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具有高阶转向点的奇摄动边值问题的尖层解

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一类具有两个转向点的奇摄动边值问题

一类具有两个转向点的奇摄动边值问题
２１ ０ １年 ｌ １月 第ｌ ７卷第 ４期
安庆 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｄｕ ｏ ｍ￣ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
一＝ ＋ ・ １ ｆ
，别 退 分是化
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０ １— ６— ３ 基金项 目：安徽高校省级 自然科学基金 （ Ｊ０ ０ １３，．０ ０ ３０ 资助 。 Ｋ ２ １ Ａ ５ Ｋ２ １Ｂ ６ ） １
作者简介 ：魏小欧， ， 男 安徽芜湖人 ， 安徽师范大学数学计算 机科学学 院硕士研究生 ， 从事应用微分方程研究 。
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０１ Ｖｏ１１ ． ７ Ｎ０． ４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏 小欧 ，刘树 德
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４０ ０
摘
要： 考虑一类具有两个 转向点 的奇摄动二阶线性边值 问题 ， 在一阶导数的系数具有两个 零点 ， 即转 向点 的情 形
比较０ ÷） （ 的系数得 ＋（ 一 ）１ ２） ＝ ， １ 口（ — ａ 。 ０又由边界条件Ｙ１ （）＝２得 Ｙ（）＝２由此解得 ， ｏ０ 。
ｒ ＝ ２ 一 ｌ ＋ ｃ ｅ （一） ） ｏ ｌ 一 。（一
其中 ｃ 为任意常数。 从而
ｙ ＝２一ｃ （ １＋ｃｅ‘。 孙 ＋… ｌ一 一 （） ６
在 ＝ａ 和 ＝１ 处构造角层和边界层展开式 ， 并利用改进 的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配 ， 从而得到在区间［ ，］ ０ １ 上一致有效的复合展开式。当然 ， 也可 以用类似的方法讨论具有 ， ≥２ 个转向 ｔ （ ） 点的奇摄动边值问题。 １ 外展 开式 设 外 展开式 具有形 式 Ｙ ＝Ｙ（ ｏ ）＋８ 。 ）＋… ， 它代 人 （ ）式 有 ｙ（ 将 １

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题

（ １ ）

这里 ∈Ｒ为状态变量 ， ０＜Ｅ《 １ ， Ｐ ０ 为常数， 与Ｂ亦 都为常数； 同时， 基于 问题 （ １ ） ， 我们还
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ １ ． ２ ６ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ５ ． １ ８
基金项 目：国家 自然科学基金项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ７ ２ ； １ １ １ ０ ２ ０ ４ １ ） ； 福建省教育厅Ａ类项 目（ Ｊ Ａ１ ０ ０ ６ ５ ） 通讯作者 ： ｊ ｈ ｓ ｈ ｅ ｎ （ ￣ ｆ ｊ ｎ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
其中， 如上所述 ，
，
ｄ 元 （ ） ＝ ｛ ‘ ５ ， Ｒ ５ ‘ 。 ＜ ｔ 一 ＜ Ｅ ｌ 。 一 ＋ 。
为正的连 续函数 ．
（ ５ ）
定义１ 称退化解ｕ ＝ Ｒ （ ￡ ） 在［ ０ ， １ ］ 上强（ 弱） 稳定， 如果在Ｄ１ 或Ｄ ２ 中满足
韩建邦等： 一 类具有无 穷边界值 的二次奇摄动边值 问题
１ ８ １
将进一步得到如下Ｎ ｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ Ｉ ； － ］ 题的有关结果，
ｆ ｅ ｙ ：， （ ｔ ， ） ＋ｇ （ ｔ ， ） ， ０ ＜ｔ ＜１ ， ｛－ － ｙ ， （ ０ ， Ｅ ） ＝ ／ Ｅ ，
渐进 行 为， 重 点关注边 界值 的奇 异程 度对 解的边 界层 行 为的影 响；同时将 所得 的结 果 与Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ Ｙ ￣ Ｈ ｏ ｗ ｅ ｓ 的 结果ｆ 带 正 常边界 值） 进 行 比较．研 究表 明：（ １ ） 当边 界值 大 小
为Ｏ （ １ ／ ｅ ） 时， 得到的边界层 大小为Ｏ （ Ｅ Ｉ ｎ Ｅ ） ， 这比ｃ ｈ ａ ｎ ｇ 及Ｈ ０ ｗ ｅ ｓ 带正常边界值的情形 提高了Ｏ （ １ ｎ Ｅ ） 量级； （ ２ ） 增大边界值的奇性＿ ￣ Ｏ（ １ ／ ｅ ） ， 这里ｒ＞ １ ， 边界层 大小的量级 不变， 依 然为０（ Ｅ ｉ ｎ Ｅ ） ； （ ３ ） 若要使得边界层 大小为０（ １ ） ， 则边界值的 大小需 为ｏ（ ｅ ＿ ｜ ｌ ／ ｅ ） ．

