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信号检测与估计试题答案三、（15分）现有两个假设00,11,:,1,2,,:,1,2,,j j j j j j H y u z j K H y u z j K=+==+=其中观测样本j y 为复信号，0,1,,j j u u 是复信号样本，j z 是均值为零、方差为2*z j j E z z σ⎡⎤=⎣⎦的复高斯白噪声，代价因子为001101100,1c c c c ====，先验概率010.5ππ==（1）试写出两假设下的似然函数()0p y 和()1p y ，其中12[,,,]T K y y y y =；（4分）（2）采用贝叶斯准则进行检测，给出信号检测的判决规则表达式；（6分） （3）在上题基础上，计算虚警概率。
（5分） 解：（1）观测样本j y 在假设0H 下的概率密度函数为()20,0221exp 1,2,,j jj z z y u p y j K πσσ⎧⎫-⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭……..（2分）由于样本间互相独立，则K 个观测样本的联合概率密度函数为()()()()()20010200,22111exp K K j j Kj z z p y p y p y p y y u σπσ=⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭∑…….（1分）同理可得，在假设1H 下的似然函数为()()()()()21111211,22111exp K K j j Kj z z p y p y p y p y y u σπσ=⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭∑…….（1分）（2）首先计算似然比：()()(){}{}1**011,0,22221102222exp Re Re K K j j j j j j z z z z p y L y y u y u p y εεσσσσ==⎧⎫==--+⎨⎬⎩⎭∑∑其中∑==K j j u 12,00||21ε，∑==K j j u 12,11||21ε。
……..（2分） 然后，计算贝叶斯准则似然比门限为()()010********B C C C C πτπ-==-………（2分）因此，根据{}{}1**011,0,22221102222exp Re Re 1K K j j j j j j z z z z D y u y u D εεσσσσ==≥⎧⎫--+⎨⎬<⎩⎭∑∑ 化简可得最后的判决表达式：(){}1*1,0,101Re Kj j j j D y u u D εε=≥--<∑ ……..（2分） （3）在假设0H 下，j y 是均值为0,j u 、方差为2z σ的复高斯随机变量，因此，统计决策量(){}*1,0,1Re Kj j j j y u u μ==-∑ 为高斯分布随机变量，其均值和方差分别为：{}002r E H με=- （1分）{}()()220101222z r z r Var H σμεεσεε=+-=+- （1分）其中，*0,1,Kj jr i uuJ ρρρ=+=∑ 定义为两信号的相关系数。
电子科技大学20-20学年第学期期考试卷课程名称：_________考试形式：考试日期：20年月日考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时10%，期中10%，实验%，期末80% 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。
一、填空题（共20分，共10题，每题2分）0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为：02. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。
4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。
5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。
6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。
7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。
二、计算题（共80分）X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。
求：1) a ;2) X 特征函数；3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。
解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即（2分）所以4A =（1分）X 的边缘概率密度函数：1()4201X f x xydy x x ==≤≤⎰（2分）所以特征函数容易得1()4201Y f y xydx y y ==≤≤⎰则有(,)()()XY X Y f x y f x f y =（2分） 因此X 和Y 是统计独立。
一、 设相互独立的 随机变量,X Y 的概率密度函数分别()()1212(),()x y X Y f x e U x f y e U y λλλλ--==，（1） 求Z=X +Y 的特征函数；（2）求X+Y 的均值？（10分） 解：（1）因为XY 相互独立，所以()()()Z X Y u u u φφφ=110()()xjuxjuxX x x f x e dx ee dx λφλ∞∞--∞==⎰⎰11101x juxe e dx juλλλλ∞-==-⎰，()Y y φ=22202xjuxee dx juλλλλ∞-==-⎰1212()Z u ju juλλφλλ=-- （1分）（2） E （X+Y ）=EX+EY 121200xyxedx yedy λλλλ∞∞--=+⎰⎰1211λλ=+二、（10分）随机信号X(t)的均值()10cos(/40)X m t t π=，相关函数()[],50cos((2)/40)cos(/40)X R t t t ττπτπ+=++。
现有随机信号()()Y t X t =-Θ，Θ均匀分布于[0，80]区间。
