随机过程重要公式

随机过程
1. 基本概念
1、随机过程0{}()t t X t T ≥∈是一个从T ⨯Ω到R 的映射其中T 是一个时间指标集，如果它是连续的正实数，随机过程0{}()t t X t T ≥∈就是连续时间随机过程，例如布朗运动；如果T
是一个离散时间指标集，随机过程
0{}()t t X t T ≥∈就是一个离散时间随机过程，例如随机游走。

随机过程可表达为：(,)(,)t X t ωω→
固定t ，可得随机过程(,)X t ω在时间t 的分布样本；固定ω，可得随机过程 (,)X t ω的轨迹。

2、研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。

实际研究中常常两种方法并用。

B-S 模型
期权的定价方法
（1）Black —Scholes 公式
（2）二项式定价方法
（3）风险中性定价方法
（4）鞅定价方法等。

知识点总结第1章 概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。

其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：（1）∈Ω （2）若∈A ，则∈A（3）若∈n A ，，， ,21n =则∈∞= 1n nA那么称为一事件域，也称为σ域.显然，如果是一事件域，那么（1）∈φ（2）若∈B A ,，则∈-B A（3）若∈n A ， ∞==1n n 2,1n A ，则，，定义 1.1.2 设Ω是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(⋅P 如果满足：（1）∈∀A 0)(,≥A P ，（2）1)(=ΩP ， （3）若∈n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则∞=∞=∑=11)()(n n n n A P A P那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω),P 为概率空间。

关于事件的概率具有如下性质：（1）;0)(=φP（2）若∈nA ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则ni ni i i A P A P 11)()(==∑=（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则（6）若∈A );(1)(,A P A P -=则（7）若∈n A ,,2,1, =n 则∞=∞=∑≤11)()(n n n i A P A P（8）若∈i A ,,,2,1,n i =则-===∑ ni ni i i A P A P 11)()(∑∑≤<≤≤<<≤--+-+nj i nk j i n n kj ij i A A A P A A A P A A P 11211)()1()()(一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果,2,1,1=⊃+n A A n n .定理1.1.1 设 ∈n A ,2,1,=n（1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P （2）若 ,2,1,=n A n 是单调递减的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P 定义1.1.3.设,(Ω),P 为一概率空间，∈B A ,.且,0)(>A P 则称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)|(A P ⋅符合定义1.1.2中的三个条件，即 （1）∈∀B , 0)|(≥A B P ；（2）;1)|(=ΩA P （3）设∈n B ,,2,1,,,,2,1, =≠==j j i B B n j i φ则∞=∞=∑=11)|()|(n n n n A B P A B P定理 1.1.2. 设，Ω( ),P 是一概率空间，有： （1）（乘法公式）若∈i A ，,,,2,1n i =且0)(121>-n A A A P ，则)|()()(12121A A P A P A A A P n =(2)（全概率公式）设∈A ,∈iB ,,2,1,0)(, =>i B P i 且∞=⊃=≠=1,,,2,1,,,,i i j i A B j i j i B B φ则∑∞==1)|()()(i i i B A P B P A P（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且∈A ∈>i B A P ,0)(,，,,2,1,0)( =>i B P i且 ∞=⊃==1,,,2,1,,i i j i A B j i B B φ则,2,1,)|()()|()()|(1==∑∞=i B A P B P B A P B P A B P j jji i i定义 1.1.4设,(Ω ),P 为一概率空间，,,,2,1,n i F A i =∈如果对于任意的)1(n k k ≤<及任意的,12n i i i k i ≤<<<≤ 有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =则称n 21,,,A A A 相互独立。