具有转向点的奇摄动边值问题的角层现象

具有转向点的奇摄动边值问题的角层现象

注 意 Ｘｏ 是 方程 的一个 特 解 ， 降 阶法 可求 出方 — 用 程 （） ５ 的解 为
Ｘ 一Ｇ— ｅ 一 。 Ｄ— ｆ
其பைடு நூலகம் Ｃ Ｄ为任意常数 。从而 ，
，
ｅ ｅ＋ ）（ 丢（＋ｚ …一 （＋ｚ …＋ ） ｅ＋ ） ｚ － ２ － 一 ｚ （ 丢ｚ一。 ０ ） ｚ一 。 。 一
（ 安徽 师范 大学 数学 系， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
［ 摘
要］考虑 了一类具有转向点的奇摄动二 阶线性边值 问题 。在一 阶导数的 系数分 别具有一 个和 两个零 点， 即转向点
的情 形 下 ， 析 可 能 出现 的 角层 现 象 ， 用 匹配 渐 近展 开 法 导 出该 问题 的零 次近 似 复合 展 开 式 。 分 并
设 角层解 的内展 开 式为 ：
Ｘ ～ ｅＸ ０ ＋ … ， （）
将 它代人 方程 （）并令 ￡ １， 同次幂 系数相 等得
ｘ 。＋ — Ｘ。一 ０ 。 （） ５
其 中 ￡ 是 小参 数 ， ＜ ｔ ｌＡＢ是 常数 ， Ａ＋ ＞０ 一ｌ ＜ ， 且
［ 收稿 日 期］２ ｕ —ｌ 一１ Ｏ 】 ５ ［ 基金项 目］安徽高校省级 自然科学基金 （ ２ ｌ Ａ１ ３ ＫＩ０ ０ ３ ０ 。 ＫＪｏ Ｏ ５ ， ２ １ Ｂ ６ ） ［ 作者简 介］汪玉先（ ９ ６ ， ， ，安徽师范大学硕 士研究生 ，从事应用微分方程研究 。 １ ８ 一） 男 汉
一
Ｘ ｅＧ Ｄ 一 ］… —ｒ — ｆ ＋
接下来 将角 层 内展 开 式 与外 部 解 进 行 匹 配 ， 引
（） １ １
入一 间 量 ￡ ， ＜ ＜专， 间 个中 变 其中０ 尼 一 用中 变

关于奇摄动robin边值问题的几个定理

关于奇摄动robin边值问题的几个定理

关于奇摄动robin边值问题的几个定理随着科学技术的发展，奇摄动robin边值问题也受到了广泛的关注，并成为研究者们需要解决的一个重要问题。

该问题涉及了一些重要的数学定理，其中主要涉及到几个定理，其中最为重要的有Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理，它们在解决奇摄动robin边值问题中均扮演重要角色。

