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《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题六 第3讲 概率与统计选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：选D 由于被抽取的个体具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．2．(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910. 3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为( )A ．120B ．80C ．15D ．150解析：选D根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a <b 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 取出的两个数用数对表示，则数对(a ，b )的不同选法共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中a <b 的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.5．(2013·重庆高考)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选 B 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4.6．(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.65B.65C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 5＝110，由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P AB P A ＝110×52＝14.9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)． 由题意可得分段间隔是8，又∵第16组应抽出的号码是126， ∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.∴第一组中用抽签法确定的号码是6.10．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. 二、填空题11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310，由分层抽样得应从高二年级抽取50×310＝15名学生．答案：1512．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是________．解析：分两种情况来考虑：(1)甲在第二次射击时命中，结束射击；(2)甲在第二次射击时未命中，乙命中结束射击．所以概率为14×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14×45＝19400.答案：1940013．(2013·武汉模拟)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34 (2)6214．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．解析：由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14.故还有一个同学的学号应为6＋14＝20.答案：2015．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：2063。
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题七 第二讲 不等式选讲（选修4-5）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．(2013·陕西高考改编)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，求关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集．解：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2，∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R.2．若x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的取值范围． 解：依题意得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)． 3．设x ，y ，z 为正数，求证：2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．证明：因为x 2＋y 2≥2xy >0，所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )，又因为xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )，所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．4．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．6．(2013·呼和浩特模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，|x |＋2|x －1|≤8，∵f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥1，－x ＋2，0<x <1，－3x ＋2，x ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，3x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2a ，x ≥a ，－x ＋2a ，0<x <a ，－3x ＋2a ，x ≤0，若f (x )≥6恒成立，由图像可得a ≥6(图像略)，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题五 第3讲 第一课时 圆锥曲线中的X 围、存在性和证明问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(2013·某某高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解：(1)如图1，设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，图1∴动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，图2 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2， ① x 1x 2＝243＋4k2. ② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1， ③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或32.2．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M ，N 分别为其左、右顶点，过F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足|2MF |＝2|AB |＋|2F N |.(1)求此椭圆的方程；(2)当直线l 绕着焦点F 2旋转但不与x 轴重合时，求AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围．解：(1)当直线l 与x 轴垂直时， 由S 四边形AMBN ＝12·2a ·2b2a ＝2，得b ＝1.又|2MF |＝2|AB |＋|2F N |， 所以a ＋c ＝2·2b2a＋a －c ，即ac ＝2，又a 2＝c 2＋1，解得a ＝ 2. 因此该椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而M (－2，0)，N (2，0)，所以AM ＝(－2－x 1，－y 1)，AN ＝(2－x 1，－y 1)，BM ＝(－2－x 2，－y 2)，BN ＝(2－x 2，－y 2)．从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝(－2－x 1)(2－x 1)＋y 21＋(－2－x 2)(2－x 2)＋y 22＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－4＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－4.因为直线l 过椭圆的焦点F 2(1,0)，所以可以设直线l 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1消去x 并整理，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0(Δ＞0恒成立)， 所以y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 从而x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2， x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＝2－2t2t 2＋2，可得AM ·AN ＋BM ·BN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2t 2t 2＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t 2＋2－4＝8t 2＋22－6t 2＋2. 令t 2＋2＝m ，则m ≥2.从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝8m 2－6m ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －382－98，而0＜1m ≤12，所以可以求得AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，0.3．