高考数学压轴题猜题讲义学生版

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为4π3时，该裹蒸粽的高的最小值为( )A.4B.6C.8D.102.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1､A2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.P B A1=1021 B.P C A2=47 C.P B =1942 D.P C =43843.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax-2by+14=0平分圆C：x2+y2-4x-2y-11= 0的面积，过圆外一点P a，b向圆做切线，切点为Q，则PQ的最小值为( )A.4B.5C.6D.74.(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则( )A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面δ的个数为n，则m+n=( )A.4B.8C.12D.166.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则( )A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b7.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于Q ，若OQ=14OF 2 ，则双曲线的离心率范围为( )A.1,2B.1,4C.2,2D.2,48.(2022·广东·高三阶段练习)设a =4-ln4e2，b =ln22，c =1e ，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <a <cD.b <c <a9.(2022·广东·高三阶段练习)定义在R 上的函数f x 满足f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )；且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ．则方程7f (x )-x +2=0所有的根之和为( )A.14B.12C.10D.810.(2022·广东·高三开学考试)设a =12e，b =ln 2，c =4-ln4e 2，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.b <c <a11.(2022·广东·高三开学考试)已知f (x )=2x 2，数列a n 满足a 1=2，且对一切n ∈N *，有a n +1=f a n ，则( )A.a n 是等差数列 B.a n 是等比数列C.log 2a n 是等比数列D.log 2a n +1 是等比数列12.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知a =log 1.10.9，b =0.91.1，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a13.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =()A.-12B.13C.12D.114.(2022·广东·高三阶段练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a =b =a ⋅b=2，且b -c ⋅3b -c =0，则c -a最小值为( )A.22+1B.33-3C.7-1D.23-215.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (2-x )+4f (2)，若函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，且f (1)=3，则f (2021)=( )A.6B.3C.0D.-316.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)对于定义在R 上的函数f x ，若存在正常数a 、b ，使得f x +a≤f x +b 对一切x ∈R 均成立，则称f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f x =e x ；②f x试卷第1页，共50页=x ；③f x =sin x 2；④f x =x ⋅sin x .是“控制增长函数”的有( )个A.1 B.2 C.3 D.417.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF ⎳底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，EF =12AB =2,AE =23，则该刍甍的外接球的体积为( )A.642π3 B.32πC.643π3 D.642π18.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若3x -3y >5-x -5-y ，则( )A.1x >1yB.x 3>y 3C.x >yD.ln x 2+1 >ln y 2+1二、多选题19.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，抛物线C 上的点M 1,m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则( )A.m =±2B.若直线AB 过点F ，则OA ⋅OB=-3C.若直线AB 过点F ，则PA PB =FAFB D.若直线AB 过点P ，则AF +BF >2PF20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈(0,1]时，f x =ln x ，则( )A.f x 为偶函数B.f e =1C.f 4-1e=-1D.当x ∈[1,2)时，f (x )=-ln (2-x )21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为1322.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C上的动点(P 不在x 轴上)，则( )A.椭圆C 的焦点在x 轴上B.△PF 1F 2的周长为8+27C.|PF 1|的取值范围为94，4 D.tan ∠F 1PF 2的最大值为3723.(2022·广东广州·高三开学考试)若f x =sin x +cos x ，则下列说法正确的有( )A.f x 的最小正周期是πB.方程x =-π2是f x 的一条对称轴C.f x 的值域为1,2D.∃a ，b >0，对∀x ∈R 都满足f x +a +f a -x =2b ，(a ，b 是实常数)24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y 2=2px 上的四点A 2,2 ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆M :x -22+y 2=1的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有( )A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =-13B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =13C.直线BC 的方程为x +2y +1=0D.直线BC 的方程为3x +6y +4=025.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有( )A.f 0 =1 B.f x 必为奇函数C.f x +f 0 ≥0D.若f 1 =12，则2023n =1f n =12 26.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f (x )=cos2πxx 2-2x +3，则下列说法正确的是( )A.f (x )是周期函数B.f (x )满足f (2-x )=f (x )C.f (x )>-12D.f (x )≥k 在R 上有解，则k 的最大值是1227.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2DC =23，BC =2，AB ⊥BC ，M ，P ，N ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，将△ACD 以AC 为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是( )A.MN 和BC 不可能平行B.AB 和CD 有可能垂直C.若AB 和CD 所成角是60∘，则PQ =32D.若面ACD ⊥面ABC ，则三棱锥D -ABC 的外接球的表面积是28π试卷第1页，共50页28.(2022·广东·高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P ，Q 是双曲线C 上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线PA 1，PA 2，QA 1的斜率分别为k PA 1，k PA 2，k QA 1，若k PA 1⋅k PA 2=34，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的渐近线方程为y =±34xB.双曲线C 的离心率为72C.k PA 1⋅k QA 1为定值D.tan ∠A 1PA 2的取值范围为0,+∞ 29.(2022·广东·高三阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A1B 1C 1D 1上的动点，则( )A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为223C.不存在点P ，使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足PA +PM =530.(2022·广东·高三开学考试)直六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，底面是边长为2的正六边形，侧棱AA 1=2，点O 是底面ABCDEF 的中心，则( )A.OF 1⎳平面A 1CD 1B.OF 1与BC 所成角的余弦值为24C.BO ⊥平面AA 1D 1DD.B 1F 与平面CC 1F 1F 所成角的正弦值为3431.(2022·广东·高三开学考试)已知直线l :y =ax -1，曲线C 1:f (x )=e x +1+1，曲线C 1关于直线y =x +1对称的曲线C 2所对应的函数为y =g (x )，则以下说法正确的是( )A.不论a 为何值，直线l 恒过定点(0,-1)；B.g (x )=ln x -1；C.若直线l 与曲线C 2相切，则a =1；D.若直线l 上有两个关于直线y =x +1对称的点在曲线C 1上，则0<a <1.32.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)下列命题中正确的是( )A.双曲线x 2-y 2=1与直线x +y -2=0有且只有一个公共点B.平面内满足PA -PB =2a a >0 的动点P 的轨迹为双曲线C.若方程x 24-t +y 2t -1=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4D.过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆33.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为f (x )=a cosh xa(a >0)，双曲余弦函数cosh (x )=e x +e-x 2则以下正确的是( )A.f x 是奇函数B.f x 在-∞,0 上单调递减C.∀x ∈R ，f x ≥aD.∃a ∈0,+∞ ，f x ≥x 234.(2022·广东·高三阶段练习)设a 与b 是两个不共线向量，关于向量a +λb ，λ-1 a +2λb ，-b -2a ，则下列结论中正确的是( )A.当λ>1时，向量a +λb ，λ-1 a+2λb 不可能共线B.当λ>-3时，向量a +λb ，-b -2a可能出现共线情况C.若a ⋅b =0，且a ,b 为单位向量，则当λ>-3时，向量λ-1 a +2λb ，-b -2a可能出现垂直情况D.当λ=2时，向量a-λb 与-22b -a 平行35.(2022·广东·高三阶段练习)已知函数f x =x -2 +1，g x =kx ，若方程f x =g x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值可以是( )A.43B.34C.45D.136.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =sin cos x +cos sin x ，下列关于该函数结论正确的是( )A.f x 的图象关于直线x =π2对称B.f x 的一个周期是2πC.f x 的最大值为2D.f x 是区间0,π2上的减函数37.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数f (x )=4i =1sin [(2i -1)x ]2i -1的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则( )A.函数f (x )为周期函数，且最小正周期为πB.函数f (x )的图象关于点(2π,0)对称C.函数f (x )的图象关于直线x =π2对称D.函数f (x )的导函数f (x )的最大值为438.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x )=e -x (x -1)．则下列结论正确的是( )A.当x <0时，f (x )=e x (x +1)试卷第1页，共50页B.函数f(x)有两个零点C.若方程f(x)=m有三个解，则实数m的取值范围是f(-2)<m<f(2)D.∀x1,x2∈R,f x1-f x2max=239.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图(n)中每个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形的边长的12．记图(n)中所有正六边形的边长之和为a n，则下列说法正确的是( )A.图(4)中共有294个正六边形B.a4=10294C.a n是一个递增的等比数列D.记S n为数列a n的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有a n>S n-1三、填空题40.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=23π，则该椭圆离心率的取值范围是________．41.(2022·广东广州·高三开学考试)折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.42.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f(x)的导函数f (x)满足：f (x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，当x∈0,+∞时，x(f(x)-a)≥1+ln x恒成立，则实数a的取值范围是______________．43.(2022·广东·高三阶段练习)若不等式a x+1e x-x<0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．44.(2022·广东·高三阶段练习)已知⊙C：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____．45.(2022·广东·高三开学考试)已知双曲线C:x24-y23=1，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C右支上一点，l是∠F1MF2的平分线，过F2作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为_______．46.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知sin2A+sin2C=sin2B+sin A sin C，若△ABC的面积为334，则a+c的最小值为__________．47.(2022·广东·高三阶段练习)已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．48.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设f x =ln x,0<x≤2f4-x,2<x<4，若方程f x =m有四个不相等的实根x i i =1,2,3,4 ，则x 1+x 2 2+x 23+x 24的取值范围为___________.49.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3FA =AB ，则双曲线C 的渐近线的方程为______．四、双空题50.(2022·广东惠州·高三阶段练习)已知抛物线方程y 2=8x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF与抛物线的交点，定义：d P =PFFQ.已知点P -2,82 ，则d P =___________；设点P -2,t t >0 ，若4d P -PF-k >0恒成立，则k 的取值范围为___________.51.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)甲射击一次,中靶概率是P 1,乙射击一次,中靶概率是P 2,已知1P 1,1P 2是方程x 2-5x +6=0的根,且P 1满足方程x 2-x +14=0.则甲射击一次,不中靶概率为_____;乙射击一次,不中靶概率为_____.52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若f x =ln a +11-x+b 是奇函数，则a =_____，b =______．试卷第1页，共50页。