首先，我们介绍Liouville定理，又称Liouville-Neumann定理。

它是一个把有限区域外部源的能量从内部传至外部的关系，其主要的表达式为：V(x)*u(x) = S(x)其中V(x)是robin边值中的一个常数，S(x)表示区域内部的源，u(x)表示u(x)的梯度；此外，当V(x)=0时，公式约化为：u(x) = 0这个定理可以有效地处理奇摄动robin边值问题，它实质上是在一个紧张的区域内求解某些不定方程的问题。

其次，我们来讨论Caccioppoli定理。

它的核心概念是利用一个所谓的Caccioppoli方程来描述传热方程的解，即：α2u2 +2u2 +2u2 = 0其中α，β，γ都是常数，其中α表示温度梯度，β表示声速梯度，γ表示吸收率。

由于Caccioppoli定理可以非常有效地求解不定方程，因此它被广泛用于奇摄动robin边值问题。

最后，我们来谈谈Rellich-Kondrachov定理。

它是一种利用函数间隙和函数梯度来描述某一单元的解的定理。

其主要表达式为：u(x) =u(x)其中λ是一个常数，它表示某一单元内的解的空间变形系数。

通过利用Rellich-Kondrachov定理，人们可以更有效地求解奇摄动robin边值问题。

综上所述，Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理是研究奇摄动robin边值问题的重要理论基础，在解决问题时可以极大地提高计算效率，有助于我们进一步了解该问题。

第六章 摄动方法

第六章 摄动方法
1 1 2 y x, y x x sec x tan x … 2 2
0
与前面准确展开的结果一致。
说明1：这个例子展开的方法就是正则摄动法（正则 扰动法），又叫直接展开法，这个例子可正确求 解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解 的问题。 说明2：当 1时，可看出扰动项对问题的解的
第六章 摄动方法
摄动方法是一种重要的应用数学方法，它在力学，物 理和众多的工程学科中有着广泛的应用。 工程技术中归纳出来的数学模型，其中不少是含有小 参数的，且方程的准确解难以获得。
利用计算机进行数值积分，虽然可以给
出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的 全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形 式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量 和定性讨论。这里，主要讨论正则摄动方法 和奇异摄动方法。
(6)
(7)
对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问
题是否是无量纲化形式?若不是，先进行无量纲化处
理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量
纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小 参数。 引入无量纲参数： t 0 t , / a
则 (6)~(7)化为 " 1 sin a 0 a 0 1, ' 0 0
" 2
原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性方
程。
第四步：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一
系列关于 i t 的初值或边值方程，由(9)有：
1 i 0 ai , 0 i' 0 ai
i 0 i 0
比较两边关于ai 的系数有
0 0 1, 1 0 0, 2 0 0,… i' 0 0 i 0,1, 2,…

