塞瓦定理 四色定理 十色定理

边元塞瓦定理
边元塞瓦定理是数学中关于代数数和无理数的重要定理之一。

其内容为：若α是一个代数数，则其所有代数共轭数的和为有理数，即α与其所有代数共轭数之和为有理数。

这个定理的名字来源于法国数学家塞瓦 (Joseph Serret) 和边元 (Ernst Eduard Kummer)，他们分别在19世纪初和19世纪中期证明了该定理。

边元塞瓦定理对于代数数的研究和分类非常重要，它可以帮助我们更好地理解代数数的性质和结构。

同时，该定理也为无理数的研究提供了重要的参考依据。

- 1 -。

四色定理Four Color Theorem“四色定理”——“一张各国地域连通，并且相邻国家有一段公共边界的平面地图上，可以用四种颜色为地图着色，使得相邻国家着有不同的颜色”它在图论发展史上起到过巨大的推动作用A1852年，佛朗西斯·古思里（Francis Guthrie）在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的分区颜色不同他将这个发现告诉了他的弟弟弗雷德里克·古思里弗雷德里克将他哥哥的发现作为一个猜想向老师德·摩根提出德·摩根对此很感兴趣，当天就和爱尔兰数学家哈密尔顿通信，将这个问题向他提出而哈密尔顿则与之相反，对它丝毫不感兴趣，他在三天后的回信中告诉德·摩根，他不会尝试解决这个问题1879年，肯普（Alfred Kempe）宣布证明了四色定理在1890年，希伍德（Heawood）指出了肯普的证明存在漏洞，而且他使用肯普的方法证明了“五色定理”。

直到1976年四色猜想才最终由数学家阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）在科克（J. Koch）的帮助下证明他将地图上的无限种可能情况归纳为1936种状态再由电脑逐个检查过程共用了一千多个小时四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，但这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证在证明四色猜想过程中，研究者还发现了平面哈密尔顿图和面着色之间的一个有趣联系：哈密尔顿回路将平面分成若干个回路内部面和若干个回路外部面使用颜色A和B交替将内部面着色使用颜色C和D交替将外部面着色得到了一个使用4种颜色的面着色一般地讲，每个平面哈密尔顿图都可以使用4种颜色进行面着色E nd。

空间四色定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间四色定理是一种关于地图着色的数学定理，它指出任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。

这个定理是对四色定理在三维空间的推广，是由英国数学家哈佛·约瑟夫·萨福德和其学生乔治·法莫斯于1976年首次提出的。

在平面地图着色中，我们可以将地图上的不同区域用不同的颜色进行着色，但是要求相邻的区域颜色不能相同。

四色定理指出，任何一个平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不会相同，即使图形非常复杂也是如此。

