5年级上第2讲整除问题初步

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。

五年级数学教案之整除法一、教学目标：1. 让学生理解整除的概念，掌握整除的性质和特点。

2. 培养学生运用整除法解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学内容：1. 整除的概念：整除是指一个整数除以另一个不是0的整数，得到的商是整数，而没有余数。

2. 整除的性质和特点：（1）被除数、除数和商都是整数。

（2）除数不为0。

（3）商是整数，没有余数。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握整除的概念和性质。

2. 教学难点：整除的特点和实际应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究整除的概念和性质。

2. 运用实例分析法，让学生通过实际例子理解整除的特点。

3. 采用小组合作交流法，培养学生的团队协作能力。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过讲解生活中的实例，引导学生思考整除的概念。

2. 讲解整除的概念：讲解整除的定义，让学生明确整除的特点。

3. 分析整除的性质：引导学生总结整除的性质，加深对整除概念的理解。

4. 实例分析：运用具体例子，让学生判断哪些是整除算式，并解释原因。

5. 练习巩固：布置一些整除的练习题，让学生独立完成，检测掌握情况。

6. 总结拓展：引导学生思考整除在实际生活中的应用，提高学生的应用能力。

7. 布置作业：布置一些有关整除的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评价学生对整除概念和性质的掌握程度。

2. 观察学生在实际问题中运用整除法的情况，评价其应用能力。

3. 结合学生的课堂表现、同伴评价和教师评价，全面评估学生的学习效果。

七、教学反馈：1. 收集学生的练习题和课后作业，分析其错误原因，为后续教学提供参考。

2. 听取学生的反馈意见，了解他们在学习整除法过程中的困惑和问题，及时调整教学方法。

3. 根据学生的学习情况，调整教学进度和难度，确保教学效果。

八、教学拓展：1. 引导学生探索整除与除尽的区别，加深对整除概念的理解。

从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠．”高思教育一、整除的定义如果整数a 除以整数b （0b ≠），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．二、整除的一些基本性质1.尾数判断法（1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．（2）能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．（3）能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．2.数字求和法能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．3.奇偶位求差法能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位，……统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位，……统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．分析 关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．23487高思教育练习1.在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除？哪些数能被3整除？哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．分析 本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9整除，由9的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11整除，由11的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8整除，由8的整除特征，需要考虑它的末三位73□．练习2.在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次能被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．后填入师先后填入的高思分析 这45名员工的工资都一样，所以总工资能被45整除．即678□□能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=×，于是678□□应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.七位数22333□□能被44整除，那么这个七位数是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是4559=×，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然45315=×，但是在考虑能否被45整除时，不能考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？ 小幽默——天才未必事事都聪明 牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在36□200□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即可，因为能被8整除的数也必然能被4整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这高思还有一些数的整除特征具有特殊规律．4.三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除．例如：29071 的末三位是071，前面是29．它们的差为712942−=，42能被7整除，所以29071能被7整除．而42不能被13整除，所以29071不能被13整除．分析 根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．练习4.五位数7329□能被13整除，那么这个五位数除以13等于多少？分析 能被7整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7整除，能被125整除的数的特征是末三位能被125整除，我们可以利用这些性质将问题解决．们让小高写一个一位数放在个五位数能被36□35，并告诉墨莫说这个五位数既是小高写的五位数可能是多少？例题5高思教练习5.如果六位数36□7337□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？本讲知识点汇总一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；…二、数字和判定法：适用于3、9、99等．三、奇偶位求差法：适用于11等．四、三位截断法：适用于7、11、13．作业1.（1）四位数72A A 能被5整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数1245F G 能被8整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数71BB 能被9整除，那么B 代表哪个数字？（2）五位数2656D 能被7整除，那么D 代表哪个数字？高思教育3.萱萱买了14支铅笔、4支圆珠笔和7块橡皮．已知圆珠笔每支售价2元8角，橡皮每块售价6角，售货员让萱萱一共付款12元5角，售货员是否算错了呢？4.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4□□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5.现有一个六位数8732x y（x、y允许相同）：（1）如果它能同时被5和11整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56整除，这个六位数可能是什么？高思教育。