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意知直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1，y ＝x 2，消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)． 所以直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k(x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k－k ，则N ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k－k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2.所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k .又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .由题意有－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．4．(2013·海淀模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA ·QB ＝－716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c ＝1. 根据椭圆的定义得2a ＝ －1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫222＋22， 即a ＝ 2.所以b 2＝2－1＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在x 轴上存在点Q (m,0)，使得QA ·QB ＝－716恒成立．当直线l 的斜率为0时，A (2，0)，B (－2，0)， 则(2－m,0)·(－2－m,0)＝－716， 解得m ＝±54.当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，－22≠－716，所以m ≠－54.下面证明m ＝54时，QA ·QB ＝－716恒成立．显然直线l 的斜率为0时，QA ·QB ＝－716.当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1可得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0.显然Δ＞0，y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 因为x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2－14＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2－14t (y 1＋y 2)＋116＝－(t 2＋1)1t 2＋2＋14t 2t t 2＋2＋116＝－2t 2－2＋t 22t 2＋2＋116＝－716. 综上所述，在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得QA ·QB ＝－716恒成立．。
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·某某高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·某某高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·某某模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( )A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件． 10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23. 二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1，所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}12．(2013·某某六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值X 围为________． 解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值X 围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值X 围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 13．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值X 围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题：①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2； ②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}． 依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .2．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D 由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 3．(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，5)C ．(2，5)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 由已知得函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，且f (1)＝2，所以0<x 2－4<1，则x ∈(－5，－2)∪(2，5)．4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A 设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．5．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.6．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点．所以n ＝－1.7．(2013·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析：选C 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图像．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14.所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个交点即可，如图只需－14<m <0.8．(2013·沈阳模拟)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫110，10C.⎝⎛⎭⎪⎫110，1D ．(10，＋∞)解析：选C 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝1＋lg a 1－lg a ，由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，即f (x )，g (x )的图像在(0，＋∞)上有交点，如图可知0<1＋lg a1－lg a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a >0，1＋lg a1－lg a <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，2lg alg a －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，lg a <0或lg a >1，即－1<lg a <0，则110<a <1.9．已知两条直线l 1：y ＝a 和l 2：y ＝182a ＋1(其中a >0)，l 1与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ，n .当a 变化时，n m的最小值为( )A ．4B ．16C ．211D ．210解析：选C 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则x A ＝4－a，x B ＝4a，x C ＝41821a -+，x D ＝41821a +，则n m ＝4a－41821a +4－1821a -+－4－a，分子与分母同乘以41821a a -+，可得nm＝41821a a +＋＝223621a a +＋.又2a ＋362a ＋1＝2a ＋1＋362a ＋1－1≥2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362a ＋1－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a ＝52时等号成立，所以n m的最小值为211.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1<x ≤0，f x －＋1，x >0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2解析：选C 当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x ∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x ∈(1,2]，x ∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y ＝x 的交点的横坐标即为函数g (x )＝f (x )－x 的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为a n ＝n －1.二、填空题11．