整除试题

数学数的整除试题1.用竖式计算，并验算．105×50=验算：185÷37=验算：【答案】5250；5；【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可．验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：105×50=5250；验算：185÷37=5；验算：点评：整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．2.用竖式计算：254+534= 486﹣51= 672﹣138= 23÷5= 54÷9= 135+865﹣432=【答案】788；435；534；4…3；6；568；【解析】（1）（2）（3）（6）根据整数加减法竖式计算的方法求解；（4）（5）根据除数是一位数的除法竖式计算的方法求解．解：（1）254+534=788；254；（2）486﹣51=435；486；（3）672﹣138=534；672；（4）23÷5=4…3；45；（5）54÷9=6；69；（6）135+865﹣432=568；135．点评：本题考查了简单的整数加减法和除法的竖式计算，计算时要注意把数位对齐．3.把42根小棒平均分成6份，每份是根，算式是．【答案】7，42÷6=7．【解析】用42除以6即可求解．解：42÷6=7；每份是7根小棒．故答案为：7，42÷6=7．点评：本题根据除法平均分的意义，列出除法算式求解．4.二年级共有35人，其中女生7人，男生人数是女生人数的几倍？【答案】4倍【解析】先求出男生人数：35﹣7=28人；然后用男生人数除以女生人数就是要求的问题．解：（35﹣7）÷7，=28÷7，=4；答：男生人数是女生人数的4倍．点评：本题考查的知识点是：求一个数是另一个数的几倍，用除法计算．5.先说出商是几位数，再在方框里填上商．【答案】见解析【解析】先根据三位数除以两位数，若三位数中百位和十位组成的两位数比除数大，则商就是2位数，若三位数中百位和十位组成的两位数比除数小，则商就是1位数，据此判断出商的位数，再依据整数除法计算方法即可解答．解：点评：本题主要考查学生依据整数除法计算方法解决问题的能力．6.先填空，再笔算．606÷39，商是位数555÷37，商是位数1479÷29，商是位数．【答案】2，2，2．【解析】依据整数除法竖式计算方法即可解答．解：606÷39=15…21，1539555÷37=15，15371479÷29=51，5129故答案为：2，2，2．点评：本题主要考查学生依据整数除法竖式计算方法解决问题的能力．7.比一比，再计算．56÷4= 560÷4= 72÷3= 720÷3=84÷6= 840÷6= 38÷2= 380÷2=【答案】14，140，24，240，14，140，19，190．【解析】依据整数除法计算方法即可解答．解：56÷4=14 560÷4=140 72÷3=24 720÷3=24084÷6=14 840÷6=140 38÷2=19 380÷2=190故答案为：14，140，24，240，14，140，19，190．点评：本题主要考查学生以及整数除法计算方法正确进行计算的能力．8.在口里填上适当的数，有几种填法？将几种填法都写出来．【答案】见解析【解析】三位数除以两位数，若被除数的前两位小于除数，则商是一位数，反之，商是两位数，据此即可解答．解：因为□32÷50，商是一位数，所以□3＜50，所以□里面可以填1、2、3、4，据此可以填空如下：点评：此题主要考查整数除法的试商方法．9.争当小老师（把不正确的改正过来）．【答案】【解析】根据两位数除多位数的除法法则，先试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小再试除被除数的前三位数，每次的余数要比除数小．据此解答．解：点评：此题考查的目的是理解掌握两位数除多位数的除法法则．10.判断对错并改正【答案】×【解析】根据商不变的性质，先把被除数和除数同时缩小100倍，再计算36÷6即可．解：根据商不变的性质可知，被除数和除数同时缩小100倍，商不变，是17，所以原题计算错误．故答案为：×．点评：此题考查利用商不变的性质，简便计算被除数和除数末尾有0的方法．11.给你两个数：5976和1432，每次在第一个数里减4，同时给第二个数加4，运算多少次后两数才能相等呢？【答案】568【解析】根据题意，设运算x次后两数才能相等，即5976﹣4x=1432+4x，解方程即可．解：设运算x次后两数才能相等，根据题意得：5976﹣4x=1432+4x，5976﹣1432=4x+4x，4544=8x，4544÷8=8x÷8，x=568，答：运算次568后两数才能相等．点评：这类问题列方程解答比较简便．12.用竖式计算．405÷81 896÷28 264÷66 966÷42．【答案】5，39…4，4，23．【解析】根据三位数除以两位数的笔算法则，直接列竖式计算即可解答．解：405÷81=5，896÷28=39…4，264÷66=4，966÷42=23．点评：此题考查了学生的笔算能力，属于基础题，细心计算即可解答．13.（1）下面的计算对吗？（2）你也来试一试吧！【答案】13；27．【解析】根据整数除法的竖式计算方法进行解答即可．解：（1）780÷60=13；（2）8100÷300=27．点评：此题考查了整数除法的竖式计算方法及计算能力．14.下列各题的除数可以看作几十来试商？把这个数填在括号里．【答案】【解析】试商时，把除数看成和它接近的整十数进行求解．解：点评：本题考查了除法试商的方法，运用四舍五入法把除数变成和它接近的整十数即可．15.小红跳了160下，小明跳了80下，小红跳的下数是小明的多少倍？【答案】2倍【解析】要求小红跳的下数是小明的多少倍，用小红跳的160下，除以小明跳的80下即可．解：160÷80=2．答：小红跳的下数是小明的2倍．点评：一个数是另一个数的几倍，用这个数除以另一个数即可．16.先填空、再计算．（1）（2）（3）（4）【答案】见解析【解析】（1）根据接近整十数试商的方法，278÷32可把32看作30进行试商，初商是9，商大了，要改为商8，290÷48，要把48看作50进行试商，初商是5，商小了，要调大，商6．