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论.什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” ?整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除,也可以说b 能整除a,记作b | a .「丁M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2.鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停!* w<?帀的T/如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a.整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律:和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.1数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.|(1) (2) (3)2.整除.例题2. 17石是一个四位数?文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题?下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上?但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“　6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除?我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除?你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“　1234 口6口8 ”的号码可以申请?也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数?想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289?其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 ?其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数?王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除? ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数?要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或 6.要想被 5 整除,空格中可填0或 5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。

2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1 2011个3
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挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234
789，能被99整除，这个九位数是多少？
分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99
的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123
678，能被99整除，这个八位数是多少？
满 视 界
五年级奥数竞赛课本
上册
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。

数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。

五年级数学教案之整除法教学目标：1. 理解整除的概念，能正确判断一个数是否是另一个数的倍数。

2. 掌握整除法的运算方法，能进行简单的整除计算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 整除的概念和判断方法。

2. 整除法的运算方法。

教学难点：1. 理解整除的概念，判断一个数是否是另一个数的倍数。

2. 进行复杂的整除计算。

教学准备：1. 黑板、粉笔。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾因数和倍数的概念，让学生举例说明。

2. 提问：如果一个数能被另一个数整除，这两个数之间有什么关系？二、讲解整除的概念（10分钟）1. 解释整除的概念，即一个数能被另一个数整除，没有余数。

2. 举例说明整除的概念，如10能被2整除，因为10÷2=5，没有余数。

3. 强调整除的条件，即被除数、除数和商都是整数，且没有余数。

三、判断一个数是否是另一个数的倍数（10分钟）1. 解释倍数的概念，即一个数是另一个数的整数倍。

2. 引导学生通过试除法判断一个数是否是另一个数的倍数。

3. 举例说明，如判断12是否是4的倍数，可以12÷4=3，没有余数，12是4的倍数。

四、整除法的运算方法（10分钟）1. 讲解整除法的运算方法，即被除数÷除数=商。

2. 举例说明整除法的运算过程，如20÷4=5，36÷6=6。

3. 强调整除法运算的注意事项，如除数不能为0。

五、练习题（10分钟）1. 布置一些简单的整除练习题，让学生独立完成。

2. 选取一些学生的作业进行讲解和分析。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了整除的概念和判断方法，以及整除法的运算方法。

学生在课堂中积极参与，通过试除法和练习题，加深了对整除法的理解和运用。

但在教学过程中，要注意引导学生理解整除的条件，避免出现误解。

可以适当增加一些有趣的例题和练习题，提高学生的学习兴趣。

六、整除法的应用（10分钟）1. 讲解整除法在实际生活中的应用，如计算物品的单价和数量。

数的整除数学教案
标题：小学五年级数学——数的整除
一、教学目标：
1. 理解并掌握数的整除的基本概念。

2. 掌握被除数、除数、商的概念，以及它们之间的关系。

3. 能够熟练进行整数的整除运算，并能解决相关的实际问题。

二、教学重点与难点：
重点：理解数的整除概念，掌握整除的性质。

难点：理解和应用整除的性质。

三、教学过程：
（一）导入新课
通过生活中的例子引入整除的概念，例如分苹果、分糖果等。

（二）新知讲解
1. 整除的概念：如果a除以b（b不等于0），得到的商是整数，而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2. 被除数、除数、商的概念：在除法算式中，a÷b=c，a叫做被除数，b叫做除数，c叫做商。

（三）例题解析
通过具体的例题，让学生了解如何判断一个数能否被另一个数整除，以及如何进行整除运算。

（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生自己动手做，以此来巩固所学知识。

（五）归纳总结
回顾本节课的主要内容，强调整除的概念和性质，引导学生总结学习经验。

（六）作业布置
布置一些与整除有关的习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。

四、教学反思：
对于学生在课堂上的反应和理解情况进行反思，以便于调整教学方法和策略。

五年级思维第二讲基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a .性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a .性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除.2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85.例2、求所有的x ，y 满足使得72∣.解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：168=3⨯7⨯8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、 要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？ 解：63=7⨯9. 考虑能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a )，整理得 7∣(2b+3c-a +4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c =2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a =0. 此时，易验证b =0, b =1无解，而在b =2时，有解c =9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000 =÷，24403252010000 =÷，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知（重复99次）能够被91整除，求.解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣（重复99次）有7（13）∣（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣（重复98次），以此类推，就有7（13）∣，得到 =455，所以=55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437=，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏：1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。

