高中数学人教A版必修五正弦定理课件

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，

a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
aE
b
C D a sin B ,C D b sin A
所 以asinBbsinA
得到 a b
B
D
c
A
sinA sinB
同 理 , 作 A EB C .有b c
sinBsinC
a b c
sinA sinB sinC
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
• 主要应用
ab c sinA sinB sinC
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
人 教 A 版 数学 必修五 1.1.1 正 弦定 理 上 课 课件 【精品 】
6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状， 其作用是实现三角形边角关系的转化.
人 教 A 版 数学 必修五 1.1.1 正 弦定 理 上 课 课件 【精品 】
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1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例
例1 在ABC已知 A300,B1350,a2,
C
b a
D
Bc
A
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B siC n
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC

④a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ⑤sin A= ,sin B= ,sin C= ; ⑥A<B⇔a<b⇔2Rsin A<2Rsin B⇔sin A<sin B.
a 2R b 2R c 2R
-9-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
1
2
【做一做 1 】 在△ABC 中,a=2, b=3,则
-15-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下 :①利用三角形内 角和定理求出第三个角;②用正弦定理求出另外两边.
-16-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
【例 2】 在△ABC 中,已知下列条件,解三角形 : (1)a=10,b=20,A=80° ; (2)b=10,c=5 6,C=60° ; (3)a= 3,b= 2,B=45° .
a b c = = =2R. ������������������A ������������������B ������������������C
由此还可以推出以下结论 : ①a∶ b∶ c=sin A∶ sin B∶ sin C;
a b ������������������A a , ������������������B c ������������������A b , ������������������C c ������������������B ; ������������������C

sin C sin( A B) 63 . 65
变：在ABC中，已知cos A 4 ,sin B 12 ,求sin C.
5
13
解：cos A 4 , A (0, )sin A 3
5
5
又sin B 12 ,sin A sin B,a b A B 13
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
A

0
A


2
且b

c
ABC为等腰直角三角形.
实际问题
例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
2.在ABC中，已知sin A 3，cos B 5 ,
5
13
求sin C.
解：cos B 5 , B (0, ),sin B 12 .
13
13
又sin A 3 ,sin A sin B 5
由正弦定理 a b 可知a b sin A sin B
A B, A只能为锐角，cos A 4 . 5
又A, B,C (0, π), A B C, 从而ΔABC为正三角 形。
• 3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b 、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
• 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C.

栏 目 链 接
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解 三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180° 知，B＝60° ，由 栏 目 链 1 3 1 正弦定理知， ＝ ，即sin A＝ ，由a＜b知，A＜ 接 sin A sin 60° 2 B＝60° ，则A＝30° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝ 90° ，sin C＝sin 90° ＝1. 答案：1
a b c 解析：设正弦定理 ＝ ＝ ＝k，又因 sin A sin B sin C a c sin A＝sin C，故 ＝ ，∴a＝c. k k 答案：B
)
栏 目 链 接
自测 自评
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2
解析：设a＝2k，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以a＝ 2k，b＝3k，c＝4k，所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝ 5k∶7k∶6k＝5∶7∶6. 答案：5∶7∶6
6．(1)三角形中任意两边和______第三边． (2)三角形ABC中，三边长度分别为3、4、x，则x的范围是 __________． 答案：(1)大于 (2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7. 答案：1<x<7

①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,
∴c= b sin C = 2 sin 75 =2sin(45°+30°)= 6 2 .
sin B sin 45
2
②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,
∴c= b sin C = 2 sin15 =2sin(45°-30°)= 6 2 ,
要牢记
哟!
注：
边和它所对角的正弦比相等， 每个等式可视为一个方程，知三求其他
人教A版数学必修五.1正弦定理讲授PP T全文 课件【 完美课 件】
一般地，把三角形的三个角A,B,C和他们的边 a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个
元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢 ？
课后作业
1.在 ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且A︰B︰ C= 1︰2︰3，且c=6 （1）求角A，B，C的度数 （2）求a，b的值 2.等腰 ABC中，顶角A=120， 腰长AB=1，求底边长。 3. 在 ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若 a=4， b=3，A=120，则sinB= 4. 在 ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知A=75， B=45，b=4 ，求c的长。
2
2
∴A=45°,b=4 6 ,c=4( 3 +1).
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题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】在△ABC 中,若 c= 6 ,C= π ,a=2, 3

(2013·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，角A，B，C的对边 分别为a，b，c,已知 bcosC＋csinB＝a
(1)求B； (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是1/2， AB＝1，BC＝ √2，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(2016.新课标全国Ⅱ.13)△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1, 则b=________
(2)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝ac，则角B＝________．
跟踪练习:
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知b cosC＋c cosB＝2b，则a / b ＝
________．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
常见求解问题
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形；
考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形 的形状；
考点三：与三角形面积有关的问题.
Part 3 典例剖析 考点突破
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1.(1)(2016.新课标.13)△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a,b,c,若 cosA=4/5,cosC=5/13, a=1, 则b=________
平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．

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练习
在 ABC 中，已知 a 4 ,b 42 ,B 4，5
求 A。
探究课题引入时问题(2)的解决方法
B
c
A
b
C
AB= bsinβ sin(α+β)
变式拓展：
根据下列已知条件，分别判断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
D
A
得 到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A E B C .有 bc sin Bsin C
a b c sinA sinB sinC
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当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
过点A作AD⊥BC，
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 ?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
sinA sinB
， A=30° . 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得
b sA in 13 6 s3 i n 03
sB i n
a
16 2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ时 C=90° c32.
当Ｂ＝120°时 C=30°