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f－x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 答案：012．(2013·潍坊模拟)若关于x 的方程ln x －ax ＝0只有一个实根，则正实数a 的值为________．解析：因为x >0，所以由方程得a ＝ln x x .设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2，令f ′(x )＝0解得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此函数f (x )在x ＝e 处取得极大值，也是最大值．故f (x )≤f (e)＝ln e e ＝1e.要使方程只有一个实根，正实数a 只能取f (x )的最大值，即a ＝1e.答案：1e13．函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则f (x )在区间[0,2 012]上零点的个数为________．解析：根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.答案：1 20714．2013届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，知总成本C (x )＝20 000＋100 x . 所以总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 答案：30015．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，a >0，由此解得a >49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >49，即49<a ≤1. 答案：49，116．(2013·山东高考)定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ＜1，ln x ， x ≥1.现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．解析：对于命题①，若0<a <1，由指数函数y ＝a x可知，当x >0时，0<y <1，即对任意b >0,0<a b <1，于是ln ＋(a b )＝0，且b ln ＋a ＝b ×0＝0，此时ln ＋(a b )＝b ln ＋a ＝0，此时命题成立；当a ＝1时，a b ＝1对任意b >0，此时ln ＋(a b )＝b ln ＋a ＝0，此时命题成立；当a >1时，根据指数函数性质可得对任意b >0，a b>1，此时ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ，且b ln ＋a ＝b ln a ，此时命题成立，故命题①为真命题．对于命题②，取a ＝13，b ＝3时，ln ＋(ab )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln 3>0，二者不相等，故命题②不是真命题．对于命题③，若ab ≥1，a ≥1，b ≥1，此时ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝ln ab ＝ln a －ln b ，ln ＋a －ln ＋b ＝lna －lnb ，不等式成立；若a b ≥1,0<a <1,0<b <1，此时ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝ln a b ≥0，ln ＋a －ln ＋b ＝0，不等式也成立；若ab ≥1，a ≥1，0<b <1，此时ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝ln ab >ln a ，ln ＋a －ln ＋b ＝ln a ，此时不等式也成立．根据对称性，当ab<1时的各种情况就相当于交换了上述a ，b 的位置，故不等式成立．综上，命题③为真命题．对于命题④，若0<a <1,0<b <1，无论a ＋b 取值如何均有ln ＋(a ＋b )≤ln 2，不等式成立；若0<a <1，b ≥1，则ln ＋(a ＋b )＝ln (a ＋b )<ln 2b ＝ln b ＋ln 2＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2，不等式成立，同理a ≥1,0<b <1时不等式也成立；当a ≥1，b ≥1时，ln ＋(a ＋b )＝ln (a ＋b )，ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2，故④中不等式可化为a＋b≤2ab，构造函数g(a)＝a＋b－2ab，则g′(a)＝1－2b<0，所以函数g(a)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(a)≤g(1)＝1＋b－2b＝1－b≤0，所以a＋b≤2ab，所以④中的不等式成立，即命题④为真命题．答案：①③④。
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题 （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1.(2013·某某高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)设该椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1，又e ＝22，故b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，当x ＝x 1时|QM |2取最小值，又x 1∈(－4，4)，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|， 所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝24－x 2x 20＝2－x 20－22＋4.故当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取得最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.2.如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )． ② 由①×②得y 2＝－y 21x 21－a 2(x 2－a 2)． ③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，得x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．3．(2013·西城模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF ＝2FB ，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立， 消去x ，得y 2－4my －4＝0(Δ＞0恒成立)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. ①因为AF ＝2FB ，所以y 1＝－2y 2. ② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24， 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.4．(2013·某某高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)， 则|0－c －2|2＝3 22，结合c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2. 所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理，可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0. 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y 0－2y ＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.5.如图，经过点P (2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12.(1)求椭圆M 的方程；(2)若椭圆M 的弦PA ，PB 所在直线分别交x 轴于点C ，D ，且|PC |＝|PD |，求证：直线AB 的斜率为定值．解：设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则4a 2＋9b 2＝1，且e 2＝a 2－b 2a 2＝14， 解得a 2＝16，b 2＝12. 故椭圆M 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)证明：由题意知，直线PA 的斜率必存在，故设直线PA 的方程为y ＝k (x －2)＋3，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|PC |＝|PD |可知，直线PB 的方程为y ＝－k (x －2)＋3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋3，x 216＋y 212＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k (2k －3)x ＋4(2k －3)2－48＝0.①又方程①有一实根为2，故另一实根为42k －32－4824k 2＋3＝22k －32－244k 2＋3＝24k 2－12k －34k 2＋3， 故x A ＝24k 2－12k －34k 2＋3. 同理，x B ＝24k 2＋12k －34k 2＋3.所以x A ＋x B ＝44k 2－34k 2＋3，x A ＋x B －4＝－244k 2＋3， x A －x B ＝－48k 4k 2＋3. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B x A －x B ＝k x A ＋x B －4x A －x B ＝12，即直线AB 的斜率为定值． 6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得a ＋c ＝3，a －c ＝1， 所以a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，即3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k2. 