正弦定理(53张PPT)

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正弦定理(53张PPT)

系列丛书
课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
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第一章 1.1 1.1.1
系列丛书
典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解．由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3；当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
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[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
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高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理课件 (共34张PPT)

两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角图形 A 为钝角或直角
关系式解的个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解一解无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．

正弦定理课件.ppt

解三角形。
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
ＡＢＡ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导

6.4.3第二课时正弦定理PPT课件(人教版)

则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
Thank You!
第二课时正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．

正弦定理优秀课件

7
例1:(林场失火问题)在△ABC中，已知 A=130°,B=30°,AB=10千米，求AC与BC的长．
解：根据三角形内角和定理,
C 180 ( A B) 180 (130 30 ) 20 AC AB 由正弦定理：得 sin B sin C C AB AC sin B 14.42千米 sin C BC AB 130° 30° 又由得 A 10km B sin A sin C
AB BC sin A 22.39千米 sin C
8
例2:在 ABC中，已知a 3 ， 2， 45 B b
求角 A .
解：依题意得,由正弦定理
C
a b sin A sin B
3
452o2 Nhomakorabea60
o
120
B
A
o
A
sin B sin 45 3 得 sin A a 3 2 b 2
§1.1.1正弦定理
（第一课时）
教材：人教A版
1
北东
C
·
· A
130°
30°
10km
2
· B
问题情境
在 △ ABC 中，已知 A=130°,B=30° ， AB=10千米，求AC与BC的长．
C
130° 30° A 10km
B
3
三角形的边角之间的关系
三角形的内角和是180

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
A 60 或A=120
o
o
9
归纳提升
a b c ★正弦定理： sin A sin B sin C
★主要应用： 1. 已知两角及一边，可以求出另外两边和另一角 2. 已知两边一对角，可以求出另外两角和另一边

高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)

结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的夹角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

正弦定理PPT课件

定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.

正弦定理课件ppt

提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以判断三角形的形状，例如是否为直角三角形、等腰三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理求出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹边，可以使用正弦定理求出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理求出三角函数值。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理

正弦定理优秀课件

02 sin A sin B sin小C结：正弦定理
例1.在ABC中，已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a

01
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
02
03
正弦 C定理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image

第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT

A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析：在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )

