高二数学苏教版选修2-2教学案第2章1归纳推理

§2.1.1 合情推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处） 在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学探究任务一：考察下列示例中的推理问题：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .归纳推理的一般步骤1 。

2 。

※ 典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。

例2设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+3.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。

第2章推理与证明§2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理(1)定义：从__________中推演出__________的结论，这样的推理称为归纳推理．(2)思维过程→→2．类比推理(1)定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________，推演出它们在其他方面也__________或________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3．合情推理的含义合情推理是根据已有的事实和正确的结论，___________________________________等推测出某些结果的推理过程．____________和____________是数学活动中常用的合情推理．一、填空题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为________．2．如图由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有______根；第n 个图形中，火柴杆有________根．3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，通过计算a 2，a 3的值，猜想a n ＝________.4．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________________________________________成立．5．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是____________________．6．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为______________________________________．7．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝______________. 8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________________”；这个类比命题的真假性是__________．二、解答题9．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割的区域数，试求f (n )．10.观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升11．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.12．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n >4时，用n 表示出f (n )．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1．(1)个别事实一般性(2)实验、观察概括、推广猜测一般性结论2．(1)相似相同相似相同3．实验和实践的结果以及个人的经验和直觉归纳推理类比推理作业设计1．32解析∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.2．133n＋13．n2解析计算得a2＝4，a3＝9.∴猜想a n＝n2.4．b1b2…b n＝b1b2…b17－n (n<17，n∈N*)解析在等差数列{a n}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n.相应地，类比此性质在等比数列{b n}中，可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n (n<17，n∈N*)．5.a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n ) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )7.⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为偶数)12n －13n (n 为奇数) 解析 观察T n 表达式的特点可以看出T 2＝0，T 4＝0，……，∴当n 为偶数时，T n ＝0；又∵T 3＝123－133，T 5＝125－135，……，∴当n 为奇数时，T n ＝12n －13n . 8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题9．解 ∵f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n ，又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1，f (3)－f (2)＝2×2，f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)．将以上n －1个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2.10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2， 得α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， 所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＝1tan γ(1－tan α·tan β)， 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1 tan γ(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立．11．962解析 观察得：式子中所有项的系数和为1，∴m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162，又p ＝10×5＝50，m ＝29＝512，∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.12．解(1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2；f(4)＝5＝f(3)＋3；f(5)＝9＝f(4)＋4；f(6)＝14＝f(5)＋5；……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．。

2.1.1 合情推理—归纳推理教案（1）学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、问题情境案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）二、学生活动案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想：案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒由此猜想：案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正由此猜想：三、建构数学这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)， a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 证明方法命题角度1 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31. 证明要证明(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，故(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31.命题角度2 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立． 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型三 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第五个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2.那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，ak ＝2k －12k －1， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k ，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立， 由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为________． 答案 9(n －1)＋n ＝10n －9解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9.2．猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________．答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积．3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________________________________________________________________． 答案 方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根． 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．所以当n＝k＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n∈N*都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。