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，所以k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1. 故y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 即3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0.则7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m ＝－2k ，或m ＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m ＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题六 第4讲 高考中的概率解答题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．某中学经市人民政府批准建分校，工程从2011年年底开工到2014年年底完工，分三期完成．经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为34，12，14.(1)求甲、乙两公司各至少获得1期工程的概率；(2)求甲公司获得的工程期数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题意，甲、乙两公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权是相互对立的，所以乙公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为14，12，34.法一：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A ，记“甲公司获得1期工程，乙公司获得2期工程”为事件B ，记“甲公司获得2期工程，乙公司获得1期工程”为事件C .P (B )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×14＝1332；P (C )＝34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×12×14＝1332.因为事件A 包含事件B 和事件C ，且事件B ，C 互斥， 所以P (A )＝P (B )＋P (C )＝1332＋1332＝1316.法二：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A ，记其对立事件为A ，则A 表示事件“甲公司获得3期工程或乙公司获得3期工程”．则P (A )＝1－P (A )＝1－⎝ ⎛ 34×12×14＋14×⎭⎪⎫12×34＝1316. (2)由题意知，ξ表示甲公司获得的工程期数，其所有可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝332；P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×14＝1332；P (ξ＝2)＝34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×12×14＝1332；42432所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×32＋1×32＋2×32＋3×32＝2.2．(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3.由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，知各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意，知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，27P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327.故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116， P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.4．(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N ，得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.。
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(2013·高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限 B. 第二象限C．第三象限 D. 第四象限解析：选D (2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．2．(2013·某某高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.3.(2013·某某高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D解析：选B 设点A(x，y)表示复数z＝x＋y i，则z的共轭复数z＝x－y i对应点为B(x，－y)．4．(2013·某某高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：选D 第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选 A 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s ∈[－3,4]．6．(2013·某某高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8?B ．S ＜9?C ．S ＜10？D ．S ＜11?解析：选B 程序框图的运行过程为：i ＝1，S ＝0→i ＝1＋1＝2→i 不是奇数→S ＝2×2＋1＝5→符合条件→i ＝2＋1＝3→i是奇数→S ＝2×3＋2＝8→符合条件→i ＝3＋1＝4→i 不是奇数→S ＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i ＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件“S ＜9？”．7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 1212 131613 14112112141512013012015…A.190B.1110C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.9．(2013·某某五校联考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9765 625，…，∴5n (n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字呈现周期性变化，且最小正周期为 4.记5n(n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 013)＝f (502×4＋5)＝f (5)，∴52 013与55的末四位数字相同，均为3 125.10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n－(n －1)(n －2)(n －3) D ．n 3－5n 2＋10n －4解析：选B 因为一个圆将平面分为2块区域，即f (1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f (2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f (3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f (4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…，平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝n 2－n ＋2.二、填空题11．(2013·某某高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．(2013·某某模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________.解析：由题意可知：1－a i 1＋a i＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i.因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2.由－2a 1＋a 2＝45，可知a <0，仅有a ＝－2满足．答案：－213．(2013·某某武昌区联考)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sinπ3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋…＋sin 2 013π3＝⎝⎛ sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋⎭⎪⎫sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3×335＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝ 3.答案： 314．(2013·某某高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：根据程序框图，可以逐个进行运算，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋11×2，k ＝2；S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4，k ＝4；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝95，k ＝5，程序结束，此时S ＝95. 答案：9515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案：2πr 416．(2013·某某模拟)给定正整数n (n ≥2)按如图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 013时最后一行的数是________．1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112解析：设最后一行(第n 行)的数为a n ，则通过计算，容易得到：a 2＝3＝3×20，a 3＝8＝4×21，a 4＝20＝5×22，a 5＝48＝6×23，a 6＝112＝7×24，…，由此，可猜测a n ＝(n ＋1)×2n－2，所以当n ＝2 013时最后一行的数是2 014×22 011.答案：2 014×22 011。