一类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的边值问题渐近解

一类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的边值问题渐近解

（ ５ ） （ ６ ）
６１ ２
工
程
数
学
学
报
第３ ０ 卷
其中￡ １ ， Ｃ ２ 为正的小参数，Ｋ： ２＝ （ Ｅ １ ） ， ｎ是大于１ 的自然数，０ １ ≠０ ， ｎ １ ， ０ ２ ， ｎ ３ 是常
数， ， ， 是正 常数 ．我们 这里 只讨论 礼＝ ２ 的情 况 ，其 它情 况可类 似得 到
文章编号： １ ０ ０ ５ — ３ ０ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ ０ ６ １ １ — ０ ８
一
类两参数 奇异摄 动拟线性微 分方程组 的
边 值 问题 渐 近 解 术
葛 志 新
ｆ 安徽工业大学数理学 院，马鞍 山 ２ ４ ３ ０ ０ ２ ）
摘
要： 为 了研究一类含 三个 因变量 的两参数奇异摄 动拟线性微分方程 组边值 问题 的渐近解 ， 首 先在一定 的条 件下构造 了问题 的包含外层解 、 中间层解与 内部层解 的幂级数形式 合 成解 ；然后利用 原 问题的退化形 式先求 出外部解 ；再利用不 同的伸 长变量 ，依据 中间 层 与 内部层特有 的性质 ，分别 计算 出该边值 问题的 中间层解和 内部层解 ，从而得 到原 问题渐近解 ．
：
＾（ ） ＋， ２ （ ） ， ＝ｇ ｌ （ ） ＋９ ２ （ ） ＋９ ３ （ ） ，
（ １ ） （ ２ ） （ ３ ）
（ ４ ）
ｄ ｙ
Ｅ
￡。
塞 （ 咖 （ ，
ａ ｌ ｘ （ １ ） ＋ａ ２ ｙ （ １ ） ＋ａ ａ ｚ （ １ ） ＝ ，
为 了研 究方便 ，现 作如 下假设 ：
．
［ Ｈ １ 】 ： ， ｈ ｉ （ ｉ ＝１ ， ２ ） 和ｇ ｉ （ ｉ ＝ｌ ， ２ ， ３ ） 关于其变元在所考虑的区域内无限次可微； ［ Ｈ ２ ］ ： ＿ ９ １ （ ） ＜０ ， ｈ ２ （ ｘ ） ＜０ ， ， ２ （ ） ＞０ ， 九 １ ｘ ） ＞０ ； ［ Ｈ ３ ］ ：ｇ ｌ （ ｘ ） ｈ ２ （ ｘ ） 一ｇ ２ （ ｘ ） ｈ １ （ Ｘ ） ＞０ ；

一类奇摄动非线性边值问题的渐近解


Ｙ（） ． （ ） ／ａ ） ］ （ ？ 一 ｛ 一 ｚ （ ＋１ ＋口 － ［ ／ ， 为奇数 ， ｌ （ ）ａ／ａ ） ］ ， 为偶数且 ，≠ ０ ±［一ｎＸ （ ＋１ 十口 ＋ ｌ ．
ｆｏｘ Ｉ ／ａ＋ １］ ｌ ｆｅｐｘ （ ）， 一 ０ ，
（） ５
十 年来 ， 国际上 十分关 注这类 问题 ， 并取 得 了很 多丰硕 的成 果． 特别 在非线 性方 程 的边界 层 （ 波层 ） 激 问
题中， 由于激波 的位 置很强 地依 赖于边值 ， 引起 了人们 的广 泛关 注 和深 人探 讨 ． 这类 问题 ， 文献 ［—］ 对 在 ４９
中已有一些 研究 ， 面进一 步探讨 一类 奇摄动 非线性 方程 的边值 问题． 下 考虑 如下二 阶奇 摄动非 线性 问题 ：
Ｙ（） ［ ｚ 外／ｎ ） ” 卜 ， ＝｛（ ） （＋１＋ ］ 一，ｚ 为奇数， 【 （ １ ／ａ ） ““ ， ｉ ±［一，ｚ （ ＋１ ＋ ］ ｔ ） ／ 为偶数且， ０ ｌ ． ≠
其 中 Ｙ 只满 足边 界条 件 （ ） Ｙ ？ ２ ， 只满足边 界条件 （ ） ３．
作 者 简 介 ： 利 敏 （ ９３） 男 ， 江湖 州 人 ， 士 ． 吴 １７－ ， 浙 硕
第１ 期
吴 利 敏 ： 类 奇 摄 动 非 线 性 边 值 问题 的渐 近 解 一
・７ ・ ５
根据特 异极 限理论 ， 有 ＝ １才可能 产生 内层解 ， 时 Ｙ 的零 次近 似 Ｙ 只 这 应 满足 方程 ： ｗ
第 ２ 卷第 １ ５ 期
２ ０ ０年 ３月 １
安
徽
工
程
科
技
学
院
学
报
Ｖｏ． ５ Ｎｏ １ １２ ． ．