求：1． [(168)],[(166)(161)]E X E X X2． [(168)],[(171)(161)]E Y E Y Y ,讨论()Y t 的平稳性解:1. [(168)](168)10cos(168/40)X E X m π==[(166)(161)]50[cos(327/40)cos(5/40)]E X X ππ=+2.因为Y (t ) 是周期平稳信号X(t)在一个周期内的均匀滑动,根据定理,它是一个广义平稳信号，且80801[(168)](168)()80110cos(/40)080Y X E Y m m t dtt dt π====⎰⎰ ()[]808001[(171)(161)],80150cos((2)/40)cos(/40)8050cos(/40)X E Y Y R t t dtt dt ττπτπτπ=+=++==⎰⎰三、 若随机信号()cos X t A t ω=，其中A 是一个贝努里型的随机变量，且满足1[1][1]2P A P A ===-=，ω为常数。
电子科大随机信号分析随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=当34t πω=时，3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。
3.两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
一、已知随机变量X 服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===。
若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数()Z f z 。
2、特征函数()Z v Φ。
解：1、随机变量X 均服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，111,()()220,X x f x rect x otherwise ⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩11()(1)(1)22Y f y x x δδ=++-由于X 和Y 彼此统计独立，所以11()()()(1)22Z X Y f z f z f z rect z rect=*=++131/2,220,z otherwise ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩2、()2rect z Sa ω⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭且 ()()FTz z f z v Φ-所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-⎛⎫⎛⎫Φ=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问：1、信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦。
2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。
3、()X t 的一维概率分布函数();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。
解：1、()00.510.50.5X t E =⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦2、当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯= 1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+-二维分布：当12,t t 在同一个时隙时 ()[][12121212,;,0.5,0.51,X F x x t t u x x u x x =+--当12,t t 不在同一个时隙时：()121211221112,;,[(),()][()][()]X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤()()()1212120.25,0.251,0.25,10u x x u x x u x x =+-+-+三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。
电⼦科⼤随机信号分析2014年随机信号分析试题B卷-评讲………密………封………线………以………内………答………题………⽆………效……电⼦科技⼤学2013-2014 学年第 2 学期期末考试 B 卷⼀、若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（共10分）（1）（－3，3）伯努利分布：()0.5(3)0.5(3)f x x xδδ=-++； (3分)（2）指数分布：()()xf x e u x λλ-=； (3分) （3）{}1P X c ==，c 是常数。
(4分)解：（1）()13333)()0.50.50.5(ik jv x i i jv jvX jv j v j v X p e v E e e e e e φ=--??===?+?=+∑（2）()00()jvX jvx x jv xX v E e e e dx e dx jv λλλφλλλ+∞+∞--??==?==??-??（3）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ===，如果c =0，则()1X v φ=⼆、正弦随机信号()()cos 200X t A t π=, 其中振幅随机变量A 取值为1和-1，概率分别为0.5和0.5，试:（共10分），（1）求()X t 的⼀维概率分布();5F x ；（3分）（2）求()X t 的⼆维概率分布()12,;0,0.0025F x x ；（3分）（3）问()X t 是否严格平稳？（4分）解：()()cos 200()cos 2000.50.5t X t t ππ??=?-??依概率发⽣依概率发，⽣，（1）()()();0.5cos2000.5cos200F x t u x t u x t ππ=-++0.1(5).5510X ?=?-?依概率发⽣依概率发⽣，，()()();50.510.51F x u x u x =-++（2）………密………封………线………以………内………答………题………⽆………效……()()()121211221122,;,0.5cos200cos2000.5cos200,cos200F x x t t u x t x t u x t x t ππππ=--+++，{}{}(0)1,(0.0025)0,0.5(0)1,(0.0025)0,0.5X X X X ===-=依概率发⽣依概率发⽣()()()121212,;0,0.00250.510.51,F x x u x x u x x =-++，（3）因为 ()()();0.5cos2000.5cos200F x t u x t u x t ππ=-++()X t ⼀阶不平稳，故()X t ⾮严格平稳。