（2）根据除法的计算方法知，每次初得余下的商都要小于除数，当除数最小是50时，商是7余35，再用385÷7，可求出最大可填的数．（3）根据被除数和除数末尾有零的简便算法进行计算．（4）根据商不变的性质进行解答．解：（1）278÷32可把32看作30进行试商，初商是9，商大了，要改为商8．8290÷48，要把48看作50进行试商，初商是5，商小了，要调大，商6．6（2）77方框里可填0，1，2，3，4，5．（4）点评：本题主要考查了学生根据除法的计算方法解答问题的能力．17.下面的计算对吗？把不对的改正过来．【答案】见解析【解析】两位数除以一位数的计算方法：1、首先确定商是几位数．如果被除数的十位比除数小，商就是一位数．商写在个位上．如果被除数的十位比除数大或者相等，商就是两位数．商的第一位写在十位上．2、试商，根据乘法口诀进行试商；3、如果商是两位数，就先用十位数去，除得的余数与个位数合起来再除以除数；4、得到的余数必须比除数小．由此可得：（1）和（3）是正确的；（2）漏记了个位上的商．解：（2）正确的如下：点评：本题考查了简单的两位数除以一位数的竖式计算，注意数位要对齐．18.我是计算高手．（用竖式计算）【答案】9，9…30，25…20，59；【解析】根据除数是两位数的除法笔算法则，列竖式计算即可解答．解：225÷25=9，336÷34=9…30，895÷35=25…20，944÷16=59；点评：此题考查学生的笔算能力，属于基础题，细心计算即可解答．19.今天一共卖出鲜虾多少千克？【答案】125千克【解析】根据题意，每千克鲜虾售价24元，每千克进价18元，那么每千克鲜虾赚24﹣18=6元，然后再用赚的总钱数750元除以6即可．解：750÷（24﹣18），=750÷6，=125（千克）．答：今天一共卖出鲜虾125千克．点评：本题关键是求出每千克鲜虾赚的钱数，然后再进一步解答．20.一块地种鱼米可收入2500元，比种土豆收入的3倍还多100元．这块地种土豆可收入多少元？【答案】800元【解析】根据题干可知，玉米的收入是2500元，减去100元后，是土豆收入的3倍，要求土豆的收入，即求（2500﹣100）是哪个数的3倍，用除法，即可解答．解：（2500﹣100）÷3，=2400÷3，=800（元），答：这块地种土豆可收入800元．点评：解决本题关键是理解倍数关系，已知一个数求它是哪一个数的几倍，用除法．21.【答案】3倍【解析】根据求一个数是另一个的几倍，用除法解答．解：120÷40=3倍；答：这个磁盘的可用空间是已用空间的3倍．点评：此题考查的目的是理解整数除法的意义，掌握整数除法的计算法则．22.看图计算．每小时约行900千米每小时约行90千米每小时约行5千米（1）飞机的速度是人步行速度的多少倍？（2）小轿车的速度是人步行速度的多少倍？【答案】180倍；18倍【解析】（1）用飞机的速度除以步行的速度，就是飞机的速度是人步行速度的多少倍．（2）用小轿车的速度除以步行的速度，就是小轿车的速度是人步行速度的多少倍．解：（1）900÷5=180答：飞机的速度是八步行速度的180倍．（2）90÷5=18答：小轿车的速度是人步行速度的18倍．点评：本题考查了基本的数量：求一个数是另一个数的几倍用除法计算．23. 192里面有几个24？【答案】8个【解析】要求192里面有几个24，用192÷24即可．解：192÷24=8．答：192里面有8个24．点评：求一个数里面有几个另一个数，用这个数除以另一个数即可．24.用竖式计算．60÷30= 67÷20= 42÷30=120÷60= 400÷80= 142÷30=【答案】2；3...7；1...12；2；5；4 (22)【解析】根据除数是两位数的竖式计算方法计算．解：60÷30=267÷20=3 (7)42÷30=1 (12)120÷60=2400÷80=5142÷30=4 (22)点评：考查了整数除法的笔算，根据竖式计算方法进行计算．25. 863×35 516÷35 409÷26820÷270 380×270 646÷16．【答案】30205，14…26，15…19，3…10，102600，40…6．【解析】根据整数乘除法竖式计算的方法进行计算即可；注意中间有0和末尾有0的乘除法．解：863×35=30205，516÷35=14…26，409÷26=15…19，820÷270=3…10，380×270=102600，646÷16=40…6．点评：本题主要考查整数乘除法的笔算，按照各自的计算法则进行计算，特别要注意中间有0或末尾有0的乘除法．26.谁做得快？【答案】天天做得快【解析】先依据除法的意义，分别计算出各自每分钟做题的道数，再据整数大小的比较方法，即可得解．解：因为20÷2=10（道），40÷5=8（道）；且10＞8，所以天天做得快．点评：分别计算出各自每分钟做题的道数，是解答本题的关键．27.在横线内填上一个适当的数字，再计算．商是一位数：34÷35=20÷74=09÷21=商是二位数：59÷43=25÷53=60÷67=【答案】1，3，2，5，6，7．【解析】（1）三位数除以两位数，要使商为一位数，只要使被除数前两位上的数比除数小即可；（2）三位数除以两位数，要使商为两位数，只要使被除数前两位上的数大于或等于除数即可；据此在横线内填上一个适当的数字，进而计算得解．解：（1）134÷35=3…29；320÷74=4…24；209÷21=9…20．（2）559÷43=13；625÷53=11…42；760÷67=11…23．故答案为：1，3，2，5，6，7．点评：此题考查整数的除法及运用，解决关键是先确定出被除数最高位上的数，进而计算得解．28.一根绳子长24米，每4米做一根跳绳，可以做多少根跳绳？【答案】6根【解析】用总长度除以每根跳绳的长度，就是可以做的跳绳的根数．解：24÷4=6（根）；答：可以做6根跳绳．点评：本题是求一个数里面又几个另一个数，用除法求解．29.对的在式子下面括号内打“√”，错的打“×”并在旁边改正过来【答案】见解析【解析】根据三位数除以一位数的笔算方法，即可判断解答：（1）第二次相除，乘得的积比被除数大了，则说明商太大了，应该商4；（2）前两位相除的商是3，在十位上，商的个位上应该用0占位；（3）第二次相除时，十位数字是1，不够商1，则十位上应该用0占位，再把个位数字落下来一起相除．据此即可改正．解：根据题干分析改正如下：点评：此题主要考查除数是一位数的除法的笔算法则，要注意商中间或末尾有0的除法．