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题二 第3讲 平 面 向 量选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．已知a ，b ，c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是( ) ①(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ②|a ·b |＝|a ||b |； ③|a ＋b |2＝(a ＋b )2;④a ·b ＝b ·c ⇒a ＝c . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确． 2．(2013·潍坊模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选 C AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋12AD ·(AD －AB )＝12|AD |2－|AB |2＋12AB ·AD ＝2－4＋12×2×2×12＝－1.3．(2013·某某模拟)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ，实数λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：选B 依题意得OM －OA ＝λ(OB －OA )，即AM ＝λAB .又λ∈(1,2)，因此点B 在线段AM 上．4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．2 5 C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为12|AC |·|BD |＝12×5×20＝5.6．(2013·某某模拟)已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B 记向量a ，b 的夹角为θ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·a －2b ＝0，b ·b －2a ＝0，即|a |2＝|b |2＝2a ·b ＝2|b |2cos θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3.7．△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD ＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b 解析：选D 如图所示，∵a ·b ＝0， ∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD ＝45AB ＝45(a －b )＝45a －45b .8．(2013·某某模拟)在平面直角坐标系中，A (3,1)，B (－3，－3)，C (1,4)，P 是AB 和AC 夹角平分线上的一点，且|AP |＝2，则AP 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52613，2613B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－455，255D ．(－3，1)解析：选A 因为AB ＝(－6，－4)，AC ＝(－2,3)，由点P 是角平分线上的一点，故AP ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |，即AP ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－4213＋－2，313＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10213，2213，即|AP |2＝λ2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10052＋452＝2λ2＝4，解得λ＝2，故AP ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－10213，2213＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52613，2613.9.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且满足AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m 、n ∈(0,1)，m ＋n ＝1，M 、N 分别是EF 、BC 的中点，则|MN |的最小值为( )A.24B.33 C.34D.53解析：选C 在△ABC 中，连接AM ，AN ，则有MN ＝AN －AM ，AN ＝12(AB ＋AC )，AM ＝12(AE ＋AF )，则MN ＝12(AB ＋AC －AE －AF )＝1－m 2AB ＋1－n2AC ，∴|MN |2＝1－m24＋1－n 24＋1－m1－n4.又m ＋n ＝1，∴|MN |2＝m 2－m ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，则当m ＝12时，|MN |取最小值34.10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD ·CE 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，53 解析：选A 如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以BD ·CE ＝(BA ＋AD )·(CA ＋AE )＝|BA |·|CA |cos60°＋|AD |·|AE |·cos 60°＋BA ·AE ＋AD ·CA ＝－2cos θ＋52，又cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以BD ·CE 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 二、填空题11．(2013·高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：412．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12.由b·c ＝0得b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0，即ta·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：213．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以|a |＝1＋6×12＋9＝13，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |＝2＋6×122＝52.答案：5214．(2013·威海模拟)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足|OA ＋OB |＝|OA －OB |，则实数a 的值是________．解析：由|OA ＋OB |＝|OA －OB |，得|OA ＋OB |2＝|OA －OB |2，即|OA |2＋|OB |2＋2OA ·OB ＝|OA |2＋|OB |2－2OA ·OB ，所以OA ·OB ＝0，因此OA ⊥OB .在等腰Rt △OAB 中，圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离为d ＝22|a |＝2，所以|a |＝2，故a ＝±2.答案：±215．(2013·某某模拟)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值X 围是________．解析：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π3，则有OC ＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，sin θ＝32x ，解得x ＝2sin θ3，y ＝cos θ－sin θ3，故x ＋3y ＝2sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，其中0≤θ≤π3，易知f (θ)＝3cos θ－33sin θ为减函数，由单调性易得其值域为[1,3]．答案：[1,3]16．(2013·某某模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 所在平面内的一点P 满足PA ＋PB ＋λPC ＝0，则(1)当λ＝1时，|PA |2＋|PB |2|PC |2＝________； (2)|PA |2＋|PB |2|PC |2的最小值为________． 解析：当λ＝1时，PA ＋PB ＋PC ＝0，此时点P 为△ABC 的重心．以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴正半轴建立平面直角坐标系，设A (a,0)，B (0，b )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝49a 2＋19b 2＋19a 2＋49b219a 2＋19b 2＝5. 由PA ＋PB ＋λPC ＝0得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋2，b λ＋2，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋22＝λ2＋2λ＋2，当λ＝－1时，|PA |2＋|PB |2|PC |2取得最小值1. 答案：(1)5 (2)1。
