。

对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。

分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。

3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。

方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。

又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。