而空间四色定理则是在平面图的基础上推广到了三维空间，也就是说对于任意的三维几何图形或者复杂的几何体，我们也可以用四种颜色进行着色，使得相邻的部分颜色不同。

这个定理在实际应用中具有非常广泛的意义，可以被应用于地图着色问题、计算机图形学、密码学等领域。

对于空间四色定理的证明是非常复杂和困难的，因为三维空间的几何形状比平面图形更加复杂，其结构也更为多样化。

萨福德和法莫斯在提出这个定理之后，并没有给出详细的证明方法，而是留下了一个给数学家们解决的难题。

直到1982年，美国数学家凯恩·麦克蒂基成功地证明了空间四色定理，他在证明中使用了复杂的数学方法和技巧，包括拓扑学、图论、组合数学等。

这个证明过程非常漫长和复杂，耗费了大量的时间和精力。

空间四色定理的证明对于数学领域的发展具有重要的意义，它不仅解决了一个重要的数学难题，而且对于数学的推理和证明方法也有着深远的影响。

这个定理的提出和证明，为数学家们提供了一个全新的研究方向，也激发了更多的数学思考和探索。

空间四色定理是一个非常重要的数学定理，它指出了在三维空间中对图形着色的规律，为地图着色问题、计算机图形学等领域提供了有力的理论支持。

虽然证明过程非常困难，但是通过数学家们的辛苦努力，最终成功解决了这个难题，为数学领域的发展做出了重要的贡献。

希望这个定理能够继续激发更多人对数学的兴趣和热爱，推动数学领域不断发展和进步。

四边形角元塞瓦定理
四边形角元塞瓦定理是几何学中的一个重要定理，它描述了四边形内部的角度关系。

在本文中，我们将详细介绍四边形角元塞瓦定理的定义、证明和应用。

让我们来看一下四边形角元塞瓦定理的定义。

该定理表明，对于任意一个四边形ABCD，它的对角线AC和BD相交于点E，那么四边形内部的四个角度之和等于360度，即∠A+∠B+∠C+∠D=360度。

接下来，我们来证明这个定理。

首先，我们可以将四边形ABCD分成两个三角形ABC和ACD。

由于三角形内部的角度之和等于180度，因此∠A+∠B+∠C=180度和∠A+∠D+∠C=180度。

将这两个等式相加，我们可以得到∠A+∠B+∠C+∠D=360度，即四边形内部的四个角度之和等于360度。

因此，四边形角元塞瓦定理得证。

我们来看一下四边形角元塞瓦定理的应用。

该定理可以用于解决各种几何问题，例如计算四边形内部某个角度的大小、证明四边形的对角线互相垂直等。

此外，四边形角元塞瓦定理还可以用于证明其他几何定理，例如平行四边形内角和定理和三角形内角和定理等。

四边形角元塞瓦定理是几何学中的一个重要定理，它描述了四边形内部的角度关系。

通过理解该定理的定义、证明和应用，我们可以更好地理解几何学中的各种问题，并解决它们。

塞瓦定理p5r《塞瓦定理（Saxon-Cox论文）p5R》是一篇与数学研究有关的著名文章，它是由英国数学家Sirk saxon-Cox于1936年发表的。

该文的标题是“给定一个正整数k，求出最小的正整数p，使得存在一个n次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的”。

文章的主要内容是关于理解k的一个假设，也就是“存在一个n 次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的”。

基于这个假设，saxon-Cox证明了以下定理：定理：设k为一个正整数，则存在一个最小的正整数p，使得存在一个n次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的。

定理的证明方法是，首先，根据定理的给定条件，求出给定的正整数k的特定的数学性质，然后根据这些性质，针对定理的给定条件，确定出最小的正整数p，证明定理成立。

正是由于Saxon-Cox针对该假设中的性质做了深入的推理、证明，才有了这么伟大的定理。

定理的证明过程也提供了一个编程思路，可以根据它来设计算法，从而解决数学相关的问题。

Saxon-Cox证明的塞瓦定理有着广泛的应用，例如在数论中可以推广为塞瓦解方程，即给定一个正整数k，求解多项式的根，这也是数学工程上的一个重要的应用。

此外，Saxon-Cox的文章中还提到了一种叫做“c阶数论”的数学理论，该理论使用p和q两个参数来描述多项式的根，即一个多项式根的数据可以表示为p和q之间的某种联系，其中p是一个正整数，而q是一个正整数的平方根。

因此，Saxon-Cox在研究塞瓦定理时所提出的理论和方法，也被广泛应用于大型多项式系统的理解与分析中，这对于未来研究多项式系统中的各种复杂问题有着重要的作用。

总的来说，Saxon-Cox的文章《塞瓦定理P5R》是一篇重要的数学论文，它提出的塞瓦定理在数学上具有重要的实际意义，其中提出的理论和方法也被广泛应用于大型多项式系统的理解、分析中。

关于我对四色定理的证明
首先，什么是四色定理？
“四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

四色定理，即四色问题，又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

为证明这条定理数学家们绞尽脑汁，并刺激了拓扑学与图论的生长、发展，最终用计算机得以证明。

原题是：‘任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

’用数学语言表示，即‘将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

’”——360百科第二，我之所以研究这个问题，是因为我觉得他并不难，加上我对地理和数学这两门科目很感兴趣。

第三，讲一下过程：
明确目标：证明成功。

明确方法：转换法。

明确命题：在同一平面内，被分割出来的不重叠区若相接（即相邻），则相接的两个区的颜色不同，那么至少需要几种颜色？
证明过程：∵将一个平面进行分割，
∴对这些区进行抽象简化，取局部图如下：设有一个区为Ｒ，则
①②
R R
Ｒ与偶数个区相接。