与三角函数相关的最值问题一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A．1 B．C．D．2【答案】D【解析】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【指点迷津】1.()sin()f x A x ωϕ=+具有奇偶性时，k ϕπ=（k z ∈）或2k πϕπ=+（k z ∈）.2. 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．【举一反三】1、将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】B【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数： ()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()22k πZ 3k πϕ+=∈，， k π23πϕ=-， ()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时， ϕ的最小值为6π故选：B2、若函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线x m =（0m <）对称，则m 的最大值为（ ） A. 4π-B. 1112π-C. 512π-D. 712π- 【答案】C【解析】由题意得， ()232m k k Z πππ+=+∈，即()212k m k Z ππ=+∈， 0m <， 1k ∴=-时， m的最大值为512π-.3、【山东省2019届高三第一次大联考】已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】 【解析】 依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以， 函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以， 函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 15[24⎤⎥⎦， B. 13[ 24⎤⎥⎦， C. 102⎛⎫⎪⎝⎭， D. ](0 2， 【答案】A【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键． 【举一反三】1、【山西省吕梁市2019.4统一模拟】若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 解：∴f （x ）＝sin x +cos x +ax ＝2sin （x +）+ax ，在（0，π）上单调递增， ∴在（0，π）上，f ′（x ）＝a +2cos （x +）＞0，即a ＞2cos （x +）恒成立．在（0，π）上，x +∈（，）上，2cos （x +）的最大值趋于，则a ≥，故选：B ．2、将函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象向右平移4πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上为增函数，则ω的最大值为（ ）A.54 B. 32C. 2D. 3 【答案】B3. 已知函数，)，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间上不是单调函数，则的最小值为______________.【答案】【解析】试题分析：根据条件对于恒成立可得到函数在处取得最大值，的一个零点为，可列出 解得w 的范围即可.详解： 根据条件对于恒成立得到，函数在处取得最大值，又因为的一个零点为，故根据图象可得到在区间上不是单调函数，则 结合，得到故答案为：9.类型三 转化为()sin()f x A x ωϕ=+型的最值问题【例3】【山东省淄博实验中学2019届高三4月模拟】若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【指点迷津】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．【举一反三】1、【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，则（）A．的最小正周期为,最小值为B．的最小正周期为,最小值为C．的最小正周期为,最小值为D．的最小正周期为,最小值为【答案】A【解析】则的最小正周期为，最小值为本题正确选项：2、函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π内的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围是 A. 35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D. 23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】如图所示，2433πππωω≤≤，解得2433ω≤≤，故选B.3.【河北省衡水市2019届高三下学期第三次检测】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，函数的图象向右平移个单位可得，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即，解得=，， 所以，，且，令时，的最小值为 .故选：D ．类型四 转化为二次函数型的最值问题【例4】函数()()2cos2,43sin f x x g x a x ==-，当()()f x g x ≥对[],x n m ∈恒成立时， m n -的最大值为53π，则a =__________． 【答案】-7【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 【举一反三】1、函数()3f x x =，关于θ的为等式()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数m 的范围为__________．【答案】()422,-+∞令cos ,0,2t πθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， []0,1t ∈，设()222f t t mt m =-+- 当02m≤即0m ≤时， ()()min 0220f t f m ==-> ∴1m >（舍） 当12m≥即2m ≥时， ()()min 112210f t f m m m ==-+-=-> ∴2m ≥当012m <<即02m <<时， ()222min 222202424m m mm f t f m m ⎛⎫==-+-=-+-> ⎪⎝⎭，即2880m m -+<∴422422m -<<+∴4222m -<< 综上所述， 422m >-故答案为()422,-+∞2、求函数()()2sin 12cos 1y x x =++的值域.【解析】()()()2sin 12cos 14sin cos 2sin cos 1y x x x x x x =++=+++[令sinx+cosx=t,则21sin cos 2t x x -=,其中[]2,2-∈t所以2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ,故值域为3,3222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.类型五 转化为三角函数函数型的最值问题【例5】【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 由题设,其中.可以由题得≤5，此时.故选：C【指点迷津】本题关键由题设,其中，先利用两点间的距离公式将转化成三角函数问题，利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图象和性质求最值得解. 【举一反三】1．【北京市石景山区2019届高三3月一模】在直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）是单位圆x 2+y 2=1上两点，|AB|=1，则∠AOB=______；|y 1+2|+|y 2+2|的最大值为______． 【答案】【解析】由|AB|=1，单位圆的半径为1，则△AOB为等边三角形，故∠AOB=；根据题意可设A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），则|y1+2|+|y2+2|=4+sinα+sin（α+）=，故|y1+2|+|y2+2|的最大值为．故答案为：．；.2．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为（）A．[4，12] B．[4, ）C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，因为，所以，，故选A.三．强化训练一、选择题1、【辽宁省抚顺市2019届高三一模】已知函数，若在区间上恒成立，则实数的最大值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，由于：，故：，．当时，函数的最小值为．由于在区间上恒成立，故：，所以的最大值为故本题选A．2．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查】已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到的解析式为，考虑该函数在轴左侧且最靠近轴的对称轴，该对称轴为，故只需把的图象向右平移个单位，所得的函数的图象关于轴对称，此时平移为最小平移.3．【广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一)】函数最大值是A．2 B．C．D．【答案】C【解析】，，．的最大值为．故选：C．4．【山西省2019届高三考前适应】已知函数，将其图象向左平移（＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，将其图象向左平移个单位长度后得到的图象，因为得到的函数是偶函数，所以，又因为＞0，所以故选B5．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知函数与轴交于点，距离轴最近的最大值点，若，且，恒有，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，，，，由五点作图法知，解得，，令，.解得，.，，故选:C.6．【湖南省郴州市2019届高三第二次监测】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.7．【山东省烟台市2019届高三高考一模】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象；∵所得图象关于轴对称，∴，．∵，即，.∴，,则当取最小值时，取，可得，∴函数的解析式为.故选：C．8．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移（＞0）个单位，可得y＝2sin[2（x﹣φ）]＝2sin（2x2）的图象；再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y＝2sin（x2）．再根据所得图象关于直线x对称，可得2＝kπ，k∈z，即，故的最小正值为，故选：C．9．【天津市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，若，且在区间上有最小值，无最大值，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，由，在区间上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，可得在处取得最小值可得，化简可得：,∵,当时，．当时，，考查此时在区间内已存在最大值．故选：B．10．【广东省佛山市第一中学2019届高三上期中】若函数f（x）=2sin x+cos x在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，设，则.由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，.故选B.11．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为（）A．[4，12] B．[4, ）C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，因为，所以，，故选A.二、填空题12．【河南省郑州第一中学2019届高三第二次联合】将的图象向右平移个单位后（），得到的图象，则的最小值为__________．【答案】【解析】将图象向右平移个单位后，得到图象因为，所以，则，则，又因为，所以当k=1时，取得最小值.故答案为：.13．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考】若函数在间上是单调函数，则实数a的最大值是______．【答案】【解析】令，即，∴函数图象在区间上单调递减，所以的最大值为故答案为：14．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，若在处取得最大值，则___．【答案】【解析】由图象得的最大值为，最小正周期为8，且过点，所以，又，所以，将点代入，得，因为，所以，所以.由题意可得，所以，其中，当，即时取得最大值，所以，所以，故答案为．15．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______．【答案】【解析】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.16．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的最小值为，若点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，函数________．【答案】【解析】由题意，．因为的周期，且在区间上单调，则由及，可得①；又因为点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，所以，即（）②．由①②得是小于或等于11的正奇数，所以的最大值为11．当时，将代入，解得，又，取可得，故实数取最大值时．。