随机信号分析与处理》期末自我测评试题（二）一、填空题（共12小题，每空1分，共25分）1.随机过程可以看成是_____ ______的集合，也可以看作是______ _____的集合。
2.假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)= _________，F(+∞)= _________。
3.平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是_______________和___________与级数展开法。
4.平稳正态随机过程的任意维概率密度只由____________与____________来确定。
5.如果随机过程X(t) 满足____________________________ _____________，则称X(t)为严格平稳随机过程；如果随机过程X(t)满足：_____________________，___________________________________，则称X(t)为广义平稳随机过程。
6.如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为______________，该过程的任意两个不同时刻的状态是__________________。
7.宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从____________分布。
窄带正态噪声的包络服从____________分布，而相位则服从___________________分布。
8.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用方法是___________ ____和___ ________。
9.若实平稳随机过程相关函数为，则其均值为_____，方差为_____。
10.匹配滤波器是_________________________________作为准则的最佳线性滤波器。
11.对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是____________。
如果，则我们称X(t1)和X(t2)是____________。
一、随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值和均方值。
1、2424()0.20.30.20.20.1j vj v j v j v X v ee e e --Φ=++++概率密度函数()Zf z 。
2、sin 5()5X vv vΦ=。
解：1、()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=2、sin 512sin 5()510v vv v vφ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。
二、设质点运动的位置如直线过程()X t Kt A =+，其中(0,1)K N 与(0,2)A N ，并彼此独立。
试问： 1、t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？。
2、它是可预测的随机信号吗？ 解：(1)独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布[()][][][]0E X t E Kt A tE K E A =+=+=22[()][][][]2D X t D Kt A t D K D A t =+=+=+所以它的一维概率密度函数为:22(;)}2(2)X x f x t t =-+(2) 此信号是可预测随机信号221212121212(,)[()()][()()][]()[][]X R t t E X t X t E Kt A Kt A E K t t t t E KA E A ==++=+++124t t =+，12121112(,)(,)[()][()]4X X C t t R t t E X t E X t t t =-=+，故此信号是可预测随机信号。
三、设随机序列(),(0,1,2,)X n n =±± ，有如下性质：(1)(){}X n 为独立序列；(2)()X n 是2(0,)N σ分布。
试判断序列()X n 的广义平稳性和严格平稳性。
解：由题可得序列()X n 的均值、方差分别为：()()0X m n E X n ==⎡⎤⎣⎦()()()()2222D X n E X n E X n E X n σ⎡⎤⎡⎤=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()X n 的自相关函数为：[]()()()22,0,0,0X m R n m n E X n m X n m m σσδ⎧=+=+==⎡⎤⎨⎣⎦≠⎩其中 ()1,00,0m m m δ=⎧=⎨≠⎩因为()X n 的均值为常数(0)，自相关函数只与时间间隔m 有关，故()X n 是广义平稳随机序列，又因为它是高斯序列，从而它也是严平稳随机序列。
四、随机信号1()X t 与2()X t 的二维概率密度函数满足条件：121212 1 0< 1 ||<0 other x x f (x ,x ,t ,t )π<⎧=⎨⎩，设随机信号12()()Y t Y t 、满足：[][]1222()()()()Y t X t Y t X t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，试求二维概率密度函数1212()f y ,y ,t ,t 。
七、随机信号1()X t 与2()X t 的二维概率密度函数满足条件：121212 1 0< 1 ||<0 other x x f (x ,x ,t ,t )π<⎧=⎨⎩，设随机信号12()()Y t Y t 、满足：[][]1222()()()()Y t X t Y t X t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，试求二维概率密度函数1212()f y ,y ,t ,t 。