Ｒ与奇数个区相接。

∴{1,2,3}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4}。

（一个数字代表一种颜色）
∴四色定理成立。

∴地图上至少要5种（4+1=5，外加一种表示海洋）颜色。

完善过程：若区数少于四个，则：有n个区，最多需要n种颜色。

最后，发一下牢骚：网上的证明方法好难懂，至少我看到过的。

关于我对四色定理的证明，暂时就到这了，如若有错请大家指出来。

联系：2875492475@。

塞瓦定理的推广及其应用塞瓦定理，也称等可分定理，是数学上一种重要的定理，它可以帮助我们求解多种复杂的问题。

它的定义是：如果一个区间上的多变函数被可积函数拆分，那么多变函数可以用可积函数的和表示。

塞瓦定理是由保罗萨瓦于1811年发现的，自此以后，它就成为数学领域中一个重要的定理，被广泛应用于数学建模，物理和工程等领域。

经过一百多年的发展，塞瓦定理已经发展出许多推广版本，其中最重要的一个是凯撒凯洛瓦定理，该定理是由法国数学家凯撒凯洛瓦于1841年发明的，它的定义是：如果一个区间上的多变函数被可积函数拆分，那么多变函数可以以正交线性组合的方式（也就是说，使用正交函数的线性组合）表示。

凯撒凯洛瓦定理的发展也影响了塞瓦定理的应用，其最重要的应用就是可积函数的变换和积分。

凯撒凯洛瓦定理可以用来变换可积函数，因为多变函数可以用可积函数表示，所以可以使用凯撒凯洛瓦定理对可积函数进行变换，从而达到更好的积分效果。

此外，凯撒凯洛瓦定理也可以用于解决复杂的积分求解问题。

假设函数f(x)是一个多变函数，如果想要求解它的积分，首先可以使用塞瓦定理将f(x)拆分成可积函数，然后再使用凯撒凯洛瓦定理对可积函数进行变换，从而得到可以更容易求解的新函数，从而轻松求解原积分问题。

此外，凯撒凯洛瓦定理还可以用于数学建模。

凯撒凯洛瓦定理可以通过将所有可积函数线性组合，将复杂的多变函数表示为更加简单的线性组合，从而简化复杂的数学建模问题以及求解复杂的数学等式。

总之，塞瓦定理的推广以及凯撒凯洛瓦定理的发展，极大的改变了可积函数的变换和积分求解以及数学建模的方式，为科学研究提供了深厚的依据，并且在现代科学技术中有着重要的作用。

实际上，塞瓦定理和凯撒凯洛瓦定理在现代科学技术中的应用也越来越广泛，比如在计算机科学，物理学和工程学等领域，它们都可以用来求解复杂的问题。

因此，塞瓦定理及其推广版本凯撒凯洛瓦定理被认为是一种“神奇的武器”，它可以帮助我们轻松解决复杂的问题，为现代科学研究提供重要的思路。

六边形塞瓦定理
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。

塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。

使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。

塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。

本文参考百度百科塞瓦定理。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。

图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。

这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。

在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。

四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。

这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。

证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。

其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。

这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。

通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。

四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。

人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。

四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。

这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。

除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。

比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。

这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。

图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。

比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。

在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。

这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。

总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。

四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。

证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。

如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。

下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。

观察发现，两个图的本质是一样的。

3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD因为△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、A D、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a− b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

塞瓦定理的应用
塞瓦定理是数学领域里重要的定理之一，它有着广泛的应用，应用于像微积分、定义形状及应用编程等领域。

本文首先会简要介绍塞瓦定理，然后会从三个方面探讨它的应用：微积分、定义形状、应用编程。

塞瓦定理是由18th世纪法国数学家塞瓦发现的，它指出：所有可以由一条曲线分割的三角形，它们的面积相等。

塞瓦定理的原数学式相当简单：
S＝1/2 (a+b+c)
其中a、b、c是由曲线分割的三角形的三条边的长度，S是三角形的面积。

塞瓦定理在微积分中有着广泛的应用。

它可以用来求解函数的积分，尤其是复杂的函数，经过适当的进一步推导，就可以用它来解决更复杂的积分问题。

还有，它可以用来证明微积分中一些重要公式，比如抛物线与椭圆的面积密切相关的几何性质。

塞瓦定理在定义形状方面也有着广泛的应用。

在二维平面中，它可以用来求解三角形面积，还有，它可以用来求解其它几何图形的面积，比如正方形、长方形、菱形、五边形等。

塞瓦定理也可以用在编程中，它可以用来求解一些耗时复杂的计算，比如求解三角形面积，求解复杂函数的积分等。

使用塞瓦定理可以节省大量的时间，提高编程效率。

以上是塞瓦定理的应用，在不同领域都能发挥着重要的作用。

事实上，它的应用还可以更广泛，只要把它作为一个开端，就可以探索更多的可能性。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD因为△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、A D、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a− b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。