压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】 函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-752.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4B.6C.325D.3653.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.10114.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=( )A.5B.22C.10D.51045.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，过F 1，F 2作圆O ：x 2+y 2=a 2的切线，四条切线围成的四边形F 1AF 2B 的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1C.x 22-y 22=1D.2x 23-2y 25=16.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+38.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0B.2C.1D.39.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1B.a >1C.1<a <4D.a >410.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1B.2C.3D.411.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13D.-23,100 12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.613.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-eB.a >-eC.a <-3D.a <-3或a >-e 14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316B.12或3316C.2D.1215.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.1716.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0)B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )试卷第2页，共38页A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-51299918.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<122.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为5723.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为13225.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为126.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.228.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( )A.0B.-12020C.-1eD.-1202329.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x ，g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且f x +g x =sin x +cos x2，则( )A.f x =cos2xB.g x =sin2xC.f g x <g f xD.f g x >g f x30.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)定义一：关于一个函数f x x ∈D ，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得在x ∈D 时，kx +m 1≤f x ≤kx +m 2恒成立，则称函数f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数x 0，使得函数f x 在x 0,+∞ 内有一个宽度为ε的通道，则称f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函试卷第2页，共38页数为( )A.f x =ln xB.f x =sin xx C.f x =x2-1 D.f x =e-x31.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)对∀x∈R，x 表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是( )A.∀x∈R，x<x +1B.y=x ，x∈R的奇函数C.函数y=x-x x∈R的值域为0,1D.∀x,y∈R,x +y ≤x+y恒成立32.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)函数f(x)=e x x+ln x-x，下列结论正确的是( )A.函数f(x)有且仅有一个零点B.x=1是函数f(x)的极值点C.若f(x)≥a恒成立，则a∈-∞,e-1D.若f x1=f x2且x1≠x2，则x1+x2>133.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N∗)的非负整数，它的概率分布列为：X0123⋯nP p0p1p2p3⋯p n其中p i(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,n)满足p i∈0,1，ni=0p i=1．E X 为随机变量X的期望．定义由X生成的函数f x =p0+p1x+p2x2+⋅⋅⋅+p n x n，g x 为函数f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由生成的函数为f x ，则( )A.g0 =p1B.f1 <p0+1C.f2 =2254D.E X =g134.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)若6a=2，6b=3，则下列不等关系正确的有( )A.b a>1B.ab<14C.a2+b2<12D.1a b+13b>235.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )A.该椭圆的离心率为3-12B.该椭圆的离心率为2-3C.该椭圆的焦距为32-63D.该椭圆的焦距为23-136.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知函数f x =e x+e-x-cos2x，若f x1>f x2，则( )A.f x 为偶函数B.f x 在-∞,0上为增函数C.x21>x22D.e x1-x2>137.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知a =(cos x ,sin x ),b =(cos x ,3cos x )，函数f (x )=a ⋅b，则下列选项正确的是( )A.函数f (x )的值域为-12,32B.将函数y =sin x +12图像上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π12个单位长度，可得函数f (x )图像C.函数f (x )是奇函数D.函数f (x )在区间[0,2π]内所有零点之和为14π338.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2x +2,-2≤x ≤1ln x -1,1<x ≤e，若关于x 的方程f x =m 恰有两个不同解x 1,x 2x 1<x 2 ，则(x 2-x 1)f x 2 的取值可能是( )A.-3B.-1C.0D.239.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f x =e x 2x -1x -1，则下列结论正确的是( )A.不等式f x <0的解集为12,1 B.函数f x 在0,1 单调递减，在32,+∞ 单调递增C.函数f x 在定义域上有且仅有两个零点D.若关于x 的方程f x =m 有解，则实数m 的取值范围是-∞,1 ∪32,+∞ 40.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x，过点(a ,b )作曲线f (x )的切线，下列说法正确的是( )A.当a =0，b =0时，有且仅有一条切线B.当a =0时，可作三条切线，则0<b <4e 2C.当a =2，b >0时，可作两条切线D.当0<a <2时，可作两条切线，则b 的取值范围为4-a e 2或aea 三、填空题41.(2022·广东佛山·高三阶段练习)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是____________．42.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1+a 2+⋯+a n -1-a n =-2(n ≥2且n ∈N ∗)，且a 2=4，则a n =___________．43.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，BD 交AC 于E ，AB =2，则AE =__________.试卷第2页，共38页44.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2A 1B 1，且存在一个半径为r 的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R ，则Rr=__________．45.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知P 1，P 2是曲线C :y =2|ln x |上的两点，分别以P 1，P 2为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，切线l 1交y 轴于A 点，切线l 2交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.46.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)对于集合A ，B ，定义集合A -B ={x |x ∈A 且x ∉B }. 己知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足a 1=4，b 1=2，b n +2=b n +1+2b n ，a 3=b 3+2．设数列{a n }和{b n }中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A -B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，则数列{c n }的前30项和S 30=_________.47.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x =log a 2x 2+x a >0且a ≠1 在区间0，12内恒有f x >0，则f x 的单调递增区间为_________.48.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x +1 ,x >012x +1,x ≤0，若m <n ，且f m =f n ，则n -m 的取值范围是________．49.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PB =4,AD =22，当AB ⋅PD 最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.50.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知F 是抛物线C :y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM的延长线交y 轴于点N ，若3FM =2MN，则FN =___________.51.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA 21+PA 2 2+⋯+PA 28的取值范围是_______．52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (其中a 为常数)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，若f (x 1)>mx 2恒成立，则实数m 的取值范围是______.53.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若曲线y =a ln x +x 2a >0 的切线的倾斜角的取值范围是π3,π2 ，则a =______.四、双空题54.(2022·广东深圳·高三阶段练习)在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，动点P x ,y ,z 同时满足下列两个条件：①0≤x ,y ,z ≤1；②x 2+y 2+z 2>1.设所有动点P 构成的几何体Γ的表面积为S ，体积为V ，则V =______，S =______.55.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)设函数f x =2x -a ,x <1,4x -a x -2a ,x ≥1. ①若a =1，则f x 的最小值为________；②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．试卷第2页，共38页2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-75【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为a cos α-sin α ，故a 2cos α-sin α 2a 2=14，故1-2sin αcos α=14，即sin αcos α=38⇒sin αcos αsin 2α+cos 2α=38⇒tan αtan 2α+1=38⇒3tan 2α-8tan α+3=0，解得tan α=4-73或tan α=4+73.因为0°<α<45°，则0<tan α<1，故tan α=4-73.故选：A2.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4 B.6C.325D.365【答案】C【解析】因为一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，所以14(x 1+x 2+x 3+x 4)=3，14[(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2]=2，所以x 1+x 2+x 3+x 4=12，(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=8，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的平均数为151+(2x 1-5)+(2x 2-5)+(2x 3-5)+(2x 4-5) =151+2(x 1+x 2+x 3+x 4)-20=15×(1+24-20)=1，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的方差为15(1-1)2+(2x 1-5-1)2+(2x 2-5-1)2+(2x 3-5-1)2+(2x 4-5-1)2 =15(2x 1-6)2+(2x 2-6)2+(2x 3-6)2+(2x 4-6)2=154(x 1-3)2+4(x 2-3)2+4(x 3-3)2+4(x 4-3)2=45(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=45×8=325，故选：C 3.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.1011【答案】C【解析】由a n=S nn+2n-1得S n=na n-2n n-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=na n-n-1a n-1-4n-1，整理得a n-a n-1=4，所以a n是公差为4的等差数列，又因为a1=1，所以a n=4n-3，从而S n+3n=n a1+a n2+3n=2n2+2n=2n n+1，所以1S n+3n=12n n+1=121n-1n+1，所以数列1S n+3n的前10项和为12×1-12+12-13+⋅⋅⋅+110-111=12×1-111=511．故选：C4.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=( )A.5B.22C.10D.5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13πr21h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10.故选：C.5.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1-2,0，F 22,0，过F1，F2作圆O：x2+y2=a2的切线，四条切线围成的四边形F1AF2B的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.x22-y22=1 D.2x23-2y25=1试卷第2页，共38页【答案】B【解析】如图，由题意c =a 2+b 2=2，因为四边形F 1AF 2B 的面积为833，所以直角三角形AOF 2面积为233，即12OF 2 OA =233，OA =233，AF 2 =OF 2 2+OA 2=433，12a ×AF 2 =233，a =1，b =3，双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选：B .6.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞【答案】B【解析】若a =0时，f x =1,x <0,x 2-4x +3,x ≥0.，∴f x min =f 2 =-1；若a <0时，当x <a 时，f x =1-ax 单调递增，当x →-∞时，f x →-∞，故f x 没有最小值；若a >0时，x <a 时，f x =-ax +1单调递减，f x >f a =1-a 2，当x ≥a 时，f x min =-1,0<a <2 a 2-4a +3,a ≥2，若函数f x 有最小值，需1-a 2≥-10<a <2 或1-a 2≥a 2-4a +3a ≥2，解得0<a ≤2.故选：B7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+3【答案】C【解析】由sin C =23sin B sin A ，可得c =23b sin A ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，两式结合得：a 2=12b 2sin 2A +b 2-2b ×23b sin A cos A ，即a 2b 2=12sin 2A +1-23sin2A =7-6cos2A -23sin2A ，即a 2b2=7-43sin 2A +π3 ,A ∈(0,π)，则当A =7π12时，a 2b 2 max =7+43，则b 2a 2 min =17+43=7-43，故由λ=ba可得其最小值为7-43=2-3 ，故选：C8.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0 B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x -3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .9.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1 B.a >1C.1<a <4D.a >4【答案】A 【解析】∵f (x )=x 2+a x =x +ax(a >0)，∴f (x )=1-a x 2=x 2-ax 2=x +a x -a x 2，∴当0<x <a 时，f (x )<0，当x >a 时，f (x )>0，可知，f (x )在(0,a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增，∴f (x )在x =a 处取得极小值，又∵在区间(a ,a +1)上有最小值，∴a <a <a +1，解得0<a <1．故选：A ．10.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】当ln x =0时x =1；当ln x >0时x >1；当ln x <0时0<x <1．∴sgn ln x =1,x >10,x =1-1,0<x <1．∴f x =sgn ln x -ln x =1-ln x ,x >1-ln x ,x =1-1-ln x ,0<x <1．当x >1时令f x =0，即1-ln x =0，解得x =e >1成立；当x =1时令f x =0，即-ln x =0，解得x =1成立；当0<x <1时令f x =0，即-1-ln x =0，解得x =1e∈0,1 成立．综上可得解f x =0得x =e 或x =1或x =1e．所以函数f x 的零点个数为3．故选：C11.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x试卷第2页，共38页>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,100 【答案】A【解析】由f x =lg x +x 2+1 -22x+1可知，x ∈R ，故f x +f -x =lg x +x 2+1 -22x +1+lg -x +x 2+1 -22-x+1=lg x +x 2+1 -x +x 2+1 -22x +1+2⋅2x2x+1=lg1-2=-2 ，即f x +1+f -x +1=0，令g (x )=f (x )+1 ，则g x +g -x =0，即g (x )=f (x )+1为奇函数，因为函数y =lg x +x 2+1 为R 上的单调增函数，y =22x +1为R 上的单调减函数故f x =lg x +x 2+1 -22x +1为单调增函数，则g (x )=f (x )+1也单调递增；不等式f 2x +1 +f x >-2，即f 2x +1 +1+f x +1>0，即g 2x +1 +g x >0,g 2x +1 >-g x =g (-x )，故2x +1>-x ,x >-13 ，即f 2x +1 +f x >-2解集为-13,+∞ ，故选:A12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.6【答案】A 【解析】请在此输入详解！13.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-e B.a >-e C.a <-3 D.a <-3或a >-e【答案】A【解析】f x =x -2 e x ，设经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的切点为x 0,x 0-3 e x 0，则f x 0 =x 0-2 e x.又切线经过0,a ，故由题意x 0-3 e x-a x 0=x 0-2 e x 0有3个解.化简有a =x 0-3 e x 0-x 0x 0-2 e x 0，即a =-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解.设g x =-x 2+3x -3 e x ，则g x =-x 2+x e x ，令g x =0有x =0或x =1，故当x ∈-∞,0 时，g x <0，g x 单调递减；当x ∈0,1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.又g 0 =-3，g 1 =-e ，且g -1 =-7e>g 1 ，g 2 =-e 2<g 0 ，故要a=-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解，则-3<a <-e .故选：A14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316 B.12或3316C.2D.12【答案】C【解析】令t =x +1t ≥2 ，则x +1x 2+a =t t 2-2t +1+a =1t +1+a t-2，函数f x =x +1x 2+a 在1,+∞ 上的最大值为23且f (x )>0，即转化为g t =t +1+a t -2t ≥2 的最小值为32.g(t )=1-1+a t 2=t 2-(1+a )t 2，g (t )=0⇒t =1+a (负值舍去)，1+a ≤2，即0<a ≤3时，g (t )在[2,+∞)上单调递增，g (t )min =g 2 =1+a 2=32，解得a =2；当1+a >2，即a >3时，2≤t <1+a 时，g (t )<0，g (t )递减，t >1+a 时，g (t )>0，g (t )递增，g (t )min =g 1+a =21+a -2=32，解得a =3316<3，舍去．故a =2故选：C ．15.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线x =-2于点D ，则由抛物线定义可知：|BF |=|BD |=3，设直线AB 为x =my +4， A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C -2,y C ，不妨设m >0，则y 1>0,y 2<0，所以x 2+2=3，解得：x 2=1，则y 22=8x 2=8，解得：y 2=-22，则B 1,-22 ，所以-22m +4=1，解得：m =324，则直线AB 为x =324y +4，所以当x =-2时，即324y +4=-2，解得：y C =-42，则C -2,-42 ，联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2-8my -32=0，则y 1y 2=-32，所以y 1=82，其中S △BCF S △ACF =BC AC =y 2-y C y 1-y C =22122=16.故选：C16.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0) B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)【答案】B【解析】函数f (x )=x (ln x -ax )，则f ′(x )=ln x -ax +x (1x-a )=ln x -2ax +1，令f ′(x )=ln x -2ax +1=0得ln x =2ax -1，试卷第2页，共38页函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，等价于f ′(x )=ln x -2ax +1有两个零点，等价于函数y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a =12时，直线y =2ax -1与y =ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．故选B ．17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-512999【答案】A【解析】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f (-x +1)，所以f -x =f (x +2)，又f x 为奇函数，即f -x =-f (x )所以-f x =f x +2 ⇒f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 的周期为4，f log 22023 =f log 22023-12 =f log 220234096 =-f log 240962023 =-f 2-log 240962023=-f log 220231024 =-2log 220231024-1 =-20231024-1=-9991024.故选：A .18.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】f (x )=x 2+(a 2+2)x +a 2+1 e x =(x +1)(x +a 2+1)e x .①当a =0时，f (x )=(x +1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，f (x )无最小值.②当a ≠0时，令f (x )=0，得x =-1或x =-a 2-1.又-a 2-1<-1，故当x <-a 2-1时，f (x )>0，f (x )单调递增；当-a 2-1<x <-1时，f (x )<0，f (x )单调递减；当x >-1时，f (x )>0，f (x )单调递增.故f (x )在x =-1处取得极小值.综上，函数f (x )在x =-1处取得极小值⇔a ≠0.所以“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A .19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3 B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9【答案】C【解析】∵f x -1为奇函数，∴f x 图像关于点0,1 对称，由f x -kx -1=0得：f x =kx +1，则方程的根即为f x 与直线y =kx +1的交点，作出f x 图像如图所示，①当k ≥5-12-0，即k ≥2时，如图中y =k 1x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；②当3-12-0≤k <5-12-0，即1≤k <2时，如图中y =k 2x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有7个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 7，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 7 =7f 0 =7；③当2-14-0<k <3-12-0，即14<k <1时，如图中y =k 3x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；④当k =2-14-0=14时，如图中y =k 4x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有3个交点x 1,x 2,x 3，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +f x 3 =3f 0 =3；⑤当k <2-14-0，即k <14时，如图中y =k 5x +1和y =k 6x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有且仅有一个交点0,1 ，∴f x 1 =1.综上所述：f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为1,3,5,7 .故选：C .二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410试卷第2页，共38页C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110 D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD【解析】对于选项A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥3时，a n =3⋅2n -2+410，所以a 99=3×297+410，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4+0.7+310(21+22+⋯+229)+410×29=3×23010+12110，故C 正确；对于选项D ，由a n =3⋅2n -2+410≤300有：n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确.故选：BCD .21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<1【答案】BC【解析】对于A ，因为4=a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|ab |，所以|ab |≤2，当且仅当a =b =2时取等，故A 错误；对于B ，因为|a +b |≤22，即|a +b |2≤2，可看作部分圆x 2+y 2=4(xy ≠0)上的点(a ,b )到直线x +y =0的距离不大于2，因为圆心(0,0)在直线x +y =0上，半径为2，故|a +b |2≤2恒成立，故B 正确；对于C ，因为|ab |≤2，所以log 2|a |+log 2|b |=log 2|ab |≤log 22=1，故C 正确；对于D ，因为a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，令a =b =2，此时1|a |+1|b |=2>1，故D 错误.故选：BC .22.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3×13 3=19，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6×13 3=29，B 不正确；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为C 23C 12×13 3+13 3=727，C 正确； 对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，P (A )=727，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率P (AB )=C 12C 12×13 3+13 3=527，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=57，D 正确.故选：ACD23.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE【答案】BD【解析】对于A ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⎳AA 1，易知AA 1与AF 不垂直，故错误；对于B ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取B 1C 1的中点H ，连接A 1H ,GH ，如下图，易知GH ⎳EF ，则∠A 1GH 为直线A 1G 与EF 夹角或其补角，∵AB =2，∴GH =EF =2，A 1H =A 1G =5，在△A 1GH 中，cos ∠A 1GH =A 1G 2+GH 2-A 1H 22⋅A 1G ⋅GH=1010，因此，直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010，故正确；对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG -DCF 的体积V 1=14×2×2×2=2，试卷第2页，共38页三棱锥G -ABE 的体积V 2=13⋅S △ABE ⋅GB =13⋅12⋅AB ⋅BE ⋅GB =13，四棱锥F -AECD 的体积V 3=13⋅S 四边形AECD ⋅FC =13⋅S □ABCD -S △ABE ⋅FC =1，三棱锥G -AEF 的体积V =V 1-V 2-V 3=23，故错误；对于D ，连接D 1F ,D 1A ，作图如下：易知AD 1⎳EF ，则A ,E ,F ,D 1共面，∵A 1G ⎳D 1F ，则A 1G ,AF ,AE 共面，即存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE，故正确；故选：BD .24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列F 1 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列F 6 ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确.故选:BD .25.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为1【答案】ACD【解析】函数f x =e x x 2-3x +3 =e x x -32 2+34>0，选项B 错误；f x =e x x x -1 ，x <0或x >1时，f x >0，0<x <1时，f x <0.如图，f x 在-∞,0 ，1,+∞ 单调递增，f x 在0,1 单调递减，选项A 正确；f 0 =3，f 1 =e ，当x 趋近正无穷时，f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，f x 趋近0，选项C 正确；如图，当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则一定有t ≥0，而f 2 =e 2>3，所以t (t ∈Z )的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD .26.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ，由4r +2h =12，得2r +h =6，又2R =4r 2+h 2，0<r <3，圆柱的体积为V =πr 2h =πr 26-2r =2πr 23-r ，则V =6πr 2-r ，当0<r <2时，V >0，当r >2时，V <0，故函数V =2πr 23-r 在0,2 上单调递增，在2,3 上单调递减，所以r =2时，V 取最大值8π，所以0<V ≤8π，圆柱的外接球的表面积S =4πR 2=π4r 2+h 2 =π4r 2+6-2r 2 =4π2r 2-6r +9 ，函数S =4π2r 2-6r +9 在0,32 上单调递减，在32,3 上单调递增，所以r =32时，S 取最小值18π，所以18π≤S <36π.故选：BC .27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.2【答案】CD【解析】根据题意知：b a =12，c =5，故a =2，b =1，双曲线方程为x 24-y 2=1，则A -2,0 ，B 2,0 ，设P x 0,y 0 ，则x 024-y 02=1，x 0>0，y 0>0，k 1+k 2=y 0x 0+2+y 0x 0-2=2x 0y 0x02-4=x 02y 0，根据渐近线方程知：0<y 0x 0<12，故k 1+k 2=x02y 0>1.故选：CD .28.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情试卷第2页，共38页。

专题21抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明：①直线12Q Q 过定点；②12PQ PQ ⊥．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆C 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（2）求三角形AMN 面积的最小值.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求实数t 的取值范围．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，若12512S S =，求抛物线的方程．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）求PAB ∆的面积的最大值．9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：PCA PCB ∠=∠.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y +=相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DODB的取值范围．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ).（1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=171．（1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且125G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.。