一类出现在化学反应器理论中的奇摄动边值问题

（＞ ； ￡ ０ ） ［ ］ 足非 线性方 程 Ｈ２ Ｘ满
＋ｋ０ ｂ ＝ （） ４
人们 的兴趣 在 于 当正 参数 于 零 时求 问题 的 趋 渐 近解 。在物理 上 ， 是指 Ｐ ｃ ｔ 变得很 大 ， 如 这 ｅｌ 数 ｅ 例 当 扩 散 系 数 变 小 时 即 得 。 问 题 的 数 学 方 面 已 被
第 １ 第 ５期 ３卷 ２１ ０ １年 １ ０月
黄 山 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｈｕ ｎ ｓ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ｖｏ１１ ＮＯ ． ． ５
０ｃ． ０ ｔ １ ２ ｌ
一
类 出现在化 学反应器理 论 中的奇摄动边值 问题
ｊ ＝ｏ ｊ ＝Ｏ
进 而 可 知， 任 给常 数 ０有 对
一
而 ＝ 为伸 长变 量 ， 每个 ｑ 一 ０‘ ＋ 。 （ ） （ 一 ∞） 先 将 ｕ（８代 入 方 程 （ 和 边 界 条件 （ ， 比较 ｔ） ， １ ） ３ 并 ）
ｅ的 同次幂 系数 可得
－
（ Ｏ ｅｐ １ ６ｔ ＝ （ｘ 一（— ） ｌ
，
在 具 有 轴 向扩 散 的 绝 热 的管 状 化 学 连 续 反应 器 的研 究 中 ． 出现 下 列形 式 的边 值 问题
考虑 如下 形 式 的边 值 问题
８ ＂ｆｔ 苫￡ Ｏ ｔｌ ｙ＋（ｙ＝ （ ＜＜ ） ， ，
）（ ，） ａ （ ， ＝ ， ０ 占 一 ｙ Ｏ ） Ａ Ｙ（ ， 一 ｙ １ｓ ： １ ） ｂ （ ， ）
于是 我们 构造 出问题 （ 一 ３的形式 渐近 解 １ （） ）
即 入是方程 （） ４的单根 。 ３ 化 问题 】 退
ｕ＝ ， ｕ １ ＝ ｆ ，（ ）

求解一类高阶奇摄动线性边值问题

分 析 ， 出 了相 应 的 结 果 ． 得
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：

奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解

奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解孔伟应;陈怀军;娄正来【摘要】研究了一类具有边界层性质的奇摄动拟线性边值问题.在相对较弱的条件下,利用合成展开法构造问题的形式近似解,然后利用不动点定理证明解的存在性,并给出满足边界层性质的高阶近似解,使得它与精确解之间的渐近估计可达到任意O(εn)阶近似.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】奇摄动;边值问题;合成展开法;高阶近似;不动点定理【作者】孔伟应;陈怀军;娄正来【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O175.14研究奇摄动边值问题，需要在构造形式近似的基础上证明解的存在性[1-7]。

1996年，De Jager和江福汝[8]把Harten不动点定理应用到奇摄动拟线性常微分方程初值问题的研究中，随后刘树德等[9]用改进的方法研究了与文[8]相应的边值问题，得到解的零次近似并证明了解的存在性。

本文进一步研究奇摄动拟线性边值问题的高阶近似,并应用如下改进的不动点定理。

引理[8](Harten不动点定理) 设(N,‖·‖1)是赋范线性空间,(B,‖·‖)是Banach空间,F 是N到B的非线性映射，F[0]=0，且F可分解为F[p]=L[p]+Ψ[p], p∈N，其中L是F在p=0的线性化算子，L和Ψ满足条件：(i)L是双射，L-1连续，即存在常数l>0使‖L-1[q]‖1 ∀q∈B；(ii)存在使得0ρ时，‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖m(ρ)‖p2-p1‖1, ∀p1,p2∈ΩN(ρ),其中ΩN(ρ)={p|p∈N,‖p‖1ρ},m(ρ)当ρ→0时单调减少，且记ρ0=sup {0ρ则对满足‖χ‖的任意χ∈B，存在p∈N，使得F[p]=χ,且‖p‖1ρ0。