5．六位数□2008□能同时被 9 和 11 整除．这个六位数是多少？
6．请从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数．这个五位 数最大是多少？
五年级上册第 2 讲 数论问题第 01 讲
7．小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间拼 成一个五位数 59□89 ，使得这个五位数能被 7 整除．请问：阿奇写的数是多少？
质数与合数
知识概述
掌握质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．熟练掌握短除法分解质因数；利 用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾 0 的个数．
理解质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．掌握分解质因数的方法，并学会 运用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．
10. 把从 1 开始的若干个连续的自然数 1，2，3， ，乘到一起．已知这个乘积的末尾 13 位恰好都
是 0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
11. 168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少 的平方？
12. （1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？ （2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？
五年级中册第 4 讲 数论问题第 04 讲
9. 123123 123 除以 99 的余数是多少？
123个123
10. 把 63 个苹果，90 个桔子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请 问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。

第2讲 整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。

通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

曲型问题兴趣篇1. 下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2. 有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3. 一个三位数4 □6的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。

小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。

老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。

冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5. 四位数 □9 □2能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.6. 四位偶数 □4 □6能被11整除，求出所有满足要求的四位数．7. 多位数213323232个n 能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8．一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？9．一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，这个四位数最大是多少？10．(1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？(2)一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？拓展篇1．判断下面11个数的整除性：.407,864,93625,6512,198954,7538,5880,6765,8875,3568,23487(1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？2. □173是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？3. 五位数 □07 □3能同时被11和25整除，这个五位数是多少？4．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ □8 □67”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？5．六位数 □8200 □能同时被9和11整除．这个六位数是多少？6．请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？7．小悦写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让阿奇写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数 89 □59，使得这个五位数能被7整除，请问：阿奇写的数是多少？8. 已知925525999 □555个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？9．用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个三位数能被11整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜．冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？11．对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．请问：一共有多少个不大于10的破坏数？12. 一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？超越篇1．在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？2．将自然数1，2，3，…，依次写下去形成一个多位数“123456789101112…”．当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除．请问：N是多少？3．小悦的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.口△元”、“总价127.○◇元”（口、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉小悦，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分．但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了，爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦，小悦看了看，说：“这呵难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”同学们，你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗？4．冬冬在一张纸条上依次写下2、3、4、5、6、7这6个数字，形成一个六位数．阿奇把这张纸条撕成了三节．这三节纸条上的数加起来得到的和（如图2-1，三节纸条上的和为23 + 456 +7 = 486）能被55整除．请问：阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条？5．将一个自然数N接在任一自然数的右面（例如将2接在13的右面得到132），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“神奇数”．请求出所有的两位“神奇数”．6．在六位数11□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整□除．方框中的两位数是多少？7．多位数A由数字l、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除，求这样的A的最小值．8．有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”．比如2332、181、77都是回文数．如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？。

小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们日常生活中无处不在。

而在小学阶段，我们需要掌握一些基本的数学概念和运算规则。

其中，整除与倍数是数学学习的重要内容之一。

本文将介绍小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用。

一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

在小学五年级的数学中，我们一般用“能够整除”来表示整除的概念。

例如，当一个数能够被另一个数整除时，我们可以称前一个数为后一个数的倍数。

二、倍数的概念倍数是指某个数的整倍数。

也就是说，一个数的倍数是指它可以被另一个数整除。

在小学五年级的数学中，我们通常会接触到最小公倍数和最大公约数这两个与倍数相关的概念。

1. 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个数。

我们可以通过列举倍数的方法来求解最小公倍数。

例如，求解30和45的最小公倍数，首先列出它们的倍数：30的倍数为30、60、90、120、150，45的倍数为45、90、135、180、225。

我们可以发现，30和45的最小公倍数是90。

最小公倍数的求解在实际中有广泛的应用，例如在求解分数的加减乘除时，需要用到最小公倍数。

2. 最大公约数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个数。

我们可以使用列举因数的方法来求解最大公约数。

例如，求解16和24的最大公约数，我们可以列出它们的因数：16的因数为1、2、4、8、16，24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24。