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。

新高考新结构大题压轴--数列新定义一、解答题1(2024·浙江·模拟预测)已知实数q ≠0，定义数列a n 如下：如果n =x 0+2x 1+22x 2+⋯+2k x k ,x i ∈0,1 ，i =0,1,2,⋯,k ，则a n =x 0+x 1q +x 2q 2+⋯+x k q k．(1)求a 7和a 8(用q 表示)；(2)令b n =a 2n -1，证明：ni =1b i =a 2n-1；(3)若1<q <2，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得a n <a m ≤a n +1．2(2024·浙江温州·二模)数列a n ,b n 满足：b n 是等比数列，b 1=2,a 2=5，且a 1b 1+a 2b 2+⋅⋅⋅+a n b n =2a n -3 b n +8n ∈N * ．(1)求a n ,b n ；(2)求集合A =x x -a i x -b i =0 ,i ≤2n ,i ∈N * 中所有元素的和；(3)对数列c n ，若存在互不相等的正整数k 1,k 2,⋅⋅⋅,k j j ≥2 ，使得c k 1+c k 2+⋅⋅⋅+c k j也是数列c n 中的项，则称数列c n 是“和稳定数列”．试分别判断数列a n ,b n 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．3(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k∈N*,k≥2,a k-1+a k+1≤2a k恒成立，则称数列a n为“上凸数列”．(1)若a n=n2-1，判断a n是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，a m+a n≤a m-1+a n+1．(ⅰ)若数列S n为a n的前n项和，证明：S n≥n2a1+a n；(ⅱ)对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,x i,⋯,x n(n为常数且n≥2,n∈N*)，若ni=1x2i-1≥ni=1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．4(23-24高三下·浙江·阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，我们把点(x,y),x,y∈N*称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(x,y)进行赋值记为P(x,y)，例如P(2,3)=8，P(4,2)=14,P(2,5)=17.(1)求P(x,1);(2)求证:2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);(3)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024，求P(x,y)的值.5(2024·全国·模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 为n n =2,3,4,⋅⋅⋅ 阶“曼德拉数列”：①a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =0；②a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n =1.(1)若某2k k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k ，用k ,n 表示)；(2)若某2k +1k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k +1，用k ,n 表示)；(3)记n 阶“曼德拉数列”a n 的前k 项和为S k k =1,2,3,⋅⋅⋅,n ，若存在m ∈1,2,3,⋅⋅⋅,n ，使S m =12，试问：数列S i i =1,2,3,⋅⋅⋅,n 能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.6(2024高三·全国·专题练习)设数列a n 的各项为互不相等的正整数，前n 项和为S n ，称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有n -m S n +m =n +m S n -S m ”的数列a n 为“好”数列.(1)试分别判断数列a n ，b n 是否为“好”数列，其中a n =2n -1，b n =2n -1，n ∈N *并给出证明；(2)已知数列c n 为“好”数列，其前n 项和为T n .①若c 2024=2025，求数列c n 的通项公式；②若c 1=p ，且对任意给定的正整数p ，s s >1 ，有c 1，c s ，c t 成等比数列，求证：t ≥s 2.7(2024·湖南岳阳·二模)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得S m=2p p∈N，则称m为该数列的“佳幂数”．(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；(3)(ⅰ)求满足m>1000的最小的“佳幂数”m；(ⅱ)证明：该数列的“佳幂数”有无数个．8(2024·辽宁大连·一模)对于数列A:a1,a2,a3a1∈N,i=1,2,3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3，其中b i=a i+1-a i．这种“T变换”记作B=T A ，继续对数列B进行 (i=1，2)，且b3=a3-a1“T变换”，得到数列C:c1,c2,c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：(2)若a1,a2,a3不全相等，判断数列A:a1,a2,a3不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．9(23-24高三下·江苏南通·模拟预测)设正整数n≥3，有穷数列a n满足a i>0(i=1,2,⋯,n)，且a1 +a2+⋯+a n=n，定义积值S=a1⋅a2⋅⋯⋅a n.(1)若n=3时，数列12,1,32与数列16,23,136的S的值分别为S1，S2.①试比较S1与S2的大小关系；②若数列a n的S满足min S1,S2<S<max S1,S2，请写出一个满足条件的a n;(2)若n=4时，数列a1,a2,a3,a4存在i,j∈1,2,3,4,使得a i<1<a j，将a i，a j分别调整为a i =a i+a j-1，a j =1，其它2个a k(k≠i,j)，令a k =a k.数列a1,a2,a3,a4调整前后的积值分别为S,S ，写出S,S 的大小关系并给出证明；(3)求S=a1⋅a2⋅⋯⋅a n的最大值，并确定S取最大值时a1,a2,⋯,a n所满足的条件，并进行证明.10(23-24高三下·海南省直辖县级单位·模拟预测)由n ×n 个数排列成n 行n 列的数表称为n 行n 列的矩阵，简称n ×n 矩阵，也称为n 阶方阵，记作：A (n ,n )=a 11a 12a 13⋯a 1n a 21a 22a 23⋯a 2n a 31a 32a 33⋯a 3n ⋮⋮⋮⋮a n 1a n 2a n 3⋯a nn其中a iji ∈N *,j ∈N *,i ,j ≤n 表示矩阵A 中第i 行第j 列的数．已知三个n 阶方阵分别为A (n ,n )=a 11a 12a 13⋯a 1n a 21a 22a 23⋯a 2n a 31a 32a 33⋯a 3n ⋮⋮⋮⋮a n 1a n 2a n 3⋯a nn,B (n ,n )=b 11b 12b 13⋯b 1n b 21b 22b 23⋯b 2n b 31b 32b 33⋯b 3n ⋮⋮⋮⋮b n 1b n 2b n 3⋯b nn，C (n ,n )=c 11c 12c 13⋯c 1n c 21c 22c 23⋯c 2n c 31c 32c 33⋯c 3n ⋮⋮⋮⋮c n 1c n 2c n 3⋯c nn，其中a ij ，b ij ，c ij i ,j ∈N *,i ,j ≤n 分别表示A (n ,n ),B (n ,n ),C (n ,n )中第i 行第j 列的数．若c ij =(1-μ)a ij +μb ij (μ∈R )，则称C (n ,n )是A (n ,n ),B (n ,n )生成的线性矩阵．(1)已知A (2,2)=2411,B (2,2)=34-112，若C (2,2)是A (2,2),B (2,2)生成的线性矩阵，且c 11=3，求C (2,2)；(2)已知∀n ∈N *,n ≥3，矩阵A (n ,n )=a 11a 12⋯a 1n 332⋯3n ⋮⋮⋮a 1n a 2n ⋯a nn,B (n ,n )=b 11b 12⋯b 1n 12⋯n ⋮⋮⋮b 1n b 2n ⋯b nn ，矩阵C (n ,n )是A (n ,n ),B (n ,n )生成的线性矩阵，且c 21=2．(i )求c 23,c 2k k ∈N *,k ≤n ；(ii )已知数列b n 满足b n =n ，数列d n 满足d n =n2c 2n -n，数列d n 的前n 项和记为T n ，是否存在正整数m ,n ，使T n =b m +12b m成立？若存在，求出所有的正整数对(m ,n )；若不存在，请说明理由．11(23-24高三下·安徽·模拟预测)基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数a 1,a 2,⋯,a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1+a 2+⋯+a nn≥n a 1a 2⋯a n ，当且仅当a 1=a 2=⋯=a n 时，等号成立．若无穷正项数列a n 同时满足下列两个性质：①∃M >0,a n <M ；②a n 为单调数列，则称数列a n 具有性质P ．(1)若a n =n +4n 2，求数列a n 的最小项；(2)若b n =12n -1，记S n =ni =1b n ，判断数列S n 是否具有性质P ，并说明理由；(3)若c n =1+1nn，求证：数列c n 具有性质P ．12(2024·山东泰安·一模)已知各项均不为0的递增数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=2,a 2=4,a n a n +1=2S n S n +1+S n -1-2S n (n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列1S n的前n 项和T n ；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G -数列”．证明：①对任意k ≤5且k ∈N *，存在“G -数列”b n ，使得b k ≤a k ≤b k +1成立；②当k ≥6且k ∈N *时，不存在“G -数列”c n ，使得c m ≤a m ≤c m +1对任意正整数m ≤k 成立．13(2024·河南信阳·一模)定义：max a,b=a,a≥b,b,a<b,min a,b=b,a≥b,a,a<b,已知数列{an}满足a n+min{a n+1,a n+2}=max{a n+1,a n+2}．(1)若a2=2，a3=3，求a1，a4的值；(2)若∀n∈N*，∃k∈N*，使得a n≤a k恒成立．探究：是否存在正整数p，使得a p=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；(3)若数列{a n}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N*,a n≤A．14(2024·广东·模拟预测)已知数列a n与b n为等差数列，a2=b3，a1=2b1，a n前n项和为19n+n22．(1)求出a n与b n的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列c n，使得对于任意n∈N+，c n都能满足a n+b n-a n-b n2≤c n≤a n+b n+a n-b n2．若存在，求出所有上述的c n；若不存在，请说明理由．15(2024·吉林白山·二模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，若数列a n 满足：①数列a n 项数有限为N ；②S N =0；③∑Ni =1a i =1，则称数列a n 为“N 阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列a n 1≤n ≤10 为“10阶可控摇摆数列”，求a n 的通项公式；(2)若等差数列a n 1≤n ≤2m ,m ∈N * 为“2m 阶可控摇摆数列”，且a m >a m +1，求数列a n 的通项公式；(3)已知数列a n 为“N 阶可控摇摆数列”，且存在1≤m ≤N ，使得∑Ni =1a i =2S m ，探究：数列S n 能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.16(2024·安徽合肥·一模)“q -数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q 是非零实数，对任意n ∈N *，定义“q -数”(n )q =1+q +⋯+q n -1利用“q -数”可定义“q -阶乘”n !q =(1)q (2)q ⋯(n )q ,且0 !q =1.和“q -组合数”，即对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ，n kq =n !qk !q n -k !q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k ,n ∈N *,k +1≤n ，n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)证明：对于任意k ,m ∈N ,n ∈N *,k +1≤n ，n +m +1k +1 q-n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq .17(2024·福建泉州·模拟预测)a ,b 表示正整数a ，b 的最大公约数，若x 1,x 2,⋯,x k ⊆1,2,⋯,m k ,m ∈N * ，且∀x ∈x 1,x 2,⋯,x k ，x ,m =1，则将k 的最大值记为φm ，例如：φ1 =1，φ5 =4.(1)求φ2 ，φ3 ，φ6 ；(2)已知m ,n =1时，φmn =φm φn .(i )求φ6n ；(ii )设b n =13φ6n -1，数列b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <625.18(2024·河南开封·二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φn．(1)试求φ3 ，φ9 ，φ7 ，φ21的值；(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求φ3n与φ(p)和φ(q)的关系；，φpq(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算n=pq，欧拉函数φn；③求正整数k，使得kq除以φn的余数是1；④其中n,q称为私钥．称为公钥，n,k已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列b n的前n项和T n．，数列c n满足80c n=b n+47，求数列tan c n⋅tan c n+119(2024·全国·二模)已知由m m ≥3 个数构成的有序数组A :a 1,a 2,⋯,a m ，如果a 1-a i ≤a 1-a i +1 i =2,3,⋯,m -1 恒成立，则称有序数组A 为“非严格差增数组”.(1)设有序数组P :2,3,0,4 ,Q :1,2,3,0,4 ，试判断P ,Q 是否为“非严格差增数组”？并说明理由；(2)若有序数组R :1,t ,t 2,⋯,t 11 t ≠0 为“非严格差增数组”，求实数t 的取值范围.20(2024·海南省直辖县级单位·一模)若有穷数列a 1,a 2,⋯,a n (n 是正整数)，满足a i =a n -i +1(i ∈N ，且1≤i ≤n ，就称该数列为“S 数列”.(1)已知数列b n 是项数为7的S 数列，且b 1,b 2,b 3,b 4成等比数列，b 1=2,b 3=8，试写出b n 的每一项；(2)已知c n 是项数为2k +1k ≥1 的S 数列，且c k +1,c k +2,⋯,c 2k +1构成首项为100，公差为-4的等差数列，数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，则当k 为何值时，S 2k +1取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数m >1，试写出所有项数不超过2m 的S 数列，使得1,2,22,⋯,2m -1成为数列中的连续项；当m >1500时，试求这些S 数列的前2024项和S 2024.21(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1≤S P k．22(2024·湖南·二模)已知数列a n的前n项和为S n，满足2S n+a n=3；数列b n满足b n+b n+1=2n+ 1，其中b1=1.(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)对于给定的正整数i i=1,2,⋯,n，在a i和a i+1之间插入i个数c i1,c i2,⋯,c ii，使a i,c i1，c i2,⋯,c ii,a i+1成等差数列.(i)求T n=c11+c21+c22+⋯+c n1+c n2+⋯+c nn；(ii)是否存在正整数m，使得b m-1+1a m+2b m-1-2m+32T m-3恰好是数列a n或b n中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.23(2024·广西南宁·一模)若无穷数列a n 满足a 1=0,a n +1-a n =f n ，则称数列a n 为β数列，若β数列a n 同时满足a n ≤n -12，则称数列a n 为γ数列．(1)若数列a n 为β数列，f n =1,n ∈N ∗，证明：当n ≤2025时，数列a n 为递增数列的充要条件是a 2025=2024；(2)若数列b n 为γ数列，f n =n ，记c n =b 2n ，且对任意的n ∈N ∗，都有c n <c n +1，求数列c n 的通项公式．24(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n ∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +1 2+1n n +1 ,1≤n ≤1000,n >100 ，b n =12 203-n ,1≤n ≤5000,n >500 ，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．25(2024·河南·一模)在正项无穷数列a n 中，若对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得a n a n +2m =a n +m 2，则称a n 为m 阶等比数列．在无穷数列b n 中，若对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b n+b n +2m =2b n +m ，则称b n 为m 阶等差数列．(1)若a n 为1阶等比数列，a 1+a 2+a 3=74,a 3+a 4+a 5=716，求a n 的通项公式及前n 项和；(2)若a n 为m 阶等比数列，求证：ln a n 为m 阶等差数列；(3)若a n 既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：a n 是等比数列．。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(十七)一、单选题1.(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)定义在R 上的偶函数f x 满足f -x +f x -2 =0,当-1≤x ≤0时,f x =1+x e x ,则( )A.f 2023 <f ln13e10<f e 0.3 B.f 2023 <f e 0.3 <f ln 13e 10C.f e 0.3 <f ln 13e10 <f 2023D.f ln13e10<f e 0.3 <f 2023 2.(2022·广东·广州市第一一三中学高三阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，直线x +2y -22=0与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 相切，且椭圆C 的右焦点F c ,0 关于直线l ：y =cb x 的对称点E 在椭圆C上，则a =( )A.12B.32C.1D.23.