30.一部儿童电视剧共324分钟．分9集播放，平均每集播放多长时间？【答案】36分钟【解析】根据题干分析可得，此题就是把324分钟，平均分成9份，求一份是多少，用除法，直接列式即可解答．解：324÷9=36（分钟），答：平均每集播放36分钟．点评：此题主要考查平均数的意义及求解方法．31. 4千克鲜鱼可以制成1千克鱼干．315千克鲜鱼大约可以制成多少千克鱼干？【答案】80千克【解析】根据题意，4千克鲜鱼可以制成1千克鱼干，315千克里面有大约多少个4千克，就大约可以制成多少千克鱼干，即315÷4，把315看作320，然后再进一步解答．解：315÷4≈80（千克）．答：315千克鲜鱼大约可以制成80千克鱼干．点评：除数是一位数的估算，根据除数，把被除数看作与它接近的整百数或几百几十的数，然后再进一步解答．32.用竖式计算．236×43=208×56=318÷13=196÷28=【答案】10148；11648；24…6；7【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．解：236×43=10148208×56=11648318÷13=24 (6)196÷28=7点评：考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．33.一条90米长的排水沟，计划5天挖完，平均每天挖这条沟的几分之几？平均每天挖多少米？【答案】平均每天挖这条沟的，平均每天18米．【解析】求平均每天挖这条沟的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；求平均每天挖的米数，平均分的是具体的数量90米，求的是具体的数量；都用除法计算．解：平均每天挖这条沟的：1÷5=，平均每天挖的米数：90÷5=18（米）．答：平均每天挖这条沟的，平均每天18米．点评：解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”；求具体的数量平均分的是具体的数量．34.用竖式计算．650÷24= 304÷76= 304÷43=420÷26= 665÷19= 832÷52=【答案】27…2；4；7…3；16…4；35；16；【解析】按除数是两位数的除法的计算法则计算即可解答．解：（1）650÷24=27…2；（2）304÷76=4；（3）304÷43=7…3；（4）420÷26=16…4；（5）665÷19=35；（6）832÷52=16；点评：本题主要考查整数乘除法的计算法则的掌握与运用情况．35.列竖式计算，带“△”的题要验算．728÷7= 406÷2= （△）915÷7=720÷3= 517÷5= （△）252÷6=【答案】104；203；130…5；240；103…2；42【解析】根据整数除法的竖式计算的方法进行计算．注意验算方法的选择．解：728÷7=104406÷2=203915÷7=130 (5)验算：720÷3=240517÷5=103 (2)252÷6=42验算：点评：考查了整数除法的笔算，根据其计算方法进行计算．注意验算方法的选择．36. 40×9= 96÷8= 36÷12=360÷40= 75÷5= 90÷45=360÷90= 39÷3= 99÷11=【答案】40×9=360 96÷8=12 36÷12=3360÷40=9 75÷5=15 90÷45=2360÷90=4 39÷3=13 99÷11=9【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．解：40×9=360 96÷8=12 36÷12=3360÷40=9 75÷5=15 90÷45=2360÷90=4 39÷3=13 99÷11=9点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．37.九九家电城上午售出海尔洗衣机4台，下午售出同样的洗衣机7台，卖这种洗衣机上午比下午少收货款3150元．（1）平均每台洗衣机售价多少元？（2）上午、下午卖这种洗衣机各收入多少元？【答案】（1）1050元；（2）上午收改4200元，下午收放7350元．【解析】（1）由题意可知，上午比下午少卖出7﹣4=3台，而卖这种洗衣机上午比下午少收货款3150元，少收的3150元即是因少卖3台洗衣机少收的，根据除法的意义可知，平均平均每台洗衣机售价：3150÷3=1050元．（2）已知每台洗衣机1050元，由此根据单价×数量=所卖钱数即能求出上午、下午卖这种洗衣机各收入多少元．解：（1）3150÷（7﹣4）=3150÷3，=1050（元）．答：平均每台洗衣机售价1050元．（2）上午：1050×4=4200（元），下午：4200+3150=7350（元）．答：上午收改4200元，下午收放7350元．点评：在求出上午比下午少卖出台数的基础上，根据除法的意义求出每台洗衣机的单价是完成本题的关键．38.（1）被除数是315，除数是45，商是多少？（2）用25除160，商是多少，余数是多少？（3）1392是58的多少倍？（4）6527里面有几个61？【答案】（1）商是7；（2）商是6，余数是10；（3）1392是58的24倍；（4）6527里面有107个61．【解析】（1）根据被除数÷除数=商解答；（2）25除160，列式为160÷25，计算即可；（3）求一个数是另一个数的几倍，用除法；（4）求一个数里面有几个另一个数，用除法，直接列式即可解答．解：（1）315÷45=7，答：商是7；（2）160÷25=6…10，答：商是6，余数是10．（3）1392÷58=24，答：1392是58的24倍．（4）6527÷61=107，答：6527里面有107个61．点评：此题考查了利用除法的意义解决问题的灵活应用．39.口算420÷2= 280÷40= 23×5= 48+24=360÷3= 48÷12= 54÷18= 540÷90=72÷36= 40﹣15=【答案】420÷2=210， 280÷40=7， 23×5=115， 48+24=72，360÷3=120， 48÷12=4， 54÷18=3， 540÷90=6，72÷36=2， 40﹣15=25．【解析】根据整数除法的运算法则进行计算．注意商的末尾0的数量．