归纳推理一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1]观察如下图的 "三角数阵〞：记第n行的第2个数为a n(n≥2 ,n∈N*) ,请仔细观察上述 "三角数阵〞的特征,完成以下各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨](1)观察数阵,总结规律：除首|末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2 ,a4－a3 ,a5－a4 ,从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出,除首|末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首|末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2 ,a3＝4 ,a4＝7 ,a5＝11(3)∵a3＝a2＋2 ,a4＝a3＋3 ,a5＝a4＋4 ,∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最|大整数,如[5]＝2 ,[π]＝3 ,[k]＝k (k∈N*)．我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；…通过归纳推理,写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第|一个数是[n2] ,往后是[n2＋1] ,[n2＋2] ,…,最|后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2 ,通过观察发现,它们的顶点数V ,边数E ,区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由V＝999 ,F＝999 ,代入上述关系式得E＝1 996 ,故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2] 通过计算可得以下等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加 ,得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n , 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法 ,请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14 ,34－24,44－34 ,…(n ＋1)4－n 4 ,然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1 , 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1 , 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1 , …(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加 ,得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比 ,从而产生解题方法的迁移 ,这是数学学习中很高的境界 ,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第|一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差异．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来 ,也就是要把相关对象在某些方面一致性的模糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ,二维测度(面积)S ＝πr 2 ,观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(外表积)S ＝4πr 2 ,三维测度(体积)V ＝43πr 3 ,观察发现V ′＝S .那么四维空间中 "超球〞的三维测度V ＝8πr 3 ,猜测其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 44．在平面上 ,我们如果用一条直线去截正方形的一个角 ,那么截下一个直角三角形 ,按图所标边长 ,由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体 ,把截线换成如图的截面 ,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ,如果用S 1 ,S 2 ,S 3表示三个侧面的面积 ,S 4表示截面的面积 ,那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比 ,因此所得到的结论为：S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 23演绎推理的应用[例3] {a n }为等差数列 ,首|项a 1>1 ,公差d >0 ,n >1且n ∈N *. 求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算 ,可由根本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列 , ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0 ,∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .∵a 1>1 ,d >0 ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2＝(lg a n )2 , 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据 ,从集合的观点来讲 ,就是：假设集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集 ,那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图 ,棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形 ,B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点 ,且A 1B ∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提) ,侧面BCC 1B 1是菱形(小前提) , 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提) , B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B (小前提) , 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提) ,B 1C ⊂平面AB 1C ,B 1C ⊥平面A 1BC (小前提) , 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,那么DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提) ,因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提) ,所以A 1B ∥DE (结论)． 又E 是BC 1的中点 ,所以D 为A 1C 1的中点 ,即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数 ,且在定义域上是增函数．证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1 ,所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0 ,即f (－x )＝－f (x ) ,所以f (x )是奇函数． 任取x 1 ,x 2∈R ,且x 1<x 2 ,那么f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1).因为x 1<x 2 ,所以2x 1<2x 2 ,2x 1－2x 2<0 , 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说 ,合情推理是指 "符合情理〞的推理 ,数学研究中 ,得到一个新结论之前 ,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前 ,合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论 ,再想方法去证明或否认发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面 ,那么k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时 ,那么这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面 ,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥 ,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线 ,那么f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数 ,即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12 ,f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)23．(陕西（高|考）)f (x )＝ x1＋x,x ≥0 ,假设 f 1(x )＝f (x ) ,f n ＋1(x )＝f (f n (x )) ,n ∈N *, 那么f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ,故可猜测f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 "分裂〞： 23＝⎩⎨⎧3 533＝⎩⎨⎧791143＝⎩⎨⎧1315 1719….仿此 ,假设m 3的 "分裂数〞中有一个是2 015 ,那么m ＝________. 解析：根据分裂特点 ,设最|小数为a 1 , 那么ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3 ,∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数 ,又452＝2 025 , ∴猜测m ＝45. 验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.答案：45 5．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝14.推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60° ,85°－25°＝60° ,70°－10°＝60° , ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14二、解答题6．试将以下演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,海|王星是太阳系中的大行星 ,所以海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热 ,铁是导体 ,所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数 ,函数y ＝2x －1是一次函数 ,所以y ＝2x －1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,数列1,2,3… ,n 是等差数列 ,所以数列1,2,3 ,… ,n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,(大前提) 海|王星是太阳系中的大行星 ,(小前提) 海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论) (2)所有导体通电时发热 ,(大前提) 铁是导体 ,(小前提) 铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数 ,(大前提) 函数y ＝2x －1是一次函数 ,(小前提) y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,(大前提)数列1,2,3 ,… ,n是等差数列,(小前提)数列1,2,3 ,… ,n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如： "长方形的每一边与其对边平行,而与其余的边垂直〞； "长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直〞,请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中,对角线互相平分；(立体)在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球外表积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最|简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的 "归纳推理思想〞,归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1 , f(3)－f(2)＝8＝4×2 ,f(4)－f(3)＝12＝4×3 ,f (5)－f (4)＝16＝4×4 , …由以上规律 ,可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n , 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ,所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n , 所以当n ≥2时 , f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式 ,故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时 ,1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ,所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________.任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________，_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系. 疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,…,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40)为合数，∴猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命题→结论的猜想→证明.变式训练:)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果. 解：取n=1,2,3,4分别得54,43,32,21，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=1+n n . 推算：由111)1(1,,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯n n n n , ∴原式=111111141313121211+=+-=+-++-+-+-n n n n n . 【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P 、Q ，大圆半径为R ，小圆半径为r ，求证：PX×PY 为定值.思路分析：本题PX×PY 为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY 为大圆的直径等.解：当XY 为大圆的直径时，PX×PY=(R+r)·(R=r)=R 2-r 2.当XY 为小圆的切线时，P 、Q 重合，PX×PY=OX 2-OP 2=R 2-r 2.猜想：过点P 作一直径MN ，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=(R+r)(R-r)=R 2-r 2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→结论的猜想→证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a +x =b ,则x =b -a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a +0=a .【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32，1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52，1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27B.28C.29D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算经》一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列{a n}.若a1=a2=1，你能归纳出当n≥3时a n的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.∴a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象，在图2-1-3中的四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,图2-1-3设S1、S2、S3和S分别表示△PDF、△PDE、△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边和一条斜边.四面体中有3个“直角面”，S1、S2、S3和一个“斜面”S，于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立.。