我们可以发现，16和24的最大公约数是8。

最大公约数的求解在实际中也有着广泛的应用，例如在化简分数、约分等计算中常常需要用到最大公约数。

三、整除与倍数运用实例深入了解整除与倍数的概念后，我们可以看一些运用实例来更好地理解它们的应用。

1. 判断一个数能否被另一个数整除例如，我们要判断36能否被4整除。

只需判断36是否为4的倍数，即判断36能否被4整除。

我们知道，4 ×9 = 36，故36可以被4整除。

第2讲整除整理书妈妈让萱萱整理桌子上的书本，萱萱发现桌子上有132本书，每本书高度一样，想整理一边高，那么可以分成几份？132末尾能被2整除，所以可以分成3份132各个数位相加为6，能被3整除，所以可分成3份132 奇偶位求差为0，能被11整除；所以可分成11份既能被3整除有能被2整除可以被6整除……【例1】导引拓展篇第1题1.判断下面11个数的整除性：6765,5880,,23487,356875388875,,,407.,86493625,1989546512,(1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？能被3整除：23487、6765、 5880、198954、864；正被9整除：198954、864能被11整除的数，奇数位上的和与偶数位上和的差能被11整除能被11整除：6765、6512、407能被3、9整除的数，各个数位的和能被3、9整除能被4,25整除的数末两位能被4,25整除能被8,125整除的数末三位能被8,125整除能被4、8整除：3568、5880、6512、864；能被25、125整除：8875、93625判断整除：一、末尾判断方：2、5, 4、25, 8、125二、各位求和法：3、9三、奇偶位求差：11【例2】导引拓展篇第2题四位数．方框内先后填入3个数得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，填入的3个数字之和是多少？ □173能被9整除：能被11整除：能被8整除:7＝ ；□ □+11＝ □+3+7+18＝ ；□4＋ ＝□3+1）7+ □）－（（6＝ □ ； □1＝720－ □73依次能被9、11、8整除的数为1737、1738、173678621=++【例3】导引拓展篇第3题计算： 多位数能被11整除，满足条件的n 最小是多少？323232321n 个奇位数字和：偶位数字和：31n +2n奇数位与偶数位的差：12)13(+=-+n n n 1+n 为11的倍数，所以n 最小为10.【例4】导引拓展篇第4题五位数能同时被11和25整除，这个五位数是多少？ □07 □3能被25整除，那么个位数字只能是5奇数位与偶数位的差为5037=1++--－　　111-=的整数倍，所以□只能为1.所以：这个五位数为 30175【例5】导引拓展篇第5题牛叔叔给45名工人发完工资后，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，只剩下“ ”，每名工人的工资一样，则总工资有可能是多少元？ e□8 □67所以总数能被5和9整除，那么个位数字就只能是0或5当个位为5时 ，此时678526=+++1= 当个位为0时， ，所以678021=+++6= 总工资可能为67680元或者67185元【例6】导引拓展篇第5题六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？ □8200 □设六位数为2008a b既能被11整除又能被9整除的数字一定能被99整除能被99整除的数两位截断相加的和能被99整除7,1;9982998002===+=++b a b a b a ；即所以这六位数为 120087被99整除的数：两位截断相加，和能被99整除【例7】导引拓展篇第7题请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？设五位数为abcde99++bcdea=a=6,c+e=3,b+d=9a=6,b=5,c=2,d=4,e=1这个五位数最大是65241【例8】导引拓展篇第8题卡莉娅写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数，能被7整除，请问：小高写的数是多少？59□89要想能被7整除，那么三位截断，895930=也就是是7的倍数，那么6=30小高写得数字为6【例9】导引拓展篇第9题已知51位数 能被13整除，中间方格内的数字是多少？925525999 □555个个能被13整除，三位截断，奇位和与偶位和的差能被13整除45559455595555555999999955555599999959个4个个4个99=⎛⎫⎛⎫++++++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 也就是 为13的倍数，那么59 =5被7,11,13整除的数：三位截断求差，差能被7,11，13整除【例10】导引拓展篇第10题（1）一个数字互不相同的多位数能被数字11整除，并且含有0，这个多位数最小是多少？209（2）一个各位数字和为13，能被数字11整除多位数最小是多少？（1）三位数，0不能在百位要使数字尽量小，那么0应该在十位百位和个位数字和最小只能为11（2）数字和为13，奇数位与偶数位的差最小只能为11所以分为12+1,3+9=12，所以三位数字为319【例11】导引拓展篇第11题用数字6、7、8各两个，组成能同时被6、7、8整除的六位数．能被6整除：个位数字一定是偶数被7整除：可以被7整除。