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a b 解析：由sinA＝sinB，
C．45°
b· sinA 4 2×sin60° 2 得sinB＝ a ＝＝2. 4 3 ∵a>b，∴A>B，而A＝60° ， ∴B为锐角，∴B＝45° .
答案：C
1.1.1
正弦定理（3）
自我纠错
易错点：利用正弦定理解三角形易丢解或多解用正弦定理解出一个角的正弦值，可得出对应的两个角，此时可能有一个是不符合题意的，也有可能出现漏解的情况． [错题展示] 30° ，求a. 在△ABC中，已知b＝3，c＝3 3，B＝
A
S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
c
B Da
b
C
思考题：
已知 ABC 中，满足
(a 2 b2 ) sin(A B) (a 2 b2 ) sin(A B) ，试判断 ABC
的形状。
已知 ABC 中，满足
(a 2 b2 ) sin(A B) (a 2 b2 ) sin(A B) ，试判断 ABC
变题３：已知ABC 中， b sin B c sin C 且 2 2 2 sin A sin B sin C，试判断三角形的形状.
方法总结：判断三角形形状的常用方法
（1）化边为角，得出三角形三个内角的关系再确定三角形的形状；（2）化角为边，得出三边之间的关系再确定三角形的形状.
①a＝ bsinA ②a≥b 一解
bsinA< a<b
a<bsinA
a>b
a≤b
两解
无解
一解
无解
练习：
ABC 中,A=30°, a= 2 ，b=2，则（）（1）已知 A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
（2）已知ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则（） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
asinC 2 3sin30° c＝ sinA ＝ sin30° ＝2 3. ∴B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3 或B＝120° ，C＝30° ，c＝ 2 3.
变式训练: 在△ABC 中，A＝60° ，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝( ) B．135° D．以上答案都不对
A．45° 或 135°
1．在△ABC 中，A＝60° ，B＝45° ，c＝1，求此三角形的最小边．
解：C＝180° －60° －45° ＝75° ，由大角对大边知角 B 所对的边 b 最小， b c 由正弦定理，得＝， sinB sinC csinB sin45° ∴b＝＝＝ 3－1. sinC sin75° 即此三角形的最小边 b 为 3－1.
[解] 解．
(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105° >90° ，本题无
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，C＝60° <90° ，本题有一解． bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB＝＝＝， c 2 5 6 ∴B＝45° ，A＝180° －(B＋C)＝75° . 6＋ 2 10× 4 bsinA 10×sin75° ∴a＝ sinB ＝ sin45° ＝＝5( 3＋1)． 2 2
a b c 例2、已知ABC 中， cos A cos B cos C 判断三角形的形状. a b c 变题1：已知 ABC 中， A B C 判断三角形的形状. cos 2 cos 2 cos 2 b cos B c cos C ，判变题2：已知 ABC 中，
断三角形的形状.
1.1.1
正弦定理（2）
课题导入
a b c 2R （1）正弦定理： sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
（2）变形公式：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
目标引领
1、掌握正弦定理及其变形公式；
2、会用正弦定理解三角形.
独立自学
1、在 ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且 a+b+c=15，则a= 4 ，b= 5 ，c= 6 。 2、在ABC 中，A : B : C 1 : 2 : 3 ，则 a：b：c= 1 : 3 : 2 。
目标升华
（2）正弦定理的变形公式：（3）正弦定理应用范围： 1、已知两角和任意边，求其他两边和一角 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(注意解的情况) 3、判断三角形的形状.
a b c (1)正弦定理： sin A sin B sin C
＝
2R
当堂诊学
1、已知三角形ABC和对应的三边分别a,b,c, 1 1 1 求证：
的形状。
(a 2 b 2 ) sin(A B) (a 2 b 2 ) sin(A B) 可化为：解：
a 2 [sin(A B) sin(A B)] b 2 [sin(A B) sin(A B)]
a 2 cos A sin B b 2 sin A cos B 整理得：由正弦定理得： a 2R sin A, b 2R sin B 则 (2R sin A)2 cos Asin B (2R sin B)2 sin A cos B sin 2 A sin 2 B 可化为：又 2 A,2 B (0, )，所以Ａ＝Ｂ或 A B 因此三角形为等腰或直角边的对角解三角形
[例 1] 下列三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，A＝105° ； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60° ； (3)a＝2 3，b＝6，A＝30° . [ 分析 ] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解
无解的图形来考虑．
(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解．由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3；当B＝120° 时，C＝30° ，
1 （3）已知ABC 中, A=30°, a= ，b=2，则（ 2
）
A、有一解B、有两解 C、无解
D、不能确定
(4)已知ABC中，A 30，a m, c 10有两解，求 m的取值范围 .
类型三、利用正弦定理判断三角形的形状
[ 例 1] 在△ ABC 中，若 sin2A ＝ sin2B ＋ sin2C ， sinA ＝ 2sinB· cosC，试判断△ABC 的形状．
[错解]
b c 3 由sinB＝sinC，得sinC＝ 2 ，
a b 所以C＝60° ，所以A＝90° .由sinA＝sinB，得a＝6. [错解分析] 产生错解的主要原因是没有考虑到C的范围，导致丢解．
[正解]
b c 3 由＝，得sinC＝ . sinB sinC 2
因为b<c，所以C>B＝30° ，则C＝60° 或120° . 当C＝60° 时，A＝90° ；当C＝120° 时，A＝30° . a b 再利用正弦定理sinA＝sinB，解得a＝6或a＝3.
方法总结：已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值；（2）根据y=sinx的值域判断是否有解；（3）若有解，则结合“大边对大角”和“内角和定理”求出这个角和另外一边；（4）由正弦定理求出另一边.
方法总结：
A为锐角 A为钝角或直角图形
关系式解的个数
变式训练:已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之积等于两根之和，且 a，b 为△ABC 的两边，A，B 分别为 a，b 的对角，试判断△ABC 的形状．
解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝ bcosA，x1x2＝acosB. 由题意得bcosA＝acosB，由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0. ∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－π<A－ B<π，所以A＝B. 即△ABC为等腰三角形．

正弦定理_PPT

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人教版高中数学必修5正弦定理教学课件ppt

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正弦定理(用).ppt

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正弦定理课件

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《正弦定理》PPT课件

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正弦定理优秀课件

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正弦定理(第一课时)

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正弦定理(省参赛获奖课件)

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高中数学人教A版必修五正弦定理课件

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人教版高中数学版第一章第1节正弦定理(共16张PPT)教育课件

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