解：420÷2=210， 280÷40=7， 23×5=115， 48+24=72，360÷3=120， 48÷12=4， 54÷18=3， 540÷90=6，72÷36=2， 40﹣15=25．点评：此题锻炼了学生的计算能力，认真思考，计算时细心是解决此题的关键．40.一双鞋160元，一支钢笔8元，买一双鞋的钱可以买多少支钢笔？【答案】20支【解析】利用160里面包含几个8，直接列出算是解答即可．解：160÷8=20（支）；答：买一双鞋的钱可以买20支钢笔．点评：此题主要考查除法的意义：一个数里面包含几个几．41.列竖式计算．73÷9= 63÷7= 43÷8= 8÷3=【答案】8…1；9；5…3；2…2．【解析】我们运用整数的除法的计算法则进行计算即可，有余数的除法，得到的余数一定小于除数．解：（1）73÷9=8…1；（2）63÷7=9；（3）43÷8=5…3；（4）8÷3=2…2．点评：本题运用整数的除法的计算法则进行计算即可．42.三年级的学生去茶园里劳动．女生有82人，男生有78人．4名学生分成一组，一共可以分多少组？【答案】40组【解析】先求出全部一共有多少人，再用总人数除以4人即可求解．解：（82+78）÷4，=160÷4，=40（组）；答：一共可以分40组．点评：本题先求出总人数，再根据除法的包含意义求解即可．43.直接写出得数．3500÷7= 50×0= 15×4= 40×5= 0﹣7×85=30×8= 300÷6= 210÷7= 22+45= 80÷5=31+50= 975﹣43= 1600÷2= 230×2= 40÷8=【答案】3500÷7=500， 50×0=0， 15×4=60， 40×5=200， 0﹣7×85=﹣593，30×8=240， 300÷6=50， 210÷7=30， 22+45=67， 80÷5=16，31+50=81， 975﹣43=932， 1600÷2=800， 230×2=460， 40÷8=5【解析】我们运用整数的加减乘除法的计算法则进行计算即可．解：3500÷7=500， 50×0=0， 15×4=60， 40×5=200， 0﹣7×85=﹣593，30×8=240， 300÷6=50， 210÷7=30， 22+45=67， 80÷5=16，31+50=81， 975﹣43=932， 1600÷2=800， 230×2=460， 40÷8=5，点评：本题考查了整数的加减，乘除法的计算法则，考查了学生的计算能力．44.直接写出下面各题的结果．408÷4= 2800÷7= 400÷8= 3000÷5=1000÷5= 660÷6= 306÷3= 180÷9=840÷4= 168÷8=【答案】408÷4=102， 2800÷7=400， 400÷8=50， 3000÷5=600，1000÷5=200， 660÷6=110， 306÷3=102， 180÷9=20，840÷4=210， 168÷8=21．【解析】根据整数除法的计算方法进行计算．解；408÷4=102， 2800÷7=400， 400÷8=50， 3000÷5=600，1000÷5=200， 660÷6=110， 306÷3=102， 180÷9=20，840÷4=210， 168÷8=21．点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．45.竖式计算：（打★的要求验算）①960÷60 ②216÷24 ③★574÷41．【答案】16；9；14；【解析】根据三位数除以两位数的笔算方法，列竖式计算即可解答，除法是利用它的逆运算乘法进行验算的．解：960÷60=16；16216÷24=9；9574÷41=14；14验算：41点评：此题考查三位数除以两位数的笔算，属于基础题，细心计算即可解答．46.一个数的18倍是972，求这个数．【答案】54【解析】一个数的18倍是972，求这个数，也就是把972平均分成18份，求每一份是多少，用除法计算．解：972÷18=54；答：这个数是54．点评：解决此题关键是明白：已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算．47.笔算下面各题：856÷7= 402÷2= 804÷5= 680÷4=【答案】122…2；201；160…4；170【解析】本题根据整数除法的运算法则列竖式计算即可．解：856÷7=122…2；402÷2=201；804÷5=160…4；680÷4=170；点评：整数的除法法则：从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．48.用竖式计算．420×29=305×24=504÷7=100÷6=【答案】12180；7320；72；16…4；【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则计算即可．解：420×29=12180；305×24=7320；504÷7=72；100÷6=16…4；点评：整数乘法的法则：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的积加起来．整数除法的法则：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．49.直接写得数．50×30= 400÷5= 22×40= 480÷8=90×20= 0÷76= 800÷4= 270+90=86÷2= 30×37= 24×20= 0×416=【答案】50×30=1500 400÷5=80 22×40=880 480÷8=6090×20=1800 0÷76=0 800÷4=200 270+90=36086÷2=43 30×37=1110 24×20=480 0×416=0【解析】此题是简单的乘除法的计算，只要利用他的计算方法，认真算出即可中点末尾0 一定要注意．解：50×30=1500 400÷5=80 22×40=880 480÷8=6090×20=1800 0÷76=0 800÷4=200 270+90=36086÷2=43 30×37=1110 24×20=480 0×416=0点评：此题主要考查有关简单乘除法的计算，熟练找我方法即可．50.口算．