第10课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证:3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.[1](见学生用书P51)[处理建议]与基础训练一同先让学生练习,再作重点点评.[规范板书]证明假设3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0都没有2个相异实根,即3个方程没有实数根或者有2个相等的实数根.则所以所以a2+b2+c2-ab-bc-ca≤0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,所以a=b且b=c且c=a,即a=b=c.这与a,b,c是互不相等的非零实数矛盾,所以假设不成立,所以3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.[题后反思]对于一些否定性、至多或至少、存在性、唯一性的命题的证明,常常考虑应用反证法进行证明.【例2】用数学归纳法证明:对于任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.[2](见学生用书P52)[处理建议]以学生解答为主,教师把握重点进行讲解:(1)自然数问题,初值n=0;(2)应用归纳假设的结论进行的变形.[规范板书]证明(1)当n=0时,11n+2+122n+1=112+121=121+12=133,故n=0时命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即11k+2+122k+1能被133整除.当n=k+1时,11(k+1)+2+122(k+1)+1=11·11k+2+122·122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1-11×122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144-11)=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133.由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除,所以11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,命题对一切自然数n都成立.[题后反思](1)第一步的初始值,可能会:当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112-11×12+122)=23×(121+144-132)=23×133.所以23×133能被133整除,即n=1时命题成立.但这是错误的,因为自然数中包括0,所以第一步应验证n=0,而不是n=1.(2)本题第一步若证明n=1时命题成立,一者计算量较大,二者也不符合自然数集的新定义.证n=0,既方便减少计算量又科学更严密.一般情况,有时为了简化计算常将证明n=1改成证n=0或n=-1,这种技巧称之“提前起点”,提前起点的前提是n为整数,否则递推无法进行.(3)利用数学归纳法证明整除问题,由归纳假设P(k)能被p整除,证P(k+1)能被p整除,也可运用结论:“P(k+1)-P(k)能被p整除⇒P(k+1)能被p整除.”【例3】设数列{a n}的前n项和为S n,且方程x2-a n x-a n=0有一根为S n-1,n=1,2,3,….求:(1)a1,a2;(2){a n}的通项公式.[3](见学生用书P52)[处理建议]学生参与,教师讲解,课后练习巩固.[规范板书]解(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题设(S n-1)2-a n(S n-1)-a n=0,-2S n+1-a n S n=0.当n≥2时,a n=S n-S n-1,代入上式得S n-1S n-2S n+1=0.①由(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由①可得S3=,由此猜想S n=,n=1,2,3,…下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时已知结论成立;②假设n=k时结论成立,即S k=,当n=k+1时,由①得S k+1=,即S k+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由①②可知S n=对所有正整数n都成立,于是当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=,又n=1时,a1==,符合上式.所以{a n}的通项公式a n=,n=1,2,3,….二、课堂练习1.证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论:2cos=,2cos=,2cos=,…解因为cos=,所以2cos=.因为4cos2-2=2cos=,所以4cos2=2+.又因为cos>0,所以2cos=.因为4cos2-2=2cos=,所以4cos2=2+.因为cos>0,所以2cos=.…一般性的结论:2cos=.2.求证:方程x2+2x+2k=0没有有理根.证明原方程可变为(x+1)2=1-2k,解得x=-1±.若k是奇数,可设k=2m-1(m为整数),则1-2k=3-4m,是4的倍数加3;但是,奇数的平方(2n+1)2=4n(n+1)+1是4的倍数加1,所以,1-2k不是完全平方数;所以,是无理数,所以方程x2+2x+2k=0没有有理根.3.设k是奇数,求证:方程x2+2x+2k=0没有有理根.证明假设方程存在有理根x=,其中a,b为互素的整数,则代入方程得+2+2k=0,即a2+2ab+2kb2=0,解得a=b±b,因为a是整数,所以是整数,所以1-2k是平方数,因为k是奇数,所以可以设为k=2n+1,n是整数,1-2k=1-2(2n+1)=-4n-1≥0,所以n≤-,n≤-1,因此-4n-1可以表示为4m+3的正整数(m是自然数).但是,任意一个正整数,如果是偶数,可以表示为(2n)2=4n2是4的倍数;如果是奇数,可以表示为(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1,也就是除以4余1.因此4m+3不可能是平方数,因此原假设错误,方程没有有理根.四、课堂小结1.合情推理的结果不唯一,关键是要把握“合情”二字.2.“三段论”是构成严格证明和推理的基础,要学会用“三段论”的形式去判断自己的证明过程是否正确.3.数学归纳法只能证明与整数相关的一些命题,即命题中的n为大于或等于n0(n0≥0)的所有自然数,否则,运用数学归纳法证明是没有意义的.。