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。。
ｕ， ＝ （ ） ∑ （ ｔ ￡ ）
ｊ ＝ｏ
代入（） （ Ｅ ＝ 或ｕｂ ） ） １ 和乱０ ） （ （， ＝Ｂ 并令Ｅ的系数相等得到 ， 。
ｆｔ ＇ （ ｏ ＝０ （ ｕ ＋ｇｔ ） ， ）ｏ ，
ｕ （ ＝ 或ｕ （ ＝Ｂ ｏ ） （ ｏｂ ａ ） ） 由假设［１ Ｈ］ 知其解为ｕ ＝ｕ （ （ ０ Ｒ￡ ． ０ Ｌｔ 或 ＝ （ ） ￣ ｕ （ ＝ｕ （） （ ） ０ ）故可取 ） ） ＬＯ ） Ｒ０， ０ ＝ｕ （＋ ， 一
文章编号：００４２（０２０．０００７ ｉ０—４４２ １）１０５—０
§ 引 言 １
在奇摄动内层 问题 的研究中， Ｍａｌ ［用相平面分析 的方法讨论了半线性 自治 问题 Ｏ’ ｌｙ ｅ １
Ｃ ＝９ Ｘ （） （ ，） Ａ，ｘ１￡ ＝Ｂ 一１￡ ＝ （，）
具有尖层性质的解（ 简称尖层解） 的存在性， ａｈ １ Ｋ ｔ［ 把文［的结论推广到非自治系统， １ ］ 并解释了解 具有尖层性质的定性特征． ［则讨论 了如下形式的半线 ｒ ｈｅＩ题 文３ ］ ￣Ｄ ｉ ｌ ； ｃ ｔ］
合 成 展 开 法构 造 出 尖层 解 的形 式近 似 ， 应 用微 分 不 等 式 理 论 证 明 了解 的 存 在 性 及 其 并
渐近性质．
关键词： 摄动； 奇 边值 问题 ； 尖层 解 ； 成展 开 法； 分 不 等 式 合 微
中图分类号： ７ ． Ｏ１５１ ４
文献＜ｔ ｂ Ｒｔ ） ． 其中ｕ （ ，Ｒ￡ Ｌｔ ｕ （满足［１ ≠ｕ （ ＝ （ ． ） ） Ｈ］ 且ｓ ＬＯ Ｒ０ ） ） 下面来分析 问题（）（） １，２的解（ 果存在 的话） ＝ ０ 如 在ｔ 处具有尖层性质 的条件． 采用合成展 开
法［５ 先将外展开式 ｌ 一，
其 中 ＝ ， ＝ ｄＶ． 矿 ２ 由于 已假设ｔ 是， ｔ的高阶转 向点， ＝０ （ ） 上式中令 的系数相等得 到
＋ ＝０ （） ，
（） ５
其 中 ＂ ＝ｇＯｕｏ ＋Ｖ 一ｇＯｕ０） （） （，（） ） （，（）．
考虑到”∈作为尖层主要校正项 ， （） 应存在常数ｃ ， ≠０ 使
高校应用数学学报 ２ １ ， ７ １： ０５ ０ ２ ２ （） ５ —６
具有 高阶 转 向点 的奇摄 动边值 问题 的尖 层解
杜冬青， 刘树德
（ 安徽 师范大学 数学计算机科 学学院，安徽省 芜湖市 ２ １ ０ ） ４ ０ ０
摘
要：研 究 了一 类具有 高阶转 向点的奇摄动半线性边值 问题． 适 当的 条件 下， 在 用
ＣＸ ２ ＋ｆｔｘ＋ｇｔＸ ＝０ （ （ ） ，ａ＜ｔ ， ） ， ＜ｂ ｘａ￡ ＝Ａ，ｘｂｇ ：Ｂ， （，） （，） （） ２
其中￡＞０ 是小参数， ， （ ａｂ ａ＜０ ） ， ＜６ 和 Ｂ皆为常数． （ ＝０ 即￡ 是Ｉｔ 在，０ ） ， ＝０ 厂 ） （ 的一阶转向点