80÷10= 63÷3= 280÷70= 90÷5=10×50= 28×20= 280×0= 14×5=54+28= 74﹣24= 100﹣49= 28+72=【答案】80÷10=8， 63÷3=21， 280÷70=4， 90÷5=18，10×50=500， 28×20=560， 280×0=0， 14×5=70，54+28=82， 74﹣24=50， 100﹣49=51， 28+72=100．【解析】第一行根据整数除法的计算法则求解；第二行根据整数乘法的计算法则求解；第三行根据整数加减法的计算法则求解．解：80÷10=8， 63÷3=21， 280÷70=4， 90÷5=18，10×50=500， 28×20=560， 280×0=0， 14×5=70，54+28=82， 74﹣24=50， 100﹣49=51， 28+72=100．点评：完成本题要根据运算法则认真分析式中数据，然后快速准确得出答案．51.列式计算．（1）比247多33的数是多少？（2）一道式子中，被除数是30，除数是7，商是多少？余数是多少？（3）8的8倍是多少？（4）48是6的多少倍？【答案】（1）280；（2）商是4，余数是2；（3）64；（4）8倍【解析】（1）根据题意，可用247加33，列式解答即可得到答案；（2）可用30除以7进行计算即可得到答案；（3）根据题意，可用8乘8即可得到答案；（4）根据题意48除以6进行计算即可得到答案．解：（1）247+33=280，答：比247多33的数是280；（2）30÷7=4…2，答：被除数是30，除数是7，商是4，余数是2；（3）8×8=64，答：8的8倍是64；（4）48÷6=8，答：48是6的8倍．点评：解答此题的关键是根据题干的叙述确定数据之间的关系，然后再列式计算即可得到答案．52.【答案】见解析【解析】根据整数加减乘除的计算方法进行计算即可．解：点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算即可．53.（1）一个数除以8，商是324，余数是5．这个数是多少？（2）一个数的9倍是1854，这个数是多少？（3）比153少18的数是多少？（4）4326里面有多少个6？【答案】（1）2597；（2）206；（3）135；（4）721个【解析】（1）根据公式被除数=商×除数+余数进行计算即可；（2）可用1854除以9进行计算即可；（3）可用153减去18进行计算即可；（4）根据题意，可用4326除以6进行计算即可得到答案．解：（1）324×8+5=2592+5，=2597，答：这个数是2597；（2）1854÷9=206，答：这个数是206；（3）153﹣18=135，答：比153少18的数是135；（4）4326÷6=721，答：4326厘米有721个6．点评：解答此题的关键是根据题干确定算式的运算方法，然后再列式解答即可．54.某酒店买来12包毛巾，共付款864元，每包毛巾多少元？【答案】72元【解析】根据题干分析可得，把864元平均分成12份，求出1份是多少，即可求出每包毛巾的价格．解：864÷12=72（元），答：每包毛巾72元．点评：此题考查除法的意义，求平均数，用除法．55.装订一种儿童笔记本要用4张红色纸，6张蓝色纸和8张绿色纸．现有红色纸26张，蓝色纸44张，绿色纸50张．这些纸最多可装订成多少本这样的笔记本？【答案】6本【解析】根据题意，红色纸26张时，其它纸足够，最多可以装订多少本，同理可以得出蓝色纸与绿色纸的，然后进行比较取最小的就是所要求的结果．解：根据题意可得：26÷4=6（本）…2（张），最多可以装订6本；44÷6=7（本）…2（张），最多可以装订7本；50÷8=6（本）…2（张），最多可以装订6本；6＜7．答：这些纸最多可装订成6本这样的笔记本．点评：根据题意，哪一种纸张能装订的本数最少，就是要求的结果，因为再进行装订的时候，这种纸张已经不够了．因此，此种类型的题目，是取少去大．56.小红买了9枝钢笔，一共花了63元钱，平均每枝钢笔多少钱？【答案】7元【解析】平均每枝钢笔多少钱，根据总价÷数量=单价，即可解答．解：63÷9=7（元），答：每支钢笔7元．点评：此题考查了总价、数量、单价之间的关系的计算应用．57.直接写得数63÷21= 50+27= 27×9= 66÷11= 91÷7=25×30= 120×5= 480+25= 14×6= 10+90÷5=【答案】63÷21=3 （2）50+27=77 （3）27×9=243 （4）66÷11=6 （5）91÷7=13（6）25×30=750 （7）120×5=600 （8）480+25=505 （9）14×6=84 （10）10+90÷5=28【解析】（1）（4）（5）根据口算除法的计算方法计算，（2）（8）根据整数加法的计算方法计算，（3）（6）（7）（9）根据口算乘法的计算方法计算，（10）先算除法，再算加法．解（1）63÷21=3 （2）50+27=77 （3）27×9=243 （4）66÷11=6 （5）91÷7=13（6）25×30=750 （7）120×5=600 （8）480+25=505 （9）14×6=84 （10）10+90÷5=28 点评：本题主要考查了学生的计算能力，注意要认真细心．58.一本《雏鹰手册》厚6毫米，几本这样的书叠起来厚3厘米？【答案】5本【解析】3厘米里面有几个6毫米，直接列除法算式解答即可，注意统一单位．解：3厘米=30毫米，30÷6=5（本）；答：5本这样的书叠起来厚3厘米．点评：此题考查包含除：一个数里面有几个几．59.列竖式计算．82×36= 250×38= 205÷26= 884÷34=【答案】2952；9500；7…23；26．【解析】①②根据整数的乘法法则进行计算即可．③整数的除法，除不尽时得到的余数小于除数．④运用整数的除法法则进行解答即可．解：①82×36=2952；②250×38=9500；③205÷26=7…23；④884÷34=26．点评：本题运用整数的乘除法的计算法则进行解答即可．60.【答案】186；225；2114；3404；22；39；205；68【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．解：；；；；；；；．点评：考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．。