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9 和11 整除可以看作是能被99 整除，可以两位截断求数段和，那么有2 0 8 是99 的倍数，只能是99．两个空中先后要填 1 和7．例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789 ，两位截断求和 1 23 4a b7 89 160 ba 是99的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3. 答案：6详解：利用7 的整除特性，89 59 30 能被7 整除，只能填6．例题4. 答案：5详解：555555、999999 能被13 整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999 后仍然是13 的倍数．所以只需要满足13 |5 9 就可以了．空格中要填5．例题5. 答案：768768详解：形如abcabc 一定能被7 整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8 组成．又可知这个六位数一定能被 3 整除，所以只要保证后三位能被8 整除就可以了．答案不唯一．例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．3 1 3 9 1 32 3 2 3 2 3 2 3→→→9 3 9 7 3 96 2 6 2 69 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198．练习3. 答案：5712 或5782简答：利用7 的整除特性，7 2 与5 的差是7 的倍数，空格中可以填 1 或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13 的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7 的倍数有7315，58674，360360；13 的倍数有325702，360360简答：牢记7 和13 的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99 的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知7 6 能被7 整除，框中填 5 满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7 和13 整除，即是91 的倍数，框中填981 81满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7 整除，框中填 3 满足条件．1 3第二讲整除问题进阶上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99 整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99 整除．例题 1六位数2008 能同时被9 和11 整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9 和11 整除，说明这个六位数能被99 整除．想一想，99 的整除特性是什么？练习 1四位数23 能同时被9 和11 整除，这个四位数是多少？例题 2已知九位数1234 789 能被99 整除，这个九位数是多少？【分析】这个九位数是99 的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99 的倍数．这个99 的倍数可能是多少呢？练习 2已知八位数能被99 整除，这个八位数是多少？123 678二、截断作差能被7、11、13 整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7 或11 或13 整除．例题 3阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59 89 ，使得这个五位数能被7 整除．请问：小高写的数是多少？【分析】根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．练习 3四位数57 2 能被7 整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．例题 4已知51 位数55L 5 99L 9能被13 整除，中间方格内的数字是多少？1 2 3 1 2 32 5个5 25个9能被13 整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它【分析】在本题中，5152L35□9192L3925个 5 25个9变得简短一些．因为1001 是13 的倍数，而555555、999999 分别是555、999 与1001 的乘积，说明它们都是13 的倍数．那我们是不是可以去掉这个51 位数上的一些 5 和9，并仍然保证它能被13 整除？练习 411L 1 33L 3能被13 整除，那么中间方格内的数字是多少？已知多位数{ {2010 1 2010 3个个例题 5用数字6，7，8 各两个，要组成能同时被6，7，8 整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．【分析】能被6，7，8 整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7 整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7 整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．例题 6一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23 整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23 整除的数的特征，而且23 也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23 整除，就是说它能写成23 与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1.在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2.四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3.四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4.已知多位数81□1258424528L424358（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012个258多少？5.已知多位数{{11L133L3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？2011120113个个。

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。

2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” •整除的定义「丁 M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨 吧円样的方式冉境 OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布 可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏 次脫锂A- B- C, 懵快.軒iHflt 反应境 闻瞭面丈旳埠茶逾稲 伸只记聲车壇忙¥2. 鼻、4. $、隔一亍・ 貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡 豪酊r.舌方境 出了颯珂停!* w<«帀的T /整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位， ，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1) 这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2) 哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3) 哪些数能被3整除？哪些数能被 9整除？ (4) 哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不 妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3整除；同样的， 如果将其中能被11整除的数相加或相减， 会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可以总结出如下规律:(1) (2) (3)2.例题2. 17石是一个四位数•文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题•下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上•但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除•我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除•你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请•也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数•想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289•其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 •其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数•王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除• ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 •要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8•要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 •先来看最小的数•要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 •要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 •再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 •要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或6.要想被 5 整除,空格中可填0或5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。