(2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学高三期中)设函数f (x )是定义在区间12，+∞上的函数，f '(x )是函数f (x )的导函数，且xfx ln 2x >f x ,x >12 ,f e 2 =1，则不等式f e x 2 <x 的解集是A.12，1 B.(1，+∞)C.(-∞，1)D.(0，1)4.(2022·湖南·宁乡一中高三期中)设a =15ln13，b =14ln14，c =13ln15，则( )A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c5.(2022·湖南·宁乡一中高三期中)圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |=4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |=2，点P 在线段CD 上，则PA ⋅PB的取值范围是( )A.-1,2B.3,2C.3,4D.-1,06.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)设a >b >0，x =ln 1+a a ，y =ln 1+bb，m =7778，n =7877，则( )A.x >y ，m >nB.x >y ，m <nC.x <y ，m >nD.x <y ，m <n7.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一动点，F 1、F 2分别为该椭圆的左、右焦点，B 为短轴一端点，如果PB 长度的最大值为2b ，则使△PF 1F 2为直角三角形的点P 共有( )个A.8个B.4个或6个C.6个或8个D.4个或8个8.(2022·湖北·高三期中)在A 、B 、C 三个地区爆发了流感，这三个地区A 、B 、C 分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正确的是( )A.这个人患流感的概率为0.15B.此人选自A 地区且患流感的概率为0.0375C.如果此人患流感，此人选自A 地区的概率为3097D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人9.(2022·湖北襄阳·高三期中)某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O 的半径为10cm ，AB =BC =CD ，BC ⎳AD ，∠ABC =∠BCD =120°.甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB 越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD =( )A.10cmB.102cmC.103cmD.56cm10.(2022·湖北·高三阶段练习)已知x >0，y >0，若1+x 2+1 4y 2+1-2y =x ，则log 2x ⋅log 2y 的最大值为( )A.1B.12C.14D.011.(2022·湖北·高三期中)已知函数f x =k x -1 +14 e x -32x 2，若函数f x 的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数，则实数k 的取值范围为( )A.3e 3-112,3e 2-18 B.3e 2-18,3e -14 C.3e3-112,3e 2-18D.3e2-18,3e -1412.(2022·湖北·高三期中)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且3ca cos B=tan A +tan B ，下列结论正确的是( )A.A =π6B.当a =2，c =4时，△ABC 的面积为43C.若AD 是∠BAC 的角平分线，且AD =23，则1b+1c =2D.当b -c =3a3时，△ABC 为直角三角形13.(2022·山东德州·高三期中)已知定义在[-2,2]上的函数f (x )=x 2+x ,-2≤x ≤-1ln (x +1) ,-1<x ≤2，若g x =f x -a x +1 的图像与x 轴有4个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A.ln33,1eB.ln33,1eC.ln33,13eD.ln33,13e14.(2022·山东·青岛二中高三期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)， 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A ，B 两点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当a b 3-23mn +3mn +92ln m +ln n 取最小值时，椭圆C 的离心率为( )A.15B.45C.223D.3215.(2022·福建省诏安县桥东中学高三期中)已知偶函数f x 在R 上的任一取值都有导数，且f 1 =1，f x +2 =f x -2 ，则曲线y =f x 在x =-5处的切线的斜率为( )A.-1B.-2C.1D.216.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD =1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为( )A.94B.934C.134D.133417.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)已知f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1 -x 1f x 2 x 2-x 1>0，记a =f 0.23 0.23，b =f sin1 sin1，c =-f ln 13ln3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a18.(2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中)设a =sin111，b =ln1.1，c = 1.2-1，则( )A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.c <a <b19.(2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，G 是菱形ABCD 内一点，若GA +GB +GC =0，则AG ⋅AB =( )A.12B.1C.32D.2二、多选题20.(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)下列命题中真命题有( )A.若a ⋅b <0，则a ,b 是钝角B.数列a n 的前n 项和为S n ，若a 1=1,a n +1=3S n n ∈N ∗ ，则a n =1n =13⋅4n -1n ≥2C.若定义域为R 的函数f (x )是奇函数，函数f (x -1)为偶函数，则f (2)=0D.若2OA +OB +3OC =0，S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC ,△ABC 的面积，则S △AOC :S △ABC =1:621.(2022·广东·广州市第一一三中学高三阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，长轴长为4，点P (2,1)在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则( )A.椭圆C 的离心率的取值范围是0,22B.当椭圆C 的离心率为32时，QF 1 的取值范围是[2-3,2+3]C.存在点Q 使得QF 1 ⋅QF 2=0D.1QF 1 +1QF 2的最小值为122.(2022·广东·广州市第一一三中学高三阶段练习)设定义在R 上的函数f x 满足f x +y f x -y =f 2x-f 2y ，且f 1 ≠0，则下列说法正确的是( )A.f x 为奇函数B.f x 的解析式唯一C.若f x 是周期为T 的函数，则T ≠1D.若x >0时，f x >0，则f x 是R 上的增函数23.(2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学高三期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=e -x (x -1)．则下列结论正确的是( )A.当x <0时，f (x )=e x (x +1)B.函数f (x )有两个零点C.若方程f (x )=m 有三个解，则实数m 的取值范围是f (-2)<m <f (2)D.∀x 1,x 2∈R ,f x 1 -f x 2 max =224.(2022·湖南·宁乡一中高三期中)设函数f x 是函数f x 的导函数，且满足f x -f x x =ln x ，f 1e =1e，则( )A.f x 有极大值B.4f 2 <3f 4C.f 1 >f eD.f 1 >1e25.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段A 1D 1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP 的中点，则( )A.CM 与PN 是异面直线B.平面PAN ⊥平面BDD 1B 1C.存在P 点使得PN ⊥AND.当P 为线段A 1D 1中点时，过A 、M ，N 三点的平面截此正方体所得截面的面积为9226.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)已知函数f x =x x -a ，a ∈R ，下列判断中，正确的有( )A.存在k ∈R ，函数y =f x -k 有4个零点B.存在常数a ，使f x 为奇函数C.若f x 在区间0,1 上最大值为f 1 ，则a 的取值范围为a ≤22-2或a ≥2D.存在常数a ，使f x 在1,3 上单调递减27.(2022·湖北·高三期中)已知抛物线C ：y 2=2px 过点(2,4)，焦点为F ，准线与x 轴交于点T ，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点H ，则下列结论正确的是( )A.PH ⋅QH=0B.抛物线C 的准线过点HC.tan ∠PTQ =22D.当PF PT取最小值时，∠PTF =π428.(2022·湖北·高三期中)已知函数f (x )=e x -x -m (x ∈R )，g (x )=sin x -cos x (x ≥0)，则下列说法正确的是( )A.若f (x )有两个零点，则m >1B.若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1+x 2<0C.函数y =g (x )在区间0,5π4有两个极值点D.过原点的动直线l 与曲线y =g (x )相切，切点的横坐标从小到大依次为：x 1，x 2，⋯，x n .则x n =tan x n -π4 29.(2022·湖北襄阳·高三期中)已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为6，体积为63，A ，B ，C 三点均在以S 为球心的球S 的球面上，P 是该球面上任意一点，下列结论正确的有( )A.三棱锥P -ABC 体积的最大值为183B.三棱锥P -ABC 体积的最大值为273C.若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的表面积为24+93+343D.若PA ⊥平面ABC ，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为3132630.(2022·湖北襄阳·高三期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 11<S 7.若存在实数a ，b ，使得a +b =3，且e a -2b -1≤S 17≤ln (a -2b +1)，当n =k 时，S n 取得最大值，则k +2a -b 的值可能为( )A.13B.12C.11D.1031.(2022·湖北·高三阶段练习)已知△ABC 外接圆的面积为π，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，设△ABC 的周长和面积分别为P ，S ，则( )A.0<B ≤π3B.0<b ≤3C.0<P ≤23D.0<S ≤33432.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f x =tan cos x +cos sin x ，则( )A.f x 是定义域为R 的偶函数B.f x 的最大值为2C.f x 的最小正周期为πD.f x 在0,π2上单调递减33.(2022·湖北·高三期中)若x >0，y >0，且x +y =xy ，则( )A.x +y ≥4B.xy ≥2C.x +2y +xy ≥5+26D.2xx -1+4y y -1≥6+4234.(2022·山东德州·高三期中)将n 2个数排成n 行n 列的数阵，如图所示：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11=3,a 13=a 51+1，记这n 2个数的和为S ，下面叙述正确的是( )a 11a 12a 13⋯a 1n a 21a 22a 23⋯a 2n a 31a 32a 33⋯a 3n⋯⋯a n 1a n 2a n 3⋯a nnA.m =2B.a 78=15×28C.a ij =(2i +1)⋅2j -1D.S =n (n +2)2n -135.(2022·山东·青岛二中高三期中)已知函数f x =-2xe x ，x ≤0ln x ，x >0 若函数y =f x -b 有四个不同的零点：x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<4,则以下结论正确的是( )A.x 23+x 24>2B.0<b <2eC.x 1+x 2=-2D.x 1+x 2 x 3x 4<-2.36.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)给出定义：若函数f x 在D 上可导，即f x 存在，且导函数f x 在D 上也可导，则称f x 在D 上存在二阶导函数，记f x =f x 若f x <0在D 上恒成立，则函数f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,3π4 上是凸函数的是( )A.f x =-x 3+2x -1B.f x =ln x -2xC.f x =sin x +cos xD.f x =xe x37.(2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中)已知函数y =f (x )满足：对于任意实数x ,y ∈R ，都有2f (x )f y =f (x +y )+f x -y ，且f (1)=-1，则( )A.f (x )是奇函数B.f (x )是偶函数C.12,0 是曲线y =f x 的一个对称中心D.f (2022)=1三、填空题38.(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n -(2n -1)S n -1=n 2a n n ≥2,n ∈N ∗ ，则数列S n =_____________．39.(2022·广东·广州市第一一三中学高三阶段练习)过点M (2,3)的直线与⊙C :(x -3)2+y 2=16交于A ，B两点，当M 为线段AB 中点时，CA ⋅CB=___________.40.(2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学高三期中)设f x =ln x ,0<x ≤2f 4-x ,2<x <4若方程f (x )=m 有四个不相等的实根x i i =1,2,3,4 ，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1+x 2 2+x 23+x 24的取值范围为___________.41.(2022·湖南·宁乡一中高三期中)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且2≤l ≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是______．42.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的右支上存在两点A ，B ，使△ABM 为正三角形(其中M 为双曲线右顶点)，则离心率e 的取值范围为______.43.(2022·湖北·高三期中)若不等式e x a≥ln (ax -a )+ln 3a 对任意x >1恒成立，则a 的取值范围是_______________.44.(2022·湖北·高三期中)已知数列a n 满足a 1=1，a 2=2，a 2k +1=a 22k a 2k -1且a 2k +2=2a 2k +1-a 2k ，则a 100=______________.45.(2022·湖北襄阳·高三期中)最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF ，拼成一个大的正六边形GHMNPQ ，若AB =AG =1，则BE ⋅GD=__________.46.(2022·湖北襄阳·高三期中)已知实数x 、y 满足2x 2-3y 2-xy =1，则2x 2+3y 2的最小值为__________.47.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f x =e x +ax +1a ∈R ，若函数f x 与函数f f x 的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则a 的取值范围是______.48.(2022·山东德州·高三期中)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为________.49.(2022·山东·青岛二中高三期中)在三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，SA =AB ，点M 为△SAB 的垂心，且CM ⊥平面SAB ，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为_________.50.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)△ABC 中角的A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若该三角形的面积为5，且sin A -B =3-4cos A sin B ，则c 的最小值为_______．51.(2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中)设圆锥的底面半径为2，母线长为22，若正四棱柱上底面的4个顶点在其母线上，下底面的4个顶点在其底面圆内，则该正四棱柱体积的最大值为______．四、双空题52.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)平面四边形ABCD 中，AB =AD =3，BC =1，CD =22，BD =3，沿BD 将△ABD 向上翻折，进而得到四面体A -BCD ，①四面体A -BCD 体积的最大值为______；②若二面角A -BD -C 的大小为120°，则AC 2=______.53.(2022·湖北·高三期中)已知f x 是定义在R 上的函数，且函数y =f 2x +1 的图象关于直线x =1对称，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则f 6 =__________，曲线y =f x 在x =6处的切线方程是__________．54.(2022·山东德州·高三期中)定义x (x ∈R )为与x 距离最近的整数(当x 为两相邻整数算术平均值时，x 取较大整数)，令函数G (x )=x ，如：G 43 =1,G 53 =2,G (2)=2,G (2.5)=3.则1G (1)+1G (2)+1G (3)+1G (4)+1G (5)+1G (6)=__________；1G (1)+1G (2)+1G (3)+⋯+1G (2023)=_________.55.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=a 2=32，a n +2=a n +2×3n n ∈N * ，且b n =a n +a n +1n ∈N * ．则数列b n 的通项公式为________．若b n c n =4(n +1)34n 2-1 n ∈N *，则数列c n 的前n 项和为________．。