判断数字的整除性练习题本练习题旨在帮助读者加深对数字的整除性的理解。

通过解答以下问题，读者可以巩固对整除性的认识，并能够灵活运用整除性概念来判断数字之间的关系。

1. 判断以下数字是否能整除：a) 28 ÷ 4b) 63 ÷ 7c) 120 ÷ 6d) 81 ÷ 9e) 50 ÷ 3解答：a) 28 ÷ 4 = 7，28可以被4整除，因为7是一个整数。

b) 63 ÷ 7 = 9，63可以被7整除，因为9是一个整数。

c) 120 ÷ 6 = 20，120可以被6整除，因为20是一个整数。

d) 81 ÷ 9 = 9，81可以被9整除，因为9是一个整数。

e) 50 ÷ 3 = 16.67（约），50不能被3整除，因为16.67不是一个整数。

2. 判断以下数字是否能整除：a) 42 ÷ 5b) 99 ÷ 11c) 135 ÷ 9d) 72 ÷ 8e) 56 ÷ 7解答：a) 42 ÷ 5 = 8.4（约），42不能被5整除，因为8.4不是一个整数。

b) 99 ÷ 11 = 9，99可以被11整除，因为9是一个整数。

c) 135 ÷ 9 = 15，135可以被9整除，因为15是一个整数。

d) 72 ÷ 8 = 9，72可以被8整除，因为9是一个整数。

e) 56 ÷ 7 = 8，56可以被7整除，因为8是一个整数。

3. 判断以下数字是否能整除：a) 38 ÷ 6b) 77 ÷ 9c) 180 ÷ 5d) 54 ÷ 7e) 69 ÷ 8解答：a) 38 ÷ 6 = 6.33（约），38不能被6整除，因为6.33不是一个整数。

b) 77 ÷ 9 = 8.56（约），77不能被9整除，因为8.56不是一个整数。

三年级整除除法练习题96÷3=64÷2=85÷5=4÷7=1、一头大猪重72千克，一只狗重4千克，这头大猪的体重是狗的多少倍？2、有84箱货物，李叔叔三人开了三部车，他们三人平均每人大约运多少箱？3、到西湖有96千米，客车行驶了4小时，平均每小时约行多少千米？★知识点一★三位数乘以一位数：和两位数乘以一位数法则相同，但是要注意，当中间的一位数是“0”是，就将前一位进位的数字直接写在十位即可。

[练习题]12×=45×=25×=4×=★知识点二★三位数除以一位数：和两位数除以一位数法则相同，但是要注意，当中间的一位数不够的时候，需要在商的中间位置，填上一个“0”补位。

当被除数个位是0时，也要填0补位。

[练习题1]999÷9=405÷5=08÷8=714÷7＝324÷6=3÷3=67÷9=128÷4=105÷5=26÷6= 12÷6=[练习题2]614÷6= 06÷4=8÷7=638÷6=460965÷3=846★一较高下★1、请把不对的算式改正改正：÷9=4÷5=6÷3=÷5=2、在○里填上合适的数。

○÷7=127??6，○=○÷2=349??□，○=，□=46÷○=7??4，○=○÷□=17??6，○=，□=3、在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。

384÷6○192÷504÷9○224÷467×3○410÷456÷8○100-344、分类。

18241727905560952570能被2整除的数：能被3整除的数：能被5整除的数：5、选择题。

【例1】(★★★)在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

如：六位自然数2010□□能被99整除，末两位数有多少种情况？【例2】(★★★)在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。

那么这三个数字的和是_______【例3】(★★★★)某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?【例4】(★★★★)在六位数1111□□中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？数的整除（2）【例5】(★★★)右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。

第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？【例6】(★★★★)把自然数从1开始作连乘积，即1×2×3×4×…问：当乘到多少时，乘积的最末10位数字第一次全为0？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(★★★)在361后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小，那么这个数是( )A．361010 B．361020 C．361000 D．3612302．(★★★)在278后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被7、8、9整除，那么这三个数字的和是( )A．6 B．8 C．10 D．133．(★★★★)某个七位数1999□□□能够同时被2、3、7、11整除，那么这个七位数最小是( )A．1999000 B．1999074 C．1999388 D．19994624．(★★★★)在六位数77□□77中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是( )A ．28B ．36C ．48D ．605．(★★★)如下图，图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。

一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4．求被179整除的最小和最大的四位数．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12．某六位数能被17和19整除，求．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．14．是105的倍数，求xy．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成1001×98666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可．解答：解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；因为98765432=1001×98666+766，766不能被7整除；766不能被11整除；766不能被13整除；所以不能被3，7，11，13整除．点评：掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．由此说明即可．解答：解：=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c =100100a+10010b+1001c=1001×（100a+10b+c）因为11能整除1001，所以形式的6位数一定能被11整除．点评：此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：不妨设，添加的两个数字为ab，则8ab能被8整除，则ab可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998ab，也就是整除3ab，相当于整除20+ab，进一步验证得出答案即可．解答：解：设添加的两个数字为ab，8能整除1998ab，则ab可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7能整除1998ab=28542×7+6+ab，也就是7能整除6+ab，经过验证可知，ab=08，64．所以所添的两个数字是08或64．点评：此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力．4．求被179整除的最小和最大的四位数．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：先求出1000÷179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；先求出9999÷179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数．解答：解：1000÷179=5…105，179×（5+1）=179×6=1074．9999÷179=55…154，179×55=9845；答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845．点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？考点：数字问题．专题：数性的判断专题．分析：五位数与各位数字和的差为7xxxx，已知万位为7，那么4x+7应是9的倍数，进一步解决问题．解答：解：设原来的三位数是abcde，由题意得：10000a+1000b+100c+10d+e﹣（a+b+c+d+e）=7xxxx，9999a+999b+99c+9d=7xxxx，因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得4x+7=9（或18，或27，36）经验证，只有4x+7=27符合题意，因此x=5点评：设原来的三位数是abcde，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果．6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+4+x=18+（x+1）要能被3整除，求得x=2或8，最小且不重复就是8．解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，则9+1+2+3+4+x=18+（x+1）需能被3整除，则x=2或8，2与前面的数字重复，所以x取8．所以能被6整除最小数是9012348．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键．7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）．专题：分数百分数应用专题．分析：根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡×（1﹣80%）=鸭×（1﹣75%），所以鸡：鸭=（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4．那么鸡有810÷（5+4）×5=450（只），进而求出鸭的只数．解答：解：（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4鸡有：810÷（5+4）×5=810÷9×5=450（只）鸭有：810﹣450=360（只）答：原来鸡养了450只，鸭养了360只．点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键．8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质．专题：平均数问题；整除性问题．分析：123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论．解答：解：123+345+567+789=1824，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：2790﹣1824=966；当个位是5时，2+7+4+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：2745﹣1824=921；因为921＜966所以要求的三位是最大是966．答：第5个数最大是966．点评：此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键．9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．考点：整除性质．专题：整除性问题．分析：先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数．解答：解：2+3+5+7+11=28，308÷28=11，所以这五个数分别是：2×11=22，3×11=33，5×11=55，7×11=77，11×11=121；答：这五个数分别是22，33，55，77，121．点评：求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小．专题：整除性问题．分析：因为是193，3只能和1×3才出3．所以这个数的最后一个数是3，又3×90=270，十位90﹣70=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即123×91=11193．解答：解：由于1×3=3，则这个数个位是3，3×90=270，十位90﹣70=20，1×20=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，1与1相乘得1，则这个数最小是123，即123×91=11193．答：这个数最小是123．点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键．11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质．专题：整除性问题．分析：先把33333分解质因数：33333=3×11111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个．也就是111111*********÷33333=3333366667；由此解答即可．解答：解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111*********；答：这个数最小是111111*********．点评：明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键．12．某六位数能被17和19整除，求．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：根据六位数23xy22能被17和19整除，得出这个六位数能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．解答：解：因为六位数23xy22能被17和19整除，所以这个六位数能被17×19=323整除，这个数最小为230022，故230022÷323=712..46，这个数最大为239922，故239922÷323=742…256，因为23□□22能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734．故试一下323×714=230622，323×724=233852，323×734=237082，只有323×714=230622符合要求，故原数为：230622；答：xy=06．点评：此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23□□22除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6，如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；由此即可求出这个五位数．解答：解：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6，如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；所以这个五位数是26892或22896．答：这个五位数是26892或22896．点评：明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键．14．是105的倍数，求xy．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首先105=3×5×7，能被3整除则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可．解答：解：因为105=3×5×7，则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，当y=0时，2+7+x+0能被3整除，则x=0，3，6，9；当y=5时，2+7+x+5能被3整除，则x=1，4，7；则能被7整除的只有200760．所以x=6，y=0．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y 能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．解答：解：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y 能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．点评：此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．。