随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。

例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。

协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。

复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

伊藤一德布林公式在金融工程中的应用伊藤一德布林公式是金融工程中非常重要的数学工具之一、它是由伊藤清设计并命名的，用于描述随机过程的变化和演化。

该公式在金融学中被广泛应用于期权定价、风险管理、组合优化、投资策略等领域，对于理解和分析金融市场的波动性和风险至关重要。

dX(t) = μ(t)dt + σ(t)dW(t)在这个公式中，μ(t)表示随机过程X(t)的漂移项，σ(t)表示波动性项，W(t)表示标准布朗运动。

该公式可以被解释为随机过程X(t)的增量由漂移和波动两部分构成。

这个公式的一个重要应用是期权定价。

期权是一种衍生金融工具，它给予投资者在特定日期以特定价格买进或卖出一定数量的标的资产的权利。

根据伊藤一德布林公式，我们可以通过迭代求解随机过程X(t)的漂移和波动项，以及期权的到期价值，从而计算期权的理论价格。

除了期权定价，伊藤一德布林公式还被广泛用于风险管理。

金融市场的波动性是无法预测的，但是可以通过对随机过程的漂移和波动参数进行估计来管理风险。

利用历史数据和统计模型，可以估计出μ(t)和σ(t)，从而计算出随机过程的增量。

基于这些增量，投资者可以根据风险偏好和投资目标制定相应的投资策略，控制投资组合的波动性和风险。

此外，伊藤一德布林公式还可以用于组合优化。

在金融工程中，投资组合的优化是指通过调整资产配置和权重，以最大程度地实现预期收益和最小化风险。

伊藤一德布林公式可以帮助投资者计算出投资组合的预期收益和波动性，并通过调整资产配置和权重来优化投资组合。

总之，伊藤一德布林公式在金融工程中具有广泛的应用。

它可以用于期权定价、风险管理、组合优化等方面，帮助投资者理解和分析金融市场的波动性和风险，并制定相应的投资策略。

通过伊藤一德布林公式，投资者可以更科学地进行投资决策，实现预期收益和控制风险的目标。

诺依曼公式引言：诺依曼公式是数学中的一种经典公式，其由匈牙利裔美国数学家约翰·冯·诺依曼于20世纪初期所提出。

诺依曼公式是在概率论、统计学、随机过程等领域得到了广泛的应用。

下面将从三个方面分别阐述诺依曼公式的含义、应用和启示。

一、公式的含义诺依曼公式是关于随机过程的概率密度函数和累积分布函数的公式。

假设随机过程X是经过无穷次实验后的结果，且实验满足独立性、同分布性。

则X服从的概率密度函数f(x)和累积分布函数F(x)分别为：f(x) = (1/σ√(2π))exp(-(x-μ)²/(2σ²))F(x) = ∫( -∞ ~ x ) f(x) dx其中μ表示随机过程X的期望，σ²表示随机过程X的方差。