的主要假 设下， 利用微分不等式理论证 明了尖层解 的存在性 ， 并给 出解 的渐近估计． 本文在此基
Ｇ 兰／（ ＞ （ 一 雪ｄ ０ ｕ ｏ ・ ） ）
进而由（） 出， （） 时 ∈可隐式地表示为 ８推 当 ０ ＞０ （）
阶转 向点．
一
般地， 奇摄动 问题在转 向点附近往往会 出现各种不 同的内层性质 ， 如激波层 ， 尖层 和非单
调过渡层等． 问题（）（）的一个解 ＝ｘｔＥ 在ｔ 处具有尖层性质， 称 １，２ （，） ＝０ 如果
一 ，） ｆｕｔａｔ０ 【 Ｌ， ， ｌ。 ｓ：｛ ８） ＜ ｉ （ ｍ ￡ （
杜 冬青等： 具有高阶转向点的奇摄动边值 问题的尖层解
５ ｌ
§ 形式近 似 的构造 ２
与（）（） １，２相应 的退化 问题分别为
ｆｔ （ ｕ ＝０ （ ＝Ａ （ ｕ ＋ｇｔ ） ，ｕａ ） ， ）
和
ｆｔ （ ） ０ （） Ｂ （ｕ ＋ｇｔ ： ，ｕｂ ＝ ） ，
假 设
［Ｉ Ｈ 】存在函数 （ ，Ｒｔ∈Ｃ ［ ６ Ｌ￡ ｕ （ ） ） 。 ， 分别满足退化问题（） ４， ０ｊ ３ 和（ 使得 ）
ｖｏ ＝Ｃ （） ， （） ， ０ ＝０
同时 ∈应满足 （）
（） ６
ｕ。 ） （ ＝ ０ （。 ＝０∞） ．
从 （） （） ５ ， ７ 两式 推 出
ｔ Ｊ
０ ＝一 ２／ｔ ） ＝０ ￣ｄ ， （ｚ ｚ
Ｊ０
（） ８
再利用ｆ） ６便得
一 ｏ ，
（） ９
其 ＣｖＯ ＝ Ｃ≠ ０ 由尖 层校正项 的性质 可知， （） ０ （） ．仍 当＂０ ＞ 时应有∈（） （ 心 ＜ ０∈≠０； （） ）而ｕ０ ＜ ０ 时应有∈ （） （ ０∈ ＞０∈≠Ｏ． ） 因此总有
ｕ （ ＝札 （） ２Ｏ ） （ ） ＬＯ ） ．０，ｕ （一 ＝ ０ ； Ｒ ＋
［２ （ ∈Ｃ ［ ｂ佗 ２， （） ） Ｈ 】ｆｔ ） ０ ］ ）使ｆＯ ＝，（ ＝… ＝ｆ 一（ ＝０ Ｒｆ （ ≠０ 即ｔ ０ （ 的佗 ，（ ０ ０ ） ， ０ ） ， ＝ 是，ｔ ）
础 上考虑 ，ｔ具有 高阶转 向点问题 ， （ ） 用合成展开法构造 出该 问题的形式近似 ， 并用微 分不等 式理
论证 明尖层解 的存在性 以及 当Ｅ一 ０ 时解的渐近性质 ．
收稿 日期： ０ １０ － １ ２ １ — ７２ 修 回日期： ０ １１ —２ ２ １ —２ １ 基金项 目： 安徽 高校省级 自然科学基金 （ ２ １ Ａ１ ３ ＫＪ Ｏ Ｏ ５ ）
＝
作为该 问题 外部解 的零次近似．
再在￡ 附近引入伸展变量 ＝ 构造尖层校正项 ：０ ，
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高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第１ ７ 期
将 （ Ｅ ＋ （， 代入 （） ｔ） ∈ ， ） １得到 ＋ ． ） ＋夕∈， ） （Ｅ ） ， 厂 Ｅ （ （￡ｕ＋ 一９∈， ＝０