正弦定理(第一课时)

创设情境 提出问题
定理形成 概念深化
探寻特例 提出猜想
精例点拨 举一反三
逻辑推理 证明猜想
归纳小结 课后作业
作高法：
若三角形是锐角三角形, 如图,
过点A作AD⊥BC于D,
此时有
sin B
AD c
,sinC
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c,
sin B sinC
同理可得
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。 例1：在 ABC中已知A 45O ,C 300, c 10,求 b 。
解： 因为 A 45O ,C 300, 所以
B 180 O ( A C) 180 O (45O 30O ) 105 O
由正弦定理，
b sinB
求 AB 。
3
分析：
tan A 1 3
sin A ?
C 1500
BC a 1
ac sinA sinC
求出c
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
例2：在 ABC中已知 解：因为 a b
sinA sinB
a 3,b
, 所以sin B
6, A
bsin a

A

已知 AB中CA 45，B 60 B
AB=100，求AC和BC的长。
60O
解：C 1800 450 600 750
100
由
a sin
A

b sin B

c sin C
A 45O
C
得 b
csinB sin C

100 sin 60 0 sin 750
150
2 50
4
12
所以
B (A C) ( 5 )
4 12 3
由正弦定理，
a sinA

b sinB
,
得
a bsinA sin B
2 sin
4
sin

23 3
3
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。
探究提能：在 ABC中若 tan A 1 ,C 1500, BC 1,
B
ac
C
A
b
a
sinA=
c
b
sinB= c
c a sinA
c b sinB
sinC= 1
c c sinC
在直角三角形中：
abc sinA sinB sinC
对于锐角、钝角三角形是否成立？
锐角三角形中
几何画板验证
锐角三角形中
逻辑推理证明猜想
在任意三角形中
ab c sinA sinB sinC
c, sinC
得
csinB 10 sin105 0
b

sinC
sin 30 o
5( 6 2 )
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。
举一反三：书本P25 练习 第1题
在 ABC中已知 b 2, A ,C 5 ,求 B, a。
4 12
解： 因为
A , C 5 ,
（2）正弦定理展现出的三角形边角关系可 以作为解三角形的利器；
（3）三角形面积公式：
1
1
1
SABC 2 absin C 2 acsin B 2 bcsin A
定理形成概念深化
公式变形：
① a _2_R_s_i_n_A_ b _2_R_s_i_n_B_ c _2_R_s_i_n_C_
a c, sin A sin C
所以 a b c sinA sinB sinC
A
c
b
a
C
D
成立
返回
等面积法：
A
图1中 过 点 A 作 A D ⊥ B C 于 D ,
sinB= AcD, AD csin B sinC= AbD,AD bsinC
S ABC

1 2
BC

AD

1 2
正弦定理
第1课时
回忆初中所学三角形中的边、角关系。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
大角对长边，小角对短边。 斜三角形中
A B C 1800
任意一角的外角等于不相邻的两角的和。
B
勾股定理 a2 b2 c2
直角三角形中
sin A a 、sin B b
c
c
ac
C
A
b
a
b
c
② sin A __2_R__ sin B __2_R__ sin C _2_R__
③ a : b : c __s_i_n__A_:_s_i_n__B__: _s_in__C____
④ A Ba b2Rsin A 2Rsin B
sin A sin B
精例点拨举一反三
ac sin
B
B
c
b
a
图1
D
C
1 BC AD 1 ab sin C
2
2
同理图2中
S ABC

1 2
AC
BE

1 2
bc sin
A
E
1 AC BE 1 absin C
2
2
SABC

1 2
absin C

1 2
ac sin
B

1 bcsin 2
A
图2
两边同除以1
2
abc即得： sina

c sin C

2R（几何求
6 sin 3
B,

3
c。
2 2
在 ABC
中由b a知B A,故B
3
,得
B

。
4
C (A B) ( ) 5
3 4 12
c

asinC sin A

3 s in sin
5
12

3
2 2
6
3
由边大小判断角（解）的个数
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
举一反三：
在ABC中已知 a 50,b 25 6, A 45O ,求 B 。 解：因为 a b ,
sinA sinB
所以
b sin A 25 6 sin 45o
sin B


3
a
50
2
在ABC中 由b a知B A, 故B 45o,得 B 600或120。0
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
均成立
你能严格地推理证明猜想吗？
逻辑推理证明猜想
等面 积法
证明 方法
向量 法
作高 法
外接 圆法
定理形成概念深化
正弦定理： 在一个三角形中，各边的长
和它所对角的正弦的比相等。
a sinA

b sinB

c sinC

2R（R为△ABC外接圆半径）
剖析定理：（ 谐美1）和正对弦称定美理；展现了三角形边角关系的和
已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
创设情境提出问题
创设情境提出问题
设两个测向地点 为A、B，发射电台 位于C处，测得 AB=100m,怎样计算 距离AC和BC？
已知 ABC中
A 45，B 60
AB=100，求AC和BC
B
的长。
60O
100
A 45O
C
探寻特例提出猜想
A

b sin B

c sinC
返回
外接圆法：
B
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
a
sinC sinC ' c 2R A
c 2R sin C
.O bC
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A
sin B
a sin A

b sin B
6
csinA 100 sin 450
a

sin C
sin 750
100 3 50
归纳总结课后作业
1、 找到了解决任意三角形边角关系的重要 工 具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
作业：1、请掌握三种方法证明正弦定理。 2、课本P25第2题 ，P31第1题 3、完成新学径、路路通导学对应课时练习
探究提能：
1、判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况.
(1) b=1 ，a=2，B=30o 有一解；
.
(2)b=1， a=3，B=30o 无解；
.
(3)b=1，a= 3 ，B=30o 有一解；
.
(4)b=1，a= 3，B=150o 有一解； .
(5)b= 3，a=1，B=120o有两解.
.
解决本课引入中提出的问题。