专题18 数列（解答题压轴题）目录①数列求通项，求和 (1)②数列中的恒成立（能成立）问题 (5)③数列与函数 (8)④数列与概率 (11)①数列求通项，求和②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数21,11,32,24,27,5,0,5,6,q a a a a a >==-=．1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设1,12,1,1n n S a a a =++⋅⋅⋅+，是否存在实数λ，使,1n n a S λ≤恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线220x x y -+=上.(1)证明：数列{}n a 为等差数列；③数列与函数④数列与概率1．（2023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有1(10)n n +≥集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n 集电视剧随机分配在2n 天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n 集，设该同学观看第一集后的第X 天观看该集．(1)求X 的分布列；(2)证明：最有可能在第(22)n -天观看最精彩的第n 集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左也会等可能地随机选择球门的左不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲等可能地随机传向另外4．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数抽取一位学生，求他的数学成绩恰在640().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，8．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(二十四)一、单选题1.(2023·广东佛山·统考一模)已知函数f x =log a x ,0<x <12a -x ,x ≥12(a >0且a ≠1)，若对任意x >0，f x ≥x 2，则实数a 的取值范围为( )A.0,e -1eB.116,e -1eC.0,e -2eD.116,e -2e2.(2023·广东佛山·统考一模)已知球O 的直径SC =2，A ，B 是球O 的球面上两点，∠ASC =∠BSC =∠ASB =π3，则三棱锥S -ABC 的体积为( )A.26 B.23C.22 D.23.(2023·广东茂名·统考一模)设a =2ln2-35 ，b =ln 3e 2+1，c =ln 5e 2+23则( )A.a <b <c B.b <a <cC.c <a <bD.b <c <a 4.(2023·广东茂名·统考一模)已知菱形ABCD 的各边长为2，∠B =60°.将△ABC 沿AC 折起，折起后记点B 为P ，连接PD ，得到三棱锥P -ACD ，如图所示，当三棱锥P -ACD 的表面积最大时，三棱锥P -ACD 的外接球体积为( )A.523πB.433πC.23πD.823π5.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设集合A ={1,2,⋯,2023},S =A 1,A 2,⋯,A 100 ∣A 1⊆A 2⊆⋯⊆A 100⊆A ，则集合S 的元素个数为( )A.C 1002023 B.C 1012023 C.1002023 D.10120236.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)已知平面非零向量a ,b 满足a ⋅b =|2a +b |，则|a |⋅|b |的最小值为( )A.2B.4C.8D.167.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设随机变量X ∼B (n ,p )，当正整数n 很大，p 很小，np 不大时，X 的分布接近泊松分布，即P (X =i )≈e -np (np )ii !(n ∈N )．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为(已知1e=0.367879⋯)( )A.100B.101C.102D.1038.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点M 满足CC 1 =3CM ．若在正方形A 1B 1C 1D 1内有一动点P 满足BP ⎳平面AMD 1，则动点P 的轨迹长为( )A.3B.10C.13D.329.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)设a =sin0.2,b =0.2cos0.1,c =2sin0.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <b <a10.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AC =3BD ，∠ADC =2∠BAD ．若AB ⋅CD +BC ⋅AD =43，则圆O 的半径为( )A.4B.2C.3D.2311.(2023·江苏南通·统考一模)已知函数f x 的定义域为R ，且f 2x +1 为偶函数，f x =f x +1 -f x +2 ，若f 1 =2，则f 18 =( )A.1B.2C.-1D.-212.(2023·江苏南通·统考一模)若过点P t ,0 可以作曲线y =1-x e x 的两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1y 2的取值范围是( )A.0,4e -3B.-∞,0 ∪0,4e -3C.-∞,4e -2D.-∞,0 ∪0,4e -213.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A 1,A 2和A 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )A.P B A 2 =411B.事件A 1与事件B 相互独立C.P A 3 B =12D.P (B )=31014.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论错误的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上是减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解15.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知点A 1,A 2,A 3,⋯,A n ,⋯和数列a n ,b n 满足A n A n +1 =cos 2n π3,sin 2n π3n ∈N * ,a n A n A n +1 +a n +1A n +1A n +2 =0,b n ，若a 1=1,S n ,T n 分别为数列a n ,b n 的前n 项和，则S 60+2T 60=( )A.-20B.243C.483-20D.0二、多选题16.(2023·广东佛山·统考一模)若正实数x ，y 满足xe x -1=y 1+ln y ，则下列不等式中可能成立的是( )A.1<x <yB.1<y <xC.x <y <1D.y <x <117.(2023·广东佛山·统考一模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则( )A.过点M 有且仅有一条直线与AB ，B 1C 1都垂直B.有且仅有一个点M 到AB ，B 1C 1的距离相等C.过点M 有且仅有一条直线与AC 1，BB 1都相交D.有且仅有一个点M 满足平面MAC 1⊥平面MB B 118.(2023·广东茂名·统考一模)e 是自然对数的底数，m ,n ∈R ，已知me m +ln n >n ln n +m ，则下列结论一定正确的是( )A.若m >0，则m -n >0B.若m >0，则e m -n >0C.若m <0，则m +ln n <0D.若m <0，则e m +n >2【答案】BC19.(2023·广东茂名·统考一模)已知抛物线C :x 2=4y ，F 为抛物线C 的焦点，下列说法正确的是( )A.若抛物线C 上一点P 到焦点F 的距离是4，则P 的坐标为-23,3 、23,3B.抛物线C 在点-2,1 处的切线方程为x +y +1=0C.一个顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交于A 、B 两点，△OAB 的周长为83D.点H 为抛物线C 的上任意一点，点G 0,-1 ，HG =t HF ，当t 取最大值时，△GFH 的面积为220.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)已知1+ln a a =e 1-b b=ec -1c >0，则( )A.a ≥b B.b ≥c C.a ≥c D.2b ≥a +c21.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)已知⊙P :x 2+(y -3)2=9,⊙Q :(x -4)2+y 2=1,⊙R :(x +1)2+(y -4)2=1．点A ,B ,C 分别在⊙P ,⊙Q ,⊙R 上．则( )A.AB 的最大值为9B.AC 的最小值为2-2C.若AB 平行于x 轴，则AB 的最小值为4-5D.若AC 平行于y 轴，则AC 的最大值为1+1722.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为2，点P ，Q 分别在正方形A 1B 1C 1D 1的内切圆，正方形C 1D 1DC 的外接圆上运动，则( )A.PQ ⋅CD ≤2+22B.|PQ |≥3-2C.∠PAQ >π8D.∠PAQ <π223.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)在数列a n 中，若对于任意n ∈N *，都有a n +1+6a n +1=4，则( )A.当a 1=1或a 1=2时，数列a n 为常数列B.当a 1>2时，数列a n 为递减数列，且2<a n ≤a 1C.当1<a 1<2时，数列a n 为递增数列D.当0<a 1<1时，数列a n 为单调数列24.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，f x +12为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f 2-3x =f 3x ，则( )A.f x +1 =f xB.f -12 =0C.f x +2 为偶函数D.f x -12 为奇函数25.(2023·江苏南通·统考一模)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，以该抛物线上三点A ,B ,C 为切点的切线分别是l 1,l 2,l 3，直线l 1,l 2相交于点D ,l 3与l 1,l 2分别相交于点P ,Q .记A ,B ,D 的横坐标分别为x 1,x 2,x 3，则( )A.DA ⋅DB =0B.x 1+x 2=2x 3C.AF ⋅BF =|DF |2D.AP ⋅CQ =PC ⋅PD26.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)如图所示，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A (1,0)，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P 1，A 1，P ，则下列说法正确的是( )A.AP的长度为α-βB.扇形OA 1P 1的面积为α-βC.当A 1与P 重合时，AP 1 =2sin βD.当α=π3时，四边形OAA 1P 1面积的最大值为1227.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为2,R ,E ,F 分别是AB,A 1D 1,CC 1的中点，连接RE ,EF ,RF ，记R ,E ,F 所在的平面为α，则( )A.α与正方体的棱有6个交点B.B 1D ⊥αC.α截正方体所得的截面面积为33D.DD 1与α所成角的正弦值为6328.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2,A 1B 1=1，侧棱AA 1与底面所成角为π3.E ,F ,G 分别为AD ，AB ,BB 1的中点，M 为线段B 1D 1上一动点(包括端点)，则下列说法正确的是( )A.该四棱台的体积为766B.三棱锥E -FGM 的体积为定值C.平面EFG 截该棱台所得截面为六边形D.异面直线AB 1与ED 1所成角的余弦值为52829.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数f x =ln sin x ⋅ln cos x ，下列说法正确的是( )A.f x 定义域为2k π,2k π+π2 ,k ∈ZB.f -x =f xC.f x +π4 是偶函数 D.f x 在区间0,π2上有唯一极大值点三、填空题30.(2023·广东佛山·统考一模)已知函数f x =sin ωx +φ (其中ω>0，ϕ <π2).T 为f x 的最小正周期，且满足f 13T=f 12T .若函数f x 在区间0,π 上恰有2个极值点，则ω的取值范围是______.31.(2023·广东茂名·统考一模)e 是自然对数的底数，f x =e cos 2πx +e 2x -2ex -1e的零点为______.32.(2023·广东茂名·统考一模)已知直线x =2m 与双曲线C :x 2m 2-y 2n2=1m >0,n >0 交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，A 为BD 的中点，过点A 作直线与y 轴垂直且交于点E ，若△BDE 的内心到y 轴的距离不小于32m ，则双曲线C 的离心率取值范围是______.33.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列a n 满足递推式a n +1=3a n +1,a n 2∉N *,a n 2,a n 2∈N *,请写出一个满足条件的首项a 1<50，使得a 10=1，而a i ≠1(i =1,2,⋯,9)_____________．34.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设实数a ≠0，不等式e x a-2ax ≥2e x +1对任意实数x ≥-12恒成立，则a 的取值范围为__________．35.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =_______．36.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)设奇函数f x 的定义域为R ，且对任意x 1,x 2∈0,+∞ ，都有f x 1x 2 =f x 1 +f x 2 ．若当x >1时，f x <0，且f 14=2，则不等式lg f x +2 <0的解集为__________．37.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知三棱锥P -ABC 的体积为6，且PA =2PB =3PC =6．若该三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，则三棱锥O -ABC 的体积为__________．38.(2023·江苏南通·统考一模)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ,B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为__________.39.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )-f (-x )+x 1e x +e x=0，且在(0,+∞)上有f (x )>1e2成立.若实数a 满足f (1-a )-f (a )+e a -1-ae a -1-ae -a ≥0，则a 的取值范围是__________．40.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)过圆O :x 2+y 2=2上一点P 作圆C :x -4 2+y -4 2=2的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为___________.41.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知抛物线y 2=2px (x >0),P 2,1 为抛物线内一点，不经过P 点的直线l :y =2x +m 与抛物线相交于A ,B 两点，连接AP ,BP 分别交抛物线于C ,D两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得AP =λPC ,BP =λPD (λ>0,λ≠1)成立，则该抛物线线方程为______.42.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知三棱锥P -ABC 的体积为233，各顶点均在以PC 为直径的球面上，AC =23,AB =2,BC =2，则该球的体积为______.四、双空题43.(2023·江苏南通·统考一模)已知正四棱锥S -ABCD 的所有棱长都为1，点E 在侧棱SC 上，过点E且垂直于SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为__________，Γ的面积的最大值为__________.。