（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6 (江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个 (“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题) 8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n 的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B—————＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得—acb ＋—bac ＋—bca ＋—cab ＋—cba ＝3 194，两边加上—abc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋—abc∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝ ——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含。

数的整除性试题及答案解析阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0； ⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得1999x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398ab能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题) 9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案解析例1267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B7．五位数—abcde ＝10×—abcd ＋e .又∵——abcd 为4的倍数．故最值为1 000，又因为—abcde 为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋) 2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除． 4．B 5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．———————∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”． 9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976． 11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若125,,,a a a 中含9, 则不含1, 于是不含6(69520),⨯++=故含4; 不含7(74920),⨯++=故含3; 不含8(89320),⨯++=故含2; 但是53210++=是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n 的最小值为5。

初一数学整式的除法试题答案及解析1.若4x3﹣2x2+k﹣2x能被2x整除，则常数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．0【答案】D【解析】因为多项式的前面几项均能被2x整除，所以k也能被2x整除，结合k为常数，可得k 只能为0．解：∵4x3、﹣2x2、﹣2x均能被2x整除，∴k也能被2x整除，又∵k为常数，∴k=0．故选D．2.（0.14m4n3﹣0.8m3n3）÷0.2m2n2等于（）A．0.7m2n2﹣0.4mnB．0.28m2n﹣0.16nC．0.7m2n﹣4mnD．0.7m2n﹣4n【答案】C【解析】根据多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加的法则计算即可．解：（0.14m4n3﹣0.8m3n3）÷0.2m2n2，=0.14m4n3÷0.2m2n2﹣0.8m3n3÷0.2m2n2，=0.7m2n﹣4mn．故选C．3.如图，沿着正方形的对称轴对折，重合的两个小正方形的整式的乘积可得一新整式，则这样的整式共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】C【解析】从图中看出，有四个小正方形，即有四个整式，把对折后重合的两个小正方形内的整式相乘即可．解：正方形有四条对称轴，有六组对应整式的积：x（x+1），x2（x﹣1），x2（x+1），x（x﹣1），（x+1）（x﹣1），x•x2，故选C．4.计算（28a3﹣14a2+7a）÷（﹣7a）的结果为（）A．﹣4a2+2a B．4a2﹣2a+1C．4a2+2a﹣1D．﹣4a2+2a﹣1【答案】D【解析】此题直接利用多项式除以单项式的法则即可求出结果，也可以提取公因式（﹣7a），然后得出结果．解：原式=（28a3﹣14a2+7a）÷（﹣7a）=28a3÷（﹣7a）﹣14a2÷（﹣7a）+7a÷（﹣7a）=﹣4a2+2a﹣1．故选D．5.若（x3+27y3）÷（x2﹣axy+by2）=x+3y，则a2+b=．【答案】18【解析】先计算（x3+27y3）÷（x+3y）=x2﹣3xy+9y2，依此可得a=3，b=9，再代入计算即可求解．解：∵（x3+27y3）÷（x+3y）=x2﹣3xy+9y2，∴a=3，b=9，∴a2+b=9+9=18．故答案为：18．6.已知一个长方形的面积为4a2﹣2ab+，其中一边长是4a﹣b，则该长方形的周长为．【答案】10a﹣b【解析】利用长方形面积除以长=宽，求得另一条边的长，再进一步求得长方形的周长即可．解：（4a2﹣2ab+）÷（4a﹣b）=（16a2﹣8ab+b2）÷（4a﹣b）=（4a﹣b）2÷（4a﹣b）=（4a﹣b）；则长方形的周长=[（4a﹣b）+（4a﹣b）]×2=[a﹣b+4a﹣b]×2=[5a﹣b]×2=10a﹣b．故答案为：10a﹣b．7.已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么a的值是．【答案】1【解析】先根据被除式=商×除式（余式为0时），得出3x3+ax2+3x+1=（x2+1）（3x+1），再运用多项式乘多项式的法则将等式右边展开，然后根据多项式相等的条件，对应项的系数相等得出a的值．