解：12121212()=()f y ,y ,t ,t f x ,x ,t ,t J ⋅[][]()2221211222221222112112122211ln cos tan exp ()tan tany y x y x y x y x y x y y x y y x x y y --⎧+=-⎧=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⎧=-+=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩1111221122222121122221112cos 2sin cos sin y y x x x x x J y y x x x x x x x x x x ---⎛⎫∂∂--⎪⎝⎭∂∂==∂∂⎛⎫-⎪∂∂⎝⎭⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1212121212121()=()=()f y ,y ,t ,t f x ,x ,t ,t Jf x ,x ,t ,t x ⋅⋅= ， ()12y ,y -∞<<∞五、设随机过程0()()cos()X t u A t ωΘ=+,其中0ω为常数， Θ是[0,2)π的均匀分布随机变量，A 满足零均值、方差为1的高斯分布，A 与Θ相互独立，()u ⋅是阶跃函数，试讨论()X t 的广义各态历经性。
解：0[()][()cos()]0E X t E u A t ωΘ=+=01()cos()4X R τωτ=时间平均01A[()]lim()cos()2TTT X t u A t dt T ωΘ-→∞=+⎰ 00()lim (cos cos sin sin 2TTT u A t t dt T ωΘ-ωΘ-→∞=)⎰=0 所以均值各态历经。
22000()()A[()()]lim cos()cos(()))cos()()22T x T T u A u A X t X t t t dt R TτωΘωτΘωττ-→∞+=+++=≠⎰ 所以相关函数不具备各态历经性。
所以()X t 不是广义各态历经的。
六、联合广义平稳信号X 1(t )和X 2(t )，其均值分别为1X m 和2X m ，功率谱分别为1()X S ω和2()X S ω，且X 1(t )和X 2(t )相互独立。
若X 1(t )和X 2(t )之和X (t )作用到频率响应为H (j ω)的线性时不变系统上产生的输出是Y (t )，试证明：1、12()(j0)Y X X m m m H =+2、Y (t )的功率谱12122()(j )[()()4()]Y X X X X S H S S m m ωωωωπδω=++证明：1、1212[()][()()]X X X E X t E X t X t m m m =+=+=12[()]()()()(j0)Y X X X m E X t u h u du m h u du m m H +∞+∞-∞-∞∴=-==+⎰⎰ ，得证。
(2、 X 1(t )和X 2(t )联合广义平稳121122121211211222()[(()())(()())][()()][()()][()()][()()]()()()()X X X X X X X R E X t X t X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t R R R R τττττττττττ∴=++++=+++++++=+++又 X 1(t )和X 2(t )相互独立122112()()X X X X X X R R m m ττ∴== 1212()()()2X X X X X R R R m m τττ∴=++11221212()[()]()[()]()[()]()()()4()X X X X X X X X X X X S R S R S R S S S m m ωτωτωτωωωπδω===∴=++F F F ，得证。
七、输入信号为零均值白噪声随机信X (t )，其双边功率谱为0()2X N S ω=，通过如下图所示的线性系统后都到输出信号Y (t )，求： ( 共10分)1、输出信号Y (t )的平均功率P Y ；2、系统的等效噪声带宽B N (中心功率ω0=0)解： 1、(j )j LRH R ωω=+2222(j )()R H R L ωω∴=+22022()()(j )2()Y X N R S S H R L ωωωω==⋅+10()[()]4RL Y Y N R R S e Lττω--==F0(0)4Y N RP R L==2、204(j0)Y N P RB LN H ==八、判断下列函数哪些可以作为实广义平稳随机信号的协方差函数()C τ。
若不可以，请说明原因；若可以，请求出对应随机信号的方差。
1、22/()C eτστ-=2、000()2(/2)cos(), ,C Sa W W W ττωτωω=<<其中为正常数，且3、()()C τδτ=4、||41||(), ,110||pq T C p q p q T T ττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=≤≤+=⎝⎭⎨⎪>⎩其中0为常数,且 5、()5C τ=解：X)1、可以。
2(0)1C σ==2、可以。
2(0)2C σ==3、可以。
2(0)C σ==∞4、可以。
2(0)4C pq σ==5、可以。
2(0)5C σ==九、已知平稳噪声()N t 的功率谱密度如下图所示。
求窄带过程00()()cos()()sin()X t N t t N t t ωθωθ=+-+的功率谱密度()X S ω，并画图表示。
其中01ωω 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()N t 独立。
( 共10分)解：先求()X t 的均值[][][][][][]0000()()cos()()sin()()cos()()sin()0E X t E N t t N t t E N t E t E N t E t ωθωθωθωθ=+-+=+-+= ，均值平稳求()X t 的相关函数[][]{}{}000000000000(,)[()()]{()cos()()sin()()cos()()sin()}()()cos()cos()()()sin()sin()()()cos()sin()()()sin()cos()X R t s E X t X s E N t t N t t N s s N s s E N t N s t s N t N s t s E N t N s t s N t N s t s ωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθ==+-++-+=+++++-+++++={}000()()cos()()()sin[()2]()cos()N E N t N s N t N s t s R ωτωθτωτ-++=()X t 相关平稳，故()X t 广义平稳，由维纳-辛钦定理：()()FTX X R S τω←−→000001()()[()()]21[()()]2X N N N S S S S ωωωπδωωδωωπωωωω=-*-++=-++由已知的()N S ω的功率谱密度，可以得()X S ω的频谱：十、设复随机过程()1i nj tii Z t Ae ω==∑，式中(1,2,,)i A i n = 为n 个相互正交的实随机变量，(1,2,,)i i n ω= 为n 个不同实数。