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)一、单选题1.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知a,b∈R，函数f(x)=x,x<013x3-12(a+1)x2+ax,x≥0 ，若函数y=f(x)-ax-b恰有三个零点，则()A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>02.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5lg E2-lg E1.其中星等为m i的星的亮度为E i i=1,2.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是()(当x 较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.283.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知函数f x =2sin2x-π3，若方程f x =23在(0，π)的解为x1，x2(x1<x2)，则sin x1-x2=( )A.-223B.223C.13D.-134.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为( )A.23mB.25mC.27mD.29m5.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a=4ln5π,b=5ln4π,c=5lnπ4，则a,b,c的大小关系是( )A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a6.(2022·湖北·高三开学考试)已知直线l是曲线y=ln x与曲线y=x2+x的一条公切线，直线l与曲线y=x2 +x相切于点a,a2+a，则a满足的关系式为()A.a2+1-ln2a+1=0 B.a2+1+ln2a+1=0C.a2-1-ln2a+1=0 D.a2-1+ln2a+1=07.(2022·湖北·高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC =23，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.22πB.26πC.64π3D.68π38.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知函数f x =x 2-23ax 3(a >0)的定义域为R ，若对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，则a 的取值范围是( )A.0,13B.32,+∞C.13,12D.12,329.(2022·湖北·高三阶段练习)已知四面体D -ABC 中，AC =BC =AD =BD =1，则D -ABC 体积的最大值为( )A.4227B.328C.2327D.31810.(2022·湖北·高三阶段练习)恰有一个实数x 使得x 3-ax -1=0成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,32B.-∞,3322C.322D.-∞,32211.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与Γ交于A ，B 两点.若AF 2 =3F 2B ，AB =2AF 1 ，则Γ的离心率为( )A.15B.55C.105D.15512.(2022·湖北武汉·高三开学考试)若x +y -1=e x +2ln y 2，其中x >2，y >2，则下列结论一定成立的是( )A.2x >yB.2e x2>yC.x >yD.2e x >y13.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则( )A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c14.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得cos 2θ-ij≤C ，记C 的最小值为λ，则( )A.12000<λ<11000 B.11000<λ<1500 C.1500<λ<1200 D.1200<λ<110015.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，则该鞠(球)的表面积为( )A.9π B.18πC.36πD.64π试卷第12页，共61页二、多选题16.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，则下列说法正确的有( )A.直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B.f (x )的极值点个数为3C.f (x )的零点个数为4D.若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=017.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x=-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则( )A.f x 是以4为周期的周期函数 B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +1818.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=1上两点，则下列结论正确的是( )A.若AB =1，则∠AOB =π3B.若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =32C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为22D.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为419.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f 'x ，当x ≥0时，f 'x +sin2x <0.则( )A.函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称B.函数g x =f x -cos 2x 在区间0,+∞ 上单调递减C.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-∞,-π4D.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-π4,+∞ 20.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知椭圆C ：x 2a+y 22=1(a >2)的离心率为33，过点P (1，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP =λPB.动点Q 满足AQ =-λQB ，则下列结论正确的是( )A.a =3B.动点Q 的轨迹方程为2x +3y -6=0C.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为31313D.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为6131321.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f (x )满足∀x ∈R ，有f (x )=f (6-x )，且f (x +2)=f (x -2)，当x ∈[-1,1]时，f (x )=ln 1+x 2-x ，则下列说法正确的是( )A.f (2021)=0B.x ∈(2020,2022)时，f (x )单调递增C.f (x )关于点(1010,0)对称D.x∈(-1,11)时，方程f(x)=sinπ2x的所有根的和为3022.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x+1e2x+k.则( )A.当k=0时，f x 是R上的减函数B.当k=1时，f x 的最大值为1+22C.f x 可能有两个极值点D.若存在实数a，b，使得g x =f x+a+b为奇函数，则k=-123.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:x2-y224=1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则下列结论正确的是( )A.双曲线C的渐近线方程为y=±26xB.△PF1F2内切圆的半径为2C.PF1+ PF2=12D.点P到x轴的距离为24524.(2022·湖北·高三开学考试)已知函数f x =x-ax-bx-c的三个零点a，b，c满足a<b<c，a+b+c=9ab+bc+ca=24,则( )A.0<a<1B.2<b<4C.4<c<5D.b-4c-4的最小值是-9 425.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0<r<2)，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是( )A.当r=1时，V=73π3 B.V存在最大值C.当r在区间0,2内变化时，V逐渐减小 D.当r在区间0,2内变化时，V先增大后减小26.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点(其中A在B的上方)，O为坐标原点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.则( )A.若AF=2FB，则直线AB的斜率为22B.PM=NQC.若P,Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为22D.若P,Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQ>OQ27.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F⎳平面BC1M，则( )A.若P为正方体表面上一点，则满足△OPA的面积为22的点有12个B.动点F的轨迹是一条线段试卷第12页，共61页C.三棱锥F -BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D.若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为263,2228.(2022·湖北·高三阶段练习)[多选题]已知抛物线x 2=12y 的焦点为F ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为12D.若MF +NF =32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5829.(2022·湖北·高三阶段练习)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l :bx +ay -a 2-b 2=0，则( )A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为x 2+y 2=2a 2C.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为43-62 b3D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为8b 230.(2022·湖北武汉·高三开学考试)设函数f x =sin ωx +π3(ω>0)，若f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则( )A.f x 在(0，2π)有且仅有3个极大值点 B.f x 在(0，2π)有且仅有2个极小值点C.f x 在0，π10单调递增D.ω的取值范围是73，17631.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知数列a n 满足：a 1=1，a n =123a n -1+5a 2n -1+4 n ≥2 ，下列说法正确的是( )A.∀n ∈N ∗，a n ,a n +1,a n +2成等差数列B.a n +1=3a n -a n -1n ≥2C.2n -1≤a n ≤3n -1n ∈N *D.∀n ∈N *，a n ,a n +1,a n +2一定不成等比数列32.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π433.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a ,b >0)的虚轴长为2，F 1,F 2为其左右焦点，P ,Q ,R 是双曲线上的三点，过P 作C 的切线交其渐近线于A ,B 两点.已知△PF 1F 2的内心I 到y 轴的距离为1.下列说法正确的是( )A.△ABF 2外心M 的轨迹是一条直线B.当a 变化时，△AOB 外心的轨迹方程为x 2+a 2y 2=(a 2+1)24C.当P 变化时，存在Q ,R 使得△PQR 的垂心在C 的渐近线上D.若X ,Y ,Z 分别是PQ ,QR ,PR 中点，则△XYZ 的外接圆过定点34.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =x +1 e x,x <0x +12e x,x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为-1e 2,+∞ C.若关于x 的方程f x 2-a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1e 2,4eD.不等式f x -ax -a >0在-1,+∞ 恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是3e 2,2e三、填空题35.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =ax 2-2x +ln x 有两个不同的极值点x 1,x 2,且不等式f x 1 +f x 2 <x 1+x 2+t 恒成立,则t 的取值范围是__________．36.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且f (x +1)=f (1-x )，当x ∈0，1 时，f x =x ，若函数y =f (x )-log a (x +1)(a >0且a ≠1)有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．37.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)若直线l ：y =kx +b 为曲线f x =e x 与曲线g x =e 2⋅ln x 的公切线(其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828⋯)，则实数b =___________.38.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 是边长为43的正方形，其顶点P 到底面ABCD 的距离为3，该四棱锥的外接球O 的半径为5，若球心O 在四棱锥P -ABCD 内，则顶点P 的轨迹长度为___________.39.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x sin x -ax 在-π,0 上单调递增，则实数a 的取值范围________.40.(2022·湖北·高三开学考试)记数列a n 的前n 项和为S n ，若a n =2n3n -49，则使得S n 取得最小值时n 的值为________.41.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)设a =15,b =2ln sin 110+cos 110,c =65ln 65，则a ,b ,c 的大小关系是___________.试卷第12页，共61页42.(2022·湖北·高三阶段练习)有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为64的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为43.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.44.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆x 2+y 2-4x +2y -20=0相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45；②线段BO 长度的最大值为10-5；③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45 ．其中所有正确结论的序号为______．45.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =4e ln x -x 2x -e ln x+mx 存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________．46.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 上任意一点P x 0,y 0的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．若已知△ABC 内接于椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，且坐标原点O 为△ABC 的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则S△DEF S △ABC =______．47.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1､F 2，过F 1作圆O :x 2+y 2=a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若BC =CF 2 ，则双曲线的离心率为___________.四、双空题48.(2022·湖北·高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的准线l 与x 轴的交点为H ，抛物线C 的焦点为F ，过点H 的直线与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，BF =4AF ，则x2x 1=________；若AB 的中点到准线l 的距离为254，则p =_________.49.(2022·湖北·高三阶段练习)已知2a +4a 2+1 b +b 2+1 =1，则2a +b +b 2-4a 24a 2+1-b 2+1的最大值为_______，此时a +b =__________.50.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3是全等的等腰直角三角形(OB 1=2，B i i =1,2,3 处为直角顶点)，且O ，A 1，A 2，A 3四点共线.若点P 1，P 2，P 3分别是边A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3上的动点(包含端点)，则OB 1 ⋅OP 3 =________，OB 2 ⋅OP 2的取值范围为_______.试卷第12页，共61页。

