四色定理

科技馆四色定理一、四色定理的背景与意义四色定理，又称四色猜想，是图论中一个著名的未解决的问题。

它表述的是：对于平面上的任何一个封闭图形，只需用四种颜色进行着色，就可以保证任意两个相邻的区域都有不同的颜色。

这个问题源于19世纪，引起了无数数学家的兴趣，最终在20世纪70年代由Kenneth Appel和Wolfgang Haken证明。

四色定理的证明不仅解决了图论中的一个重要问题，也推动了数学的发展。

同时，它在计算机科学、工程学、电子工程和其他领域都有着广泛的应用。

二、四色定理的起源与发展四色定理的起源可以追溯到19世纪。

当时，英国的一位年轻地图绘制员Francis Guthrie提出，为什么地图上从未出现过五个或更多颜色的地图。

这引发了他对四色定理的思考。

然而，这个问题在接下来的几十年里一直未能得到解决。

尽管有数学家尝试证明或反驳这个定理，但都没有成功。

直到20世纪70年代，Kenneth Appel 和Wolfgang Haken利用计算机和复杂的数学工具，完成了四色定理的证明。

三、四色定理的证明方法Kenneth Appel和Wolfgang Haken采用了计算机辅助证明的方法，利用了大量的组合数学和图论知识。

他们通过构造一个庞大的表格，记录了所有可能的情况，然后利用计算机对这些情况进行检查，最终证明了四色定理。

四、四色定理在地图绘制中的应用四色定理在地图绘制中有着广泛的应用。

它保证了可以用四种颜色对任意一个封闭的地图进行着色，从而避免了因颜色重复而产生的混淆。

这大大简化了地图绘制的过程，使得地图更加准确和易于理解。

五、四色定理在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，四色定理也被广泛应用。

例如，在绘制复杂的图形或模拟自然现象（如气候模型）时，可以利用四色定理进行着色。

此外，在计算机图形学中，四色定理也常被用于检测和纠正几何形状的错误。

六、四色定理在电路板设计中的应用在电路板设计中，四色定理也有着重要的应用。

四色定理Four Color Theorem“四色定理”——“一张各国地域连通，并且相邻国家有一段公共边界的平面地图上，可以用四种颜色为地图着色，使得相邻国家着有不同的颜色”它在图论发展史上起到过巨大的推动作用A1852年，佛朗西斯·古思里（Francis Guthrie）在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的分区颜色不同他将这个发现告诉了他的弟弟弗雷德里克·古思里弗雷德里克将他哥哥的发现作为一个猜想向老师德·摩根提出德·摩根对此很感兴趣，当天就和爱尔兰数学家哈密尔顿通信，将这个问题向他提出而哈密尔顿则与之相反，对它丝毫不感兴趣，他在三天后的回信中告诉德·摩根，他不会尝试解决这个问题1879年，肯普（Alfred Kempe）宣布证明了四色定理在1890年，希伍德（Heawood）指出了肯普的证明存在漏洞，而且他使用肯普的方法证明了“五色定理”。

直到1976年四色猜想才最终由数学家阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）在科克（J. Koch）的帮助下证明他将地图上的无限种可能情况归纳为1936种状态再由电脑逐个检查过程共用了一千多个小时四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，但这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证在证明四色猜想过程中，研究者还发现了平面哈密尔顿图和面着色之间的一个有趣联系：哈密尔顿回路将平面分成若干个回路内部面和若干个回路外部面使用颜色A和B交替将内部面着色使用颜色C和D交替将外部面着色得到了一个使用4种颜色的面着色一般地讲，每个平面哈密尔顿图都可以使用4种颜色进行面着色E nd。

四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。

南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。

证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。

四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。

1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。

1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。

不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。

1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。

我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。

四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。

1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。

四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。

地图设计的专著中对四色定理描述很少。

四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。

四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。

数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。

对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。

从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。

这时计算机才刚刚发明。

两人的思想可谓十分超前。

1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。

到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。

于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。

在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。

赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。

后来也的确有人指出其错误。

1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。

1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。

无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。

问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

四色定理四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

基本介绍四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。

德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。

一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史：来自地图的启示相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。

4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。

这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。

这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。

2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。

然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。

3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。

如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。

类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。

4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。

由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。

需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。

如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。

四色定理是什么意思？引言下图是一张世界地图，从这张地图看很清楚的看到每个国家的位置，英国数学家法兰西斯·古德里在1852年提出：“是否只用四种颜色就能为所有地图染色?”由此出现了四色定理。