解：由题意，得3x3+ax2+3x+1=（x2+1）（3x+1），∴3x3+ax2+3x+1=3x3+x2+3x+1，∴a=1．故答案为1．8.÷a2=4a3b4﹣2a3b3+4．【答案】2a5b4﹣a5b3+4a2【解析】用商乘以除数求得被除数即可．解：∵（4a3b4﹣2a3b3+4）×a2=2a5b4﹣a5b3+4a2，∴2a5b4﹣a5b3+4a2÷a2=4a3b4﹣2a3b3+4．故答案为：2a5b4﹣a5b3+4a2．9.（）÷0.3x3y2=27x4y3+7x3y2﹣9x2y．【答案】8.1x7y5+7x6y4﹣9x5y3【解析】由于被除式等于商乘以除式，所以只需计算（27x4y3+7x3y2﹣9x2y）•0.3x3y2即可．解：（27x4y3+7x3y2﹣9x2y）•0.3x3y2=8.1x7y5+7x6y4﹣9x5y3．故答案为8.1x7y5+7x6y4﹣9x5y3．10.计算3x3÷x2的结果是（）A．2x2B．3x2C．3x D．3【答案】C【解析】单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．解：原式=3x3﹣2=3x．故选C．11.计算6a6÷（﹣2a2）的结果是（）A．﹣3a3B．﹣3a4C．﹣a3D．﹣a4【答案】B【解析】根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式计算．解：6a6÷（﹣2a2）=[6÷（﹣2）]•（a6÷a2）=﹣3a4．故选B．12.一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的（）A．1600倍B．160倍C．16倍D．1.6倍【答案】C【解析】根据速度=路程÷时间列出算式，再利用同底数幂相除，底数不变指数相减计算．解：（2.88×107）÷（1.8×106）=（2.88÷1.8）×（107÷106）=1.6×10=16，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．故选C．13.下列计算正确的是（）A．（﹣a2）3=a6B．2a6÷a3=2a2C．a2÷a×=a2D．a2+2a2=3a2【答案】D【解析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；单项式的除法和同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为（﹣a2）3=﹣a6，故本选项错误；B、应为2a6÷a3=2a3，故本选项错误；C、应为a2÷a×=a×=1，故本选项错误；D、a2+2a2=3a2，正确．故选D．14.已知a=1.6×109，b=4×103，则a2÷b=（）A．4×107B．8×1014C．6.4×105D．6.4×1014【答案】D【解析】根据题意得到a2÷b=（1.6×109）2÷（4×103），根据积的乘方得到原式=1.6×1.6×1018÷（4×103），再根据同底数的幂的除法法则得到原式=6.4×1014．解：a2÷b=（1.6×109）2÷（4×103）=1.6×1.6×1018÷（4×103）=6.4×1014．故选D．15.化简12a2b÷（﹣3ab）的结果是（）A．4a B．4b C．﹣4a D．﹣4b【答案】C【解析】按照单项式的除法的运算法则进行运算即可；解：12a2b÷（﹣3ab）=12÷（﹣3）（a2÷a）（b÷b）=﹣4a，故选C．16.（﹣a4）2÷a3的计算结果是（）A．﹣a3B．﹣a5C．a5D．a3【答案】C【解析】先算乘方（﹣a4）2=a8，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可．解：原式=a8÷a3=a5，故选C．17.计算：9x3÷（﹣3x2）=．【答案】﹣3x【解析】根据单项式的除法和同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算．解：9x3÷（﹣3x2）=﹣3x．18.计算：（﹣2a）2÷a=．【答案】4a【解析】本题是积的乘方与同底数幂的除法的混合运算，求解时按照各自的法则运算即可．解：（﹣2a）2÷a=4a2÷a=4a．故填4a．19.计算：6x3÷（﹣2x）=．【答案】﹣3x2【解析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，利用这个法则就可以求出结果．解：6x3÷（﹣2x）=﹣（6÷2）x3﹣1=﹣3x2．20.计算：（a2b）2÷a4=．【答案】b2【解析】根据积的乘方，单项式除单项式的运算法则计算即可．解：（a2b）2÷a4=a4b2÷a4=b2．故填b2．。

一、选择题1. 下列四个算式中，（）属于整除。

A．7÷2＝3.5 B．10÷2.5＝4C．15÷3＝5 D．0.5÷0.5＝12. 汽车在公路上匀速行驶了420千米，用了6时，它的速度是（）。

A．70千米B．70千米/时C．7千米D．7千米/时3. 如果m÷n=10，那么（）A．m一定能被n整除B．m一定不能被n整除C．m不一定能被n整除D．m一定是n的倍数4. 现在，戴口罩渐渐成了每个人的卫生习惯。

在某次广场活动中，参加活动的50人中有一部分人戴上了口罩，下面各比，不能表示戴口罩与没戴口罩人数的比的是（）。

A．1∶1B．3∶1C．7∶3D．13∶125. 在下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）。

A．7和21 B．45和15 C．5和3 D．0.6和2二、填空题6. 1～900中，不能被5或7整除的数共有( )个。

7. 因为3÷6＝0.5，所以3能被6____。

8. 在2008后面添上3个数字，组成一个七位数，使它成为3、4、5的倍数，这个七位数最大是．9. 一个两位数加上3能被5整除，减去3能被6整除．所有满足上述条件的两位数是．10. 一个数被4、5除都余3，这个数最小是．三、解答题11. 下列第一行数字能被第二行哪些数字整除？35 24 68 57 912 3 4 5 1212. 在10和40之间有多少个数是3的倍数？13. 有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”,……,依次下去.每位同学都说,这个数能被他的编号数整除.1号作了一一验证,只有编号连续的两位同学说得不对,其余同学都对,如果告诉你,1号写的数是六位数,那么这个数至少是多少?14. 有15位同学，每位同学都有一个编号，依次是1至15号。

1号的同学写了一个五位数，2号的同学说：“这个数能被2整除。