诺依曼公式就是通过这两个统计参数，描述了随机过程X所服从的概率密度函数和累积分布函数。

二、公式的应用诺依曼公式在概率论、统计学、随机过程等领域得到了广泛的应用，为这些学科的研究工作提供了重要的数学工具。

下面列举几个典型的应用例子。

1.金融风险控制金融市场的价格变化通常服从一定的随机过程，诺依曼公式可以用来描述这种随机过程所服从的概率分布。

在金融风险控制中，通过分析概率密度函数和累积分布函数，可以准确地度量市场风险，采取相应的风控策略。

2.物理定律的建立诺依曼公式在描述物理现象中也有着广泛应用。

例如，在天文学中，使用诺依曼公式可以计算太阳风的速度和密度等参数。

在材料科学中，使用诺依曼公式可以描述材料的高温膨胀。

3.信号处理在信号处理领域，随机过程经常被用来模拟信号的随机性和不确定性。

诺依曼公式可以用来描述这些随机过程的概率分布，从而帮助信号处理人员预测和分析信号的性质和特点。

三、公式的启示诺依曼公式不仅是一个重要的统计公式，同时还给我们带来了很多启示，其中最为重要的意义是其具有普适性和适应性。

1.普适性诺依曼公式可以用来描述不同领域中的随机过程所服从的概率分布，具有较强的普适性。

平稳随机过程之概念、公式介绍
1.1随机过程的几个常用定义
随机过程x(t)自相关函数定义[1]
R x (τ)=lim T →∞12T ()()T
T x t x t dt τ-+⎰ (1)
功率谱密度：
S x (ω)=()i R e τωτ∞
--∞⎰d τ ，-∞<ω<∞， (2) 自相关函数与谱密度满足
()x S τ=1
2πi e τω∞
-∞⎰()x S ωd ω ， -∞<τ<∞， (3)
均方差和谱密度之间满足如下关系式：
2
x σ=(0)x R =12π()x S d ωω∞-∞⎰ (4)
1.2线性系统中的平稳随机过程
线性定常系统如图a 所示：
图a 线性系统
文献[2]证明：如输入x(t)是平稳随机过程，输出y(t)也是平稳随机过程,并且数学期望满足
E[y(t)]=E[x(t)]0()h d λλ∞
⎰ (5) 公式(5)中，()h λ(λ≥0)为G(s)的脉冲响应函数。

同时二者的功率谱密度有如下的对应关系：
S y ()
ω=2
()
G iωS x()ω (6)
式(6)中，G(iω)为G(s)的频率响应。

如将一个白噪声信号想x(t)通过线性传递函数G(s)，得到有色噪声信号y(t)，如图a所示。

根据式(6), 因为白色噪声的功率谱为常数，令它为1，则：
S y ()
ω=2
()
G iω=G*(iω)G(iω) (7)
公式(7)中，G*(iω)为G(iω)的复共轭。

G(s)被称为成形滤波器的传递函数形式。

工程上常应用此方法来模拟平稳随机过程。

第一章绪论模拟通信系统一般模型:数字通信系统模型:点对点的通信按时间和传递方向可以分为：单工，半双工，全双工通信。

结论1:线性系统：输岀过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方，即P o( f) I H (f) I2 R (f)结论2 :如果线性系统的输入是高斯型的，则输岀也是高斯型的。

结论3 :一个均值为零的窄带平稳高斯过程，他的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。

此外在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是统计独立的。

结论4 :一个均值为零、方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言他们是统计独立的。

结论5:正弦波加窄带高斯噪声的包络：小信噪比时接近瑞利分布，大信噪比时接近高斯分布，一般情况下是莱斯分布。

第四章信道无线信道：天波、地波、视线传播。

有线信道：明线、对称电缆、同轴电缆。

信号无失真条件：1.具有线性相位(相频特性为通过原点的直线)2•幅频响应为常数信道容量：c t Blog2(1b/s第二章确知信号2■ BPFH LPF +丄 m 2(t)2n o B DSB1m 2(t) 4 —n 0 B DSB 4倍频「2第五章模拟调制系统 解调抗噪声性能调制框图带宽BB AM2 f mDSBB DSB2 f mSSBB SSBf mB FM2(m f 1) f m2( ff m )调频指数：阿姆斯特朗法，先倍频，再混频，再倍频（直接调频法：频偏大，稳定性差）m f f/f m最大频偏：f 载频：fcccs 2砺NBFM调制器— 倍频亦BPF制度增益n 0B AMn 0B AM22m (t)A m 2(t)同左，最SSB1m 2(t)4n0B SSB16m2(t)1 _1 n o B sSB 4仅适用于NBFM ，须同步信号，应用范围窄微分对NBFM 和WBFM 都适用，不需同步信号，应用范围广• LPF微分叫⑴3m 2B FM2 f m非相干解调（包络检波）抗噪声性能（可靠性） WBFM>DSB>SSB>VSB>AM 频带利用率（有效性） SSB>VSB>DSB=AM>FM 带宽 SSB<VSB<DSB=AM<FM第六章数字基带传输系统部分响应（提高频带利用率）：人为的，有规律的在码元抽样时刻 引入码间串扰，并在接收端判决前加以消除，从而达到改善频谱特 性，压缩传输频带，并加速传输波形尾巴的衰减和降低对定时精度 的要求。