1.四色定理下图是一张抽象画的地图，四色定理可以表述为：一张地图最多只要用四种颜色就快用完全表示出来。

四色定理最核心的一点是：彼此相邻的两个区域颜色不能相同。

然而，人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。

曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。

2.普通数学表述虽然靠着“经验”感觉一张地图最多用四种颜色即可解决，但是作为数学还是需要严谨的描述。

其定义可以描述为：•将平面划分为有限个区域，使得任意两个区域的交集是空集，所有的区域的并集是整个平面；•所有区域中，只有一个区域是无界区域，其余区域都是有界区域。

3.图论阐述图论可以把上面问题更进一步抽象画，即将一个地图转化为图论中的一个无向平面图。

具体来说，是将地图中的每一个国家用其内部的一个点代表，作为一个顶点。

如果两个国家相邻，就在两个顶点之间连一条线。

这样得到的图必然是一个平面图（不会有两条边相交），而与每个国家选取的代表点无关。

四色定理可以叙述为：必然可以用四种颜色给平面图的顶点染色，使得相连的顶点颜色不同一个四个国家的地图转化为一个平面图要注意的是，并非所有的地图都可以转化为图论中的平面图。

如果一个国家有飞地的话，就不能用只一个点来代表一个国家。

另外，如果一个国家是“国中国”，那么即便可以地图其转化为平面图，也会造成讨论上的不便。

但是，“国中国”的着色十分容易解决，因为它只有一个邻国，只需将它染成和邻国不一样的颜色就可以。

所以在大部分有关四色问题的讨论中可以忽略“国中国”的情形。

同样地，只有两个邻国的情形也可以被忽略。

如果规定不能够有四个或者以上的国家有公共边界，那么地图转化成的平面图里面，每个区域都是至多由三条边围成的。

四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相邻才增加颜色的种类。

可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。

1、地图上的一个连续区域。

2、在这个连续区域内部增加一条线将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相邻区域，也就增加一种颜色。

3、在它们的相邻边上增加一个区域，变成三个相邻的区域，又增加一种颜色。

4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相邻的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。

5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域相邻。

也就不能增加区分区域颜色的种类。

6、我们无论怎样重复2、3、4、5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相邻边的区域。

所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证毕。

四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。

着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。

1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。

1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。

直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。

四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。

反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。

由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。

所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。

1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。

分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。

b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。

将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。

内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。

2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。

对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。

分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。

3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。

方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。

又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。

四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。

数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。

对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。

从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。

这时计算机才刚刚发明。

两人的思想可谓十分超前。

1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。

到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。

于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。

在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。

赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。

后来也的确有人指出其错误。

1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。

1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。

无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。

问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

数学视野：四色定理
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用
1。

四色普公式摘要：一、四色普公式的概念二、四色普公式的证明方法三、四色普公式的应用领域四、四色普公式与其他数学问题的联系正文：四色普公式，即四色定理，是数学领域中著名的几何学问题。

该问题探讨的是在平面上任取四个区域，是否存在一种方法能够用四种颜色为这四个区域进行染色，使得相邻的区域颜色不同。

一、四色普公式的概念四色定理的正式表述为：任何一个平面地图，只要用四种颜色就可以使得任意相邻的两个区域涂成不同颜色。

这个定理的结论表明，任何地图上的区域数量只要大于等于两个，那么使用四种颜色进行染色是可能的。

二、四色普公式的证明方法尽管四色定理看起来很简单，但要证明它却非常复杂。

数学家们经过数十年的努力，最终在1976年得到了一个证明。

这个证明是基于Kempe的八条定理，通过计算机的帮助，数学家们找到了一组可以证明四色定理的Kempe 链。

Kempe链是一种在地图上用一些特殊的路径连接相邻的区域的方法，通过这些路径，可以将染色问题转化为更简单的图形，最终证明四色定理。

三、四色普公式的应用领域四色定理的应用领域非常广泛。

它不仅可以帮助我们理解地图染色问题，还可以用于解决许多其他几何学问题。

例如，四色定理的推广版本可以用于证明五色定理、六色定理等。

此外，四色定理的思想方法也被应用于计算机科学、网络科学、物理学等领域。

四、四色普公式与其他数学问题的联系四色定理与其他许多数学问题有着密切的联系。

例如，四色定理的证明方法中涉及到了图论、拓扑学等数学分支。

此外，四色定理的一些推广版本也与其他数学问题相关，例如独立集问题、哈密顿回路问题等。

综上所述，四色普公式作为数学领域的一个重要问题，不仅具有深刻的内涵，而且具有广泛的应用价值。