专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案学生签字：教学主任审批：华实教育一对一个性化学案教师： 肖传略学生：日期: 年月日时间： §教学内容： 高考解答题－数列◆教学目标：数列求和及综合应用的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法◆重难点：数列求和及综合应用的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法◆教学步骤及内容：一、可转化为等差、等比数列的求和问题考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。

2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。

3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。

解题技巧：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有： 1．凑配、消项变换——如将递推公式（q 、d 为常数，q≠0，≠1）。

通过凑配变成；或消常数转化为2．倒数变换—如将递推公式（c 、d 为非零常数）取倒数得3．对数变换——如将递推公式取对数得4．换元变换——如将递推公式（q 、d 为非零常数，q≠1，d≠1）变换成，令，则转化为的形式。

例1：数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +n S ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭（n ∈*N ）.( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ；（II ）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t 的值。

【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。

【思路点拨】第一步先求n a 的通项，可知n a 为等比数列，利用等比数列的前n 项和求解出n S ；第二步利用等差中项列出方程求出t二、错位相减法求和考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。

2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案高考压轴题——函数篇2学生签字：教学主任审批：华实教育一对一个性化学案教师：肖传略学生：日期: 年月日时间：第次课§教学内容：高考压轴题——函数篇2◆教学目标：掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法◆重难点：掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法◆教学步骤及内容： 一、不等式证明 作差证明不等式1. （湖南，最值、作差构造函数）已知函数x x x f -+=)1ln()(． (1)求函数)(x f 的单调递减区间； (2)若1->x ，求证：111+-x ≤)1ln(+x ≤x ． 解：(1)函数f (x)的定义域为(－1，+∞),1111)(+-=-+='x x x x f ，由0)(<'x f 得：⎪⎩⎪⎨⎧-><+-101x x x ，∴x ＞0,∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞).(2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，0)(>'x f ，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，且(0)0f '=∴x ＞－1时，f (x)≤f(0)，∴x x -+)1ln(≤0，)1ln(+x ≤x 令111)1ln()(-+++=x x x g ，则22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g ， ∴－1＜x ＜0时，0)(<'x g ，x ＞0时，0)(>'x g ，且0)0(='g ∴x ＞－1时，g (x)≥g (0)，即111)1ln(-+++x x ≥0∴)1ln(+x ≥111+-x ，∴x ＞－1时，111+-x ≤)1ln(+x ≤x ．2. （湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：当0x >时，()()f x g x ≥．解：⑴设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()ag x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<． 故()h t 在13(0)e ，为增函数，在13()e ∞,+为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12333()2h e e =． ⑵设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．3. （全国II 理21，字母替换，构造函数）设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <⑴求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；⑵证明：()212ln 24f x ->解: ⑴()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案学生签字：教学主任审批：华实教育一对一个性化学案教师：肖老师学生：日期: 年月日时间：§教学内容： 高考专题——平面向量◆教学目标：掌握平面向量的基本概念；向量的线性运算及加减法的基本定理；向量平行与垂直的判定；向量的数量积的概念. ◆重难点：向量在平面几何中的运用◆教学步骤及内容：平面向量高考常见的题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量,41==且满足2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量b a ,满足（2-⊥=，则b a 与的夹角为 3.已知平面向量,满足424)2.(==-=+-（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<, 5.与求,732=+== 6.若非零向量,满足,0).2(=+=则与的夹角为类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=若∥b ，则实数x2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ3.已知向量），（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．2B ．0C ．1D ．2_____)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量 5．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为（ ） (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 186．已知=（1，2），=（3，2）若k +2与24共线，求实数k 的值； 7．已知，是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥，求的坐标8.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n b =共线且方向相同？ 9.且),2,1(,3==b a ∥b ，求a 的坐标。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(二十七)一、单选题1.(2023·广东广州·统考一模)已知a,b,c均为正实数，e为自然对数的底数，若a=be c,ln a>ln b，则下列不等式一定成立的是()A.a+b<abB.a b<b aC.c<a-ba+bD.a2>c+12.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R，且f x-1为奇函数，f2-x+f x =2，f -1=2，则25i=1f 2i-1=()A.13B.16C.25D.513.(2023·广东湛江·统考一模)已知a=9110.1,b=log910,c=lg11，则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b4.(2023·湖南张家界·统考二模)鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦)，则此正方体表面积的最小值为()A.96+482B.120+722C.144+962D.168+9625.(2023·湖北·校联考模拟预测)过点M-1,y0作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线，切点分别是A，B，若△MAB面积的最小值为4，则p=()A.1B.2C.4D.166.(2023·湖北·校联考模拟预测)设实数a,b,c满足1.001e a=e1.001,b-10001001=1.001- 1.001,c=1.001，则()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b7.(2023·山东聊城·统考一模)设a =e 14-54，b =e -14-34，c =e 13-43，则()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.b <c <a8.(2023·山东·河北衡水中学统考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数f x =x 称为高斯函数，其中x ∈R ，x 表示不超过x 的最大整数，例如：-1.1 =-2，2.5 =2，则方程2x +1 +x =4x 的所有解之和为()A.12B.34C.32D.749.(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)已知a =e -0.02，b =0.01，c =ln1.01，则()A.c >a >bB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a10.(2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.211.(2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测)已知函数f x =log 33x -1+3 -12x ，若f a -1 ≥f 2a +1 成立，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2B.-∞,-2 ∪0,+∞C.-2,43D.-∞,-2 ∪43,+∞12.(2023·福建漳州·统考三模)已知函数f x =2x +ln x +1-a 和函数g x =x -ae 2x，具有相同的零点x 0，则e 2x 0ln x 20的值为()A.2B.-eC.-4D.e 213.(2023·福建漳州·统考三模)已知正三棱锥P -ABC 的侧面与底面所成的二面角为π3，侧棱PA =212，则该正三棱锥的外接球的表面积为()A.7π4B.7π12C.49π4D.49π1214.(2023·江苏·二模)记d A i为点A i 到平面α的距离，给定四面体A 1-A 2A 3A 4，则满足d A 1=2d A ii =2,3,4 的平面α的个数为()A.1B.2C.5D.815.(2023·江苏常州·校考一模)意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯.记该数列为F n ，则F 1=F 2=1，F n +2=F n +1+F n ，n ∈N *.如图，由三个图(1)中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形(图(2))的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算F 22025-F 22021F 2022F 2023+F 2023F 2024=()A.1B.3C.5D.716.(2023·江苏常州·校考一模)已知不等式f (x )>0的解集为A ，若A 中只有唯一整数，则称A 为“和谐解集”，若关于x 的不等式sin x +cos x >2mx +|sin x -cos x |在区间(0,π)上存在“和谐解集”，则实数m 的可能取值为()A.2cos23B.32C.cos23D.cos117.(2023·江苏常州·校考一模)在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数f (x )=4i =1sin [(2i -1)x ]2i -1的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是()A.函数f x 为周期函数，且π为其一个周期B.函数f x 的图象关于点2π,0 对称C.函数f x 的图象关于直线x =π2对称 D.函数f x 的导函数f x 的最大值为4.18.(2023·江苏·统考一模)设a ,b ∈R ，4b =6a -2a ，5a =6b -2b ，则()A.1<a <bB.0<b <aC.b <0<aD.b <a <119.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-4220.(2023·江苏南通·模拟预测)函数f x ,g x 的定义域均为R ，且f x +g 4-x =4，g x -f x -8 =8，g x 关于x =4对称，g 4 =8，则18m =1f 2m 的值为()A.-24B.-32C.-34D.-4021.(2023·江苏南通·模拟预测)双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)和椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=1的右焦点分别为F ,F ′，A (-a ,0)，B (a ,0)，P ,Q 分别为C 1,C 2上第一象限内不同于B 的点，若PA +PB =λQA +QB,λ∈R，PF =3QF ′，则四条直线PA ,PB ,QA ,QB 的斜率之和为()A.1 B.0C.-1D.不确定值二、多选题22.(2023·广东广州·统考一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是()A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,523.(2023·广东广州·统考一模)已知函数f x =x 2+2x ≥0 ,g x =ae -x (a >0)，点P ,Q 分別在函数y =f x 的y =g x 的图像上，O 为坐标原点，则下列命题正确的是()A.若关于x 的方程f x -g x =0在0,1 上无解，则a >3eB.存在P ,Q 关于直线y =x 对称C.若存在P ,Q 关于y 轴对称，则0<a ≤2D.若存在P ,Q 满足∠POQ =90°，则0<a ≤122e24.(2023·广东湛江·统考一模)已知ω>0，函数f x =cos ωx +π3，下列选项正确的有()A.若f x 的最小正周期T =2，则ω=πB.当ω=2时，函数f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到g x =cos2x 的图象C.若f x 在区间2π3,π上单调递增，则ω的取值范围是1,53 D.若f x 在区间0,π 上只有一个零点，则ω的取值范围是16,7625.(2023·广东湛江·统考一模)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B x 2,0 ，则下列结论正确的有()A.0<x 2<aB.∠F 1AB =∠F 2ABC.x 1x 2=abD.若cos ∠F 1AF 2=13，且F 1B =3BF 2 ，则双曲线C 的离心率e =226.(2023·湖南张家界·统考二模)已知函数f x =sin x +π4，则下列说法正确的有()A.若f x 1 -f x 2 =2，则x 1-x 2 min =πB.将f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.若f ωx 在0,π 上有且仅有4个零点，则ω的取值范围为154,194 D.f x 是f x 的导函数，令g x =f x ⋅f x .则g x 在0,π4上的值域为0,1 27.(2023·湖南张家界·统考二模)过抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点F 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点(点A 在第一象限)，M 为线段AB 的中点.若AF =2BF =6，则下列说法正确的是()A.抛物线E 的准线方程为y =-4B.过A ，B 两点作抛物线的切线，两切线交于点N ，则点N 在以AB 为直径的圆上C.若O 为坐标原点，则OM =332D.若过点F 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线于C ，D 两点，则AB ⋅CD =14428.(2023·湖北·校联考模拟预测)如图，在正四面体ABCD 中，棱AB 的中点为M ，棱CD 的中点为N ，过MN 的平面交棱BC 于P ，交棱AD 于Q ，记多面体CAMPNQ 的体积为V 1，多面体BDMPNQ 的体积为V 2，则()A.直线MQ 与PN 平行B.AQ AD=BPBC C.点C 与点D 到平面MPNQ 的距离相等D.V 1=V 229.(2023·山东聊城·统考一模)已知奇函数f x 的定义域为R ，f 2 =2，对于任意的正数x 1,x 2，都有f x 1x 2 =f x 1 +f x 2 -1，且x >12时，都有f x >0，则()A.f 12=0B.函数f x 在-∞,+∞ 内单调递增C.对于任意x <0都有f x +f 1x=-2D.不等式ln f x -2 <0的解集为-18,-116∪2,430.(2023·山东·河北衡水中学统考一模)已知f x =e x ，g x =e -x ，若直线x =k (k >0)与f (x )、g (x )图象交点的纵坐标分别为n ，m ，且n <2m ，则()A.n +m <322B.n -m <22C.n n >(m +1)m +1D.n m +1<(m +1)n31.(2023·山东·河北衡水中学统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，O 为坐标原点，过C 的右焦点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 于点P ，交C 的另一条渐近线于点Q ，则()A.向量QF 在OF 上的投影向量为12OFB.若△OQF 为直角三角形，则C 为等轴双曲线C.若tan ∠OQF =-34，则C 的离心率为10D.若PQ =4FP ，则C 的渐近线方程为x ±2y =032.(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=e x(x +1)，则下列命题正确的是()A.当x >0时，f (x )=e -x (x -1)B.函数f (x )有2个零点C.f (x )<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)D.∀x 1，x 2∈R ，都有f x 1 -f x 2 <233.(2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测)已知函数f x =sin x +ln x ，将f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列x n ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有()A.n -1 π<x n <n πB.x n +1-x n <πC.x n -(2n -1)π2为递减数列 D.f x 2n >-1+ln(4n -1)π234.(2023·福建漳州·统考三模)已知数列a n ，a 2=12，且满足a n +1a 2n =a n -a n +1，n ∈N ∗，则()A.a 4-a 1=1929 B.a n 的最大值为1C.a n +1≥1n +1D.a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 35>1035.(2023·江苏·二模)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，f x =2x -1,x >2x 2-2x +2,0<x ≤2 ,下列叙述正确的是()A.存在实数k ，使关于x 的方程f x =kx 有7个不相等的实数根B.当x 1<x 2<-2时，有f x 1 >f x 2C.当0<x ≤a 时，f x 的最小值为1，则1≤a ≤3D.若关于x 的方程f x =32和f x =m 的所有实数根之和为零，则m =-3236.(2023·江苏·二模)已知椭圆x 216+y 212=1，点F 为右焦点，直线y =kx k ≠0 与椭圆交于P ，Q 两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则()A.△PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为1237.(2023·江苏常州·校考一模)已知函数f x =a e xx-x +ln x a ∈R ，若对于定义域内的任意实数s ，总存在实数t 使得f t <f s ，则满足条件的实数a 的可能值有()A.1B.-1C.0D.-1e38.(2023·江苏常州·校考一模)已知点P是圆锥Ω的顶点，四边形ABCD内接于Ω的底面圆O1，P，A，B，C，D均在球O2的表面上，若AB=5，AC=35，AD=7，∠BAC=∠DAC，球O2的表面积是50π，则()A.BC=10B.CD⎳平面PABC.PA与PC的夹角的余弦值是110D.四棱锥P-ABCD的体积是152故选：ACD．39.(2023·江苏·统考一模)已知点A-1,0，B1,0，点P为圆C：x2+y2-6x-8y+17=0上的动点，则()A.△PAB面积的最小值为8-42B.AP的最小值为22C.∠PAB的最大值为5π12D.AB⋅AP的最大值为8+4240.(2023·江苏·统考一模)已知fθ =cos4θ+cos3θ，且θ1，θ2，θ3是fθ 在0,π内的三个不同零点，则()A.π7∈θ1,θ2,θ3B.θ1+θ2+θ3=πC.cosθ1cosθ2cosθ3=-18D.cosθ1+cosθ2+cosθ3=1241.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)已知函数f x =a sinωx+cosωx a>0,ω>0的部分图象如图所示，其中BC=2，且△ABC的面积为2，则下列函数值恰好等于a的是()A.f13B.f56C.f1D.f242.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)已知函数f x =e sin x-e cos x，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是()A.f x 在0,π2是增函数B.f x+π4是奇函数C.f x 在0,π上有两个极值点D.设g x =f x x ，则满足g n 4π >g n +14π 的正整数n 的最小值是243.(2023·江苏南通·模拟预测)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2,AA 1=3,AD =4，则下列命题为真命题的是()A.若直线AC 1与直线CD 所成的角为φ，则tan φ=52B.若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与面BCC 1B 1交于点M ，则AM =23C.若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ=33D.若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ=6244.(2023·江苏南通·模拟预测)过平面内一点P 作曲线y =ln x 两条互相垂直的切线l 1、l 2，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合)，设直线l 1、l 2分别与y 轴交于点A 、B ，则()A.P 1、P 2两点的纵坐标之积为定值B.直线P 1P 2的斜率为定值C.线段AB 的长度为定值D.△ABP 面积的取值范围为0,1三、填空题45.(2023·湖南张家界·统考二模)已知函数f x =xe x ,0<x <1x ln x ,x ≥1的图像与直线l 1：y =1sin 2α交于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，与直线l 2：y =12cos 2α交于两点C x 3,y 3 、D x 4,y 4 ，其中x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4的最小值为.46.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知a ，b 为实数，若对任意x ∈R ，都有(ln a +b )e x -a 2ex ≥0恒成立，则ba的最小值为．47.(2023·山东聊城·统考一模)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为16，E 是棱BC 的中点，P 是侧棱AA 1上的动点，直线C 1P 交平面EB 1D 1于点P ，则动点P 的轨迹长度的最小值为．48.(2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则ta的最大值为.49.(2023·江苏·二模)设过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若FN =3FM ，且OM ⋅FN =0(O 为坐标原点)，则C 的离心率为50.(2023·江苏常州·校考一模)设x >0，y >0，且x -1y2=16y x ，则当x +1y 取最小值时，x 2+1y2=.51.(2023·江苏·统考一模)直线x =t 与曲线C 1：y =-e x +ax a ∈R 及曲线C 2：y =e -x +ax 分别交于点A ，B .曲线C 1在A 处的切线为l 1，曲线C 2在B 处的切线为l 2.若l 1，l 2相交于点C ，则△ABC 面积的最小值为.52.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X ~B n ,p ，记p k =C k n p k1-p n -k ，k =0,1,2,⋅⋅⋅,n .在研究p k 的最大值时，小组同学发现：若n +1 p 为正整数，则k=n +1 p 时，p k =p k -1，此时这两项概率均为最大值；若n +1 p 为非整数，当k 取n +1 p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.53.(2023·江苏南通·模拟预测)弓琴(如图)，也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，F 1(-c ,0)为左焦点，P i (i =1,2,3,4,5,6,7)均匀对称分布在上半个椭圆弧上，P i F 1为琴弦，记a i =|P i F 1|(i =1,2,3,4,5,6,7)，数列{a n }前n 项和为S n ，椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1，且a +64c =4ac ，则S 7+a 7-128取最小值时，椭圆的离心率为.四、双空题54.(2023·广东广州·统考一模)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ､F 分别是棱BC ,CC 1的中点，P 是侧面ADD 1A 1上的动点.且PC 1⎳平面AEF ，则点P 的轨迹长为.点P 到直线AF 的距离的最小值为.55.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2 x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3 x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f n x =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f n x =；f 100 32 除以17的余数是．56.(2023·山东·河北衡水中学统考一模)在三棱锥V -ABC 中，AB ,AC ,AV 两两垂直，AB =AV =4,AC=2，P 为棱AB 上一点，AH ⊥VP 于点H ，则△VHC 面积的最大值为；此时，三棱锥A -VCP 的外接球表面积为．57.(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)用g n 表示自然数n 的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，g9 =9，10的正因数有1、2、5、10，g10=5.记S n =g1 +g2 +g3 +⋯+g2n，则(1)S4 =.(2)S n =.58.(2023·福建漳州·统考三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，离心率为32，P,Q为C上的两个动点，且直线OP与OQ斜率之积为-14(O为坐标原点)，则椭圆C的短轴长为，OP2+OQ2=.。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案学生签字：教学主任审批：华实教育一对一个性化学案教师：肖老师学生：日期: 年月日时间：§教学内容：复数 ◆教学目标： 掌握复数的有关概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质；复数的代数形式的运算，复数的几何意义．◆重难点：理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义 ◆教学步骤及内容：知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b ≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d ∈R)．(3)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d(a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作__|z|__或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di＝a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ac ＋bd c2＋d2＋bc －ad c2＋d2i(c ＋di ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．典型例题题型一 复数的概念例1 (1)已知a ∈R ，复数z1＝2＋ai ，z2＝1－2i ，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为( ) A ．1 B ．i C.25D ．0 (2)若z1＝(m2＋m ＋1)＋(m2＋m －4)i(m ∈R)，z2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z1＝z2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(1)若复数z ＝(x2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1(2)设复数z 满足z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．题型二 复数的运算例2 已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝z12＋i ，且|z2|＝52，求z2.(1)已知复数z ＝3＋i 1－3i 2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. (2)复数－1＋3i51＋3i 的值是________．(3)已知复数z 满足i z ＋i＝2－i ，则z ＝__________.题型三 复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)求B 点对应的复数．（1）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．（2）已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y)2－3xyi ＝4－6i ，求x ，y.基础自测1．i 是虚数单位，则11＋i＋i ＝________.2．若复数(1＋i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a ＝________.3．复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z)·z 等于( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．35．设a ，b ∈R.“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 组 专项基础训练一、选择题1．设i 为虚数单位，则复数5－6i i等于( ) A ．6＋5i B ．6－5iC ．－6＋5i D ．－6－5i2．若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i3．若复数z 满足zi ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i4．若a 1－i＝1－bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋bi|等于( ) A. 5 B.2C.3D ．1二、填空题5．计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)． 6．设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i 1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 7．已知复数z 满足1＋2i z＝1－2i ，则复数z ＝____________. 三、解答题8．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.9．复数z1＝3a ＋5＋(10－a2)i ，z2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z2是实数，求实数a 的值．B 组 专项能力提升一、选择题1．方程x2＋6x ＋13＝0的一个根是( )A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i2．设f(n)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个3．对任意复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是() A ．|z －z |＝2yB ．z2＝x2＋y2C ．|z －z |≥2xD ．|z|≤|x|＋|y|二、填空题4．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z|＝________.5．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．6．已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为__________．三、解答题7．已知复数z ，且|z|＝2，求|z －i|的最大值，以及取得最大值时的z.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣s in2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.。